1
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2
上一次作业的问题主要是许多人仍然没有按照标准格式解题,
问题是没有假设事件或者假设事件的概率,
正式解题的时候必须先作假设,即按下面两种格式之一,
假设事件 A为 …,或者写成假设概率 P(A)为 …
的概率,
有的自己发明符号,如 P(1)=… 等,甚至还有
P=… 这样的写法,
3
条件概率与乘法法则
4
先看 1.3中的例 1
100个产品中有 60个一等品,30个二等品,10个废品,规定一,二等品都是合格品,
试验,从 100个产品中任抽一个假设,A,B为抽到的为一,二等品,C为抽到的是合格品,则 C=A+B
则一等品率为 P(A)=60/100,二等品率为
P(B)=30/100,合格率为 P(C)=90/100
如果改变试验为,从合格品中任抽一件,则合格品中的一等品率为 P(A|C)=60/90.
5
定义 1.3
在事件 B已经发生的条件下,事件 A发生的概率,称为事件 A在给定 B下的条件概率,简称为
A对 B的条件概率,记作 P(A|B),相应地,把 P(A)
称为无条件概率,这里,只研究作为条件的事件 B具有正概率即 P(B)>0的情况,
6
对于条件概率,有控制论和信息论的两种观点控制论的观点又分两种,一种是通过控制来改变试验条件,从而改变某事件的概率,
例如上例中将试验改变为从合格品中任抽一件,则一等品率发生的概率即发生改变,
另一种是在试验结果中将某事件 C发生的结果保留,
将其它的试验结果剔除,然后再统计某事件 A发生的概率 P(A|C)
例如,将上面的试验重复 1000次,如果合格品事件出现了 900次,其中在这 900次中一等品出现了 600次,
则这时的一等品率为 P(A|C)=600/900=2/3.
7
而信息论的观点涉及到信息传递这时候可以设置试验场地和信息中心两个地方,在试验场地的试验员将试验的部分或者全部结果向信息中心的信息员报告,
试验场所 信息中心
8
拿上一个例来讲在试验开始前试验员和信息员都知道整个试验的设计情况,因此知道合格品率为
P(C)=90/100,一等品率为 P(A)=60.
现在试验员做了一次试验,但是并没有将全部试验结果报告给信息员,只是告诉他 "抽到的是合格品 ".
则从信息员的角度讲,他暂时还不知道此产品是一等品还是二等品,这个时候他从已经获得的信息的条件下的一等品率就已经是
P(A|C)=60/90.
9
条件概率意味着样本空间的压缩或者可以认为是基本事件的减少而导致的试验,以事件 B为条件的条件概率,意味着在试验中将 B提升为必然事件,
B B
10
例 1 市场上供应的灯泡中,甲厂的产品占 70%,
乙厂占 30%,甲厂产品的合格率是 95%,乙厂的合格率是 80%,若用事件 A,A分别表示甲乙两厂的产品,B表示产品为合格品,试写出有关事件的概率和条件概率解 依题意
%20)|(%5)|(
%80)|(%95)|(
%30)(%70)(
ABPABP
ABPABP
APAP
注,在解题过程中常见的错误是将条件概率写成无条件概率 !
11
例 2 全年级 100名学生中,有男生 (以事件 A表示 )80人,女生 20人,来自北京的 (以事件 B表示 )有 20人,其中男生 12人,女生 8人,免修英语的 (用事件 C表示 )40人中有 32名男生,8名女生,
则有 P(A)=80/100=0.8 P(B)=20/100=0.2
P(B|A)=12/80=0.15 P(A|B)=12/20=0.6
P(AB)=12/100=0.12 P(C)=40/100=0.4
)(
)(
)|(,
)(
)(
)|(
32.0100/32)(
15.080/12)|(80/32)|(
BP
ABP
BAP
AP
ABP
ABP
ACP
BAPACP
可以看出
12
因此,在概率论中把某一事件 B在给定另一事件 A(P(A)>0)下的条件概率 P(B|A)定义为
)(
)()|(
AP
ABPABP?
乘法法则 两个事件 A,B之交的概率等于其中任一个事件 (其概率不为零 )的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率,
即
P(AB)=P(A)P(B|A) (若 P(A)>0)
P(AB)=P(B)P(A|B) (若 P(B)>0)
13
相应地,关于 n个事件 A1,A2,…,An的乘法公式为,
P(A1A2… An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…
… P(An|A1A2… An-1)
在证明此式时,首先将事件 A1A2… An分为两个事件 A1和 A2… An然后套用乘法公式得
P(A1A2… An)=P(A1) P(A2… An|A1)
然后再将 P(A2… An|A1)中的 A2… An分为两个事件 A2和 A3… An,这样依此类推就能够得到上式,
14
无论是两个事件的乘法公式还是多个事件的乘法公式都是非常重要的,需要在解题前背下来,它们可以用来解许多概率论的较难的题在通常的情况下,一事件 A条件下的对另一事件 B的条件概率 P(A|B)通常是好算的,而两事件的积的概率 P(AB)往往是不好算的,
这是因为条件概率是在条件受控情况下的概率,能够在一个较 "小 "的样本空间中讨论问题,
相对容易一些,
15
再回到例 1 市场上供应的灯泡中,甲厂产品 (A)
占 70%,乙厂 (A)占 30%,甲厂产品合格率是
95%,乙厂合格率是 80%,B表示产品为合格品解 依题意
06.02.03.0)|()()(
24.08.03.0)|()()(
665.095.07.0)|()()(
%20)|(%5)|(
%80)|(%95)|(
%30)(%70)(
ABPAPBAP
ABPAPBAP
ABPAPABP
ABPABP
ABPABP
APAP
则
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例 4 10个考签中有 4个难签,3人参加抽签 (不放回 ),甲先,乙次,丙最后,求甲抽到难签,甲,乙都抽到难签,甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲,乙,丙都抽到难签的概率,
解 设事件 A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签
720
24
8
2
9
3
10
4
)|()|()()(
90
24
9
4
10
6
)|()()(
90
12
9
3
10
4
)|()()(
10
4
)(
ABCPABPAPA B CP
ABPAPBAP
ABPAPABP
n
m
AP
17
这道题也可以用古典概型的办法来做,因为关心的是抽签人的次序问题,因此共有 10个签,3个人抽签,基本事件总数 n为 10个里面拿出 3个来作排列,而 A表示第一个人抽到难签,则有利于 A的基本事件数 m的计算为,首先从 4个难签中任取一个放在第一个位置,
而剩下的 9个签则排列在剩下的两个位置用这种思路可以知道 P(B)和 P(C)也都是 4/10
10
4
8910
8944
)(
,4,
3
10
2
9
2
9
3
10
A
A
n
m
AP
AmAn
则
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事件上,即使这十张难签由 10个人抽去,因为其中有 4张难签,因此每个人抽到难签的概率都是 4/10,与他抽的次序无关,
正如十万张彩票如果只有 10个特等奖,则被十万个人抽去,无论次序如何,每个人的中奖概率都是十万分之十,即万分之一,
这在概率论中叫抽签原理,
这类问题经常在研究生的入学考试题中出现,
如果知道,就能够很快回答,否则就有可能出错,
19
例如
(1993年考研题,3分 ) 一批产品有 10个正品和 2
个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不放回,则第二次抽出的是次品的概率为 ____.
因产品总数是 12,次品数是 2,因此答案是 2/12.
(1997年考研题,3分 )袋中有 50个乒乓球,其中
20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第 2个人取得黄球的概率是 ____.
因共有 50个乒乓球,20个黄球,因此答案是 2/5.
20
(1998MBA试题 ) 甲乙两选手进行乒乓球单打比赛,甲发球成功后,乙回球失误的概率为 0.3,
若乙回球成功,甲回球失误的概率为 0.4,若甲回球成功,乙再回球时失误的概率为 0.5,试计算这几个回合中,乙输掉一分的概率,
解 设 Ai为甲在第 i回合发 (回 )球成功的事件,Bi
为乙在第 i回合回球成功的事件 (i=1,2),A为两个回合中乙输掉一分的事件,则
221111
2112
112111
5.0)|(
4.0)|(,3.0)|(,1)(
BABABAA
ABABP
BAAPABPAP
而
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则因
51.05.06.07.013.01
)|()|(
)|()()|()(
)()(
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,
2112112
111111
221111
221111
221111
ABABPBAAP
ABPAPABPAP
BABAPBAP
BABABAPAP
BABABA 互斥与
22
(1998MBA试题 )5人以摸彩方式决定谁得 1
张电影票,今设 Ai表示第 i人摸到 (i=1,2,3,4,5),
则下列结果中有 1个不正确,它是 ( )
5
3
)()(
5
1
)()(
4
1
)()(
5
1
)()(
3
1
)|()(
21
521
21213
AAPE
APDAAPC
AAPBAAAPA
23
解 摸彩即是做 5张彩票,其中 1张写 "有 ",其余 4张写 "无 ".则 P(A3|A1A2)是指在前两个人没有抽到条件下第 3个人抽到的事件,则第 3个人抽时只有三张彩票,则抽中的条件概率当然是 1/3,因此选项 (A)正确,此外,每个人抽中的无条件概率显然是 1/5,因此选项 (D)正确,选项 (B)和 (E)可由乘法法则求得为
5
3
4
3
5
4
)|()()(
5
1
4
1
5
4
)|()()(
12121
12121
AAPAPAAP
AAPAPAAP
因此选项 (C)不正确,答案为 (C)
24
请提问
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作业习题一 第 27页第 18,19,20题
D组交作业
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上一次作业的问题主要是许多人仍然没有按照标准格式解题,
问题是没有假设事件或者假设事件的概率,
正式解题的时候必须先作假设,即按下面两种格式之一,
假设事件 A为 …,或者写成假设概率 P(A)为 …
的概率,
有的自己发明符号,如 P(1)=… 等,甚至还有
P=… 这样的写法,
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条件概率与乘法法则
4
先看 1.3中的例 1
100个产品中有 60个一等品,30个二等品,10个废品,规定一,二等品都是合格品,
试验,从 100个产品中任抽一个假设,A,B为抽到的为一,二等品,C为抽到的是合格品,则 C=A+B
则一等品率为 P(A)=60/100,二等品率为
P(B)=30/100,合格率为 P(C)=90/100
如果改变试验为,从合格品中任抽一件,则合格品中的一等品率为 P(A|C)=60/90.
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定义 1.3
在事件 B已经发生的条件下,事件 A发生的概率,称为事件 A在给定 B下的条件概率,简称为
A对 B的条件概率,记作 P(A|B),相应地,把 P(A)
称为无条件概率,这里,只研究作为条件的事件 B具有正概率即 P(B)>0的情况,
6
对于条件概率,有控制论和信息论的两种观点控制论的观点又分两种,一种是通过控制来改变试验条件,从而改变某事件的概率,
例如上例中将试验改变为从合格品中任抽一件,则一等品率发生的概率即发生改变,
另一种是在试验结果中将某事件 C发生的结果保留,
将其它的试验结果剔除,然后再统计某事件 A发生的概率 P(A|C)
例如,将上面的试验重复 1000次,如果合格品事件出现了 900次,其中在这 900次中一等品出现了 600次,
则这时的一等品率为 P(A|C)=600/900=2/3.
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而信息论的观点涉及到信息传递这时候可以设置试验场地和信息中心两个地方,在试验场地的试验员将试验的部分或者全部结果向信息中心的信息员报告,
试验场所 信息中心
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拿上一个例来讲在试验开始前试验员和信息员都知道整个试验的设计情况,因此知道合格品率为
P(C)=90/100,一等品率为 P(A)=60.
现在试验员做了一次试验,但是并没有将全部试验结果报告给信息员,只是告诉他 "抽到的是合格品 ".
则从信息员的角度讲,他暂时还不知道此产品是一等品还是二等品,这个时候他从已经获得的信息的条件下的一等品率就已经是
P(A|C)=60/90.
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条件概率意味着样本空间的压缩或者可以认为是基本事件的减少而导致的试验,以事件 B为条件的条件概率,意味着在试验中将 B提升为必然事件,
B B
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例 1 市场上供应的灯泡中,甲厂的产品占 70%,
乙厂占 30%,甲厂产品的合格率是 95%,乙厂的合格率是 80%,若用事件 A,A分别表示甲乙两厂的产品,B表示产品为合格品,试写出有关事件的概率和条件概率解 依题意
%20)|(%5)|(
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%30)(%70)(
ABPABP
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注,在解题过程中常见的错误是将条件概率写成无条件概率 !
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例 2 全年级 100名学生中,有男生 (以事件 A表示 )80人,女生 20人,来自北京的 (以事件 B表示 )有 20人,其中男生 12人,女生 8人,免修英语的 (用事件 C表示 )40人中有 32名男生,8名女生,
则有 P(A)=80/100=0.8 P(B)=20/100=0.2
P(B|A)=12/80=0.15 P(A|B)=12/20=0.6
P(AB)=12/100=0.12 P(C)=40/100=0.4
)(
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32.0100/32)(
15.080/12)|(80/32)|(
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ABP
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可以看出
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因此,在概率论中把某一事件 B在给定另一事件 A(P(A)>0)下的条件概率 P(B|A)定义为
)(
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AP
ABPABP?
乘法法则 两个事件 A,B之交的概率等于其中任一个事件 (其概率不为零 )的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率,
即
P(AB)=P(A)P(B|A) (若 P(A)>0)
P(AB)=P(B)P(A|B) (若 P(B)>0)
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相应地,关于 n个事件 A1,A2,…,An的乘法公式为,
P(A1A2… An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…
… P(An|A1A2… An-1)
在证明此式时,首先将事件 A1A2… An分为两个事件 A1和 A2… An然后套用乘法公式得
P(A1A2… An)=P(A1) P(A2… An|A1)
然后再将 P(A2… An|A1)中的 A2… An分为两个事件 A2和 A3… An,这样依此类推就能够得到上式,
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无论是两个事件的乘法公式还是多个事件的乘法公式都是非常重要的,需要在解题前背下来,它们可以用来解许多概率论的较难的题在通常的情况下,一事件 A条件下的对另一事件 B的条件概率 P(A|B)通常是好算的,而两事件的积的概率 P(AB)往往是不好算的,
这是因为条件概率是在条件受控情况下的概率,能够在一个较 "小 "的样本空间中讨论问题,
相对容易一些,
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再回到例 1 市场上供应的灯泡中,甲厂产品 (A)
占 70%,乙厂 (A)占 30%,甲厂产品合格率是
95%,乙厂合格率是 80%,B表示产品为合格品解 依题意
06.02.03.0)|()()(
24.08.03.0)|()()(
665.095.07.0)|()()(
%20)|(%5)|(
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则
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例 4 10个考签中有 4个难签,3人参加抽签 (不放回 ),甲先,乙次,丙最后,求甲抽到难签,甲,乙都抽到难签,甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲,乙,丙都抽到难签的概率,
解 设事件 A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签
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这道题也可以用古典概型的办法来做,因为关心的是抽签人的次序问题,因此共有 10个签,3个人抽签,基本事件总数 n为 10个里面拿出 3个来作排列,而 A表示第一个人抽到难签,则有利于 A的基本事件数 m的计算为,首先从 4个难签中任取一个放在第一个位置,
而剩下的 9个签则排列在剩下的两个位置用这种思路可以知道 P(B)和 P(C)也都是 4/10
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A
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AmAn
则
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事件上,即使这十张难签由 10个人抽去,因为其中有 4张难签,因此每个人抽到难签的概率都是 4/10,与他抽的次序无关,
正如十万张彩票如果只有 10个特等奖,则被十万个人抽去,无论次序如何,每个人的中奖概率都是十万分之十,即万分之一,
这在概率论中叫抽签原理,
这类问题经常在研究生的入学考试题中出现,
如果知道,就能够很快回答,否则就有可能出错,
19
例如
(1993年考研题,3分 ) 一批产品有 10个正品和 2
个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不放回,则第二次抽出的是次品的概率为 ____.
因产品总数是 12,次品数是 2,因此答案是 2/12.
(1997年考研题,3分 )袋中有 50个乒乓球,其中
20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第 2个人取得黄球的概率是 ____.
因共有 50个乒乓球,20个黄球,因此答案是 2/5.
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(1998MBA试题 ) 甲乙两选手进行乒乓球单打比赛,甲发球成功后,乙回球失误的概率为 0.3,
若乙回球成功,甲回球失误的概率为 0.4,若甲回球成功,乙再回球时失误的概率为 0.5,试计算这几个回合中,乙输掉一分的概率,
解 设 Ai为甲在第 i回合发 (回 )球成功的事件,Bi
为乙在第 i回合回球成功的事件 (i=1,2),A为两个回合中乙输掉一分的事件,则
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5.0)|(
4.0)|(,3.0)|(,1)(
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而
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则因
51.05.06.07.013.01
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,
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221111
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ABABPBAAP
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BABAPBAP
BABABAPAP
BABABA 互斥与
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(1998MBA试题 )5人以摸彩方式决定谁得 1
张电影票,今设 Ai表示第 i人摸到 (i=1,2,3,4,5),
则下列结果中有 1个不正确,它是 ( )
5
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5
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AAPE
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AAPBAAAPA
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解 摸彩即是做 5张彩票,其中 1张写 "有 ",其余 4张写 "无 ".则 P(A3|A1A2)是指在前两个人没有抽到条件下第 3个人抽到的事件,则第 3个人抽时只有三张彩票,则抽中的条件概率当然是 1/3,因此选项 (A)正确,此外,每个人抽中的无条件概率显然是 1/5,因此选项 (D)正确,选项 (B)和 (E)可由乘法法则求得为
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因此选项 (C)不正确,答案为 (C)
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请提问
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作业习题一 第 27页第 18,19,20题
D组交作业
