1
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2
复习提纲
3
一，事件的运算如果 A,B,C 为三事件，则 A + B + C 为至少一次发生,
CBA
为至少一次不发生,
AB + BC + AC 和
AB CCABCBABCA
都是至少两次发生,
CABCBABCA
为恰有两次发生,
CBACBACBA
为恰有一次发生,
等等,要善于将语言翻译成事件运算公式以及将公式翻译成语言,
4
二,加法法则与乘法法则如 A 与 B 互不相容,则 P ( A + B )= P ( A )+ P ( B )
P ( AB )= P ( A ) P ( B | A )
而对于任给的 A 与 B 有
P ( A + B )= P ( A )+ P ( B )? P ( AB )
因此,P ( A + B ),P ( A ),P ( B ),P ( AB ) 这四个概率只要知道三个,剩下一个就能够求出来,
而 P ( AB )= P ( A ) P ( B | A ),因此 P ( A + B ),P ( A ),P ( B ),
P ( B | A ) 只要知道三个,剩下的一个就能够求出来,
)()()( ABPAPBAP
也是常用式子
5
三,全概率公式和贝叶斯公式设 A
1
,A
2
,…,构成完备事件组,则任给事件 B 有
i
ii
ABPAPBP )|()()(
( 全概率公式 ),
及
,...)2,1(,
)|()(
)|()(
)|(
m
ABPAP
ABPAP
BAP
i
ii
mm
m
( 贝叶斯公式 )
6
其中,最常用的完备事件组,就是一个事件 A 与它的逆
A
,即任给事件 A,B 有
)|()()|()()( ABPAPABPAPBP
)|()()|()(
)|()(
)|(
ABPAPABPAP
ABPAP
BAP
7
通常是将试验想象为分为两步做,第一步的结果将导致 A 或者 A 之一发生,而这将影响到第二步的结果的事件 B 是 否发生的概率,如果是已知第一步的各事件概率及第一步各事件发生条件下第二步事件 B 发生的概率,并要求 B 发生的概率,
就用全概率公式,而如果是要求在第二步事件 B
已经发生条件下第一步各事件的概率,就用贝叶斯公式,
8
四,随机变量及分布
1,离散型随机变量一元,P ( ξ = x
k
)= p
k
( k =1,2,…),性质,
1?
k
k
p
二元,P { ξ = x
i
,η = y
j
)= p
ij
( i,j=1,2,…)
边缘分布与联合分布的关系,
)2(
)1(
){
){
j
i
ijj
i
j
iji
ppyP
ppxP
9
2,连续型随机变量
)(~ x
,
b
a
dxxbaP )()(
,
性质,
1)(?
dxx?
分布函数为
x
dttxPxF )()()(
,且有
)()( xxF
10
如 ξ ~ φ ( x ),η = f ( ξ ),则求 η 的概率密度函数的办法,是先求 η 的分布函数 F
η
( x ),
))(()()( xfPxPxF
,
然后对 F
η
( x ) 求导即得 η 的概率密度函数,
11
五,随机变量的数字特征数学期望,
离散型,
1k
kk
pxE?
连续型,
dxxxE )(
性质,E (? +? )= E? +,E ( )= E E
E? a? ) = a E?
12
方差,
离散型,先计算
1
22
k
kk
pxE?
,
则
22
)( EED
连续型,先计算
,)(
22
dxxxE
则
22
)( EED
性质,如?,? 相互独立,则 D (? +? )= D? +D?,
D( )= D? + D?
13
协方差和相关系数,
计算两个随机变量? 和? 的协方差 co v (?,? ) 和相关系数? 的关键是计算? (,
离散型,
i j
ijji
pyxE )(
则 cov (?,? )= E ( E (? ) E (? )
DD
),c o v (
14
六,几种常用的分布二项分布
ξ ~ B ( n,p ) 是 指
knkk
n
ppCkP
)1(}{?
,
它描述了贝努里独立试验概型中,事件 A 发生 k
次的概率,试验可以同时进行,也可以依次进行,
15
超几何分布将 N 个元素分 为 N
1
个和 N
2
个两类,N
1
+ N
2
= N,
从中任取 n 个,其中 N
1
个元素的个数是一随机变量?,服从超几何分布,且有
n
N
kn
N
k
N
C
CC
kP
21
)(?
16
正态分布
服从正态分布,即
~
2
2
2
)(
2
1
)(
x
ex
,
记作? ~ N (?,?
2
),
服从标准正态分布? ~ N (?,? )
性质,如果? ~ N (?,? ),则 a? + b ~ N ( b,a
2
)
17
指数分布
服从指数分布,即
00
0
)(~
x
xe
x
x?
它的分布函数为
01
00
)(
xe
x
xF
x?
18
七,统计量假设? 是总体,E? =?,D? =?
2
,而 ( X
1
,…,X
n
) 是取自总体? 的样本,则 EX
i
=?,DX
i
=?
2
( i =1,…,n )
样本均值
n
i
i
X
n
X
1
1
,
样本方差
n
i
i
XX
n
S
1
22
)(
1
1
样本标准差
2
SS?
n
XDXE
2
,
19
八,最大似然估计对于 n 个样本值 x
1
,x
2
,…,x
n
如总体 ξ 为连续型随机变量,ξ ~ φ ( x ; θ ),则似然函数
n
i
in
xxxxL
1
21
);();,,,(
而如总体 ξ 为离散型随机变量,P ( ξ = x
i
)= p ( x
i; θ ),
则似然函数
n
i
in
xpxxxL
1
21
);();,,,(
20
则解似然方程
0
ln
d
Ld
解得 θ 的最大似然估计值
21
九,区间估计在正态总体下,即总体 ξ ~ N ( μ,σ
2
) 时,
如果 σ
2
为已知,则
)1,0(~ N
n
X
U
,则在给定检验水平 α 时,查正态分布表求 u
α
使
)|(| uUP
,即 2
1)(
0
u
,则置信度为
1? α 的置信区间为
),(
u
n
Xu
n
X
22
如果 σ
2
为未知,则
)1(~?
nt
nS
X
T
,其中 S
为样本方差的开平方 ( 或者说测得的标准差,查
t - 分布表求 t
α
使
)|(| tTP
,则置信度为
1的置信区间为
),(
t
n
S
Xt
n
S
X
,
23
十,假设检验在正态总体下，即总体 ξ ~ N ( μ,σ
2
) 时,
在 σ
2
为已知条件下,检验假设 H
0
,μ = μ
0
,选取统计量 n
X
U
0
0
,则在 H
0
成立的条件下
U ~ N (0,1),对于给定的检验水平 α,查正态分布表确定临界值 u
α
,使
)|(| uUP
,即
2
1)(
0
u
根据样本观察值计算统计量 U 的值 u 与 u
α
比较,如 | u |> u
α
则否定 H
0
,否则接收 H
0
,
24
如 σ
2
为未知,则选取统计量 nS
X
T
0
,在 H
0
假设成立时 T ~ t ( n - 1),对于给定的检验水平 α 和样本容量 n,查 t - 分布表确定临界值 t
α
使
P (| T |> t
α
) = α,根据样本观察值计算统计量 T 的值 t
与 t
α
比较,如 |t |> t
α
则否定 H
0
,否则接收 H
0
,
如果是大样本情况下,t - 分布接近标准正态分布，因此又可以查正态分布表。这时，认为样 本方差可以作为精确的方差使用。
25
需要重点练习的习题和例题：
p5,例 2,p6,例 3,p226,1,2,p27,20.p56:20,p59,
36,37,p77:22,23,p99,1,p28,27,28,30,p56,
16,19,p57,23,p164,2,3,p165,8,11,p184,1,2,
p235,58.
26
普阿松分布
服从普阿松分布,是指其概率函数为
,2,1,0,
!
)(
ke
k
kP
k
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2
复习提纲
3
一，事件的运算如果 A,B,C 为三事件，则 A + B + C 为至少一次发生,
CBA
为至少一次不发生,
AB + BC + AC 和
AB CCABCBABCA
都是至少两次发生,
CABCBABCA
为恰有两次发生,
CBACBACBA
为恰有一次发生,
等等,要善于将语言翻译成事件运算公式以及将公式翻译成语言,
4
二,加法法则与乘法法则如 A 与 B 互不相容,则 P ( A + B )= P ( A )+ P ( B )
P ( AB )= P ( A ) P ( B | A )
而对于任给的 A 与 B 有
P ( A + B )= P ( A )+ P ( B )? P ( AB )
因此,P ( A + B ),P ( A ),P ( B ),P ( AB ) 这四个概率只要知道三个,剩下一个就能够求出来,
而 P ( AB )= P ( A ) P ( B | A ),因此 P ( A + B ),P ( A ),P ( B ),
P ( B | A ) 只要知道三个,剩下的一个就能够求出来,
)()()( ABPAPBAP
也是常用式子
5
三,全概率公式和贝叶斯公式设 A
1
,A
2
,…,构成完备事件组,则任给事件 B 有
i
ii
ABPAPBP )|()()(
( 全概率公式 ),
及
,...)2,1(,
)|()(
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)|(
m
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BAP
i
ii
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( 贝叶斯公式 )
6
其中,最常用的完备事件组,就是一个事件 A 与它的逆
A
,即任给事件 A,B 有
)|()()|()()( ABPAPABPAPBP
)|()()|()(
)|()(
)|(
ABPAPABPAP
ABPAP
BAP
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通常是将试验想象为分为两步做,第一步的结果将导致 A 或者 A 之一发生,而这将影响到第二步的结果的事件 B 是 否发生的概率,如果是已知第一步的各事件概率及第一步各事件发生条件下第二步事件 B 发生的概率,并要求 B 发生的概率,
就用全概率公式,而如果是要求在第二步事件 B
已经发生条件下第一步各事件的概率,就用贝叶斯公式,
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四,随机变量及分布
1,离散型随机变量一元,P ( ξ = x
k
)= p
k
( k =1,2,…),性质,
1?
k
k
p
二元,P { ξ = x
i
,η = y
j
)= p
ij
( i,j=1,2,…)
边缘分布与联合分布的关系,
)2(
)1(
){
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j
i
ijj
i
j
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ppyP
ppxP
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2,连续型随机变量
)(~ x
,
b
a
dxxbaP )()(
,
性质,
1)(?
dxx?
分布函数为
x
dttxPxF )()()(
,且有
)()( xxF
10
如 ξ ~ φ ( x ),η = f ( ξ ),则求 η 的概率密度函数的办法,是先求 η 的分布函数 F
η
( x ),
))(()()( xfPxPxF
,
然后对 F
η
( x ) 求导即得 η 的概率密度函数,
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五,随机变量的数字特征数学期望,
离散型,
1k
kk
pxE?
连续型,
dxxxE )(
性质,E (? +? )= E? +,E ( )= E E
E? a? ) = a E?
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方差,
离散型,先计算
1
22
k
kk
pxE?
,
则
22
)( EED
连续型,先计算
,)(
22
dxxxE
则
22
)( EED
性质,如?,? 相互独立,则 D (? +? )= D? +D?,
D( )= D? + D?
13
协方差和相关系数,
计算两个随机变量? 和? 的协方差 co v (?,? ) 和相关系数? 的关键是计算? (,
离散型,
i j
ijji
pyxE )(
则 cov (?,? )= E ( E (? ) E (? )
DD
),c o v (
14
六,几种常用的分布二项分布
ξ ~ B ( n,p ) 是 指
knkk
n
ppCkP
)1(}{?
,
它描述了贝努里独立试验概型中,事件 A 发生 k
次的概率,试验可以同时进行,也可以依次进行,
15
超几何分布将 N 个元素分 为 N
1
个和 N
2
个两类,N
1
+ N
2
= N,
从中任取 n 个,其中 N
1
个元素的个数是一随机变量?,服从超几何分布,且有
n
N
kn
N
k
N
C
CC
kP
21
)(?
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正态分布
服从正态分布,即
~
2
2
2
)(
2
1
)(
x
ex
,
记作? ~ N (?,?
2
),
服从标准正态分布? ~ N (?,? )
性质,如果? ~ N (?,? ),则 a? + b ~ N ( b,a
2
)
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指数分布
服从指数分布,即
00
0
)(~
x
xe
x
x?
它的分布函数为
01
00
)(
xe
x
xF
x?
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七,统计量假设? 是总体,E? =?,D? =?
2
,而 ( X
1
,…,X
n
) 是取自总体? 的样本,则 EX
i
=?,DX
i
=?
2
( i =1,…,n )
样本均值
n
i
i
X
n
X
1
1
,
样本方差
n
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i
XX
n
S
1
22
)(
1
1
样本标准差
2
SS?
n
XDXE
2
,
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八,最大似然估计对于 n 个样本值 x
1
,x
2
,…,x
n
如总体 ξ 为连续型随机变量,ξ ~ φ ( x ; θ ),则似然函数
n
i
in
xxxxL
1
21
);();,,,(
而如总体 ξ 为离散型随机变量,P ( ξ = x
i
)= p ( x
i; θ ),
则似然函数
n
i
in
xpxxxL
1
21
);();,,,(
20
则解似然方程
0
ln
d
Ld
解得 θ 的最大似然估计值
21
九,区间估计在正态总体下,即总体 ξ ~ N ( μ,σ
2
) 时,
如果 σ
2
为已知,则
)1,0(~ N
n
X
U
,则在给定检验水平 α 时,查正态分布表求 u
α
使
)|(| uUP
,即 2
1)(
0
u
,则置信度为
1? α 的置信区间为
),(
u
n
Xu
n
X
22
如果 σ
2
为未知,则
)1(~?
nt
nS
X
T
,其中 S
为样本方差的开平方 ( 或者说测得的标准差,查
t - 分布表求 t
α
使
)|(| tTP
,则置信度为
1的置信区间为
),(
t
n
S
Xt
n
S
X
,
23
十,假设检验在正态总体下，即总体 ξ ~ N ( μ,σ
2
) 时,
在 σ
2
为已知条件下,检验假设 H
0
,μ = μ
0
,选取统计量 n
X
U
0
0
,则在 H
0
成立的条件下
U ~ N (0,1),对于给定的检验水平 α,查正态分布表确定临界值 u
α
,使
)|(| uUP
,即
2
1)(
0
u
根据样本观察值计算统计量 U 的值 u 与 u
α
比较,如 | u |> u
α
则否定 H
0
,否则接收 H
0
,
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如 σ
2
为未知,则选取统计量 nS
X
T
0
,在 H
0
假设成立时 T ~ t ( n - 1),对于给定的检验水平 α 和样本容量 n,查 t - 分布表确定临界值 t
α
使
P (| T |> t
α
) = α,根据样本观察值计算统计量 T 的值 t
与 t
α
比较,如 |t |> t
α
则否定 H
0
,否则接收 H
0
,
如果是大样本情况下,t - 分布接近标准正态分布，因此又可以查正态分布表。这时，认为样 本方差可以作为精确的方差使用。
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需要重点练习的习题和例题：
p5,例 2,p6,例 3,p226,1,2,p27,20.p56:20,p59,
36,37,p77:22,23,p99,1,p28,27,28,30,p56,
16,19,p57,23,p164,2,3,p165,8,11,p184,1,2,
p235,58.
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普阿松分布
服从普阿松分布,是指其概率函数为
,2,1,0,
!
)(
ke
k
kP
k
