1
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2
协方差的计算在已知两个随机变量 x和 h的联合分布的情况下怎样计算它们的协方差 cov(x,h)呢,这一点书上并没有明讲,
cov(x,h)=E[(x-Ex)(h-Eh)]=
=E[xh-xEh-hEx+ExEh]=
=E(xh)-ExEh-EhEx+ExEh=
=E(xh)-ExEh
即相乘的均值减去均值的相乘,
其中 Ex和 Eh是通过边缘分布计算的,因此关键是如何计算 E(xh).
3
对于离散型随机变量,假设 x,h的概率函数为
P(x=xi,h=yj)=pij,(i,j=1,2,...),则

i j
ijji pyxE )( xh


-

-
d y d xyxxyE ),()(?xh
对于连续型随机变量,假设 x,h的联合概率密度为?(x,y),则
4
例 假设 x,h的联合概率函数如下表所示
x h 0 1/3 1
-1 0 1/12 1/3
0 1/6 0 0
2 5/12 0 0
36
13
0120
3
1
2
12
5
02
0100
3
1
0
6
1
00
3
1
1)1(
12
1
3
1
)1(00)1()(
-

---?xhE
5
而 x与 h的边缘分布及数学期望为,
x -1 0 2
P 5/12 1/6 5/12
h 0 1/3 1
P 7/12 1/12 1/3
432
221
36
13
12
5
36
13
)(),c ov (
36
13
3
1
36
1
,
12
5
12
10
12
5
---?
-?
-?
hxxhhx
hx
EEE
EE则
6
在研究任何连续型随机变量的概率密度函数
(x)的时候,通常可将其表示为?(x)=kf(x)的形式,其中 f(x)表示了?(x)的形状,而系数 k的作用则是为了保证?(x)的性质
1)(
1
)(
)(
1
)(,
1
,)(
,)(,1)(




-

-

-

-
s
s
dxxf
s
dxx
xf
s
x
s
kdxxfs
kxfdxx
则即则假设也可求得系数因此知道了
7
因此我们在研究不同类型的连续型随机变量时,焦点放在它的形状函数 f(x)上
x
f(x)
面积为 s
x
(x)=f(x)/s
面积为 1
8
例如,假如我们知道了一随机变量的概率密度的形状函数为 f(x)=e-lx,(x>0,l>0),我们就已经知道它是服从指数分布了,则?(x)=kf(x),而 k不难求得为
l
l


-
0
1 dxek
x
9
G-分布所谓 G-分布的概率密度函数的形状是这样的,
它在 x?0时取 0值,而在 x>0时为 x的某次方乘上指数函数 e-lx,即它的形状函数 f(x)=xae-lx,
但通常令其中的参数 a=r-1,即 r=a+1,即将 f(x)
写成 f(x)=xr-1e-lx的形式,这虽然只是一个人为的规定,但是有一个好处就是,后面我们将证明,G-分布的数学期望为 l-1r,
方差为 l-2r,且两个 l参数相同的都服从 G-分布的随机变量的和也服从 G-分布,和的分布中的 r参数正好是两个随机变量的 r参数之和,
10
因此,如随机变量 x服从 G-分布,则它的概率密度函数为?(x)= kxr-1e-lx,(x>0)的形式,下面求常数因子 k.
)(
111
1
,
,,
,
1
,
0
1
0
1
1
0
1
rdtetdte
t
s
dtdx
t
x
dxdtxt
s
kdxexs
r
tr
r
t
r
r
xr
G
llll
ll
ll
l






--

-
-
-

--
因此则上面的积分中令则计算积分
11
其中因此,就有定义如下,
定义 4.5 如果连续型随机变量 x具有概率密度函数被称为 -

-- GG
0
1)( dxexr xr
),(~
,0,0
00
0
)()(
1
r
r
x
xex
rx
xr
r
lGx
Gxl
G
l
l
记作分布服从则称其中 -
--
12
G-函数的一个重要性质是 G(r+1)=rG(r),
)(
)1(
,
)1(
0
1
0
0
|
|
rr
dxerxexr
udvuvv du
xv
dxedu
eudxexr
xrxr
b
a
b
a
b
a
r
x
xxr
G
G
G
-
-?
-?



--

-
-
-

-
得利用分部积分公式令则令证
13
G-分布的数学期望
lGl
G
G
GlGl
ll
Gl
l
G
x
l
l
r
r
rr
r
r
dtet
r
xdex
r
dxex
r
dxxxE
tr
xr
xr





-

-

-

-
)(
)(
)1(
)(
1
)(
1
)()(
)(
1
)(
)(
1
)(
0
0
0
14
G-分布的方差
22
2
2
22
222
2
0
1
2
0
12
)1(
)(
)1(
)(
)()1(
)(
)1()1(
)(
)2(
)(
1
)(
lll
xxx
lGl
G
Gl
G
Gl
G
Gl
G
l
x
l
rrrr
EED
rr
r
rrr
r
rr
r
r
dtet
r
dxex
r
E
tr
xr
r
-
-?



-?

-?
15
当 r=1时,
-
00
0
)(
x
xe
x
xll
阶爱尔朗分布这是排队论中常用到的 r
x
xex
rx
xr
r
-?
--
00
0
)!1()(
1 l
l
这是指数分布,
当 r为正整数时,
16
当 r=n/2(n是正整数 ),l=1/2时,
--
00
0
)
2
(2
1
)(
2
1
2
2
x
xex
n
x
xn
n
G
这是具有 n个自由度的?2-分布 (简记作?2(n)),
它是数理统计中最重要的几个常用统计量的分布之一,
如果 x~?2(n),则 Ex=n,Dx=2n.
17
定理 如果 x~G(l,r1),h~G(l,r2)则 x+h~G(l,r1+r2)
证 只要证 x+h的概率密度具有
xrrrrxrr
rrx
x
rrx
xrr
ekxduuuecx
x duxuxxucex
x dudtxutxtu
dttxtce
dttxtx
xex
ll
l
hx
l
hxhx
l

--?----?
---
---

-
-?
-?
-?

-?
-?
1
1
0
111
1
0
11
0
11
212121
21
21
21
)1(
)()()(
,,/
)(
)()()(
.)0(
则令的形状即可
18
推论如果 x1,x2,...,xn相互独立,
且 xi~G(l,ri),(i=1,2,...,n),
则
x1+x2+...+xn~G(l,r1+r2+...+rn)
19
推论 (需要记住 )
如果 x1,x2,...,xm相互独立,
且 xi~?2(ni),(i=1,2,...,m),
则
x1+x2+...+xm~?2(n1+n2+...+nm)
20
正态分布正态分布也叫高斯分布,它取一切实数值为可能值,它的形状是指数上的一个二次多项式,
即正态分布的概率密度函数是形如
.0,)(
.)e x p (
,,,,)(
2
2


-

adxx
cbxax
dcbadex
cbxax
必须收敛如要保证的形式也可将指数写成为常数其中的分布
21
但最常见的是将指数项进行整理
)]2/(1[2
)]
2
([
)
2
(
})
2
(e x p{
}
4
)
2
(e x p{)(
4
)
2
(
)
442
2(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
a
a
b
x
a
b
xa
a
b
xak
a
b
c
a
b
xadx
a
b
c
a
b
xa
c
a
b
a
b
x
a
b
xacbxax
-
--
-

-
-
-
而因此?
22
也就是说,?(x)总能整理成

x?x
22
2
,]
2
)(
e x p[
/1,
,
.]
2
)(
e x p[)(
2
2
2
2
2
2

-
-
-?

-
-?

-
-

-
dtes
x
tdx
x
s
skk
DE
x
kx
t
则令而当然现计算常数眼可以看出整理成这样的好处是一的形式
23
这里用到普阿松积分公式



-?




-

-

-

-

-
--

-
-


|
0
0
2
2
0 0
2
2
2
22
22
2
,
,s i n,c os,
,
,
r
rr
yx
t
e
drer dr deI
r dr d
ryrx
dy dxeI
dteI
则积分元为令作极坐标变换证
24
定义 如果连续型随机变量 x的概率密度为
-
-?
2
2
2
)(
e x p
2
1
)(

x
x
其中?,?为常数,并且?>0,则称 x服从正态分布,简记作 x~N(?,?2).
可以验证 Ex=?,Dx=?2
特别地,当?=0,?=1时,称其为标准正态分布,其概率密度记为?0(x),这时 x~N(0,1).
2
0
2
2
1
)(
x
ex
-
25
验证 Ex=?

x


x



-


-
-

-
-

-
-
-
due
dueuE
dudxux
x
udxe
x
E
u
u
x
2
2
2
)(
2
2
2
2
2
1
)(
2
1
,
,
2
则令
26
验证 Dx=?2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
)(
2
22
22
2
2
|
2
22
,
,
2
)(
x


x
-?
-

-
-


-
-
-
-

-
-
-
-

-
-
-
dueue
udedueuD
dudxux
x
udxe
x
D
uu
uu
x
则令
27
0(x)的图形
2
0
2
2
1
)(
x
ex
-
x
0(x)
0 1-1
28
0(x)除一般概率密度的性质外,还有下列性质
(1)?0(x)有各阶导数
(2)?0(-x)=?0(x),偶函数
(3) 在 (-?,0)内严格上升,在 (0,)严格下降,在
x=0 处达到最大值,
3989.0
2
1
)0(0
(4) 在 x=?1处有两个拐点 ;
(5) x轴是?0(x)的水平渐近线
0)(lim 0?

x
x
29
可用书后附表二查出?0(x)的各个值例 1 x~N(0,1),求?0(1.81),?0(-1),?0(0.57),
0(6.4),?0(0).
解 查书后附表二可得
0(1.81)=0.07754?0(-1)=?0(1)=0.2420
0(0.57)=0.3391?0(6.4)=0
0(0)=0.3989
30
一般正态分布与标准正态分布的关系定理 4.2 如果 x~N(?,?2),h~N(0,1),其概率密度分布记为?(x)和?0(x),分布函数分别记为 F(x)及 F0(x),则
-
-
FF
x
x
x
x
0
0
)()2(
1
)()1(
31
证
-
FF
-
-
F
-


-
-
-?-
-
-
-
-


x
dyyx
t
y
dt
t
dttx
x
e
ex
x
xx
x
x
00
0
0
2
1
2
)(
)()(,
1
)()()2(
1
2
11
2
1
)()1(
2
2
2
令
32
定理 4.3 如果 x~N(?,?2),而 h=(x-?)/?,则
h~N(0,1)
证 为证明 h~N(0,1),只要证明 h的概率密度为
0(x)或分布函数为 F0(x)即可,
Fh(x)=P(h?x)=P((x-?)/x)
=P(xx+?)=F(?x+?)=F0(x)
可以证明,服从正态分布的随机变量 x,它的线性函数 kx+b(k?0)仍服从正态分布,
33
标准正态分布函数表如果 x~N(0,1),则对于大于零的实数 x,F0(x)的值可以由附表三直接查到,而对于小于零的 x
则可通过对称性来求得,
0(x)
0 u
F0(u)
x
34
例 2 x~N(0,1),求 P(x?1.96),P(x?-1.96),
P(|x|?1.96),P(-1<x?2),P(x?5.9).
解 P(x?1.96)=0.975=F0(1.96)
P(x?-1.96)=P(x?1.96)=1-P(x<1.96)
=1-0.975=0.025=1-F0(1.96)
P(|x|?1.96)=P(-1.96?x?1.96)
=F0(1.96)-F0(-1.96)=2F0(1.96)-1=0.95
P(-1<x?2)=F0(2)-F0(-1)=F0(2)-[1-F0(1)]
=0.81855
P(x?5.9)=F0(5.9)=1
35
概括起来,如果 x~N(0,1),则
0)(,5
,0)(,5
)()()(
)0(1)(2)|(|
0)(1
05.0
0)(
)(
0
0
00
0
0
0
-?

-
-
--

xx
xx
abbaP
xxxP
xx
x
xx
xP
F
F
FFx
Fx
F
F
x
时而当时当时当
36
例 3 x~N(8,0.52),求 P(|x-8|<1)及 P(x?10)
解 因为 x~N(8,0.52),所以 (x-8)/0.5~N(0,1)
99996833.068339.0
99996833.0
)4(
5.0
810
)10()10(
9545.01)2(2
2
5.0
8
)1|8(|
4
00
0
表示附表中

-

-?
-
-
FFFx
F
x
x
P
PP
37
例 4 x~N(?,?2),P(x?-5)=0.045,P(x?3)=0.618,
求?及?
4,8.1
3.0
3
7.1
5
618.0
3
)3(
955.0
55
1
045.0
5
)5(
0
00
0

-

-





--

--
-?

Fx
F
F
Fx
解得查表可得解
P
P
38
作业 习题四第 101页
23,24,25,26,27
39
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