1
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2
二元随机变量
3
定义 2.5 如果每次试验的结果对应着一组确定的实数 (x1,x2,…,xn),它们是随试验结果不同而变化的 n个随机变量,并且对任何一组实数
x1,x2,…,xn,事件 "x1?x1,x2?x2,…,xn?xn" 有确定的概率,则称 n个随机变量的整体 (x1,x2,…,xn)
为一个 n元随机变量 (或 n元随机向量 )
定义 2.6 称 n元函数
F(x1,x2,…,xn)=P(x1?x1,x2?x2,…,xn?xn)
(x1,x2,…,xn)?Rn
为 n元随机变量的分布函数,
4
注意事件 "x1?x1,x2?x2,…,xn?xn"表示 n个事件
{x1?x1},{x2?x2},…,{ xn?xn}的交事件,即
{x1?x1}?{x2?x2}?…?{xn?xn}
如前所述,n个事件的交事件通常不好计算,要利用乘法法则来进行计算,即利用公式
P(A1A2… An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…
… P(An|A1A2… An-1)
5
(一 )离散型
1,联合分布定义 2.7 如果二元随机变量 (x,h)所有可能取的数对为有限或可列个,并且以确定的概率取各个不同的数对,则称 (x,h)为二元离散型随机变量,
6
为了直观,可以把 (x,h)所有的可能取值及相应概率列成表,称为 (x,h)的联合概率分布表
x h y1 y2 … yj …
x1 p11 p12 … p1j …
x2 p21 p22 … p2j …
… … … … … …
xi pi1 pi2 … pij …
… … … … … …
7
也可以用一系列等式来表示二元离散型随机变量 (x,h)的联合概率分布,
P{x=xi,h=yj}=pij (i,j=1,2,…)
这都被称作 x与 h的联合分布律,具有性质,
=
i j
ij
ij
p
p
1)2(
0)1(
8
例 1 同一品种的 5个产品中,有 2个正品,每次从中取 1个检验质量,不放回地抽取,连续 2次,
记 "xk=0"表示第 k次取到正品,而 "xk=1"为第 k
次取到次品 (k=1,2),写出 (x1,x2)的联合分布律,
9
解 按乘法公式有
3.0
4
2
5
3
}1,1{
3.0
4
2
5
3
}0,1{
3.0
4
3
5
2
}1,0{
1.0
4
1
5
2
}0|0{}0{
}0,0{
21
21
21
121
21
=?===
=?===
=?===
=?====
===
xx
xx
xx
xxx
xx
P
P
P
PP
P
10
列成概率分布表为
x2
x1
0 1
0 0.1 0.3
1 0.3 0.3
11
边缘分布与联合分布的关系二元随机变量 (x,h)中,分量 x(或 h)的概率分布称为 (x,h)的关于 x(或 h)的边缘分布,如果已知 (x,h)的联合分布为
P{x=xi,h=yj}=pij (i,j=1,2,…)
则
,...)2,1(
),()(
,...)2,1(
),()(
)2(
)1(
=
======
=
======
j
ppyxPyP
i
ppyxPxP
j
i
ij
i
jij
i
j
ij
j
jii
hxx
hxx
12
例 1 的边缘分布的计算
x1
x2 0 1 p
i(1)
0 0.1 0.3 0.4
1 0.3 0.3 0.6
pj(2) 0.4 0.6
即 P{x1=0}=0.4 P{x1=1}=0.6
P{x2=0}=0.4 P{x2=1}=0.6考虑到 5个产品中有两个正品三个次品,当然一次取到正品的概率为 0.4,取到次品的概率为 0.6
13
例 2
将两封信随机地往编号为 1,2,3,4的 4个邮筒内投,xi表示第 i个邮筒内信的数目 (i=1,2),写出
(x1,x2)的联合分布及 (x1,x2)中关于 x1的边缘分布
14
解 试验共有 42=16种不同的等可能结果
0
16
1
16
2
16
4
16
4
16
22
}1,0{
16
4
}0,0{
2221122002
110110
2101
2100
=====
===
=
====
====
ppppp
ppp
Pp
Pp
xx
xx
15
计算结果列于下表并计算 x1的边缘分布
x1 x2 0 1 2 pi(1)
0 4/16 4/16 1/16 9/16
1 4/16 2/16 0 6/16
2 1/16 0 0 1/16
上表计算出的 x1的边缘分布可列成下表
x1 0 1 2
P 9/16 6/16 1/16
16
条件分布 对于二元离散型随机变量 (x,h),如果 P{h=yj}>0,称 pij/pj(2)(i=1,2,…) 为在 h=yj条件下关于 x的条件分布,记为
,.,,)2,1(}|{ )1( ==== j
p
p
xyP
i
ij
ij xh
,...)2,1(}|{ )2( ==== i
p
p
yxP
j
ij
ji hx
显然 P{x=xi|h=yj}是非负的,并且对于所有的 i,
它们的和为 1,同样地,若 pi(1)>0,称为在 x=xi条件下关于 h的分布,
17
求例 1的各个条件分布
x2 x1 0 1
0 0.1 0.3
1 0.3 0.3
P{x1=0|x2=0}=1/4,P{x1=1|x2=0}=3/4
P{x1=0|x2=1}=1/2,P{x1=1|x2=1}=1/2
P{x2=0|x1=0}=1/4,P{x2=1|x1=0}=3/4
P{x2=0|x1=1}=1/2,P{x2=1|x1=1}=1/2
18
例 3 求出例 2在 x2=1条件下 x1的分布
x1 x2 0 1 2
0 4/16 4/16 1/16
1 4/16 2/16 0
2 1/16 0 0
x1 0 1
P{x1|x2=1) 2/3 1/3
19
例 4某射手在射击中,每次都击中目标的概率为 p(0<p<1),射击进行到第二次击中目标为止,
x1,x2表示第 1,2次击中目标时所进行的射击次数,求 x1和 x2的联合分布以及它们的条件分布,
解 令 q=1-p,事件 "x1=i,x2=j"表示第 i次及第 j次击中了目标 (1?i<j),而其余 j-2次都没有击中目标,已知各次射击是相互独立的,所以
pij=P{x1=i,x2=j}=p2qj-2 (i=1,2,…,1?i<j )
20
列成表为
x1
x2 1 2 3 4 5 …
1 0 p2 p2q p2q2 p2q3 …
2 0 0 p2q p2q2 p2q3 …
3 0 0 0 p2q2 p2q3 …
4 0 0 0 0 p2q3 …
5 0 0 0 0 0 …
… … … … … … …
21
边缘分布为,
,...)2,1(
)(
1
1
22
1
1
)1(
=
=====
-
=
-
=
i
pqqppiPp
i
ij
j
ij
iji
x
,...)3,2(
)1()( 22
1
1
22
1
1
2
)2(
=
-===== -
-
=
-
-
=
j
qpjqppjPp j
j
i
j
j
i
ijj x
这是第一次击中次数为第 i次射击的概率分布,
可见它是服从几何分布,
22
对于任意大于 1的正整数 j=2,3,…,有 pj(2)>0,
因此关于 x1的条件分布为
)1,...,2,1(
1
1
)1(
}|{
22
22
)2(21
-=
-
=
-
====
-
-
ji
jqpj
qp
p
p
jiP
j
j
j
ij
xx
,...)2,1(
}|{
1
12
22
)1(12
=
=====
--
-
-
iij
pq
qp
qp
p
p
ijP
ij
i
j
i
ij
xx
即在第二次命中是在第 j次射击的条件下,第一次命中是在前 j-1次射击中等可能的离散均匀分布,同样可得关于 x2的条件分布为,
23
连续型 二元连续型随机变量是用联合概率密度函数 j(x,y)来描述的,它具有性质
1),()2(
0),(,,)1(
=
-
-
d x d yyx
yxyx
j
j对任意实数
=?
S
d x d yyxSP ),(}),{( j?x
因此对于平面上任何可积区域 S,(x,h)落在此区域内的概率是 j(x,y)在 S上的二重积分,即
24
二元概率密度函数 j(x,y)从图形上看是在 xoy
平面上方的一个曲面,包围着下方的体积为 1.
25
显然,对任意实数 a<b及 c<d,有
=
b
a
d
c
d y d xyxdcbaP ),(},{ jhx
-?-
=
x y
dt dstsyxF ),(),( j
(x,h)的分布函数 F(x,y)也可由下式求出,
26
(x,h)关于 x及 h的边缘分布函数可按下式求出
-?-
-?-
=
-?=?=
=
-=?=
dstsdt
yxPyPyF
dttsds
xPxPxF
y
x
),(
},{}{)(
),(
},{}{)(
j
hh
j
hxx
h
x
27
若记
-
-
=
==
x
dssxF
dyyxxx
)()(
),()()(
1
1
j
jjj
h
x
则
-
== dxyxyy ),()()(2 jjj h
称 j1(x)或 jx(y)是 (x,h)中关于 x的边缘概率密度,同样地记则称 j2(y)或 jh(y)是 (x,h)中关于 h的边缘概率密度,
28
条件概率密度,首先计算 c?h<c+?条件下
a?x<b的条件概率,其中?是一个非常小的数,
==?
=
-
-
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
b
a
dx
c
cx
c
dxcx
cxdx
cxdx
dyyxdx
dyyxdx
ccbaP
)(
),(
)(
),(
),(
),(
),(
),(
}|{
22
j
j
j
j
j
j
j
j
hx
当0时上面的等式严格成立
29
若 j2(y)>0,称
)(
),(
)|(
2 y
yx
yx
j
j
j =
)(
),(
)|(
1 x
yx
xy
j
j
j =
为在 h = y条件下,关于 x的条件概率密度称为在 x=x条件下,关于 h的条件概率密度
30
随机变量的独立性两个随机变量 x和 h是相互独立的,是指的其中一个变量取任意值的事件和另一个变量取任意值的事件总是相互独立的,
严格的定义为,
定义 2.9 对于任何实数 x,y,如果二元随机变量
(x,h)的联合分布函数 F(x,y)等于 x和 h的边缘分布函数的乘积,即
F(x,y)=Fx(x)Fh(y)
则称随机变量 x与 h相互独立,
31
离散型 x与 h相互独立的充要条件是对一切
i,j=1,2,…
pij=pi(1)pj(2)
例 如果 x取值 1,2,3的概率为 0.2,0.5,0.3,而 h
取值 1,2的概率为 0.6,0.4,x与 h相互独立,则它们的联合概率分布如下表所示,
x h 1 2 3
1 0.12 0.3 0.18
2 0.08 0.2 0.12
32
在给定离散型随机变量的概率分布表的情况下如果要判定其不独立往往容易,只要任找一个
pij不等于边缘概率 pi(1)和 pj(2)的乘积就可断定其不独立,经常的快捷办法就是,只要发现联合概率分布表中有 0存在,就基本可以认为这两个随机变量不独立了,
而如果要判定其独立,则需要验证每一个 pij是否为各个边缘概率的乘积,
33
连续型如 x和 h为连续型随机变量,则它们相互独立的充分必要条件为,对任何实数 x,y
j(x,y)=j1(x)j2(y)=jx(x)jh(y)
当一个二元函数 f(x,y)可写成两个单变量的函数乘积 f(x,y)=g(x)h(y)时,称其为可分离变量的,不难证明如果 x和 h的联合概率密度
j(x,y)可分离变量的,它们就是相互独立的,
反之亦然,
34
例 5 本节例 2的两个随机变量 x1和 x2是否相互独立?
x1 x2 0 1 2
0 4/16 4/16 1/16
1 4/16 2/16 0
2 1/16 0 0
解 p22=0?p2(1)p2(2)=(1/16)(1/16)
因此 x1和 x2不独立,
35
例 6 两个随机变量 x1与 x2相互独立,其概率密度为
)2,1(
2
1
)(
2
2
1
==
-
-
iex i
iix
i
ii
j
-
-
-
=
2
2
22
2
1
11
2
1
21
21
2
1
),(
j
xx
exx
求它们的联合概率密度,
解,
36
作业 习题二第 56页开始第 20,22,26,28
A组交作业
37
请提问
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2
二元随机变量
3
定义 2.5 如果每次试验的结果对应着一组确定的实数 (x1,x2,…,xn),它们是随试验结果不同而变化的 n个随机变量,并且对任何一组实数
x1,x2,…,xn,事件 "x1?x1,x2?x2,…,xn?xn" 有确定的概率,则称 n个随机变量的整体 (x1,x2,…,xn)
为一个 n元随机变量 (或 n元随机向量 )
定义 2.6 称 n元函数
F(x1,x2,…,xn)=P(x1?x1,x2?x2,…,xn?xn)
(x1,x2,…,xn)?Rn
为 n元随机变量的分布函数,
4
注意事件 "x1?x1,x2?x2,…,xn?xn"表示 n个事件
{x1?x1},{x2?x2},…,{ xn?xn}的交事件,即
{x1?x1}?{x2?x2}?…?{xn?xn}
如前所述,n个事件的交事件通常不好计算,要利用乘法法则来进行计算,即利用公式
P(A1A2… An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…
… P(An|A1A2… An-1)
5
(一 )离散型
1,联合分布定义 2.7 如果二元随机变量 (x,h)所有可能取的数对为有限或可列个,并且以确定的概率取各个不同的数对,则称 (x,h)为二元离散型随机变量,
6
为了直观,可以把 (x,h)所有的可能取值及相应概率列成表,称为 (x,h)的联合概率分布表
x h y1 y2 … yj …
x1 p11 p12 … p1j …
x2 p21 p22 … p2j …
… … … … … …
xi pi1 pi2 … pij …
… … … … … …
7
也可以用一系列等式来表示二元离散型随机变量 (x,h)的联合概率分布,
P{x=xi,h=yj}=pij (i,j=1,2,…)
这都被称作 x与 h的联合分布律,具有性质,
=
i j
ij
ij
p
p
1)2(
0)1(
8
例 1 同一品种的 5个产品中,有 2个正品,每次从中取 1个检验质量,不放回地抽取,连续 2次,
记 "xk=0"表示第 k次取到正品,而 "xk=1"为第 k
次取到次品 (k=1,2),写出 (x1,x2)的联合分布律,
9
解 按乘法公式有
3.0
4
2
5
3
}1,1{
3.0
4
2
5
3
}0,1{
3.0
4
3
5
2
}1,0{
1.0
4
1
5
2
}0|0{}0{
}0,0{
21
21
21
121
21
=?===
=?===
=?===
=?====
===
xx
xx
xx
xxx
xx
P
P
P
PP
P
10
列成概率分布表为
x2
x1
0 1
0 0.1 0.3
1 0.3 0.3
11
边缘分布与联合分布的关系二元随机变量 (x,h)中,分量 x(或 h)的概率分布称为 (x,h)的关于 x(或 h)的边缘分布,如果已知 (x,h)的联合分布为
P{x=xi,h=yj}=pij (i,j=1,2,…)
则
,...)2,1(
),()(
,...)2,1(
),()(
)2(
)1(
=
======
=
======
j
ppyxPyP
i
ppyxPxP
j
i
ij
i
jij
i
j
ij
j
jii
hxx
hxx
12
例 1 的边缘分布的计算
x1
x2 0 1 p
i(1)
0 0.1 0.3 0.4
1 0.3 0.3 0.6
pj(2) 0.4 0.6
即 P{x1=0}=0.4 P{x1=1}=0.6
P{x2=0}=0.4 P{x2=1}=0.6考虑到 5个产品中有两个正品三个次品,当然一次取到正品的概率为 0.4,取到次品的概率为 0.6
13
例 2
将两封信随机地往编号为 1,2,3,4的 4个邮筒内投,xi表示第 i个邮筒内信的数目 (i=1,2),写出
(x1,x2)的联合分布及 (x1,x2)中关于 x1的边缘分布
14
解 试验共有 42=16种不同的等可能结果
0
16
1
16
2
16
4
16
4
16
22
}1,0{
16
4
}0,0{
2221122002
110110
2101
2100
=====
===
=
====
====
ppppp
ppp
Pp
Pp
xx
xx
15
计算结果列于下表并计算 x1的边缘分布
x1 x2 0 1 2 pi(1)
0 4/16 4/16 1/16 9/16
1 4/16 2/16 0 6/16
2 1/16 0 0 1/16
上表计算出的 x1的边缘分布可列成下表
x1 0 1 2
P 9/16 6/16 1/16
16
条件分布 对于二元离散型随机变量 (x,h),如果 P{h=yj}>0,称 pij/pj(2)(i=1,2,…) 为在 h=yj条件下关于 x的条件分布,记为
,.,,)2,1(}|{ )1( ==== j
p
p
xyP
i
ij
ij xh
,...)2,1(}|{ )2( ==== i
p
p
yxP
j
ij
ji hx
显然 P{x=xi|h=yj}是非负的,并且对于所有的 i,
它们的和为 1,同样地,若 pi(1)>0,称为在 x=xi条件下关于 h的分布,
17
求例 1的各个条件分布
x2 x1 0 1
0 0.1 0.3
1 0.3 0.3
P{x1=0|x2=0}=1/4,P{x1=1|x2=0}=3/4
P{x1=0|x2=1}=1/2,P{x1=1|x2=1}=1/2
P{x2=0|x1=0}=1/4,P{x2=1|x1=0}=3/4
P{x2=0|x1=1}=1/2,P{x2=1|x1=1}=1/2
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例 3 求出例 2在 x2=1条件下 x1的分布
x1 x2 0 1 2
0 4/16 4/16 1/16
1 4/16 2/16 0
2 1/16 0 0
x1 0 1
P{x1|x2=1) 2/3 1/3
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例 4某射手在射击中,每次都击中目标的概率为 p(0<p<1),射击进行到第二次击中目标为止,
x1,x2表示第 1,2次击中目标时所进行的射击次数,求 x1和 x2的联合分布以及它们的条件分布,
解 令 q=1-p,事件 "x1=i,x2=j"表示第 i次及第 j次击中了目标 (1?i<j),而其余 j-2次都没有击中目标,已知各次射击是相互独立的,所以
pij=P{x1=i,x2=j}=p2qj-2 (i=1,2,…,1?i<j )
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列成表为
x1
x2 1 2 3 4 5 …
1 0 p2 p2q p2q2 p2q3 …
2 0 0 p2q p2q2 p2q3 …
3 0 0 0 p2q2 p2q3 …
4 0 0 0 0 p2q3 …
5 0 0 0 0 0 …
… … … … … … …
21
边缘分布为,
,...)2,1(
)(
1
1
22
1
1
)1(
=
=====
-
=
-
=
i
pqqppiPp
i
ij
j
ij
iji
x
,...)3,2(
)1()( 22
1
1
22
1
1
2
)2(
=
-===== -
-
=
-
-
=
j
qpjqppjPp j
j
i
j
j
i
ijj x
这是第一次击中次数为第 i次射击的概率分布,
可见它是服从几何分布,
22
对于任意大于 1的正整数 j=2,3,…,有 pj(2)>0,
因此关于 x1的条件分布为
)1,...,2,1(
1
1
)1(
}|{
22
22
)2(21
-=
-
=
-
====
-
-
ji
jqpj
qp
p
p
jiP
j
j
j
ij
xx
,...)2,1(
}|{
1
12
22
)1(12
=
=====
--
-
-
iij
pq
qp
qp
p
p
ijP
ij
i
j
i
ij
xx
即在第二次命中是在第 j次射击的条件下,第一次命中是在前 j-1次射击中等可能的离散均匀分布,同样可得关于 x2的条件分布为,
23
连续型 二元连续型随机变量是用联合概率密度函数 j(x,y)来描述的,它具有性质
1),()2(
0),(,,)1(
=
-
-
d x d yyx
yxyx
j
j对任意实数
=?
S
d x d yyxSP ),(}),{( j?x
因此对于平面上任何可积区域 S,(x,h)落在此区域内的概率是 j(x,y)在 S上的二重积分,即
24
二元概率密度函数 j(x,y)从图形上看是在 xoy
平面上方的一个曲面,包围着下方的体积为 1.
25
显然,对任意实数 a<b及 c<d,有
=
b
a
d
c
d y d xyxdcbaP ),(},{ jhx
-?-
=
x y
dt dstsyxF ),(),( j
(x,h)的分布函数 F(x,y)也可由下式求出,
26
(x,h)关于 x及 h的边缘分布函数可按下式求出
-?-
-?-
=
-?=?=
=
-=?=
dstsdt
yxPyPyF
dttsds
xPxPxF
y
x
),(
},{}{)(
),(
},{}{)(
j
hh
j
hxx
h
x
27
若记
-
-
=
==
x
dssxF
dyyxxx
)()(
),()()(
1
1
j
jjj
h
x
则
-
== dxyxyy ),()()(2 jjj h
称 j1(x)或 jx(y)是 (x,h)中关于 x的边缘概率密度,同样地记则称 j2(y)或 jh(y)是 (x,h)中关于 h的边缘概率密度,
28
条件概率密度,首先计算 c?h<c+?条件下
a?x<b的条件概率,其中?是一个非常小的数,
==?
=
-
-
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
b
a
dx
c
cx
c
dxcx
cxdx
cxdx
dyyxdx
dyyxdx
ccbaP
)(
),(
)(
),(
),(
),(
),(
),(
}|{
22
j
j
j
j
j
j
j
j
hx
当0时上面的等式严格成立
29
若 j2(y)>0,称
)(
),(
)|(
2 y
yx
yx
j
j
j =
)(
),(
)|(
1 x
yx
xy
j
j
j =
为在 h = y条件下,关于 x的条件概率密度称为在 x=x条件下,关于 h的条件概率密度
30
随机变量的独立性两个随机变量 x和 h是相互独立的,是指的其中一个变量取任意值的事件和另一个变量取任意值的事件总是相互独立的,
严格的定义为,
定义 2.9 对于任何实数 x,y,如果二元随机变量
(x,h)的联合分布函数 F(x,y)等于 x和 h的边缘分布函数的乘积,即
F(x,y)=Fx(x)Fh(y)
则称随机变量 x与 h相互独立,
31
离散型 x与 h相互独立的充要条件是对一切
i,j=1,2,…
pij=pi(1)pj(2)
例 如果 x取值 1,2,3的概率为 0.2,0.5,0.3,而 h
取值 1,2的概率为 0.6,0.4,x与 h相互独立,则它们的联合概率分布如下表所示,
x h 1 2 3
1 0.12 0.3 0.18
2 0.08 0.2 0.12
32
在给定离散型随机变量的概率分布表的情况下如果要判定其不独立往往容易,只要任找一个
pij不等于边缘概率 pi(1)和 pj(2)的乘积就可断定其不独立,经常的快捷办法就是,只要发现联合概率分布表中有 0存在,就基本可以认为这两个随机变量不独立了,
而如果要判定其独立,则需要验证每一个 pij是否为各个边缘概率的乘积,
33
连续型如 x和 h为连续型随机变量,则它们相互独立的充分必要条件为,对任何实数 x,y
j(x,y)=j1(x)j2(y)=jx(x)jh(y)
当一个二元函数 f(x,y)可写成两个单变量的函数乘积 f(x,y)=g(x)h(y)时,称其为可分离变量的,不难证明如果 x和 h的联合概率密度
j(x,y)可分离变量的,它们就是相互独立的,
反之亦然,
34
例 5 本节例 2的两个随机变量 x1和 x2是否相互独立?
x1 x2 0 1 2
0 4/16 4/16 1/16
1 4/16 2/16 0
2 1/16 0 0
解 p22=0?p2(1)p2(2)=(1/16)(1/16)
因此 x1和 x2不独立,
35
例 6 两个随机变量 x1与 x2相互独立,其概率密度为
)2,1(
2
1
)(
2
2
1
==
-
-
iex i
iix
i
ii
j
-
-
-
=
2
2
22
2
1
11
2
1
21
21
2
1
),(
j
xx
exx
求它们的联合概率密度,
解,
36
作业 习题二第 56页开始第 20,22,26,28
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37
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