1
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2
随机变量函数的分布
3
随机变量的函数的分布我们常常遇到一些随机变量,它们的分布往往难于直接得到 (如滚珠体积的测量值等 ),但是与它们有关系的另一些随机变量,其分布却是容易知道的 (如滚珠直径的测量值 ),因此,要研究随机变量之间的关系,从而通过它们之间的关系,由已知的随机变量的分布求出与之有关的另一个随机变量的分布,
4
定义 2.10
设 f(x)是定义在随机变量 x的一切可能值 x的集合上的函数,如果对于 x的每一可能取值 x,有另一个随机变量 h的相应取值 y=f(x),则称 h为 x
的函数,记作 h=f(x).
我们的任务是,如何根据 x的分布求出 h的分布,
或由 (x1,x2,…,xn)的分布求出 h=f(x1,x2,…,xn)的分布,
5
(一 ) 离散型随机变量函数的分布如果相应的函数 f(x)在给定的试验范围内是单调函数或者存在反函数,则 h=f(x)的分布是很容易从 x的分布中求出来的,即当 P(x=xi)=pi时,
P(h=f(xi))=pi,i=1,2,…
6
例 1 测量一个正方形的边长,其结果是一个随机变量 x(为简便起见把它看成是离散型的 ),x的分布如下表所示,求周长 h和面积 z
的分布律,
x 9 10 11 12
P 0.2 0.3 0.4 0.1
7
解,根据题意知 h和 z都是 x的函数,
h=4x,z=x2,因此而计算出如下的结果
x 9 10 11 12
P 0.2 0.3 0.4 0.1
z 81 100 121 144
P 0.2 0.3 0.4 0.1
h 36 40 44 48
P 0.2 0.3 0.4 0.1
8
例 2 x的分布如下表所示,求 x2的分布
x -1 0 1 1.5 3
P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1
解 此题与上题的不同在于 x存在着取负数的可能,而 -1的平方与 1的相同,因此,{x2=1}的事件是 {x=1}和 {x=-1}两个互斥事件的和,则
P{x2=1}=P{x=1}+P{x=-1},最后结果如下表,
x2 0 1 2.25 9
P 0.1 0.5 0.3 0.1
9
例 3 一个仪器的长度由两个主要部件构成,其总长度为此二部件之和,这两个部件的长度 x
和 h为两个相互独立的随机变量,其分布律如下二表所示,求此仪器长度的分布律,
x 9 10 11
P 0.3 0.5 0.2
h 6 7
P 0.4 0.6
10
解 设仪器的总长度为 z,x,h的可能取值的数对及概率与相应的和如下面的表所示
x 9 10 11
P 0.3 0.5 0.2
h 6 7
P 0.4 0.6
x 9 9 10 10 11 11
h 6 7 6 7 6 7
z=x+h 15 16 16 17 17 18
P 0.12 0.18 0.2 0.3 0.08 0.12
11
由此可计算出 z的分布率如下表所示,
x 9 9 10 10 11 11
h 6 7 6 7 6 7
z=x+h 15 16 16 17 17 18
P 0.12 0.18 0.2 0.3 0.08 0.12
z 15 16 17 18
P 0.12 0.38 0.38 0.12
12
例 4 求 § 2.3例 2中两个邮筒内信的数目之和
x1+x2的分布律,
解 x1和 x2的联合分布律如下表所示
x1 x2 0 1 2
0 4/16 4/16 1/16
1 4/16 2/16 0
2 1/16 0 0
13
按斜线计算,
x1 x2 0 1 2
0 4/16 4/16 1/16
1 4/16 2/16 0
2 1/16 0 0
x1+x2=0 x1+x2=1
x1+x2=2
x1+x2=3
x1+x2=4
x1+x2 0 1 2
P 1/4 1/2 1/4
14
用斜线法计算 x1-x2的分布
x1 x2 0 1 2
0 4/16 4/16 1/16
1 4/16 2/16 0
2 1/16 0 0
x1-x2=-2x1-x2=-1x1-x2=0
x1-x2=1
x1-x2=2
x1-x2 -2 -1 0 1 2
P 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
15
(二 )连续型例 5 已知 x的概率密度是 jx (x),h=4x-1,求 h
的概率密度 jh(x).
解 首先求 h的分布函数 Fh(x),依题意,有
=
=
-=?=
4
1
4
1
}14{}{)(
x
F
x
P
xPxPxF
x
h
x
xh
其中 Fx(x)为 x的 分布 函数,然后对上式两边求导即得 x和 h的概率密度函数的关系,
16
对
=
=
4
1
4
1
)(
4
1
)(
x
x
x
FxF
xh
xh
jj
两边求导得
17
例 6 设随机变量 x的分布函数为 Fx(x),求 x2的分布函数,
解,
)()()(
)()(
)()()(
,0
0)()(,0
2
2
2
2
xPxFxF
xPxxP
xxPxPxF
x
xPxFx
-=?--=
-=-=
-=?=
=?=?
x
xx
xx
x
xx
x
x
设时当
18
特别地,如果 x是具有概率密度为 jx(x)的连续型随机变量,
-?
=
=-=
00
0
2
)()(
)(
,0)(
2
2
x
x
x
xx
x
xP
xx
x
jj
j
xx 的概率密度为则
19
例 7 和的分布,已知 (x,h)的联合概率密度是
j(t1,t2),z=x+h,求 z的概率密度 jz(x).
解 先求 z的分布函数,再求其概率密度,
-?-
-
-
=
-
-
-
-=
-=
=
=?=
111
111
2211
2121
),(
),(
),(
),()()(
21
1
21
dttutdu
dututdt
dtttdt
dtdtttxPxF
x
x
ttu
tx
xtt
j
j
j
jz
z
20
由概率密度函数的定义可知 z的概率密度函数为
-
-=
111
),()( dttxtx jj
z
-
-= dttxtx )()()(
hxz
jjj
若 x与 h相互独立,则有
21
当固定一 x时,t1+t2?x积分区域的示意图
t1
t2
t1+t2=x
22
在数学上,给定两个函数 g(x)和 h(x),称函数
-
-= dttxhtgxf )()()(
为函数 g(x)和 h(x)的卷积,
记作 f(x)=g(x)*h(x),
卷积也具有某些 "乘法 "的性质,如满足交换律和结合律等等,
因此我们知道两个相互独立的连续型随机变量 x和 h相加得到的随机变量 z=x+h的概率密度是 x和 h的概率密度之卷积,
23
例 随机变量 x和 h相互独立,且概率密度都由下式表示,
==
-
00
0
)()(
x
xe
xx
x
hx
jj
求 x+h的概率密度,
解,因为 x和 h都只取正值,因此 x+h也只取正值,即当 x?0时,jx+h(x)=0,而当 x>0时,它们的和的概率密度为 (接后页 )
24
当 x>0时,
=
==
=-=
-
--
--
-
00
0
)(
)()()(
0
0
x
xxe
x
xedte
dteedttxtx
x
x
x
x
x
xtt
hx
hxhx
j
jjj
因此最后得
25
例 假设 n个随机变量 x1,x2,...,xn相互独立且它们都有相同的概率密度函数为试证它们的和 x1+x2+...+xn的概率密度函数为
),...,2,1(
00
0
)(
1
ni
x
xe
x
x
=
=
-
j
-=
--
00
0
)!1(
1
)(
1
x
xex
nx
xn
n
j
26
证,用归纳法,当 n=2时,由前例已知命题成立,
假设当 n=k-1时,命题成立,即
-=
--
-
00
0
2
1
)(
2
1
x
xex
kx
xk
k
j
则 k个相互独立的随机变量相加的概率密度为
jk-1(x)*j1(x),
27
即有,当 x<0时,jk(x)=0,当 x?0时证毕
xk
x
kx
x
xttk
kk
ex
k
dtte
k
dteet
k
dttxtx
----
---
-
-
-
=
-
=
-
=
=-=
1
0
2
0
2
11
)!1(
1
)!2(
1
)!2(
1
)()()( jjj
28
进一步讨论,由于
)!1()(,
,)(,
,
)!1(,1
)!1(
1
,1)(
00
0
)!1(
1
)(
0
1
0
1
0
1
0
1
1
-=
=-
-==
-
=
-
=
--
--
--
--
-
--
nnn
dxexr
rdxex
ndxexdxex
n
dxx
x
xex
n
x
xr
xr
xnxn
n
xn
n
jj
为正整数时因此可知当即函数称其为的函数时看作是而在数学上将广义积分即易得及性质
29
请提问
30
作业 习题二第 58页开始第 30,31,36,37题
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随机变量函数的分布
3
随机变量的函数的分布我们常常遇到一些随机变量,它们的分布往往难于直接得到 (如滚珠体积的测量值等 ),但是与它们有关系的另一些随机变量,其分布却是容易知道的 (如滚珠直径的测量值 ),因此,要研究随机变量之间的关系,从而通过它们之间的关系,由已知的随机变量的分布求出与之有关的另一个随机变量的分布,
4
定义 2.10
设 f(x)是定义在随机变量 x的一切可能值 x的集合上的函数,如果对于 x的每一可能取值 x,有另一个随机变量 h的相应取值 y=f(x),则称 h为 x
的函数,记作 h=f(x).
我们的任务是,如何根据 x的分布求出 h的分布,
或由 (x1,x2,…,xn)的分布求出 h=f(x1,x2,…,xn)的分布,
5
(一 ) 离散型随机变量函数的分布如果相应的函数 f(x)在给定的试验范围内是单调函数或者存在反函数,则 h=f(x)的分布是很容易从 x的分布中求出来的,即当 P(x=xi)=pi时,
P(h=f(xi))=pi,i=1,2,…
6
例 1 测量一个正方形的边长,其结果是一个随机变量 x(为简便起见把它看成是离散型的 ),x的分布如下表所示,求周长 h和面积 z
的分布律,
x 9 10 11 12
P 0.2 0.3 0.4 0.1
7
解,根据题意知 h和 z都是 x的函数,
h=4x,z=x2,因此而计算出如下的结果
x 9 10 11 12
P 0.2 0.3 0.4 0.1
z 81 100 121 144
P 0.2 0.3 0.4 0.1
h 36 40 44 48
P 0.2 0.3 0.4 0.1
8
例 2 x的分布如下表所示,求 x2的分布
x -1 0 1 1.5 3
P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1
解 此题与上题的不同在于 x存在着取负数的可能,而 -1的平方与 1的相同,因此,{x2=1}的事件是 {x=1}和 {x=-1}两个互斥事件的和,则
P{x2=1}=P{x=1}+P{x=-1},最后结果如下表,
x2 0 1 2.25 9
P 0.1 0.5 0.3 0.1
9
例 3 一个仪器的长度由两个主要部件构成,其总长度为此二部件之和,这两个部件的长度 x
和 h为两个相互独立的随机变量,其分布律如下二表所示,求此仪器长度的分布律,
x 9 10 11
P 0.3 0.5 0.2
h 6 7
P 0.4 0.6
10
解 设仪器的总长度为 z,x,h的可能取值的数对及概率与相应的和如下面的表所示
x 9 10 11
P 0.3 0.5 0.2
h 6 7
P 0.4 0.6
x 9 9 10 10 11 11
h 6 7 6 7 6 7
z=x+h 15 16 16 17 17 18
P 0.12 0.18 0.2 0.3 0.08 0.12
11
由此可计算出 z的分布率如下表所示,
x 9 9 10 10 11 11
h 6 7 6 7 6 7
z=x+h 15 16 16 17 17 18
P 0.12 0.18 0.2 0.3 0.08 0.12
z 15 16 17 18
P 0.12 0.38 0.38 0.12
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例 4 求 § 2.3例 2中两个邮筒内信的数目之和
x1+x2的分布律,
解 x1和 x2的联合分布律如下表所示
x1 x2 0 1 2
0 4/16 4/16 1/16
1 4/16 2/16 0
2 1/16 0 0
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按斜线计算,
x1 x2 0 1 2
0 4/16 4/16 1/16
1 4/16 2/16 0
2 1/16 0 0
x1+x2=0 x1+x2=1
x1+x2=2
x1+x2=3
x1+x2=4
x1+x2 0 1 2
P 1/4 1/2 1/4
14
用斜线法计算 x1-x2的分布
x1 x2 0 1 2
0 4/16 4/16 1/16
1 4/16 2/16 0
2 1/16 0 0
x1-x2=-2x1-x2=-1x1-x2=0
x1-x2=1
x1-x2=2
x1-x2 -2 -1 0 1 2
P 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
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(二 )连续型例 5 已知 x的概率密度是 jx (x),h=4x-1,求 h
的概率密度 jh(x).
解 首先求 h的分布函数 Fh(x),依题意,有
=
=
-=?=
4
1
4
1
}14{}{)(
x
F
x
P
xPxPxF
x
h
x
xh
其中 Fx(x)为 x的 分布 函数,然后对上式两边求导即得 x和 h的概率密度函数的关系,
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对
=
=
4
1
4
1
)(
4
1
)(
x
x
x
FxF
xh
xh
jj
两边求导得
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例 6 设随机变量 x的分布函数为 Fx(x),求 x2的分布函数,
解,
)()()(
)()(
)()()(
,0
0)()(,0
2
2
2
2
xPxFxF
xPxxP
xxPxPxF
x
xPxFx
-=?--=
-=-=
-=?=
=?=?
x
xx
xx
x
xx
x
x
设时当
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特别地,如果 x是具有概率密度为 jx(x)的连续型随机变量,
-?
=
=-=
00
0
2
)()(
)(
,0)(
2
2
x
x
x
xx
x
xP
xx
x
jj
j
xx 的概率密度为则
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例 7 和的分布,已知 (x,h)的联合概率密度是
j(t1,t2),z=x+h,求 z的概率密度 jz(x).
解 先求 z的分布函数,再求其概率密度,
-?-
-
-
=
-
-
-
-=
-=
=
=?=
111
111
2211
2121
),(
),(
),(
),()()(
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1
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dttutdu
dututdt
dtttdt
dtdtttxPxF
x
x
ttu
tx
xtt
j
j
j
jz
z
20
由概率密度函数的定义可知 z的概率密度函数为
-
-=
111
),()( dttxtx jj
z
-
-= dttxtx )()()(
hxz
jjj
若 x与 h相互独立,则有
21
当固定一 x时,t1+t2?x积分区域的示意图
t1
t2
t1+t2=x
22
在数学上,给定两个函数 g(x)和 h(x),称函数
-
-= dttxhtgxf )()()(
为函数 g(x)和 h(x)的卷积,
记作 f(x)=g(x)*h(x),
卷积也具有某些 "乘法 "的性质,如满足交换律和结合律等等,
因此我们知道两个相互独立的连续型随机变量 x和 h相加得到的随机变量 z=x+h的概率密度是 x和 h的概率密度之卷积,
23
例 随机变量 x和 h相互独立,且概率密度都由下式表示,
==
-
00
0
)()(
x
xe
xx
x
hx
jj
求 x+h的概率密度,
解,因为 x和 h都只取正值,因此 x+h也只取正值,即当 x?0时,jx+h(x)=0,而当 x>0时,它们的和的概率密度为 (接后页 )
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当 x>0时,
=
==
=-=
-
--
--
-
00
0
)(
)()()(
0
0
x
xxe
x
xedte
dteedttxtx
x
x
x
x
x
xtt
hx
hxhx
j
jjj
因此最后得
25
例 假设 n个随机变量 x1,x2,...,xn相互独立且它们都有相同的概率密度函数为试证它们的和 x1+x2+...+xn的概率密度函数为
),...,2,1(
00
0
)(
1
ni
x
xe
x
x
=
=
-
j
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--
00
0
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1
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1
x
xex
nx
xn
n
j
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证,用归纳法,当 n=2时,由前例已知命题成立,
假设当 n=k-1时,命题成立,即
-=
--
-
00
0
2
1
)(
2
1
x
xex
kx
xk
k
j
则 k个相互独立的随机变量相加的概率密度为
jk-1(x)*j1(x),
27
即有,当 x<0时,jk(x)=0,当 x?0时证毕
xk
x
kx
x
xttk
kk
ex
k
dtte
k
dteet
k
dttxtx
----
---
-
-
-
=
-
=
-
=
=-=
1
0
2
0
2
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)!1(
1
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1
)!2(
1
)()()( jjj
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进一步讨论,由于
)!1()(,
,)(,
,
)!1(,1
)!1(
1
,1)(
00
0
)!1(
1
)(
0
1
0
1
0
1
0
1
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-==
-
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--
--
--
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--
nnn
dxexr
rdxex
ndxexdxex
n
dxx
x
xex
n
x
xr
xr
xnxn
n
xn
n
jj
为正整数时因此可知当即函数称其为的函数时看作是而在数学上将广义积分即易得及性质
29
请提问
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作业 习题二第 58页开始第 30,31,36,37题
