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应用随机过程讲义第二讲
1
第二讲
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2
作业题
2,3(1)(2),10,25(1)~(3),26(2)(3),27(2)(3),
29(1)(2)
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随机过程的基本概念随机过程的基本概念
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6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X
n
n
一维直线上的简单随机游动
Y
1
=1 Y
2
=1 Y
3
=－1Y
4
=1 Y
5
=1 Y
6
=－1Y
7
=1 Y
8
=－1Y
9
=1
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)(
}2,:min{
}2,0:min{
}1,:min{
}1,0:min{
)(
22
2
11
1
ω
τ
τ
n
n
n
n
n
T
XTnn
XnnT
XTnn
XnnT
ΚΚ
=>=
=>=
=>=
=>=
到达时间可定义随机变量
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随机过程的分类
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泊松过程及其推广定义与背景
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增量普通性,
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即Poisson过程是满足
增量独立性
增量平稳性
增量普通性的计数过程.
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N(t)
…………
第三个信号到达第一个信号到达第二个信号到达
t
S
2
S
3
S
4
S
5
S
6
S
1
0
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将事件进行分解，再运用增量普通性
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化为解微分方程
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两边同乘e
λt
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到达时刻与相邻到达时间间隔的分布
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重要分析手段！
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证明思路：
.,,,)4(
)()1()3(
....),,,()2(
....),,,()1(
21
21
21
独立证明
～的证明的求的求
n
kk
n
n
XXX
ExXnkX
fdpjXXX
fdpjSSS
Κ
Κ
Κ
λ≤≤
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求联合概率密度函数，首先考虑使用微元法
S
1
S
2
t
1
-h/2 t
1
+h/2 t
2
-h/2 t
2
+h/2
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用到了事件转化的技巧
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根据增量普通性，事件H
n
对应的概率测度是h
n
的高阶无穷小
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求随机变量函数的密度时时常用，相当于一种坐标变换
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通过求边缘密度可得
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,1)1(,)1(
,)1(,2)1(
,,
.1,0)1(
,0)1(.,..
2
)2(
2
)2(
2
)1(
2
)1(
21)2(21)1(
21
qYPqYP
pYPpqqYP
YYYYYY
qpqYP
pYPdiiYY
k
k
===?=
==+=?=
∨=∧=
=+≥=?=
≥==
则和例：在随机游动中，
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考虑最简单的情况(n=2)
thtthtth
ttttUU
fdpj
UUntUUdiiUU
kn
<+<<+<<>
<<<≤≤≤
=
2211
21)2()1(
)2()1(1
0,0
.00
....
),(,2),,0(~.,..,
使得取
，
的求时设Κ
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事件分解
U
(1)
U
(2)
t
1
t
1
+h t
2
t
2
+h
U
1
U
2
=
t
1
t
1
+h t
2
t
2
+h
U
2
U
1
t
1
t
1
+h t
2
t
2
+h
∪
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)0(
22
2)2(21)1(1
0
2
2
2)2(21)1(1
21
2
),(
lim
.
2
),(
ttt
h
I
th
htUthtUtP
t
h
htUthtUtP
<<<
→
=
+<<+<<
=+<<+<<
)0(
2)2(21)1(1
0
21
!
),,(
lim
..
tttt
n
n
h
n
I
t
n
h
htUthtUtP
vrn
<<<<<
→
=
+<<+<<
Κ
Κ
个扩展到
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n个量进行全排列
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n个不相交的小区间进行全排列得到n!种情况，且满足轮换对称
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举一反三地思考问题
)0())(()(
.)()2(
)1()()1(
1)(
1)(
≥=?
≥
+
+
kktNtS
tNtS
kktNS
tN
tN
k
是否独立？与是否独立？证明该猜想与问是否独立？＝关于
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去掉“普通性”的限制同一时刻到达信号数不一定为1
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