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应用随机过程讲义 第五讲
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第五讲
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作业题
1(1~5，9)，2，3，14(1)，16，
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Brown运动预备知识：随机变量序列的四种收敛性
.||,,1,0
lim},1,{
:
εε <?≥≥?>?
=≥
∞→
aankn
aana
k
n
n
n
恒有时当定义回忆实数序列的收敛性
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1,几乎处处收敛(以概率1收敛)
(almost surely a.s,/almost everywhere a.e.)
).()(lim
.)(,
},1),({
ωω
ωω
ω
XX
X
nX
n
n
n
n
=
∈
≥
∞→
是一实数序列则固定若一随机变量序列
.)()(
,)(,
可视为函数的收敛则均收敛若对
ωω
ωω
XX
X
n
n
→
∈?
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1
]
1
,0(0
]1,
1
(1
)(
.1)(],1,0[
}]1,0{[1
}]1,0{[0
)(..
]),([],1,0[],[
)],1,0[],1,0([),,(
≥
∈
∈
=
=∈?
=∈
=∈
=
=?
=?
n
n
n
X
Y
B
B
Xvr
cddcPdc
PP
n
"#
ω
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
上无理点全体上有理点全体定义概率空间
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.)}()(lim:{
1
)(
)(,
)()(,
即为无理点全体集合 ωωω
ω
ωω
ωω
ωωω
XX
B
BX
X
YX
n
n
n
n
=
∈
∈
→?∈?
→?∈?
∞→
,)()1()(
.0)()}()(lim:{
,1)()}()(lim:{
ωω
ωωω
ωωω
XX
BPXXP
BPXXP
n
n
n
n
n
收敛到以概率几乎处处
==≠
===
∞→
∞→
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.
..
,
..
,
..
lim
:
.)()(
,1)}()(lim:{
},1),(.{..
.
X
sa
XX
ea
XX
sa
X
XX
XXP
nXsvr
nnn
n
n
n
n
n
→→?=
==
≥
∞→
∞→
或者记为到则称若对于扩展到任意的概率空间现将
ωω
ωωω
ω
收敛几乎处处(以概率1)
这种收敛方式要求最高但不要求每点相等，因为不影响分布函数.
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.
).()(,
1)}()(:{
明可用公理化定义加以证
xYPxXPRx
YXP
≤=≤∈
== ωωω
.0)(
..
)}.()(lim:{
)},()(lim:{
=→?
≠=
==
∞→
∞→
BPX
ea
X
XXB
XXB
n
n
n
n
n
则令
ωωω
ωωω
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2,依概率收敛
).(,lim
.}1,{
,1)|)()(:|(lim
0:},1,.{..
∞→?→?=
≥
=<?
>?≥
∞→
∞→
nXXXX
XnX
XXP
nXsvr
P
n
P
n
n
n
n
n
n
或者记为于则称若对于依概率收敛
εωωω
ε
由以概率1收敛可以推出依概率收敛
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3,L
p
(p>0)收敛
).(
.}1,{
,0|)()(|lim
:},1,.{..
∞→?→?
≥
=?
≥
∞→
nXX
XLnX
XXE
nXsvr
p
L
n
pn
p
n
n
n
记为于则称若对于收敛以
ωω
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).(,lim
).(}1,{
,0|)()(|lim,2
..
..
2
∞→?→?=
≥
=?=
∞→
∞→
nXXXX
squaremeanXnX
XXEp
sm
n
sm
n
n
n
n
n
或者记为到称时当
均方收敛
ωω
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4,依分布收敛（弱收敛）
).(
.}1,{
),()(lim
:)(
.
)()(),()(
:},1,.{..
∞→?→?
≥
=
≤=≤=
≥
∞→
nXX
XnX
xFxF
xF
XX
xXPxFxXPxF
nXsvr
d
n
n
n
n
n
nn
n
记为于则称的连续点有若对的分布函数和分别是记对于依分布函数收敛
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几种收敛性的关系
.)3(
,)2(
,)1(
..
XXXX
XXXX
XXXX
d
n
L
n
P
n
L
n
P
n
ea
n
p
p
→→?
→→?
→→?
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背景，定义与性质
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乘积每一项方差趋于0
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这里变换的Jacobi行列式|J|=1
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.
2
1
))(,,)(|)((
).,(
....)(,,)()(
,
111
11
1111
===≥

==
+
++
++
nnnn
nnnn
nnn
xtBxtBxtBP
ttxxp
fdpcxtBxtBtB
…
…
为的关于可得到又根据马氏性
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随时随地等可能
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).())(,),(|)((
.))(,,)(|)((
,
11
111
nnn
nnnn
tBtBtBtBE
xxtBxtBtBE
=
===
+
+
…
…
即可得到进一步地
Brown运动的鞅性
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证明提要
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对任一时刻，几乎所有轨道都没有有限导数
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Brown运动是随机 动的 限,
因 性质都是相 的
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点的 定
推导,概率 式
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随机积分 分要 量
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