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应用随机过程讲义第七讲
1
第七讲
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作业题
2，3(1)(4)，7(1)(4)(5)，8(1)(2)，16
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随机微分方程简介
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k
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∫∫
=
b
a
b
a
dssgEsdBsgE
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))(())()((
重要性质可以化为一般的定积分
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.0
.,)(
.],0[}0),({:
10
1
1
],(1
11
tttt
gIgtg
tttg
n
tk
n
k
ttk
kkk
=<<<=
=
≥

=
∑
…
其中可测关于上是台阶型函数在设例
-
∑
∫
=

==
n
k
kkk
t
g
tBtBgsdBsgtI
1
11
0
))()(()()()(
则
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}))()())(()((2
))()(({(
)))()((())()((
1
11
1111
1
2
1
2
1
2
1
11
2
0
∑∑
∑
∑
∫
=+=

=

=

+
=
=∴
n
i
n
ij
jjiiji
n
k
kkk
n
k
kkk
t
tBtBtBtBgg
tBtBgE
tBtBgEsdBsgE
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∑∑
∑
=+=

=

+
=
1
11
111111
1
1
2
1
2
1
)]}(,),(|))()())(()(([{2
)]}(|))()(([{
n
i
n
ij
jjjiiji
n
k
kkkk
tBtBtBtBtBtBggEE
tBtBtBgEE
…
∑∑
∑
=+=

=

+
=
1
11
111111
1
1
2
1
2
1
)]}(,),(|))()())(()([({[2
)]}(|))()([({
n
i
n
ij
jjjiiji
n
k
kkkk
tBtBtBtBtBtBEggE
tBtBtBEgE
…
∫
∑
=+Δ=
=
t
n
k
kk
dssgEtgE
0
2
1
2
1
))((0)(
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.}0),({}0),({
,)()(
)(
0
是鞅关于则≥≥
=
∫
ttBttY
sdBsgtY
t
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.)1(
.),(),,(
)())(,())(,()()(
,0
:}0),({
00
0
0
随机积分方程式为称是二元可测函数其中对满足如下方程随机过程
oIt
xtxtb
sdBsXsdssXsbtXtX
tt
ttX
t
t
t
t
nullnull
σ
σ
∫∫
+=?
≤≤
≥
(1)
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.)2(
)(
))(,())(,(
)(
)())(,())(,()(
随机微分方程式为称为上面的积分方程等价记
oIt
dt
tdB
tXttXtb
dt
tdX
tdBtXtdttXtbtdX
nullnull
σ
σ
+=
+=
形式导数
(2)
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.)()),(,(?)(
).1.(.}0),({
.,,,),(
2
2
积分方程是什么它的积分过程是否是问令存在且连续为二元可测函数令
oIt
oIttYtXtftY
tsttX
x
f
x
f
t
f
xtfy
nullnull
nullnull
=
≥
=
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ttBE Δ=Δ
2
))((
随机过程也是oIt
nullnull
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.)())(,(),(
0
积分等于要求的使选取oItsdBsXs
x
f
xtf
t
t
nullnull
∫
σ
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.}),({,
)()(
)()(
)())((
0)(:
)(
是平稳过程可以证明将积分区间推广至无穷
∞<<?∞
=
=
=
=?∞
∫
∫
∞?

∞?
ttX
sdBetX
sdBeetX
tdBeetXd
X
t
st
t
st
tt
μ
μμ
μμ
σ
σ
σ
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00))(()(
,
.)(
)()(
=?==
∫∫
∞?

∞?

t
st
t
st
esdBEetEX
Fubini
tEX
μμ
σσ
得交换积分号和期望算子定理由亦可求
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=
=
∫∫
∞?∞?

du
vdBudBE
vdBudBEee
sXtXE
ts
vsut
0
))()((
))()((
)]()([
)()(2
而
μμ
σ
积分区域变成一条直线
vu=
vu≠
0
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)(2
)(2)()(2
2
1
),(
2
1
)]()([
st
st
s
vtut
est
eduee
sXtXE


∞?

=
==
∴
∫
μ
μμμ
μ
ρ
μ
σ