§ 2.3 n 阶行列式
2.3.3 小结
2.3.1 n阶行列式的定义
2.3.2 n阶行列式的计算 (1)
1.概念的引入三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
322113312312332211 aaaaaaaaa
332112322311312213 aaaaaaaaa
说明
（ 1）三阶行列式共有 项，即 项．6 !3
（ 2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
2.3.1 n阶行列式的定义
（ 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列列的三个元素的下标排列．
例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为
,2113 1 2
322311 aaa 列标排列的逆序数为
,1011 3 2
偶排列奇排列正号?
,负号?
.)1(
321
321
321
)(
333231
232221
131211
ppp
ppp
aaa
aaa
aaa
aaa
2.n阶行列式的定义
nnnn
n
n
nppp
t
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
21
22221
11211
21
2
.)1(
21
记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义
).d et ( ija简记作 的元素．称为行列式数 )d e t ( ijij aa
为这个排列的逆序数．
的一个排列，，，，为自然数其中
nppp n 2121
n
n
n
nppp
ppp
ppp
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
21
21
22221
11211
1
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 ;
3,阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积 ;
n
n
4,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa?
5,的符号为 nnppp aaa?21 21,1
2,阶行列式是 项的代数和,其中正负项各n !n
占一半，行列式是一个数 ;
6、上式称为 n阶行列式的 完全展开式,
定理 2-4 令 nn jijiji aaa?2211 是 n阶行列式中的任一项，
则项 nn jijiji aaa?2211 的符号等于 )()( 2121)1( nn jjjiii
证明 由行列式定义可知，确定项
)1(2211 nn jijiji aaa?的符号,
需要把各元素的次序进行调动，使其行标成自然排列,
为此，我们先来研究若交换项（ 1）中某两个元素的位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化,
对换任意两元素，相当于项（ 1）的元素行标排列及列标排列同时经过一次对换,
设对换前行标排列的逆序数为 s，列标排列的逆序数为 t.
设经过一次对换后行标排列的逆序数为 s?
列标排列的逆序数为 t?
由定理，对换改变排列的奇偶性所以,ss 是奇数
tt 也是奇数所以 )()( ttss 是偶数,
即 )()( tsts 是偶数，
所以 ts 与 ts? 同时为奇数或同时为偶数,
即，交换项（ 1）中任意两个元素的位置后，其行标和列标所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变,
另一方面，经过若干次对换项（ 1）中元素的次序，
总可以把项（ 1）变为
,21 21 nnkkk aaa?
所以 tsts )1()1(
)()12( 21)1( nkkkn
)( 21)1( nkkk 得证,
由此，得行列式的 等价定义
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
n
n
n
jjj
njjj
jjj aaa
21
21
21
21
)()1(?
n
n
nn
nn
iii
jjj
jijiji
jjjiii aaa
21
21
2211
2121 )()()1(
n
n
n
iii
niii
iii aaa
21
21
21
21
)()1(?(特别地）
例 1 在 6阶行列式中，下列项应带什么符号,;651456423123 aaaaaa
解 651456423123)1( aaaaaa
431265的逆序数为 012201,6?
所以 前边应带正号,651456423123 aaaaaa
,655642312314 aaaaaa?
651456423123)2( aaaaaa,566514234231 aaaaaa?
342165的逆序数为 002301,6?
所以 前边应带正号,651456423123 aaaaaa
行标排列 234516的逆序数为列标排列 312645的逆序数为
4011011
4000040
651456423123)3( aaaaaa
所以 前边应带正号,651456423123 aaaaaa
2.3.2 n阶行列式的计算 (1)
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
n
n
n
jjj
njjj
jjj aaa
21
21
21
21
)()1(?
n
n
nn
nn
iii
jjj
jijiji
jjjiii aaa
21
21
2211
2121 )()()1(
n
n
n
iii
niii
iii aaa
21
21
21
21
)()1(?
--------利用定义计算例 2 计算对角行列式
0004
0030
0200
1000
分析展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa
41?p若,011 pa 从而这个项为零，
所以 只能等于,1p 4
同理可得 1,2,3 432 ppp
解
0004
0030
0200
1000
43211 4 3 2 1,24?
即行列式中不为零的项为,aaaa 41322314
例 3 计算上 三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0
222
11211
分析展开式中项的一般形式是,21 21 nnppp aaa?
,npn?,11 np n,1,2,3 123 ppnp n?
所以不为零的项只有,2211 nnaaa?
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0
222
11211
nnn aaa 2211121
.2211 nnaaa
解例 4
8000
6500
1240
4321
D
44332211
8000
6500
1240
4321
aaaaD
.1 6 08541
同理可得 下三角行列式
nnnnn
aaaa
aa
a
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa
n
2
1
,1 212 1 nnn;21 n
n
2
1
例 5 证明 对角行列式
n
2
1
11,212111 nnnnn aaa
,1 212 1 nnn
证明 第一式是显然的,下面证第二式,
若记,1, inii a? 则依行列式定义
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
证毕
1,行列式是一种特定的 算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的,
2,阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定,
n
n
!n
2.3.3 小结
3、行列式的 三种 表示方法
nppp naaaD?21 211
nnppp aaaD?21 211
nn qpqpqp aaaD?22111
其中 是两个 n级排列,为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和,
nn qqq,ppp 2121?
思考题已知
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
.3 的系数求 x
思考题解答解 含 的项有两项,即3x
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
对应于
433422111 2 4 31 aaaa 44332211)1 2 3 4(1 aaaa
,1 344332211)1234( xaaaa
3433422111 2 4 3 21 xaaaa
.13?的系数为故 x
2.3.3 小结
2.3.1 n阶行列式的定义
2.3.2 n阶行列式的计算 (1)
1.概念的引入三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
322113312312332211 aaaaaaaaa
332112322311312213 aaaaaaaaa
说明
（ 1）三阶行列式共有 项，即 项．6 !3
（ 2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
2.3.1 n阶行列式的定义
（ 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列列的三个元素的下标排列．
例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为
,2113 1 2
322311 aaa 列标排列的逆序数为
,1011 3 2
偶排列奇排列正号?
,负号?
.)1(
321
321
321
)(
333231
232221
131211
ppp
ppp
aaa
aaa
aaa
aaa
2.n阶行列式的定义
nnnn
n
n
nppp
t
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
21
22221
11211
21
2
.)1(
21
记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义
).d et ( ija简记作 的元素．称为行列式数 )d e t ( ijij aa
为这个排列的逆序数．
的一个排列，，，，为自然数其中
nppp n 2121
n
n
n
nppp
ppp
ppp
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
21
21
22221
11211
1
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 ;
3,阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积 ;
n
n
4,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa?
5,的符号为 nnppp aaa?21 21,1
2,阶行列式是 项的代数和,其中正负项各n !n
占一半，行列式是一个数 ;
6、上式称为 n阶行列式的 完全展开式,
定理 2-4 令 nn jijiji aaa?2211 是 n阶行列式中的任一项，
则项 nn jijiji aaa?2211 的符号等于 )()( 2121)1( nn jjjiii
证明 由行列式定义可知，确定项
)1(2211 nn jijiji aaa?的符号,
需要把各元素的次序进行调动，使其行标成自然排列,
为此，我们先来研究若交换项（ 1）中某两个元素的位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化,
对换任意两元素，相当于项（ 1）的元素行标排列及列标排列同时经过一次对换,
设对换前行标排列的逆序数为 s，列标排列的逆序数为 t.
设经过一次对换后行标排列的逆序数为 s?
列标排列的逆序数为 t?
由定理，对换改变排列的奇偶性所以,ss 是奇数
tt 也是奇数所以 )()( ttss 是偶数,
即 )()( tsts 是偶数，
所以 ts 与 ts? 同时为奇数或同时为偶数,
即，交换项（ 1）中任意两个元素的位置后，其行标和列标所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变,
另一方面，经过若干次对换项（ 1）中元素的次序，
总可以把项（ 1）变为
,21 21 nnkkk aaa?
所以 tsts )1()1(
)()12( 21)1( nkkkn
)( 21)1( nkkk 得证,
由此，得行列式的 等价定义
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
n
n
n
jjj
njjj
jjj aaa
21
21
21
21
)()1(?
n
n
nn
nn
iii
jjj
jijiji
jjjiii aaa
21
21
2211
2121 )()()1(
n
n
n
iii
niii
iii aaa
21
21
21
21
)()1(?(特别地）
例 1 在 6阶行列式中，下列项应带什么符号,;651456423123 aaaaaa
解 651456423123)1( aaaaaa
431265的逆序数为 012201,6?
所以 前边应带正号,651456423123 aaaaaa
,655642312314 aaaaaa?
651456423123)2( aaaaaa,566514234231 aaaaaa?
342165的逆序数为 002301,6?
所以 前边应带正号,651456423123 aaaaaa
行标排列 234516的逆序数为列标排列 312645的逆序数为
4011011
4000040
651456423123)3( aaaaaa
所以 前边应带正号,651456423123 aaaaaa
2.3.2 n阶行列式的计算 (1)
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
n
n
n
jjj
njjj
jjj aaa
21
21
21
21
)()1(?
n
n
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iii
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jjjiii aaa
21
21
2211
2121 )()()1(
n
n
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iii
niii
iii aaa
21
21
21
21
)()1(?
--------利用定义计算例 2 计算对角行列式
0004
0030
0200
1000
分析展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa
41?p若,011 pa 从而这个项为零，
所以 只能等于,1p 4
同理可得 1,2,3 432 ppp
解
0004
0030
0200
1000
43211 4 3 2 1,24?
即行列式中不为零的项为,aaaa 41322314
例 3 计算上 三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0
222
11211
分析展开式中项的一般形式是,21 21 nnppp aaa?
,npn?,11 np n,1,2,3 123 ppnp n?
所以不为零的项只有,2211 nnaaa?
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0
222
11211
nnn aaa 2211121
.2211 nnaaa
解例 4
8000
6500
1240
4321
D
44332211
8000
6500
1240
4321
aaaaD
.1 6 08541
同理可得 下三角行列式
nnnnn
aaaa
aa
a
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa
n
2
1
,1 212 1 nnn;21 n
n
2
1
例 5 证明 对角行列式
n
2
1
11,212111 nnnnn aaa
,1 212 1 nnn
证明 第一式是显然的,下面证第二式,
若记,1, inii a? 则依行列式定义
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
证毕
1,行列式是一种特定的 算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的,
2,阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定,
n
n
!n
2.3.3 小结
3、行列式的 三种 表示方法
nppp naaaD?21 211
nnppp aaaD?21 211
nn qpqpqp aaaD?22111
其中 是两个 n级排列,为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和,
nn qqq,ppp 2121?
思考题已知
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
.3 的系数求 x
思考题解答解 含 的项有两项,即3x
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
对应于
433422111 2 4 31 aaaa 44332211)1 2 3 4(1 aaaa
,1 344332211)1234( xaaaa
3433422111 2 4 3 21 xaaaa
.13?的系数为故 x
