.,
)()4(
.
,)()3(
.),()2(
.DD,( 1 )
T
乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行等于零则此行列式完全相同列如果行列式有两行行列式变号列互换行列式的两行即式相等行列式与它的转置行列
kk
复习 n阶行列式的性质
.,)(
,)( )8(
.
,)( )7(
.
,)( )6(
.
)( )5(
行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列式之和此行列式等于两个行列则的元素都是两数之和行若行列式的某一列式为零则此行列元素成比例列行列式中如果有两行提到行列式符号的外面以的所有元素的公因子可列行列式中某一行
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
若
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
)1(则
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
11211
21
33231
22221
)2(
n)1(?
1)1( n
D
D
0
0
0
0
0
)3(
abcd
aabc
baab
cbaa
dcba
,)4(
333231
232121
131211
d
aaa
aaa
aaa
__222
333
131211
232121
333231
aaa
aaa
aaa
则
0
d6
nnn
n
nkn
k
kkk
k
bb
bb
cc
cc
aa
aa
D
1
111
1
111
1
111
0
设
,)d e t (
1
111
1
kkk
k
ij
aa
aa
aD
,)d e t (
1
111
2
nnn
n
ij
bb
bb
bD
.21 DDD?则
nnn
n
knk
n
kkk
k
bb
bb
cc
cc
aa
aa
1
111
1
111
1
111
0
0
1
111
1
111
1
111
nnn
n
kkk
k
knk
n
bb
bb
aa
aa
cc
cc
21 DD?
21)1( DDnk
§ 2.7 Cramer 法则一,Cramer 法则二、小结引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，
当系数行列式 0?D 时，方程组有惟一解，
)3,2,1( iDDx ii
含有 n个未知数,n个方程的线性方程组，与二、
三元线性方程组类似，它的解也可以用 n阶行列式表示,
一,Cramer 法则定理 2-8 （ Cramer法则）
如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式不等于零，即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
0?
.,,,,232211 DDxDDxDDxDDx nn
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即j
D D j n
nnjnnjnn
njj
j
aabaa
aabaa
D
1,1,1
11,111,111
则线性方程组 (1)有 惟一解,
证明
njnnjnnnnn
jjnn
jjnn
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
2211
2222222121
1111212111
得个方程的依次乘方程组列元素的代数余子式中第用
,1
,,,21
n
AAAjD njjj?
再把 方程依次相加，得n
,
1
11
1
1
1
n
k
kjk
n
n
k
kjknj
n
k
kjkj
n
k
kjk
Ab
xAaxAaxAa
njDDx jj,,2,1于是2
当 时,方程组 (2)有惟一的一个解0?D
由代数余子式的性质可知,上式中除了 jx 的系数等于 D,其余 )( jixi? 的系数均等于 0，而等式右
jD端为
D
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n,,,,
2
3
2
2
1
1?
由于方程组 (2)与方程组 (1)等价,所以
D
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n,,,,
2
3
2
2
1
1?
也是 (1)的解,
例 1 用 Cramer法则 解线性方程组,
0674
522
963
852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解
6741
2120
6031
1512
D
21 2rr?
24 rr? 12770
2120
6031
13570
1277
212
1357
21 2cc?
23 2cc? 277
010
353
27
33
27?
6740
2125
6039
1518
1
D
81?
6701
2150
6091
1582
2
D
108
6041
2520
6931
1812
3?
D
27
0741
5120
9031
8512
4
D
27?
所以,42x,13x,14?x,32781 11 DDx
注意,
1,Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等 的情形,
2,理论意义：给出了解与系数的明显关系,
但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取,
3.撇开求解公式,D
Dx j
j?
Cramer法则 可叙述为下面定理：
定理 2-9 如果线性方程组 (1)无解或有两个不同的解，
则它的系数行列式必为 零,
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
线性方程组不全为零,若常数项 nbbb,,,21?
则称此方程组为 非齐次线性 方程组,
,,,,21 全为零若常数项 nbbb?
此时称方程组为 齐次线性 方程组,
非齐次 与 齐次 线性方程组的定义,
3
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
齐次 线性方程组易知,021 nxxx?一定是 (3)的解，
称为 零解,
若有一组不全为零的数是 (3)的解，称为 非零解,
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
有 非零解,
定理 2-10
定理 2-11
若系数行列式 0?D
如果齐次线性方程组有非零解，
则它的系数行列式 必为 0.
如果齐次线性方程组的系数行列式,0?D
则齐次线性方程组 没有非零解,
例 2 问 取何值时，
齐次线性方程组有非零解？
01
032
0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解
111
132
421
D
101
112
431
3121431 3
)3)(2(3121 23
由于齐次方程组有 非零解,则 0?D
所以 或 时齐次方程组有非零解,2,0 3
对于 n元齐次线性方程组的 Cramer法则的推论，
常被用来解决解析几何的问题,
例 3 求空间的四个平面 0 iiii dzcybxa
相交于一点的条件,
解 四个平面相交于一点，即线性方程组
0
0
0
0
4444
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
有 唯一解,
从另一角度看，形式上可以把 )1,,,( zyx
看作是四元线性方程组
0
0
0
0
44342414
43332313
42322212
41312111
xdxcxbxa
xdxcxbxa
xdxcxbxa
xdxcxbxa
的一组 非零解,
因为齐次线性方程组有非零解的 充要条件 是 0?D
所以,四平面相交于一点的条件为 0
4444
3333
2222
1111
dcba
dcba
dcba
dcba
例 4 已知三次曲线
332210)( xaxaxaaxfy
在四个点 2,1 xx 处的值为
6)2(,6)2()1()1( ffff
试求系数,,,,3210 aaaa
解
6)2()2()2(
6222
6)1()1()1(
6
3
3
2
210
3
3
2
210
3
3
2
210
3210
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
若用 Cramer法则求此方程组的解，有
32
32
32
)2()2(21
2221
)1()1(11
1111
D
（考虑 范德蒙德 行列式）
3333
2222
)2(2)1(1
)2(2)1(1
2211
1111
T
DD
)(
14
j
ji
i xx
)22)(12)(12)(12)(12)(11(
72?
,5 7 6
8426
8426
1116
1116
1?
D,72
8461
8461
1161
1161
2
D
,144
8621
8621
1611
1611
3
D,72
6421
6421
6111
6111
4?
D
,87257610 DDa,1727221 DDa
,27214432 DDa,1727243 DDa
解 有非零解的 充分必要条件例 5 问,取何值时,齐次线性方程组
02
0
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
有非零解?
0?D
121
11
11
D
120
10
111
)1(
由 0?D 得 0,1 或例 6 是平面上不设 ),(),,(),,( 333222111 yxPyxPyxP
在同一直线上的三点，求过,,,321 的圆的方程PPP
解 设通过三点的圆的方程为
)0(,0)( 22 ADCyBxyxA 其中
.),(),,(),,( 332211 三点应满足方程显然 yxyxyx
考虑齐次线性方程组
01)(
01)(
01)(
01)(
33
2
3
2
3
22
2
2
2
2
11
2
1
2
1
22
twyvxuyx
twyvxuyx
twyvxuyx
tywxvuyx
（ 4）
0
1
1
1
1
33
2
3
2
3
22
2
2
2
2
11
2
1
2
1
22
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
是一组解，则 DtCwBvAu,,,
,0?A注意到 这是一组非零解，所以方程组
（ 4）的系数行列式等于 0,即
（ 5）
不共线，即由于 321,,PPP
不共线，
与即向量
),(
),(
232332
121221
yyxxPP
yyxxPP
所以它们对应的坐标不成比例，
的系数为于是 )( 22 yx?
0
1
1
1
1
1
1
2323
1212
11
33
22
11
yyxx
yyxx
yx
yx
yx
yx
，的系数不为即 0)( 22 yx? 另外，式（ 5）中没有 xy项，
因此,式（ 5）就是所求的圆的方程,
1,用 克拉默法则 解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数 ;
(2)系数行列式不等于零,
2,克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系,它主要适用于理论推导,
二、小结思考题,
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
解答,
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解,
)()4(
.
,)()3(
.),()2(
.DD,( 1 )
T
乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行等于零则此行列式完全相同列如果行列式有两行行列式变号列互换行列式的两行即式相等行列式与它的转置行列
kk
复习 n阶行列式的性质
.,)(
,)( )8(
.
,)( )7(
.
,)( )6(
.
)( )5(
行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列式之和此行列式等于两个行列则的元素都是两数之和行若行列式的某一列式为零则此行列元素成比例列行列式中如果有两行提到行列式符号的外面以的所有元素的公因子可列行列式中某一行
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
若
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
)1(则
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
11211
21
33231
22221
)2(
n)1(?
1)1( n
D
D
0
0
0
0
0
)3(
abcd
aabc
baab
cbaa
dcba
,)4(
333231
232121
131211
d
aaa
aaa
aaa
__222
333
131211
232121
333231
aaa
aaa
aaa
则
0
d6
nnn
n
nkn
k
kkk
k
bb
bb
cc
cc
aa
aa
D
1
111
1
111
1
111
0
设
,)d e t (
1
111
1
kkk
k
ij
aa
aa
aD
,)d e t (
1
111
2
nnn
n
ij
bb
bb
bD
.21 DDD?则
nnn
n
knk
n
kkk
k
bb
bb
cc
cc
aa
aa
1
111
1
111
1
111
0
0
1
111
1
111
1
111
nnn
n
kkk
k
knk
n
bb
bb
aa
aa
cc
cc
21 DD?
21)1( DDnk
§ 2.7 Cramer 法则一,Cramer 法则二、小结引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，
当系数行列式 0?D 时，方程组有惟一解，
)3,2,1( iDDx ii
含有 n个未知数,n个方程的线性方程组，与二、
三元线性方程组类似，它的解也可以用 n阶行列式表示,
一,Cramer 法则定理 2-8 （ Cramer法则）
如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式不等于零，即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
0?
.,,,,232211 DDxDDxDDxDDx nn
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即j
D D j n
nnjnnjnn
njj
j
aabaa
aabaa
D
1,1,1
11,111,111
则线性方程组 (1)有 惟一解,
证明
njnnjnnnnn
jjnn
jjnn
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
2211
2222222121
1111212111
得个方程的依次乘方程组列元素的代数余子式中第用
,1
,,,21
n
AAAjD njjj?
再把 方程依次相加，得n
,
1
11
1
1
1
n
k
kjk
n
n
k
kjknj
n
k
kjkj
n
k
kjk
Ab
xAaxAaxAa
njDDx jj,,2,1于是2
当 时,方程组 (2)有惟一的一个解0?D
由代数余子式的性质可知,上式中除了 jx 的系数等于 D,其余 )( jixi? 的系数均等于 0，而等式右
jD端为
D
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n,,,,
2
3
2
2
1
1?
由于方程组 (2)与方程组 (1)等价,所以
D
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n,,,,
2
3
2
2
1
1?
也是 (1)的解,
例 1 用 Cramer法则 解线性方程组,
0674
522
963
852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解
6741
2120
6031
1512
D
21 2rr?
24 rr? 12770
2120
6031
13570
1277
212
1357
21 2cc?
23 2cc? 277
010
353
27
33
27?
6740
2125
6039
1518
1
D
81?
6701
2150
6091
1582
2
D
108
6041
2520
6931
1812
3?
D
27
0741
5120
9031
8512
4
D
27?
所以,42x,13x,14?x,32781 11 DDx
注意,
1,Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等 的情形,
2,理论意义：给出了解与系数的明显关系,
但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取,
3.撇开求解公式,D
Dx j
j?
Cramer法则 可叙述为下面定理：
定理 2-9 如果线性方程组 (1)无解或有两个不同的解，
则它的系数行列式必为 零,
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
线性方程组不全为零,若常数项 nbbb,,,21?
则称此方程组为 非齐次线性 方程组,
,,,,21 全为零若常数项 nbbb?
此时称方程组为 齐次线性 方程组,
非齐次 与 齐次 线性方程组的定义,
3
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
齐次 线性方程组易知,021 nxxx?一定是 (3)的解，
称为 零解,
若有一组不全为零的数是 (3)的解，称为 非零解,
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
有 非零解,
定理 2-10
定理 2-11
若系数行列式 0?D
如果齐次线性方程组有非零解，
则它的系数行列式 必为 0.
如果齐次线性方程组的系数行列式,0?D
则齐次线性方程组 没有非零解,
例 2 问 取何值时，
齐次线性方程组有非零解？
01
032
0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解
111
132
421
D
101
112
431
3121431 3
)3)(2(3121 23
由于齐次方程组有 非零解,则 0?D
所以 或 时齐次方程组有非零解,2,0 3
对于 n元齐次线性方程组的 Cramer法则的推论，
常被用来解决解析几何的问题,
例 3 求空间的四个平面 0 iiii dzcybxa
相交于一点的条件,
解 四个平面相交于一点，即线性方程组
0
0
0
0
4444
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
有 唯一解,
从另一角度看，形式上可以把 )1,,,( zyx
看作是四元线性方程组
0
0
0
0
44342414
43332313
42322212
41312111
xdxcxbxa
xdxcxbxa
xdxcxbxa
xdxcxbxa
的一组 非零解,
因为齐次线性方程组有非零解的 充要条件 是 0?D
所以,四平面相交于一点的条件为 0
4444
3333
2222
1111
dcba
dcba
dcba
dcba
例 4 已知三次曲线
332210)( xaxaxaaxfy
在四个点 2,1 xx 处的值为
6)2(,6)2()1()1( ffff
试求系数,,,,3210 aaaa
解
6)2()2()2(
6222
6)1()1()1(
6
3
3
2
210
3
3
2
210
3
3
2
210
3210
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
若用 Cramer法则求此方程组的解，有
32
32
32
)2()2(21
2221
)1()1(11
1111
D
（考虑 范德蒙德 行列式）
3333
2222
)2(2)1(1
)2(2)1(1
2211
1111
T
DD
)(
14
j
ji
i xx
)22)(12)(12)(12)(12)(11(
72?
,5 7 6
8426
8426
1116
1116
1?
D,72
8461
8461
1161
1161
2
D
,144
8621
8621
1611
1611
3
D,72
6421
6421
6111
6111
4?
D
,87257610 DDa,1727221 DDa
,27214432 DDa,1727243 DDa
解 有非零解的 充分必要条件例 5 问,取何值时,齐次线性方程组
02
0
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
有非零解?
0?D
121
11
11
D
120
10
111
)1(
由 0?D 得 0,1 或例 6 是平面上不设 ),(),,(),,( 333222111 yxPyxPyxP
在同一直线上的三点，求过,,,321 的圆的方程PPP
解 设通过三点的圆的方程为
)0(,0)( 22 ADCyBxyxA 其中
.),(),,(),,( 332211 三点应满足方程显然 yxyxyx
考虑齐次线性方程组
01)(
01)(
01)(
01)(
33
2
3
2
3
22
2
2
2
2
11
2
1
2
1
22
twyvxuyx
twyvxuyx
twyvxuyx
tywxvuyx
（ 4）
0
1
1
1
1
33
2
3
2
3
22
2
2
2
2
11
2
1
2
1
22
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
是一组解，则 DtCwBvAu,,,
,0?A注意到 这是一组非零解，所以方程组
（ 4）的系数行列式等于 0,即
（ 5）
不共线，即由于 321,,PPP
不共线，
与即向量
),(
),(
232332
121221
yyxxPP
yyxxPP
所以它们对应的坐标不成比例，
的系数为于是 )( 22 yx?
0
1
1
1
1
1
1
2323
1212
11
33
22
11
yyxx
yyxx
yx
yx
yx
yx
，的系数不为即 0)( 22 yx? 另外，式（ 5）中没有 xy项，
因此,式（ 5）就是所求的圆的方程,
1,用 克拉默法则 解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数 ;
(2)系数行列式不等于零,
2,克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系,它主要适用于理论推导,
二、小结思考题,
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
解答,
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解,
