第 2 章 行列式习 题 课一、主要内容二、典型例题三、测试题把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的 全排列 （或 排列 ）．
n n
个不同的元素的所有排列的种数用 表示，
且,
n nP
!nPn?
１、全排列一、主要内容逆序数为奇数的排列称为 奇排列,逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
在一个排列 中，若数,
则称这两个数组成一个 逆序,
nst iiiii21 st ii?
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数,
２、逆序数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，
每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．
方法 2
方法 1
分别计算出排在 前面比它大的数码之和，即分别算出 这 个元素的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．
n,n,,,121
n,n,,,121
n
３、计算排列逆序数的方法定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，
叫做 相邻对换,
定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．
推论 奇排列 调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列 调成标准排列的对换次数为偶数．
４、对 换
nppp
ppp
t
nnnn
n
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D?
21
21
22221
11211
21
21
1
５,n阶行列式的定义
.
,,2,1;;,,2,1
21
21
列取和的所有排表示对个排列的逆序数为这的一个排列为自然数其中
n
tnppp
ppp
n
n
.
,)1(
21
21
21
21
的逆序数为行标排列其中亦可定义为阶行列式
pppt
aaaD
Dn
n
nppp
ppp
t
n
n
.,
)()4
.
,)()3
.),()2
.DD,1)
T
乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行等于零则此行列式完全相同列如果行列式有两行行列式变号列互换行列式的两行即式相等行列式与它的转置行列
kk
６,n阶行列式的性质
.,)(
,)( )8
.
,)( )7
.
,)( )6
.
)( )5
行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列式之和此行列式等于两个行列则的元素都是两数之和行若行列式的某一列式为零则此行列元素成比例列行列式中如果有两行提到行列式符号的外面以的所有元素的公因子可列行列式中某一行
１）余子式与代数余子式
.
,)1(
1
的代数余子式叫做元素；记的余子式，记作阶行列式叫做元素列划去后，留下来的行和第所在的第阶行列式中，把元素在
aA
MA
M
anj
ian
ijij
ij
ji
ij
ij
ij
ij
７、行列式按行（列）展开
２）关于代数余子式的重要性质
.,0;,1
.,0;,
.,0;,
1
1
ji
ji
ji
jiD
DAa
ji
jiD
DAa
ij
ijjk
n
k
ik
ijki
n
k
ki
当当其中
当当或当当
８、克拉默法则
.,
,,2,1
.,,2,1,
,0
.
,
,
1
2211
22222121
11212111
所得到的行列式，换成常数项列中第）是把系数行列式（其中那么它有惟一解的系数行列式如果线性方程组
２ bbb
x
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
n
j
j
j
nnnnnn
nn
nn
jDnjD
nj
D
D
D
克拉默法则的理论价值
.,0
.
,
,
2211
22222121
11212111
惟一那么它一定有解，且解的系数行列式如果线性方程组
D
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
nnnnnn
nn
nn
.
必为零解，则它的系数行列式解或有两个不同的如果上述线性方程组无定理定理
.,0
.0
,0
,0
2211
2222121
1212111
那么它没有非零解的系数行列式如果齐次线性方程组
D
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
nnnnn
nn
nn
.
它的系数行列式必为零组有非零解，则如果上述齐次线性方程定理定理
(一 )计算排列的逆序数
(二 )计算（证明）行列式
(三 )克拉默法则二、典型例题分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和，即算出排列中每个元素的逆序数．
,,1
3232221212
并讨论奇偶性的逆序数求排列
kk
kkkk
解例１
（一）计算排列的逆序数;0,2 故逆序数为排在首位k;1),2(11 故逆序数为大的数有一个的前面比 k;1
),2()12()12(
逆序数为故大的数有一个的前面比 kkk;2
),12,2(22
数为故逆序大的数有两个的前面比?kk;2),1
2,2(2222
故逆序数为大的数有两个的前面比 kkkk
;1),2,
,12,2(111
kk
kkkkk
故逆序数为个大的数有的前面比;1),2,
,12,2(111
kk
kkkkk
故逆序数为个大的数有的前面比;
),1,,12,2(
k
kkkkkk
故逆序数为个大的数有的前面比
kkkt 1122110?
kkk
2
1112
2k?
当 为偶数时，排列为偶排列，k
当 为奇数时，排列为奇排列．k
于是排列的逆序数为
１ 用定义计算（证明）
例２ 用行列式定义计算
000
000
000
5352
4342
3534333231
2524232221
1312
5
aa
aa
aaaaa
aaaaa
aa
D?
(二 )计算（证明）行列式的非零元素分别得到行可能中第那么，由行的元素分别为中第设
5,4,3,2,1,,,
,,5,4,3,2,1
5543
215
543
21
Daaa
aaD
ppp
pp
解
.3,2;3,2;5,4,3,2,1;5,4,3,2,1;3,2
543
21
ppp
pp
.0
5
,,,,,
5
54321
D
ppppp
故元排列也不能组成，一个在上述可能取的代码中因为评注 本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法．
.
2 于零还多，则此行列式必等素比阶行列式中等于零的元如果一个
nn
n
注意例３ 设
,
21
22221
11211
1
aaa
aaa
aaa
D
nnnn
n
n
,
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
ababa
baaba
babaa
D
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
.2DD?１证明：
证明 由行列式的定义有
.
,)1(
21
211 21
的逆序数是排列其中 pppt
aaaD
n
pnpp
t
n
.
,)1(
)())(()1(
21
)()21(
21
2
2
1
12
21
21
2
2
1
1
的逆序数是排列其中 pppt
baaa
bababaD
n
pppn
pnpp
t
pn
pn
p
p
p
p
t
n
n
n
n
,212 nppp n１而
.)1( 1212 21 DaaaD ppp nnt所以评注 本题证明两个行列式相等，即证明两点，
一是两个行列式有完全相同的项，二是每一项所带的符号相同．这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法．
２ 利用范德蒙行列式计算例４ 计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
.333
222
111
2
2
2
nnn
D
n
n
n
n
，于是得到增至幂次数便从则方若提取各行的公因子，递升至而是由变到序排列，但不是从次数自左至右按递升次方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个
10
.1,1
0
,
n
nn
D n
解
.
1
3331
2221
1111
!
12
12
12
nnn
nD
n
n
n
n
上面等式右端行列式为 n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知
!.1!2)!2()!1(!
)]1([)2()24)(23(
)1()13)(12(!
)(!
1
nnn
nnn
nn
xxnD
jin
jin
评注 本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成 范德蒙 行列式．
３ 用化三角形行列式计算例５ 计算
.
4321
321
321
321
1
xaaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
D n
n
n
n
解 列都加到第一列，得将第 1,,3,2?n?
xaaax
axaax
aaxax
aaaax
D
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
n
32
1
2
1
2
1
21
1
1
提取第一列的公因子，得
.
1
1
1
1
)(
32
2
2
21
1
1
xaa
axa
aax
aaa
axD n
n
n
n
i
in
后一列，得倍加到最列的将第列，倍加到第列的列，将第倍加到第列的将第
２ )(1,3)(
12)(1 1
aa
a
n
.)()(
11
n
i i
n
i i
axax
axaaaa
axaa
ax
axD
n
n
i
in
2312
212
1
1
1
1
01
001
0001
)(
评注 本题利用行列式的性质，采用,化零,
的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．
化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．
，得提取公因子行中行，并从第行都加到第、、的第将
dcba
D
114324
４ 用降阶法计算例６ 计算,4
abcd
badc
cdab
dcba
D?
解
,
1111
)(4
abcd
badc
cdab
dcbaD
列，得列都减去第、、再将第 1432,
0001
)(4
dadbdcd
cbcacdc
bcbdbab
dcbaD
行展开，得按第 1,)(
4
dadbdc
cbcacd
bcbdba
dcbaD
，得中提取公因子行行，再从第行加到第把上面右端行列式第
dcba
112
,
011
))((
dadbdc
cbcacd
dcbadcbaD
４
列，得列减去第再将第 12
行展开，得按第 1
])()([))(( 22 cbdadcbadcba
))((
))((
dcbadcba
dcbadcba
,
001
))((4
dacbdc
cbdacd
dcbadcbaD
dacb
cbdadcbadcba
D
))((
４
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．
５ 用拆成行列式之和（积）计算例７ 证明
.0
2s in)s in ()s in (
)s in (2s in)s in (
)s in ()s in (2s in
证,0
000
s ins ins in
c o sc o sc o s
0c o ss in
0c o ss in
0c o ss in
左边
６ 用递推法计算例８ 计算,2
1
xaaa
axaa
aaxa
D
n
n
解 拆成两个行列式之和列把依第 Dn n
aaaa
axaaa
aaxaa
aaaxa
D
n
n
1
2
1
.
0
0
0
1
2
1
xaaa
xaaa
axaa
aaxa
n
n
.1121 DxaxxxD nnnn从而得列展开第右端的第二个行列式按列第倍分别加到列的将第右端的第一个行列式
,,1,,2,1
)1(,
nn
n
,
000
00
00
00
1
1
2
1
Dx
a
ax
ax
ax
D nn
n
n?
由此递推，得
.
,
21
22121
212211
Dxx
xaxxxaxxxD
DxaxxxD
nnn
nnnn
nnnn
１
于是如此继续下去，可得
Dxxxxxaxx
xaxxxaxxxD
nnn
nnnn
231421
22121
１
)( 212131
421
22121
xxxaxaxxx
xxaxx
xaxxxaxxx
nn
n
nnn
１
).
(
3231
12121
xxxxxx
xxxaxxx
nn
nn
时，还可改写成当 021?xxx n?
)].111(1[
21
21 xxxaxxxD
n
nn
评注
.
1
1
.1
,1
1
系阶行列式之间的递推关阶行列式更低建立比更低阶的行列式表示，
阶用同样形式的比阶行列式以把给定的有时，还可之间的递推关系阶行列式与建立了阶行列式表示出来用同样形式的阶行列式质把所给的本题是利用行列式的性
n
nn
n
n
n
D
D
D
D
n
n
n
n
７ 用数学归纳法例９ 证明
.co s
co s21000
1000
00co s210
001co s21
0001co s
n
D n
证 对阶数 n用数学归纳法
.,2,1,
,2co s1co s2
2co s1
1co s
,co s
2
2
1
结论成立时当所以因为
nn
D
D
得展开按最后一行现将的行列式也成立于阶数等于下证对的行列式结论成立假设对阶数小于
,
.
,
Dn
n
n
.co s2 21 DDD nnn
,)2co s (
,)1co s (,
2
1
nD
nD
n
n由归纳假设;co s
)2co s (])2co s ([ co s
)2co s ()1co s (co s2
n
nnn
nnD n
.结论成立所以对一切自然数 n
评注
.
,)1(1
,)(,
,
2
1
同型的行列式是与不否则所得的低阶行列式展开列或第行按第不能展开列或第行本例必须按第表示展开成能用其同型的为了将
D
nnD
DD
n
n
nn
.
,,.
,
,,
其猜想结果成立然后用数学归纳法证明也可先猜想其结果如果未告诉结果纳法来证明可考虑用数学归结论时证明是与自然数有关的而要我们当行列式已告诉其结果一般来讲计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
小结当线性方程组方程个数与未知数个数相等、
且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则．为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解．
（三）克拉默法则
.28)3(,3)2(,0)1(
),(
fff
xf 使求一个二次多项式例1 0
解 设所求的二次多项式为
,)( 2 cbxxaxf
由题意得
,2839)3(
,324)2(
,0)1(
cbaf
cbaf
cbaf
.,,的线性方程组数这是一个关于三个未知 cba
.20,60
,40,020
32
1
DD
DD
由克莱姆法则，得
.1,3,2 321 DDcDDbDDa
于是，所求的多项式为
.132)( 2 xxxf
证
..
0
,0
,0
1,,
),,(
00
00
从而有系数行列式的非零解可视为齐次线性方程组则点设所给三条直线交于一必要性
bzaycx
azcybx
czbyax
zyyxx
yxM
.0
0,0,0
cba
baycxacybxcbyax
条件是相交于一点的充分必要直线证明平面上三条不同的 例1 1
.0])()()([
))(
2
1
(
222
accbba
cba
bac
acb
cba
（１）
baycx
acybx
cbyax
,
,.0,
,,,
cba
cba
故同也不全相所以因为三条直线互不相同将方程组如果充分性,0 cba
.
.00
,
,
惟一解下证此方程组（２）有
（２）
到第三个方程，得的第一、二两个方程加
acybx
cbyax
.00)(
2)]([)(
00
22
222
22
accaac
cacacaaccab
bacbac
cb
ba
，从而有
，于是得
。由，则如果
.)1(
.)2(
.0
.0
0.0,0
2
直线交于一点有惟一解，即三条不同方程组从而知有惟一解组由克莱姆法则知，方程故，与题设矛盾得再由得由不妨设
cb
ba
c
cbabacba
例 12 有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮 70克，磷 8克，钾 2克；乙种化肥每千克含氮 64克，磷 10克，钾 0.6克；丙种化肥每千克含氮
70克，磷 5克，钾 1.4克．若把此三种化肥混合，要求总重量 23千克且含磷 149克，钾 30克，问三种化肥各需多少千克？
解题意得方程组依千克、、各需设甲、乙、丙三种化肥 ３２,1 xxx
.304.16.02
,1 4 95108
,23
321
321
321
xxx
xxx
xxx
,527D此方程组的系数行列式
8127581 321 DDD,，又
.15,5,3 32 xxx １
组有惟一解由克莱姆法则，此方程
.15
,5,3
千克千克千克各需即甲、乙、丙三种化肥
).(40,15
52.1355.1357.1360.13
3020100
:
.)(
00
0000
3
3
2
210
准确到小数两位时水银密度求由实验测得以下数据的关系为与温度设水银密度
t
h
t
tatataath
th
例 13
)1(
.52.132 7 0 0 090030
,55.138 0 0 040020
,57.131 0 0 010010
,6.13
),(
3210
3210
3210
0
aaaa
aaaa
aaaa
a
th 得方程组将测得的数据分别代入解
)2(
.008.02700903
,005.0800402
,003.010010
,60.13
321
321
321
0
aaa
aaa
aaa
a 得方程组分别代入其余三个方程将
,1 2 0 0 0?D此方程组的系数行列式
.0 0 0 0 0 3 3.0
,0 0 0 1 5.0
,0 0 4 2.0
)2(,
3
2
1
a
a
a
的惟一解得方程组由克莱姆法则,04.0,8.1,50
321 DDD又得将以上四个数代入又 ),(,60.130 tha?
由此得
.0 0 0 0 0 3 3.0
0 0 0 1 5.00 0 4 2.060.13)(
3
2
t
ttth
.46.13,56.13,40,15,00 水银密度分别为时当所以?t
.46.13)40(,56.13)15( hh
第 2章 测试题一、填空题 (每小题 4分，共 40分 )
ijijn aDaaD 则若,.1
132
213
321
3
321
,0,,.2
xxx
xxx
xxx
qpxxxxx
列式则行的三个根是方程设行列式,3
10000
00001998
00019970
00200
01000
D
44
33
22
11
00
00
00
00
,4
ab
ab
ba
ba
四阶行列式
44342414
4
,.5
AAAA
cdba
acbd
adbc
dcba
D
则设四阶行列式的符号为在五阶行列式中 3524415312,6 aaaaa
的系数是中在函数 3
21
112
,7 x
x
xxx
x
xf
abcd
badc
cdab
dcba
四阶行列式,8
,,,.9 时且则当为实数若 baba
0
101
0
0
ab
ba
二、计算下列行列式 (每小题 9分，共 18分 )．
01122
10321
01132
22113
13211
,1
5
D
.
,10
121
121
iiii
iiii
nn
nn
次对换后变为排列可经排列
xzzz
yxzz
yyxz
yyyx
D
n
,2
齐次方程组取何值问,,
02
0
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
有非零解？
三、解答题 (9
分 )．
四、证明 (每小题 8分，共 24分 )．
;0
321
321
321
321
,1
2222
2222
2222
2222
dddd
cccc
bbbb
aaaa
co s21
1co s21
1
1
1co s21
1co s2
,2
n
D
;
s i n
1s i n
n
用数学归纳法证明,3
n
n
nnn
n
n
nnn
n
n
n
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
D
321
22
3
2
2
2
1
22
3
2
2
2
1
321
1111
2,121 nxxxxx jinijn?
五,(9分 ) 设 行列式n
n
n
D
n
001
0301
0021
321
求第一行各元素的代数余子式之和
.11211 nAAA
.
2
1
,10 ;0,0,9;,8 ;2,7 ;.6;0,5 ;,4;!1 9 9 8,3 ;0,2 ;1,1
2
2222
41413232
nn
dcba
bbaabbaa
a
n
一、
,,2 ;170,1
zy
yxzzxy nn
二、
.00 或三,.11!
2
n
j j
n五、
测试题答案
n n
个不同的元素的所有排列的种数用 表示，
且,
n nP
!nPn?
１、全排列一、主要内容逆序数为奇数的排列称为 奇排列,逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
在一个排列 中，若数,
则称这两个数组成一个 逆序,
nst iiiii21 st ii?
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数,
２、逆序数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，
每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．
方法 2
方法 1
分别计算出排在 前面比它大的数码之和，即分别算出 这 个元素的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．
n,n,,,121
n,n,,,121
n
３、计算排列逆序数的方法定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，
叫做 相邻对换,
定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．
推论 奇排列 调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列 调成标准排列的对换次数为偶数．
４、对 换
nppp
ppp
t
nnnn
n
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D?
21
21
22221
11211
21
21
1
５,n阶行列式的定义
.
,,2,1;;,,2,1
21
21
列取和的所有排表示对个排列的逆序数为这的一个排列为自然数其中
n
tnppp
ppp
n
n
.
,)1(
21
21
21
21
的逆序数为行标排列其中亦可定义为阶行列式
pppt
aaaD
Dn
n
nppp
ppp
t
n
n
.,
)()4
.
,)()3
.),()2
.DD,1)
T
乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行等于零则此行列式完全相同列如果行列式有两行行列式变号列互换行列式的两行即式相等行列式与它的转置行列
kk
６,n阶行列式的性质
.,)(
,)( )8
.
,)( )7
.
,)( )6
.
)( )5
行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列式之和此行列式等于两个行列则的元素都是两数之和行若行列式的某一列式为零则此行列元素成比例列行列式中如果有两行提到行列式符号的外面以的所有元素的公因子可列行列式中某一行
１）余子式与代数余子式
.
,)1(
1
的代数余子式叫做元素；记的余子式，记作阶行列式叫做元素列划去后，留下来的行和第所在的第阶行列式中，把元素在
aA
MA
M
anj
ian
ijij
ij
ji
ij
ij
ij
ij
７、行列式按行（列）展开
２）关于代数余子式的重要性质
.,0;,1
.,0;,
.,0;,
1
1
ji
ji
ji
jiD
DAa
ji
jiD
DAa
ij
ijjk
n
k
ik
ijki
n
k
ki
当当其中
当当或当当
８、克拉默法则
.,
,,2,1
.,,2,1,
,0
.
,
,
1
2211
22222121
11212111
所得到的行列式，换成常数项列中第）是把系数行列式（其中那么它有惟一解的系数行列式如果线性方程组
２ bbb
x
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
n
j
j
j
nnnnnn
nn
nn
jDnjD
nj
D
D
D
克拉默法则的理论价值
.,0
.
,
,
2211
22222121
11212111
惟一那么它一定有解，且解的系数行列式如果线性方程组
D
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
nnnnnn
nn
nn
.
必为零解，则它的系数行列式解或有两个不同的如果上述线性方程组无定理定理
.,0
.0
,0
,0
2211
2222121
1212111
那么它没有非零解的系数行列式如果齐次线性方程组
D
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
nnnnn
nn
nn
.
它的系数行列式必为零组有非零解，则如果上述齐次线性方程定理定理
(一 )计算排列的逆序数
(二 )计算（证明）行列式
(三 )克拉默法则二、典型例题分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和，即算出排列中每个元素的逆序数．
,,1
3232221212
并讨论奇偶性的逆序数求排列
kk
kkkk
解例１
（一）计算排列的逆序数;0,2 故逆序数为排在首位k;1),2(11 故逆序数为大的数有一个的前面比 k;1
),2()12()12(
逆序数为故大的数有一个的前面比 kkk;2
),12,2(22
数为故逆序大的数有两个的前面比?kk;2),1
2,2(2222
故逆序数为大的数有两个的前面比 kkkk
;1),2,
,12,2(111
kk
kkkkk
故逆序数为个大的数有的前面比;1),2,
,12,2(111
kk
kkkkk
故逆序数为个大的数有的前面比;
),1,,12,2(
k
kkkkkk
故逆序数为个大的数有的前面比
kkkt 1122110?
kkk
2
1112
2k?
当 为偶数时，排列为偶排列，k
当 为奇数时，排列为奇排列．k
于是排列的逆序数为
１ 用定义计算（证明）
例２ 用行列式定义计算
000
000
000
5352
4342
3534333231
2524232221
1312
5
aa
aa
aaaaa
aaaaa
aa
D?
(二 )计算（证明）行列式的非零元素分别得到行可能中第那么，由行的元素分别为中第设
5,4,3,2,1,,,
,,5,4,3,2,1
5543
215
543
21
Daaa
aaD
ppp
pp
解
.3,2;3,2;5,4,3,2,1;5,4,3,2,1;3,2
543
21
ppp
pp
.0
5
,,,,,
5
54321
D
ppppp
故元排列也不能组成，一个在上述可能取的代码中因为评注 本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法．
.
2 于零还多，则此行列式必等素比阶行列式中等于零的元如果一个
nn
n
注意例３ 设
,
21
22221
11211
1
aaa
aaa
aaa
D
nnnn
n
n
,
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
ababa
baaba
babaa
D
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
.2DD?１证明：
证明 由行列式的定义有
.
,)1(
21
211 21
的逆序数是排列其中 pppt
aaaD
n
pnpp
t
n
.
,)1(
)())(()1(
21
)()21(
21
2
2
1
12
21
21
2
2
1
1
的逆序数是排列其中 pppt
baaa
bababaD
n
pppn
pnpp
t
pn
pn
p
p
p
p
t
n
n
n
n
,212 nppp n１而
.)1( 1212 21 DaaaD ppp nnt所以评注 本题证明两个行列式相等，即证明两点，
一是两个行列式有完全相同的项，二是每一项所带的符号相同．这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法．
２ 利用范德蒙行列式计算例４ 计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
.333
222
111
2
2
2
nnn
D
n
n
n
n
，于是得到增至幂次数便从则方若提取各行的公因子，递升至而是由变到序排列，但不是从次数自左至右按递升次方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个
10
.1,1
0
,
n
nn
D n
解
.
1
3331
2221
1111
!
12
12
12
nnn
nD
n
n
n
n
上面等式右端行列式为 n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知
!.1!2)!2()!1(!
)]1([)2()24)(23(
)1()13)(12(!
)(!
1
nnn
nnn
nn
xxnD
jin
jin
评注 本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成 范德蒙 行列式．
３ 用化三角形行列式计算例５ 计算
.
4321
321
321
321
1
xaaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
D n
n
n
n
解 列都加到第一列，得将第 1,,3,2?n?
xaaax
axaax
aaxax
aaaax
D
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
n
32
1
2
1
2
1
21
1
1
提取第一列的公因子，得
.
1
1
1
1
)(
32
2
2
21
1
1
xaa
axa
aax
aaa
axD n
n
n
n
i
in
后一列，得倍加到最列的将第列，倍加到第列的列，将第倍加到第列的将第
２ )(1,3)(
12)(1 1
aa
a
n
.)()(
11
n
i i
n
i i
axax
axaaaa
axaa
ax
axD
n
n
i
in
2312
212
1
1
1
1
01
001
0001
)(
评注 本题利用行列式的性质，采用,化零,
的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．
化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．
，得提取公因子行中行，并从第行都加到第、、的第将
dcba
D
114324
４ 用降阶法计算例６ 计算,4
abcd
badc
cdab
dcba
D?
解
,
1111
)(4
abcd
badc
cdab
dcbaD
列，得列都减去第、、再将第 1432,
0001
)(4
dadbdcd
cbcacdc
bcbdbab
dcbaD
行展开，得按第 1,)(
4
dadbdc
cbcacd
bcbdba
dcbaD
，得中提取公因子行行，再从第行加到第把上面右端行列式第
dcba
112
,
011
))((
dadbdc
cbcacd
dcbadcbaD
４
列，得列减去第再将第 12
行展开，得按第 1
])()([))(( 22 cbdadcbadcba
))((
))((
dcbadcba
dcbadcba
,
001
))((4
dacbdc
cbdacd
dcbadcbaD
dacb
cbdadcbadcba
D
))((
４
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．
５ 用拆成行列式之和（积）计算例７ 证明
.0
2s in)s in ()s in (
)s in (2s in)s in (
)s in ()s in (2s in
证,0
000
s ins ins in
c o sc o sc o s
0c o ss in
0c o ss in
0c o ss in
左边
６ 用递推法计算例８ 计算,2
1
xaaa
axaa
aaxa
D
n
n
解 拆成两个行列式之和列把依第 Dn n
aaaa
axaaa
aaxaa
aaaxa
D
n
n
1
2
1
.
0
0
0
1
2
1
xaaa
xaaa
axaa
aaxa
n
n
.1121 DxaxxxD nnnn从而得列展开第右端的第二个行列式按列第倍分别加到列的将第右端的第一个行列式
,,1,,2,1
)1(,
nn
n
,
000
00
00
00
1
1
2
1
Dx
a
ax
ax
ax
D nn
n
n?
由此递推，得
.
,
21
22121
212211
Dxx
xaxxxaxxxD
DxaxxxD
nnn
nnnn
nnnn
１
于是如此继续下去，可得
Dxxxxxaxx
xaxxxaxxxD
nnn
nnnn
231421
22121
１
)( 212131
421
22121
xxxaxaxxx
xxaxx
xaxxxaxxx
nn
n
nnn
１
).
(
3231
12121
xxxxxx
xxxaxxx
nn
nn
时，还可改写成当 021?xxx n?
)].111(1[
21
21 xxxaxxxD
n
nn
评注
.
1
1
.1
,1
1
系阶行列式之间的递推关阶行列式更低建立比更低阶的行列式表示，
阶用同样形式的比阶行列式以把给定的有时，还可之间的递推关系阶行列式与建立了阶行列式表示出来用同样形式的阶行列式质把所给的本题是利用行列式的性
n
nn
n
n
n
D
D
D
D
n
n
n
n
７ 用数学归纳法例９ 证明
.co s
co s21000
1000
00co s210
001co s21
0001co s
n
D n
证 对阶数 n用数学归纳法
.,2,1,
,2co s1co s2
2co s1
1co s
,co s
2
2
1
结论成立时当所以因为
nn
D
D
得展开按最后一行现将的行列式也成立于阶数等于下证对的行列式结论成立假设对阶数小于
,
.
,
Dn
n
n
.co s2 21 DDD nnn
,)2co s (
,)1co s (,
2
1
nD
nD
n
n由归纳假设;co s
)2co s (])2co s ([ co s
)2co s ()1co s (co s2
n
nnn
nnD n
.结论成立所以对一切自然数 n
评注
.
,)1(1
,)(,
,
2
1
同型的行列式是与不否则所得的低阶行列式展开列或第行按第不能展开列或第行本例必须按第表示展开成能用其同型的为了将
D
nnD
DD
n
n
nn
.
,,.
,
,,
其猜想结果成立然后用数学归纳法证明也可先猜想其结果如果未告诉结果纳法来证明可考虑用数学归结论时证明是与自然数有关的而要我们当行列式已告诉其结果一般来讲计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
小结当线性方程组方程个数与未知数个数相等、
且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则．为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解．
（三）克拉默法则
.28)3(,3)2(,0)1(
),(
fff
xf 使求一个二次多项式例1 0
解 设所求的二次多项式为
,)( 2 cbxxaxf
由题意得
,2839)3(
,324)2(
,0)1(
cbaf
cbaf
cbaf
.,,的线性方程组数这是一个关于三个未知 cba
.20,60
,40,020
32
1
DD
DD
由克莱姆法则，得
.1,3,2 321 DDcDDbDDa
于是，所求的多项式为
.132)( 2 xxxf
证
..
0
,0
,0
1,,
),,(
00
00
从而有系数行列式的非零解可视为齐次线性方程组则点设所给三条直线交于一必要性
bzaycx
azcybx
czbyax
zyyxx
yxM
.0
0,0,0
cba
baycxacybxcbyax
条件是相交于一点的充分必要直线证明平面上三条不同的 例1 1
.0])()()([
))(
2
1
(
222
accbba
cba
bac
acb
cba
（１）
baycx
acybx
cbyax
,
,.0,
,,,
cba
cba
故同也不全相所以因为三条直线互不相同将方程组如果充分性,0 cba
.
.00
,
,
惟一解下证此方程组（２）有
（２）
到第三个方程，得的第一、二两个方程加
acybx
cbyax
.00)(
2)]([)(
00
22
222
22
accaac
cacacaaccab
bacbac
cb
ba
，从而有
，于是得
。由，则如果
.)1(
.)2(
.0
.0
0.0,0
2
直线交于一点有惟一解，即三条不同方程组从而知有惟一解组由克莱姆法则知，方程故，与题设矛盾得再由得由不妨设
cb
ba
c
cbabacba
例 12 有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮 70克，磷 8克，钾 2克；乙种化肥每千克含氮 64克，磷 10克，钾 0.6克；丙种化肥每千克含氮
70克，磷 5克，钾 1.4克．若把此三种化肥混合，要求总重量 23千克且含磷 149克，钾 30克，问三种化肥各需多少千克？
解题意得方程组依千克、、各需设甲、乙、丙三种化肥 ３２,1 xxx
.304.16.02
,1 4 95108
,23
321
321
321
xxx
xxx
xxx
,527D此方程组的系数行列式
8127581 321 DDD,，又
.15,5,3 32 xxx １
组有惟一解由克莱姆法则，此方程
.15
,5,3
千克千克千克各需即甲、乙、丙三种化肥
).(40,15
52.1355.1357.1360.13
3020100
:
.)(
00
0000
3
3
2
210
准确到小数两位时水银密度求由实验测得以下数据的关系为与温度设水银密度
t
h
t
tatataath
th
例 13
)1(
.52.132 7 0 0 090030
,55.138 0 0 040020
,57.131 0 0 010010
,6.13
),(
3210
3210
3210
0
aaaa
aaaa
aaaa
a
th 得方程组将测得的数据分别代入解
)2(
.008.02700903
,005.0800402
,003.010010
,60.13
321
321
321
0
aaa
aaa
aaa
a 得方程组分别代入其余三个方程将
,1 2 0 0 0?D此方程组的系数行列式
.0 0 0 0 0 3 3.0
,0 0 0 1 5.0
,0 0 4 2.0
)2(,
3
2
1
a
a
a
的惟一解得方程组由克莱姆法则,04.0,8.1,50
321 DDD又得将以上四个数代入又 ),(,60.130 tha?
由此得
.0 0 0 0 0 3 3.0
0 0 0 1 5.00 0 4 2.060.13)(
3
2
t
ttth
.46.13,56.13,40,15,00 水银密度分别为时当所以?t
.46.13)40(,56.13)15( hh
第 2章 测试题一、填空题 (每小题 4分，共 40分 )
ijijn aDaaD 则若,.1
132
213
321
3
321
,0,,.2
xxx
xxx
xxx
qpxxxxx
列式则行的三个根是方程设行列式,3
10000
00001998
00019970
00200
01000
D
44
33
22
11
00
00
00
00
,4
ab
ab
ba
ba
四阶行列式
44342414
4
,.5
AAAA
cdba
acbd
adbc
dcba
D
则设四阶行列式的符号为在五阶行列式中 3524415312,6 aaaaa
的系数是中在函数 3
21
112
,7 x
x
xxx
x
xf
abcd
badc
cdab
dcba
四阶行列式,8
,,,.9 时且则当为实数若 baba
0
101
0
0
ab
ba
二、计算下列行列式 (每小题 9分，共 18分 )．
01122
10321
01132
22113
13211
,1
5
D
.
,10
121
121
iiii
iiii
nn
nn
次对换后变为排列可经排列
xzzz
yxzz
yyxz
yyyx
D
n
,2
齐次方程组取何值问,,
02
0
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
有非零解？
三、解答题 (9
分 )．
四、证明 (每小题 8分，共 24分 )．
;0
321
321
321
321
,1
2222
2222
2222
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用数学归纳法证明,3
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2,121 nxxxxx jinijn?
五,(9分 ) 设 行列式n
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001
0301
0021
321
求第一行各元素的代数余子式之和
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2
1
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一、
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yxzzxy nn
二、
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测试题答案
