§ 2.4 n 阶 行列式的性质
2.4.3 小结
2.4.1 行列式的性质
2.4.2 行列式计算 (2)
2.4.1 行列式的性质性质 2-1 行列式与它的转置行列式相等,
行列式 称为行列式 的 转置行列式,TD D
记
nn
a
a
a
22
11
n
n
a
aa
2
112
21
21
nn
aa
a
D
2
121
n
n
a
aa
nn
aa
a
21
12
TD
nn
a
a
a
22
11
证明的转置行列式记 ijaD d e t?,
21
22221
11211
nnnn
n
n
T
bbb
bbb
bbb
D

,,,2,1,njiab jiij即 按定义
nppptnppptT nn aaabbbD 2121 2121 11 D?
,
5
7
1571
266 853
2
6
6
8
5
3
性质 2-2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,
例如
,
571571
266
853
.
8
2
5
8
2
5

3
6
1
5
6
7
5
6
7
3
6
1
266 853
记法 行列式的第 s行,sr,交换 s,t两行,ts rr?
行列式的第 s列,sc 交换 s,t两列,ts cc?
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零,
证明 互换相同的两行，有 DD
.0 D
性质 2-3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数,等于用数 乘此行列式,k k
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa


21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k


21
21
11211
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
记法 第 s行乘以 k,skr 第 s列乘以 k,skc
性质 2-４ 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
证明
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa



21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k



21
21
21
11211
.0?
性质 2-5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D




)(
)(
)(
21
2222221
1111211



则 D等于下列两个行列式之和：
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D









1
2221
1111
1
2221
1111例如性质 2-6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，
行列式不变．
njnjnin
jji
nji
aaaa
aaaa
aaaa




1
22221
11111
njnjnjnin
jjji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
kcc




)(
)(
)(
1
222221
111111
k例如记法 数 k乘第 t 行加到第 s 行上,ts krr? )( ts kcc?
例１
2101044
614753
12402
59733
13211




D
2.4.2 行列式计算 (2)
计算行列式 常用方法,利用运算 把行列式化为上 三角形行列式,从而算得行列式的值,
ji krr?
3
2101044
614753
12402
59733
13211




D
3
解
2101044
614753
12402
20100
13211
3
12




rr
2101044
614753
14020
20100
13211




2101044
614753
12402
20100
13211
3
12




rr
2
3
12 2rr?
4
2101044
614753
14020
20100
13211




3
12 2rr?
4
22200
35120
14020
20100
13211



14 4rr?
13 3rr?
42 rr?
22200
20100
14020
35120
13211



22200
35120
14020
20100
13211



14 4rr?
13 3rr?
34 rr?
22200
20100
21100
35120
13211



23 rr?
2
35 2rr?
64000
01000
21100
35120
13211


4?
60000
01000
21100
35120
13211


61245 4rr?,12?
64000
01000
21100
35120
13211


4?
例 2 计算 阶行列式n
abbb
babb
bbab
bbba
D

解



abbbna
babbna
bbabna
bbbbna

1
1
1
1




D
将第 都加到第一列得 n,,3,2?

abb
bab
bba
bbb
bna

1
1
1
1
)1(

ba
ba
ba
bbb
bna

1
)1(
0
0
,)()1( 1 nbabna
例 3 计算
3111
1311
1131
1113
D
例 4 计算
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcba
D



3610363
234232
注意,上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法，要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次运算是作用在前一次运算结果上,
例如：
dc
ba
21 rr? dc
dbca
12 rr? ba
dbca


dc
ba
12 rr? bdac
ba
21 rr? bdac
dc

课堂练习：
1.计算行列式
0112
0121
2011
2110
)1(


D
201041
10631
4321
1111
)2(?D
2.一个 n阶行列式，它的元素满足
njiaa jiij,,2,1,
证明,当 n 为奇数时，此行列式为零,
＝ 4 ＝ 1
例 5
nnn
n
nkn
k
kkk
k
bb
bb
cc
cc
aa
aa
D



1
111
1
111
1
111
0
设
,)d e t (
1
111
1
kkk
k
ij
aa
aa
aD

,)d e t (
1
111
2
nnn
n
ij
bb
bb
bD


.21 DDD?证明证明;
0
11
1
11
1 kk
kkk
pp
pp
p
D?
设为化为下三角形行列式，把作运算对 11 DkrrD ji?
化为下三角形行列式把作运算对 22,DkccD ji?
.
0
11
1
11
2 nn
nkn
qq
pq
q
D?
设为
,
0
1
11
1
111
1
11
nnnnkn
k
kkk
qq
q
cc
cc
pp
p
D



化为下三角形行列式把算列作运，再对后行作运算的前对
Dkcc
nkrrkD
ji
ji
,?
nnkk qqppD 1111故,21 DD?
(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 ).
计算行列式 常用方法,(1)利用定义 ;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,
2.4.3 小结行列式的 6个性质思考题 阶行列式计算 4
1
11
1
11
1
11
1
11
2
2
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
a
a
D
1?abc d已知解
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
d
dd
c
cc
b
bb
a
aa
D?
1
11
1
11
1
11
1
11
2
2
2
2
d
d
d
c
c
c
b
b
b
a
a
a
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
d
dd
c
cc
b
bb
a
aa
D?
1
11
1
11
1
11
1
11
2
2
2
2
d
d
d
c
c
c
b
b
b
a
a
a
dd
d
cc
c
bb
b
aa
a
a b cd
11
1
11
1
11
1
11
1
2
2
2
2

dd
d
cc
c
bb
b
aa
a
11
1
11
1
11
1
11
1
1
2
2
2
2
3

.0?