§ 2.5 行列式按一行 (列 )展开
2.5.3 小结
2.5.1 展开公式
2.5.2 行列式的计算 (3)
容易 验证,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3331
2321
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算,
问题,一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个
n-1 阶行列式来计算？
1.余子式与代数余子式
2.5.1 展开公式定义 2-7 在 n 阶行列式中，把元素 ija 所在的第 i 行和第 j 列划去后，余下的 n－ 1 阶行列式叫做元素
ija 的 余子式,记为 ijM
称 ijjiij MA 1为元素 ija 的 代数余子式,
例如：
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M?
233223 1 MA,23M
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D?
444341
343331
242321
12
aaa
aaa
aaa
M?
122112 1 MA 12M
333231
232221
131211
44
aaa
aaa
aaa
M?
44444444 1 MMA
注意,行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式,
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
ininiiii AaAaAaD2211ni,,2,1
定理 2-5
证明 （ 先特殊，再一般 ）
分 三种 情况讨论，我们只对行来证明此定理,
(1)假定行列式 D的第一行除 11a 外都是 0.
nnnn
n
aaa
aaa
a
D
21
22221
11
00
2.行列式按一行（列）展开法则由行列式定义,D 中仅含下面形式的项
n
n njjjjjj aaaa
32
32 3211),,,,1()1(
n
n njjjjjj aaaa
32
32 32),,,,1(11 )1(
其中 nn njjjjjj aaa 3232 32),,,,1()1( 恰是 11M 的一般项,
所以 1111 MaD?
111111 )1( Ma
1111 Aa?
(2) 设 D 的第 i 行除了 ija外都是 0,
nnnjn
ij
nj
aaa
a
aaa
D
1
1111
00?
把 D转化为 (1)的情形把 D 的第 i 行依次与第 1?i 行，第 2?i 行,······，
第 2行，第 1行交换；再将第 j 列依次与第 1?j 列，
第 2?j 列,···,第 2列，第 1列交换，这样共经过
2)1()1( jiji 次交换行与交换列的步骤,
由性质 2-2，行列式互换两行（列）行列式变号，
得
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
D
1,
,11,1,1
2
00
)1(
ijijji Ma )1(
ijji A )1(
(3) 一般情形
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
21
21
11211
000000
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
21
1
11211
00?
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
21
2
11211
00?
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
21
11211
00
ininiiii AaAaAa2211ni,,2,1
例如，行列式
277
010
353
D
27
013D,27?
按第一行展开，得
27
005?
77
103
证毕,
行列式任一行 (列 )的元素与另一行 (列 )的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.,02211 ikAaAaAa inknikik
定理 2-6
证明 由定理 2-5，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和,
在
nnnn
knkk
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
11211
中，如果令第 i 行的元素等于另外一行，譬如第 k
行的元素则
inknikik AaAaAa?2211
nnnn
knkk
knkk
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
第 i行右端的行列式含有两个相同的行，值为 0.
综上，得 公式
inknikik AaAaAa?2211
），（当
）（当
ik
ikD
0
,
njnljljl AaAaAa?2211
），（当
）（当
jl
jlD
0
,
简记为
n
j
kiijkj ik
ikDDAa
1,0
,
当当?
n
k
ljkjkl jl
jlDDAa
1,0
,
当当?
jl
jlD
lj 当当其中
,0
,?
称为 克罗内克符号,
利用按行按列展开定理，并结合性质，可简化行列式计算：
计算行列式时，可 先用行列式的性质将某一行
（列）化为仅含 1个非零元素,再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式,
在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个 n阶行列式换成 n个
（ n－ 1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义,但展开定理在理论上是重要的,
例 1 计算行列式
277
010
353
D
解
27
013D
.27?
按第一行展开，得
2
005?
77
13
2.5.2 行列式的计算 (3)
05320
04140
01320
25271
02135
D
例 2 计算行列式解
05320
04140
01320
25271
02135
D
5320
4140
1320
2135
21
52
660
270
132
10?
66 27210
,1080124220
532
414
132
52
5320
4140
1320
2135
21
52
13 rr?
12 2 rr
例 3 计算行列式
3351
1102
4315
2113
D
0355
0100
13111
1115
31 2 cc
34 cc?
055
1111
115
)1( 33
055
026
115
55
26)1( 31
50
28
.40?
12 rr?
例 4 证明 范德蒙德 (Vandermonde)行列式?
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
).(
111
jin
ji
n
n
nn
n
n
n
xx
xxx
xxx
xxx
D
)1(
证明 用数学归纳法
21
2
11
xxD? 12 xx,)(12 ji ji xx(1)当 n=2时,
结论成立,
(2)设 n－ 1阶范德蒙德行列式成立，往证 n阶也成立,
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
n
n
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
D
11 nn rxr
211 nn rxr
112 rxr?
)()()(0
)()()(0
0
1111
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
n
n
n
nn
nn
n
,)(1 1 提出因子列展开，并把每列的公按第 xx i?
22
3
2
2
32
11312
111
)())((
n
n
nn
n
n
xxx
xxx
xxxxxx
n-1阶 范德蒙德 行列式
)()())((
2
11312 j
jin
in xxxxxxxx
).(
1
j
jin
i xx
证毕,
学生练习,用降阶法
（按行按列展开）
计算行列式的值,2421
1642
1411
2111
=57
例 5
2903
11324
3412
4141?
21 4rr?
23 2rr? 2903
5500
3412
81707
按第二列展开
293
550
8177
)1(1 22?
32 cc?
2113
500
8257
按第二行展开 113
257)1(5 32
10)7577(5
计算方法,(1)化上 (下 )三角形法 ; (2)降阶法,
例 6
axaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
D
nccc21 ])2([ anx
axaa
aaxa
aaax
aaa
1
1
1
1
1
13
12
rr
rr
rr
n
])2([ anx
ax
ax
ax
aaa
2000
0200
0020
1
1)2]()2([ naxanx
例 7
n
D
001
0301
0021
1111
箭形行列式目标：把第一列化为
0
0
11
a
成 上 三角形 行列式
ncnccc
13121
321
n
i
n
i
000
0300
0020
111
1
1
2
)11(!
2
n
i i
n
例 8
baaaa
abaaa
aabaa
aaaba
D
n
n
n
n
321
321
321
321
1
13
12
rr
rr
rr
n?
bb
bb
bb
aaaba
n
00
00
00
321
nccc21
b
b
b
aaabaaa
nn
000
000
000
)(
3221
121 )]()[( nn bbaaa?
例 9
4
3
2
1
xaaa
axaa
aaxa
aaax
D?
)4,3,2,1,( iax i
（可以化为 箭形 行列式）
14
13
13
12
rr
rr
rr
rr
axxa
aaxxa
axxa
aaax
41
31
21
1
00
0
00
))()()(( 4321 axaxaxax
1001
0101
0011
4321
1
ax
a
ax
a
ax
a
ax
x
4321 cccc
4
1
)(
i
i ax
1000
0100
0010
432
4
21
1
ax
a
ax
a
ax
a
ax
a
ax
x
i i
4
1
4
21
1 )(][
i
i
i i
axax aax x
例 10 计算
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcba
D
3610363
234232
解 (化 上三角形 法 )
D
12
23
34
rr
rr
rr
cbabaa
cbabaa
cbabaa
dcba
3630
2320
0
23
34
rr
rr
baa
baa
cbabaa
dcba
300
200
0
34 rr?
a
baa
cbabaa
dcba
000
200
0
4a?
baa
baa
cbabaa
dcba
300
200
0
例 11 证明
333
222
111
333333
222222
111111
2
cba
cba
cba
accbba
accbba
accbba
证明 1
左边 32
31
cc
cc
333333
222222
111111
acabcb
acabcb
acabcb
321 ccc
33333
22222
11111
2
acabb
acabb
acabb
12 cc?
3333
2222
1111
2
acab
acab
acab
12 cc?
3333
2222
1111
2
acab
acab
acab
23 cc?
333
222
111
2
cab
cab
cab
)1(2
21
c
cc
333
222
111
2
cba
cba
cba =右边左边 321 ccc
3333333
2222222
1111111
)(2
)(2
)(2
accbcba
accbcba
accbcba
22?c
3333333
2222222
1111111
2
accbcba
accbcba
accbcba
12
13
cc
cc
33333
22222
11111
2
bacba
bacba
bacba
321 ccc
333
222
111
2
bac
bac
bac
12
31
cc
cc
333
222
111
2
cba
cba
cba
证明 2
=右边
(按 列 拆开 )
33333
22222
11111
accba
accba
accba
3333
2222
1111
accbb
accbb
accbb
3333
2222
1111
acba
acba
acba
3333
2222
1111
acca
acca
acca
3333
2222
1111
acbb
acbb
acbb
3333
2222
1111
accb
accb
accb
333
222
111
2
cba
cba
cba
证明 3
左边
=右边,
2009-7-25
例 12 计算
dc
dc
dc
ba
ba
ba
D
n
2
0
0
0
0
特点,“0”多 方法,降阶 找递推公式,
1?n
dc
baD?
2
2?n
dc
dc
ba
ba
D
00
00
00
00
4
3?n
dc
dc
dc
ba
ba
ba
D
0000
0000
0000
0000
0000
0000
6
2009-7-25
解 按 第 1行 展开,有
d
dc
dc
ba
ba
aD
n
00
0
0
2
00
0
0
)1(
12
c
dc
dc
ba
ba
b
n?
)1(2)1(2 nn b c Da d D
)1(2)( nDbcad
2009-7-25
递推公式
nDbcad 20)( )1(21)( nDbcad
)2(2
2)(
nDbcad
121)( Dbcad n
21)( Dbcad n
nbcad )(
例 13
1
1
1
nD
1nn DD
1
1
1
0
1
n
21)( nn DD
)( 211 nnnn DDDD )( 322 nnD
)( 122 DDn
解
,)( 22D1D
2222111 nnnnnn DD?
nnn DD 1 (1)
121 nnn DD (2)
212 DD (n-1)
)1()3()2()1( 22 nn
).(122221 nnnnnnD?
关于代数余子式的重要性质
;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
kjki 当当?
;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
jkik 当当?
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中
jninjiji AaAaAa?2211
njnijiji AaAaAa?2211
1,行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具,
;,0
,,.2
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
kjki 当当?
;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
jkik 当当?
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中
2.4.3 小结思考题 阶行列式设 n
n
n
D
n
001
0301
0021
321
求第一行各元素的代数余子式之和
.11211 nAAA
思考题解答解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
nAAA 11211
n?
001
0301
0021
1111
.11!
2
n
j j
n
2.5.3 小结
2.5.1 展开公式
2.5.2 行列式的计算 (3)
容易 验证,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3331
2321
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算,
问题,一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个
n-1 阶行列式来计算？
1.余子式与代数余子式
2.5.1 展开公式定义 2-7 在 n 阶行列式中，把元素 ija 所在的第 i 行和第 j 列划去后，余下的 n－ 1 阶行列式叫做元素
ija 的 余子式,记为 ijM
称 ijjiij MA 1为元素 ija 的 代数余子式,
例如：
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M?
233223 1 MA,23M
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D?
444341
343331
242321
12
aaa
aaa
aaa
M?
122112 1 MA 12M
333231
232221
131211
44
aaa
aaa
aaa
M?
44444444 1 MMA
注意,行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式,
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
ininiiii AaAaAaD2211ni,,2,1
定理 2-5
证明 （ 先特殊，再一般 ）
分 三种 情况讨论，我们只对行来证明此定理,
(1)假定行列式 D的第一行除 11a 外都是 0.
nnnn
n
aaa
aaa
a
D
21
22221
11
00
2.行列式按一行（列）展开法则由行列式定义,D 中仅含下面形式的项
n
n njjjjjj aaaa
32
32 3211),,,,1()1(
n
n njjjjjj aaaa
32
32 32),,,,1(11 )1(
其中 nn njjjjjj aaa 3232 32),,,,1()1( 恰是 11M 的一般项,
所以 1111 MaD?
111111 )1( Ma
1111 Aa?
(2) 设 D 的第 i 行除了 ija外都是 0,
nnnjn
ij
nj
aaa
a
aaa
D
1
1111
00?
把 D转化为 (1)的情形把 D 的第 i 行依次与第 1?i 行，第 2?i 行,······，
第 2行，第 1行交换；再将第 j 列依次与第 1?j 列，
第 2?j 列,···,第 2列，第 1列交换，这样共经过
2)1()1( jiji 次交换行与交换列的步骤,
由性质 2-2，行列式互换两行（列）行列式变号，
得
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
D
1,
,11,1,1
2
00
)1(
ijijji Ma )1(
ijji A )1(
(3) 一般情形
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
21
21
11211
000000
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
21
1
11211
00?
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
21
2
11211
00?
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
21
11211
00
ininiiii AaAaAa2211ni,,2,1
例如，行列式
277
010
353
D
27
013D,27?
按第一行展开，得
27
005?
77
103
证毕,
行列式任一行 (列 )的元素与另一行 (列 )的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.,02211 ikAaAaAa inknikik
定理 2-6
证明 由定理 2-5，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和,
在
nnnn
knkk
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
21
21
21
11211
中，如果令第 i 行的元素等于另外一行，譬如第 k
行的元素则
inknikik AaAaAa?2211
nnnn
knkk
knkk
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
第 i行右端的行列式含有两个相同的行，值为 0.
综上，得 公式
inknikik AaAaAa?2211
），（当
）（当
ik
ikD
0
,
njnljljl AaAaAa?2211
），（当
）（当
jl
jlD
0
,
简记为
n
j
kiijkj ik
ikDDAa
1,0
,
当当?
n
k
ljkjkl jl
jlDDAa
1,0
,
当当?
jl
jlD
lj 当当其中
,0
,?
称为 克罗内克符号,
利用按行按列展开定理，并结合性质，可简化行列式计算：
计算行列式时，可 先用行列式的性质将某一行
（列）化为仅含 1个非零元素,再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式,
在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个 n阶行列式换成 n个
（ n－ 1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义,但展开定理在理论上是重要的,
例 1 计算行列式
277
010
353
D
解
27
013D
.27?
按第一行展开，得
2
005?
77
13
2.5.2 行列式的计算 (3)
05320
04140
01320
25271
02135
D
例 2 计算行列式解
05320
04140
01320
25271
02135
D
5320
4140
1320
2135
21
52
660
270
132
10?
66 27210
,1080124220
532
414
132
52
5320
4140
1320
2135
21
52
13 rr?
12 2 rr
例 3 计算行列式
3351
1102
4315
2113
D
0355
0100
13111
1115
31 2 cc
34 cc?
055
1111
115
)1( 33
055
026
115
55
26)1( 31
50
28
.40?
12 rr?
例 4 证明 范德蒙德 (Vandermonde)行列式?
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
).(
111
jin
ji
n
n
nn
n
n
n
xx
xxx
xxx
xxx
D
)1(
证明 用数学归纳法
21
2
11
xxD? 12 xx,)(12 ji ji xx(1)当 n=2时,
结论成立,
(2)设 n－ 1阶范德蒙德行列式成立，往证 n阶也成立,
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
n
n
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
D
11 nn rxr
211 nn rxr
112 rxr?
)()()(0
)()()(0
0
1111
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
n
n
n
nn
nn
n
,)(1 1 提出因子列展开，并把每列的公按第 xx i?
22
3
2
2
32
11312
111
)())((
n
n
nn
n
n
xxx
xxx
xxxxxx
n-1阶 范德蒙德 行列式
)()())((
2
11312 j
jin
in xxxxxxxx
).(
1
j
jin
i xx
证毕,
学生练习,用降阶法
（按行按列展开）
计算行列式的值,2421
1642
1411
2111
=57
例 5
2903
11324
3412
4141?
21 4rr?
23 2rr? 2903
5500
3412
81707
按第二列展开
293
550
8177
)1(1 22?
32 cc?
2113
500
8257
按第二行展开 113
257)1(5 32
10)7577(5
计算方法,(1)化上 (下 )三角形法 ; (2)降阶法,
例 6
axaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
D
nccc21 ])2([ anx
axaa
aaxa
aaax
aaa
1
1
1
1
1
13
12
rr
rr
rr
n
])2([ anx
ax
ax
ax
aaa
2000
0200
0020
1
1)2]()2([ naxanx
例 7
n
D
001
0301
0021
1111
箭形行列式目标：把第一列化为
0
0
11
a
成 上 三角形 行列式
ncnccc
13121
321
n
i
n
i
000
0300
0020
111
1
1
2
)11(!
2
n
i i
n
例 8
baaaa
abaaa
aabaa
aaaba
D
n
n
n
n
321
321
321
321
1
13
12
rr
rr
rr
n?
bb
bb
bb
aaaba
n
00
00
00
321
nccc21
b
b
b
aaabaaa
nn
000
000
000
)(
3221
121 )]()[( nn bbaaa?
例 9
4
3
2
1
xaaa
axaa
aaxa
aaax
D?
)4,3,2,1,( iax i
（可以化为 箭形 行列式）
14
13
13
12
rr
rr
rr
rr
axxa
aaxxa
axxa
aaax
41
31
21
1
00
0
00
))()()(( 4321 axaxaxax
1001
0101
0011
4321
1
ax
a
ax
a
ax
a
ax
x
4321 cccc
4
1
)(
i
i ax
1000
0100
0010
432
4
21
1
ax
a
ax
a
ax
a
ax
a
ax
x
i i
4
1
4
21
1 )(][
i
i
i i
axax aax x
例 10 计算
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcba
D
3610363
234232
解 (化 上三角形 法 )
D
12
23
34
rr
rr
rr
cbabaa
cbabaa
cbabaa
dcba
3630
2320
0
23
34
rr
rr
baa
baa
cbabaa
dcba
300
200
0
34 rr?
a
baa
cbabaa
dcba
000
200
0
4a?
baa
baa
cbabaa
dcba
300
200
0
例 11 证明
333
222
111
333333
222222
111111
2
cba
cba
cba
accbba
accbba
accbba
证明 1
左边 32
31
cc
cc
333333
222222
111111
acabcb
acabcb
acabcb
321 ccc
33333
22222
11111
2
acabb
acabb
acabb
12 cc?
3333
2222
1111
2
acab
acab
acab
12 cc?
3333
2222
1111
2
acab
acab
acab
23 cc?
333
222
111
2
cab
cab
cab
)1(2
21
c
cc
333
222
111
2
cba
cba
cba =右边左边 321 ccc
3333333
2222222
1111111
)(2
)(2
)(2
accbcba
accbcba
accbcba
22?c
3333333
2222222
1111111
2
accbcba
accbcba
accbcba
12
13
cc
cc
33333
22222
11111
2
bacba
bacba
bacba
321 ccc
333
222
111
2
bac
bac
bac
12
31
cc
cc
333
222
111
2
cba
cba
cba
证明 2
=右边
(按 列 拆开 )
33333
22222
11111
accba
accba
accba
3333
2222
1111
accbb
accbb
accbb
3333
2222
1111
acba
acba
acba
3333
2222
1111
acca
acca
acca
3333
2222
1111
acbb
acbb
acbb
3333
2222
1111
accb
accb
accb
333
222
111
2
cba
cba
cba
证明 3
左边
=右边,
2009-7-25
例 12 计算
dc
dc
dc
ba
ba
ba
D
n
2
0
0
0
0
特点,“0”多 方法,降阶 找递推公式,
1?n
dc
baD?
2
2?n
dc
dc
ba
ba
D
00
00
00
00
4
3?n
dc
dc
dc
ba
ba
ba
D
0000
0000
0000
0000
0000
0000
6
2009-7-25
解 按 第 1行 展开,有
d
dc
dc
ba
ba
aD
n
00
0
0
2
00
0
0
)1(
12
c
dc
dc
ba
ba
b
n?
)1(2)1(2 nn b c Da d D
)1(2)( nDbcad
2009-7-25
递推公式
nDbcad 20)( )1(21)( nDbcad
)2(2
2)(
nDbcad
121)( Dbcad n
21)( Dbcad n
nbcad )(
例 13
1
1
1
nD
1nn DD
1
1
1
0
1
n
21)( nn DD
)( 211 nnnn DDDD )( 322 nnD
)( 122 DDn
解
,)( 22D1D
2222111 nnnnnn DD?
nnn DD 1 (1)
121 nnn DD (2)
212 DD (n-1)
)1()3()2()1( 22 nn
).(122221 nnnnnnD?
关于代数余子式的重要性质
;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
kjki 当当?
;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
jkik 当当?
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中
jninjiji AaAaAa?2211
njnijiji AaAaAa?2211
1,行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具,
;,0
,,.2
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
kjki 当当?
;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
jkik 当当?
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中
2.4.3 小结思考题 阶行列式设 n
n
n
D
n
001
0301
0021
321
求第一行各元素的代数余子式之和
.11211 nAAA
思考题解答解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
nAAA 11211
n?
001
0301
0021
1111
.11!
2
n
j j
n
