2009-7-25 几何与代数 数学系 1
第四章 向量空间维向量及其运算n1.4
4.2 线性相关性
4.3 向量组的秩
4,4 矩阵的秩
4.5 齐次线性方程组
4.6 非齐次线性方程组
2009-7-25 几何与代数 数学系 2
维向量及其运算n1.4
维向量n1.1.4
定义 4-1,数域 P上的 n 个有次序的数所组成的有序数组 称为数域 P上的一个
n 维向量 （ vector),其中 称为第 i个分量 (component)
12,,,na a a
12,,,na a a
ia
以后我们用小写希腊字母 来代表向量。,,
而用小写拉丁字母 来代表数。,,,cba
2009-7-25 几何与代数 数学系 3
维行向量也称为 naaa n,,,?21
维列向量称为 n
a
a
a
n
2
1
故矩阵维列行向量就是一个一个矩阵；维行向量就是一个注：一个
,1
1
nn
nn
T
n
n
aaa
a
a
a
,,,
21
2
1
分量全为零的向量 称为 零向量。?0,0,,0
2009-7-25 几何与代数 数学系 4
例维向量。都是一个程组的每一个解个未知量的任一线性方
n
n)1(
矩阵。就可构成一个维向量按列排列，个将矩阵。就可构成一个维向量按行排列，个反之，将维向量而它的每一列都是维向量矩阵的每一行都是一个一个
nm
mn
nm
nm
mn
nm
;,
)2(
2009-7-25 几何与代数 数学系 5
4.1.2 向量的运算及性质定义 4-2 向量相等,如果和是数域 P上的两个 n 维向量，如果他们的对应分量都相等，即则称向量
12,,,na a a12,,,nb b b
1,2,,iia b i n
:相等，记做和定义 4-3 向量的和,如果和 是数域 P上的两个 n 维向量
12,,,na a a
12,,,nb b b
),,,( 2211 nn bababa
为的和与则
2009-7-25 几何与代数 数学系 6
负向量,向量称为向量 的负向量?
),,,( 21 naaa
向量的差 ()
04
03
)()(2
1
0
0
0
0
加法运算满足性质注：
零向量和负向量是唯一的
加法的逆运算是减法。
2009-7-25 几何与代数 数学系 7
k数乘运算,设 为数域 中的数，向量
12,,,nk a k a k a称为向量12,,,na a a
与数 的数量乘积。记为 k?
p
k
Plkn
kkk
lklk
kllk
,,
)(8
7
)()(6
15
0
0
0
0
维向量，是
数乘运算满足下列四条规则：
2009-7-25 几何与代数 数学系 8
线性运算,上述向量的加法及数乘运算称为向量的线性运算注：
满足上述 的运算称为线性运算。00 81?
00,0)4(
.00)3(;)1()2(00)1(
或则如果 kk
2009-7-25 几何与代数 数学系 9
4.1.3 n 维向量空间定义 4-5,设数域 上所有 维向量组成的集合，
连同在其上定义的加法与数乘运算，称为数域 上的 维向量空间（ vector space),记作：
nP
n
P
nP
注,维向量 对加法与数乘运算是封闭。nPn
定义 4-6,设 为数域 上的 维向量的非空集合，
如果 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为 上的向量空间．
n
V
V
V
P
P
说明,
,,.V k R k V有
,,;V V V有集合 对于加法及数乘两种运算封闭指V
2009-7-25 几何与代数 数学系 10
注,中的 加法与数乘运算 满足上述性质V 00 81?
两个特殊的子向量空间 称为平凡子空间
nPoV 和}{?
例 1,3维向量的全体 是一个向量空间。3R
例 2：
3R成的向量空间，是平面上所有向量全体做由 xoy
RyxyxV },|)0,,({
的一个子向量空间。
2009-7-25 几何与代数 数学系 11
1 2 2
2 2 2
( 1 ) 0,,,,,
( 2 ) 1,,,,,
T
nn
T
nn
V x x x x x R
V x x x x x R
解,2 2 1( 1 ) 0,,,,0,,,TTnna a b b V
2 2 10,,,Tnna b a b V有
21,0,,,.TnR a a V有所以,是向量空间。1V
(2) 不是向量空间。2V
,2,,2,22 22 Vaa Tn则
,,,,1 22 Vaa Tn因为若例 3,判别下列集合是否为向量空间,
2009-7-25 几何与代数 数学系 12
RbaxV,
1 2 1 2 1 2( ) ( ),x x a b V有
1 1 1,( ) ( ),k R k x k a k b V有
1 1 1 2 2 2,x a b x a b V解：
所以 V是一个向量空间。
例 4：设 a,b为两个已知的 n维向量，判断集合是否为向量空间,
（这个向量空间成为由向量 a,b生成的向量空间）
),(
,,,212211
baL
RaaaxV mmm
记作
一般地，由向量组 所 生成的向量空间 为12,,,ma a a
2009-7-25 几何与代数 数学系 13
4.1.4 线性组合与线性表示一般的,给定向量组 12:,,,,mA和向量?
如果存在一组实数 12,,,m
使得 1 1 2 2 mm
则称向量 是向量组 A的 线性组合，
或称向量 能由向量组 A线性表示。
对 P中的任何一组数 12,,,,mk k k向量
12:,,,,mA定义 4-7,设 是数域 P上的 n维向量组，
1 1 2 2 mmk k k
称为向量组 A的一个 线性组合，若记作,?
则称向量 是向量组 A的 线性组合?
12,,,mk k k称为这个线性组合的系数。
2009-7-25 几何与代数 数学系 14
例如,1 2 3 4
2 1 0 0 0
5 0 1 0 0
,,,,
3 0 0 1 0
0 0 0 0 1
有
2 1 0 0 0
5 0 1 0 0
2 5 3 0
3 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 2 3 4= 2 5 3 0即所以，称 是 的线性组合，
或 可以由 线性表示。
1 2 3 4,,,
1 2 3 4,,,
2009-7-25 几何与代数 数学系 15
问题,1 零向量是任何向量的线性组合，为什么？
2 任何向量都可由它本身所在的向量组线性表示么？
miii
m
001002
0000 1
121
21
答：
判断向量 可否由向量组 线性表示的定理。 12,,,m
n
nmmmm
n
n
abb
aaa
aaa
aaa
,,,
,,,
,,,
,,,
21
21
222122
121111
设
2009-7-25 几何与代数 数学系 16
线性表示，，，可由
m
21
nm
m
m
m
nnn
mm
m
a
a
a
k
a
a
a
k
a
a
a
k
b
b
b
kkk
kkk
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
2
1
2211
21
,,,
使存在一组实数
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
2009-7-25 几何与代数 数学系 17
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
定理 4-1
向量 可由向量组 线性表示的充分必要条件是：
12,,,m
以 12,,,m为 系数列向量,以? 为 常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的一组系数。
2009-7-25 几何与代数 数学系 18
小结
１,维向量的概念
２．向量的表示方法：行向量与列向量；
３,向量空间：
解析几何与线性代数中向量的联系与区别、
向量空间的概念；
2009-7-25 几何与代数 数学系 19
若一个本科学生大学阶段共修 36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用．
思考题
2009-7-25 几何与代数 数学系 20
如果我们还需要考察其它指标，
比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
思考题解答答,36维的．
第四章 向量空间维向量及其运算n1.4
4.2 线性相关性
4.3 向量组的秩
4,4 矩阵的秩
4.5 齐次线性方程组
4.6 非齐次线性方程组
2009-7-25 几何与代数 数学系 2
维向量及其运算n1.4
维向量n1.1.4
定义 4-1,数域 P上的 n 个有次序的数所组成的有序数组 称为数域 P上的一个
n 维向量 （ vector),其中 称为第 i个分量 (component)
12,,,na a a
12,,,na a a
ia
以后我们用小写希腊字母 来代表向量。,,
而用小写拉丁字母 来代表数。,,,cba
2009-7-25 几何与代数 数学系 3
维行向量也称为 naaa n,,,?21
维列向量称为 n
a
a
a
n
2
1
故矩阵维列行向量就是一个一个矩阵；维行向量就是一个注：一个
,1
1
nn
nn
T
n
n
aaa
a
a
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,,,
21
2
1
分量全为零的向量 称为 零向量。?0,0,,0
2009-7-25 几何与代数 数学系 4
例维向量。都是一个程组的每一个解个未知量的任一线性方
n
n)1(
矩阵。就可构成一个维向量按列排列，个将矩阵。就可构成一个维向量按行排列，个反之，将维向量而它的每一列都是维向量矩阵的每一行都是一个一个
nm
mn
nm
nm
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;,
)2(
2009-7-25 几何与代数 数学系 5
4.1.2 向量的运算及性质定义 4-2 向量相等,如果和是数域 P上的两个 n 维向量，如果他们的对应分量都相等，即则称向量
12,,,na a a12,,,nb b b
1,2,,iia b i n
:相等，记做和定义 4-3 向量的和,如果和 是数域 P上的两个 n 维向量
12,,,na a a
12,,,nb b b
),,,( 2211 nn bababa
为的和与则
2009-7-25 几何与代数 数学系 6
负向量,向量称为向量 的负向量?
),,,( 21 naaa
向量的差 ()
04
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)()(2
1
0
0
0
0
加法运算满足性质注：
零向量和负向量是唯一的
加法的逆运算是减法。
2009-7-25 几何与代数 数学系 7
k数乘运算,设 为数域 中的数，向量
12,,,nk a k a k a称为向量12,,,na a a
与数 的数量乘积。记为 k?
p
k
Plkn
kkk
lklk
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,,
)(8
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15
0
0
0
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维向量，是
数乘运算满足下列四条规则：
2009-7-25 几何与代数 数学系 8
线性运算,上述向量的加法及数乘运算称为向量的线性运算注：
满足上述 的运算称为线性运算。00 81?
00,0)4(
.00)3(;)1()2(00)1(
或则如果 kk
2009-7-25 几何与代数 数学系 9
4.1.3 n 维向量空间定义 4-5,设数域 上所有 维向量组成的集合，
连同在其上定义的加法与数乘运算，称为数域 上的 维向量空间（ vector space),记作：
nP
n
P
nP
注,维向量 对加法与数乘运算是封闭。nPn
定义 4-6,设 为数域 上的 维向量的非空集合，
如果 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为 上的向量空间．
n
V
V
V
P
P
说明,
,,.V k R k V有
,,;V V V有集合 对于加法及数乘两种运算封闭指V
2009-7-25 几何与代数 数学系 10
注,中的 加法与数乘运算 满足上述性质V 00 81?
两个特殊的子向量空间 称为平凡子空间
nPoV 和}{?
例 1,3维向量的全体 是一个向量空间。3R
例 2：
3R成的向量空间，是平面上所有向量全体做由 xoy
RyxyxV },|)0,,({
的一个子向量空间。
2009-7-25 几何与代数 数学系 11
1 2 2
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( 1 ) 0,,,,,
( 2 ) 1,,,,,
T
nn
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nn
V x x x x x R
V x x x x x R
解,2 2 1( 1 ) 0,,,,0,,,TTnna a b b V
2 2 10,,,Tnna b a b V有
21,0,,,.TnR a a V有所以,是向量空间。1V
(2) 不是向量空间。2V
,2,,2,22 22 Vaa Tn则
,,,,1 22 Vaa Tn因为若例 3,判别下列集合是否为向量空间,
2009-7-25 几何与代数 数学系 12
RbaxV,
1 2 1 2 1 2( ) ( ),x x a b V有
1 1 1,( ) ( ),k R k x k a k b V有
1 1 1 2 2 2,x a b x a b V解：
所以 V是一个向量空间。
例 4：设 a,b为两个已知的 n维向量，判断集合是否为向量空间,
（这个向量空间成为由向量 a,b生成的向量空间）
),(
,,,212211
baL
RaaaxV mmm
记作
一般地，由向量组 所 生成的向量空间 为12,,,ma a a
2009-7-25 几何与代数 数学系 13
4.1.4 线性组合与线性表示一般的,给定向量组 12:,,,,mA和向量?
如果存在一组实数 12,,,m
使得 1 1 2 2 mm
则称向量 是向量组 A的 线性组合，
或称向量 能由向量组 A线性表示。
对 P中的任何一组数 12,,,,mk k k向量
12:,,,,mA定义 4-7,设 是数域 P上的 n维向量组，
1 1 2 2 mmk k k
称为向量组 A的一个 线性组合，若记作,?
则称向量 是向量组 A的 线性组合?
12,,,mk k k称为这个线性组合的系数。
2009-7-25 几何与代数 数学系 14
例如,1 2 3 4
2 1 0 0 0
5 0 1 0 0
,,,,
3 0 0 1 0
0 0 0 0 1
有
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或 可以由 线性表示。
1 2 3 4,,,
1 2 3 4,,,
2009-7-25 几何与代数 数学系 15
问题,1 零向量是任何向量的线性组合，为什么？
2 任何向量都可由它本身所在的向量组线性表示么？
miii
m
001002
0000 1
121
21
答：
判断向量 可否由向量组 线性表示的定理。 12,,,m
n
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,,,
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2009-7-25 几何与代数 数学系 16
线性表示，，，可由
m
21
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2009-7-25 几何与代数 数学系 17
mnmnmm
nn
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2211
22222121
11212111
定理 4-1
向量 可由向量组 线性表示的充分必要条件是：
12,,,m
以 12,,,m为 系数列向量,以? 为 常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的一组系数。
2009-7-25 几何与代数 数学系 18
小结
１,维向量的概念
２．向量的表示方法：行向量与列向量；
３,向量空间：
解析几何与线性代数中向量的联系与区别、
向量空间的概念；
2009-7-25 几何与代数 数学系 19
若一个本科学生大学阶段共修 36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用．
思考题
2009-7-25 几何与代数 数学系 20
如果我们还需要考察其它指标，
比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
思考题解答答,36维的．
