4.5 齐次线性方程组齐次线性方程组



0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa

（ 1）
4.5.1 齐次线性方程组有非零解的条件
,
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
n
n



21
22221
11211


n
x
x
x
x
2
1
则上述方程组（ 1）可写成向量方程
0,( 2 )Ax?
1212111 nnx,,x,x若 为方程 的0?Ax
解，则



1
21
11
1
n
x
称为方程组 (1) 的 解向量,它也就是向量方程
(2)的解．
定理 4-21,齐次线性方程组 有非零解 110m n n mAx
r A n
等价的：齐次线性方程组 只有零解 110m n n mAx
r A n
推论,齐次线性方程组 只有零解 110n n n nAx
r A n
即 0,A? 即系数矩阵 A可逆。
4.5.2 齐次线性方程组的解的结构定理 4-22 若 为 的解，则 21 x,x 0?Ax
1 1 2 2x k k
0?Ax也是 的解,
证明
1 1 2 2 1 1 2 2 0A k k k A k A
00 21 A,A?
1 1 2 2 0.x k k A x故 也是 的解
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，
因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的 解空间,0?Ax
注意：
本性质对有限多个解也成立
12,,,0
,
t Ax称为齐次性方程组 的基础解系 如果; 0,,,)1( 21 的解的一组线性无关是?Axt
.
,,,0)2( 21
出线性表的任一解都可由 tAx
定义 4-16：基础解系的定义的通解可表示为那么的一组基础解系为齐次线性方程组如果
0
Ax
Axt
,,
0,,,21
ttkkkx2211
.,,,21 是任意常数其中 rnkkk
基础解系 又称为解空间的基
( )
0
.
mn
m n r A r n
xA
nr

定理4 - 2 3 设A 是 矩阵，如果则齐次线性方程组 的基础解析存在，
且每个基础解析中含 个解向量
1 1 1,
1,
10
01
~
00
00
nr
r r n r
cc
cc
A






A
证：设齐次线性方程组的系数矩阵为,于是由初等行变换化为
A
111 1,
2
1,
10
01
0
00
00
nr
r r n r
n
xcc
x
cc
x








1 1 1 1 1,
1 1,
r n r n
r r r r n r n
x c x c x
x c x c x





0?Ax?
现对 取下列 组数：nr x,,x?1? rn?


n
r
r
x
x
x
2
1
1 1 1 1 1,
1 1,
r n r n
r r r r n r n
x c x c x
x c x c x




分别代入
.,


1
0
0
,


0
1
0
,


0
0
1
依次得?
rx
x
1
11
1
1
,1
0
0
r
c
c











12
2
2
,0
1
0
r
c
c











1,
,
.0
0
1
nr
r n r
nr
c
c











从而求得原方程组的 个解：rn?
1,
,
,.
nr
r n r
c
c





12
2
,
r
c
c



11
1
,
r
c
c





,?
下面证明 是齐次线性方程组解空间的一个基．
rn,,,21






1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1

由于 个 维向量rn? rn?
线性无关，
所以 个 维向量 亦线性无关,rn? n rn,,,21
.,,,)1( 21 线性无关证明 n
.
,,,2)( 21
线性表示可由证明解空间的任一解都 rn

.
11
方程组的一个解为上述设 Tnrrx
,,,,rn 的线性组合再作21
rnnrr2211
由于 是 的解 故 也是 的解,
rn,,,21 0?Ax? 0?Ax,
.下面来证明
11
1
1
1
0
0
r
r
c
c











12
2
2
0
1
0
r
r
c
c











1,
,
0
0
1
nr
r n r
n
c
c












rnnrr2211
n
r
r
r
c
c
2
1
1
,Ax 的解都是方程与由于 0 又等价于而 0?Ax
1 1 1 1 1,
1 1,
r n r n
r r r r n r n
x c x c x
x c x c x




,都是此方程组的解与所以
n
r
r
r
c
c

2
1
1
n
r
r
r
2
1
1
由
.c,,c rr11
方程组
.故,rnnrr2211即所以 是齐次线性方程组解空间的一个基,rn,,1
说明
１．解空间的基不是唯一的．
.kkkx rnrn22112．若 是 的基础解系，则其 通解 为 rn,,,21
0?Ax
.,,,21 是任意常数其中 rnkkk
3 ( ),,
(,0 ) ;
R A n?当 时 方程组只有零解 故没有基础解系 此时解空间只含一个零向量 为 维向量空间
,,,
,,,
,
,,,,,
,)(
111
1
2211
21
RkkkkxS
kk
kkkx
rnnrAR
rnrnrn
rn
rnrn
rn









解空间可表示为为任意实数其中方程组的解可表示为此时基础解系个向量的方程组必有含时当例 1 求齐次线性方程组



0377
,02352
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
的基础解系与通解,
解
,
0000
747510
737201
1377
2352
1111
~



A
对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩阵，有
A


.
7
4
7
5
,
7
3
7
2
432
431
xxx
xxx
便得
,1001
4
3?





及令
x
x,
74
73
75
72
2
1?





及对应有
x
x
,
1
0
74
73
,
0
1
75
72
21




即得基础解系
).,(,
1
0
74
73
0
1
75
72
2121
4
3
2
1
Rcccc
x
x
x
x
并由此得到通解例 2 解线性方程组




07653
023
05532
034
54321
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
解



76513
12311
55312
34111
A
对系数矩阵施行初等行变换



00000
00000
13110
34111
~
,rn,n,rAR 352即方程组有无穷多解，
其基础解系中有三个线性无关的解向量,



5432
54321
3
34
xxxx
xxxxx代入





26220
26220
13110
34111
~
5
4
3
x
x
x
令,
0
1
0
,
0
0
1
.
1
0
0
所以原方程组的一个基础解系为
,

0
0
1
1
2
1
故原方程组的通解为,kkkx 332211
.k,k,k 为任意常数其中 321
,xx?



1
2
2
1依次得,?

1
2,?

3
1
,
0
1
0
3
1
2
,
1
0
0
1
2
3
例 3 ).()( ARAAR T?证明证,,维列向量为矩阵为设 nxnmA?;0)(
,0)(,0

xAA
AxAAxx
T
T 即则有满足若
.0,0)()(
,0)(,0)(


AxAxAx
xAAxxAAx
T
TTT
从而推知即则满足若
,0)(0 同解与综上可知方程组 xAAAx T
).()( ARAAR T? 因此小结
１．齐次线性方程组基础解系的求法有解0?Ax nAR?
个解向量此时基础解系中含有 ARn?
２．齐线性方程组解的情况