4.2 线性相关性
.A,A
0
,,,,
,,,,:
2211
21
21
线性无关否则称向量组线性相关称向量组使如果存在不全为零实数给定向量组
mm
m
m
kkk
kkk
A
定义 4：
二者必居其一。或者线性无关
，或者线性相关一个向量组
.
,,,,21 m
注几何意义,(1)两向量线性相关,两向量共线,
(2)三向量线性相关,三向量共面,
4.2.1 线性相关,线性无关共线。，何上这两个向量成比例，几
，于是不放设使的实数不全为零如果线性相关，则存在
）给定两个非零向量解释（
21
2
1
2
11
221121
21
0
0,,
,1
k
k
k
kkkk
(2)自己证明,三向量线性相关,三向量共面,
例 1：用定义判断线性相关性。
(1) 向量,,,o线性 ______关。
(2) 向量,,,线性 ______关。
相相线性任何一个非零向量一定任何向量线性相关。至少有两个向量相同的组一定线性相关。包含零向量的任何向量结论无关 。
4.2.1 线性相关性的刻画
至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示向量组 线性相关 )2(,,,
21?mm
定理 4-2
0
,,,,
,,,
2211
21
21
mm
m
m
kkk
kkk
使存在一组不全为零实数线性相关证（必要性）设向量组个向量线性表示。由其余
，于是不放设
1-m
k
k
k
k
k
k
k
k
k
i
m
i
m
i
i
i
i
i
i
i
i
i
1
1
1
1
1
1
0
mmiiiii
i
llll
m
111111
1-
即个向量线性表示，由其余（充分性）设
0)1( 111111 mmiiiii llll于是于是 向量 线性相关 )2(,,,
21?mm
推论,向量组 线性无关 )2(,,,
21?mm
任一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表示
至少有一个向量 可由其前面的向量线性表示例 2,向量组 线性相关 )2(,,,
21?mm
)1( mii
必要性证：充分性显然，只证
0
,,,,
,,,
2211
21
21
mm
m
m
kkk
kkk
使存在一组不全为零实数线性相关假设向量组矛盾），，与否则可能是第一个不为零的系数不
，则个系数一个一个往前看从第
000(
,
1111
1
kk
k
m
。由其前面向量线性表示
，于是数为不妨设第一不为零的系
i
i
i
i
i
i
i
k
k
k
k
mik
1
1
1
1
)1(0
则向量 必能由向量组 A线性表示，且表示式唯一,
定理 4-3,向量组 12:,,,mA线性无关,
而向量组 12:,,,,mB线性相关,
线性相关，证：由向量组 m,,,21?
0
,,,,
2211
21
lkkk
lkkk
mm
m
使数则存在一组不全为零实
0
,0
2211
mmkkk
l
则上式变为如果
.0
,,,
21
21
l
kkk
m
m
故线性无关矛盾，，，，这与不全为零，而且系数
mm
mm
lll
kkk
2211
2211设下面再证惟一性。
0)()() 222111 mmm lklklk（
两式相减得
,0,,0,0
,,,
2211
21
mm
m
lklklk?
所以系数线性无关，因为
的。线性表示的方法是惟一，由故于是有
m
ii milk
,,
.,,2,1,
21?
12
1 11 21 1
2 12 22 2
12
44
,
,,,
,,,
,,,
m
T
n
T
n
m m m n m
n
a a a
a a a
a a a
定理 设 维向量组
，,,其中
4.2.3 线性相关性的判断,
条件是：
线性相关的充分必要，，，则向量组 m21
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
m m m n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
性方程组为系数列向量的齐次线，，，以 m21
有非零解，且它的一个非零解 就是线性表示的一组不全为零的系数。 ),( 21 mkkk?
1 1 2 2 0nnx x x
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0,
0,
0.
nn
nn
m m m n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
线性方程组的向量表示
1 1 2 2
0
.
mm
A
x x x
等价的：向量组 线性相关充分必要条件是的就是齐次线性方程组有非零解
线性相关证：由向量组 m,,,21?
0
,,,,
2211
21
mm
m
kkk
kkk
使存在一组不全为零实数
0
0
0
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
nm
m
m
m
nn
a
a
a
k
a
a
a
k
a
a
a
k
)44(21?性方程组为系数列向量的齐次线，，，以 m
有非零解，且它的一个非零解 就是线性表示的一组不全为零的系数。 ),( 21 mkkk?
注亦即向量的维数。
向量的分量的个数，而方程的个数则是每个的向量的个数；个数就是向量组所包含中，未知量的齐次线性方程组 )44(?
利用此定理判别向量组的线性相关性等价的说法
(2)
n维向量组 线性相关m,,,21?定理,
.0 有非零解?Ax
mA,,,21其中
推论,n维向量组 线性无关
m,,,21
.0 只有零解?Ax12,,,mA其 中例 3,证明 n维基本向量组
TnTT 1,,0,0,,0,,1,0,0,,0,1 21
线性无关,
nE,,,21解,即只有零解,0?Ex
是线性无关的，，，所以基本向量组只有零解，
n
n
n
n
xxx
xxx
xxx
21
21
21
21
0100
0010
0001
例 4 判断向量组
是各不相同的数）（
。线性相关还是线性无关
dcba
dddccc
bbbaaa
,,,
,,,1,,,,1
,,,,1,,,,1
32
4
32
4
32
2
32
1
德行列式其系数行列式是范德蒙考虑齐次线性方程组
)54(
0
0
0
0
4
3
3
3
2
3
1
3
4
2
3
2
2
2
1
2
4321
4321
xdxcxbxa
xdxcxbxa
dxcxbxax
xxxx
0))()()()()((
1111
3333
2222
cdbdbcadacab
dcba
dcba
dcba
D
由克莱姆法则，上述方程（ 4-5）只有零解线性无关，，，则向量组 m21
解：设数 1 2 3,,k k k使得 1 1 2 2 3 3 0k k k成立。
即
1 2 3
1 0 2 0
1 2 4 0
1 5 7 0
k k k
未知量为 1 2 3,,k k k
系数行列式
1 0 2
1 2 4 0
1 5 7
齐次线性方程组有非零解，所以向量
1 2 3,,线性相关。
向量 12,对应分量不成比例，所以线性无关。
例 5, TTT 7,4,2,5,2,0,1,1,1:
321已知试讨论向量组 及向量组的线性相关性,321,, 21
,
例 6
向量组:已知
321,,
线性无关,
133322211,,
.,,,321 线性无关试证
证明,用定义
0332211 kkk设
0)()()( 133322211 kkk
0)()()( 323212131 kkkkkk
,,,321 线性无关
0
0
0
32
21
31
kk
kk
kk
02
110
011
101
只有零解,0
321 kkk
.,,321 线性无关所以,
推论 4-2 n个 n维向量线性无关的充分必要条件是它们构成的方阵的行列式不等于零推论 4-3 任何 n+1个 n维向量一定线性相关。
一般的 当 m>n时,m个 n维向量一定线性相关推论 4-4 数域 P上的 n维向量空间 中，
任何一组线性无关的向量的个数最多为 n个。
nP
推论 4-5 如果在数域 P上的 n维向量空间 中，
有 n个向量 线性无关，则 中的任一向量 都可由 线性表示，
且表法惟一。
nP
n,,,21?
n,,,21?
nP
２,线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中有重要的应用； （ 重点 ）
３,线性相关与线性无关的判定方法：定义，
两个定理,（ 难点 ）
小结
.,
)3(
0 )2(
0 )1(
:
两式不一定同时成立或者线性相关的充要条件是，两个向量；线性无关的充要条件是一个向量；线性相关的充要条件是一个向量试证明
kk
思考题证明 （１）、（２）略．
（３） 充分性
.
,,0,0
,,,,
即可令则不妨设得使存在不全为零的数线性相关
x
y
k
x
y
xyx
yx
必要性
.,
,0)(1,
线性相关知由定义则有不妨设
kk
.A,A
0
,,,,
,,,,:
2211
21
21
线性无关否则称向量组线性相关称向量组使如果存在不全为零实数给定向量组
mm
m
m
kkk
kkk
A
定义 4：
二者必居其一。或者线性无关
，或者线性相关一个向量组
.
,,,,21 m
注几何意义,(1)两向量线性相关,两向量共线,
(2)三向量线性相关,三向量共面,
4.2.1 线性相关,线性无关共线。，何上这两个向量成比例，几
，于是不放设使的实数不全为零如果线性相关，则存在
）给定两个非零向量解释（
21
2
1
2
11
221121
21
0
0,,
,1
k
k
k
kkkk
(2)自己证明,三向量线性相关,三向量共面,
例 1：用定义判断线性相关性。
(1) 向量,,,o线性 ______关。
(2) 向量,,,线性 ______关。
相相线性任何一个非零向量一定任何向量线性相关。至少有两个向量相同的组一定线性相关。包含零向量的任何向量结论无关 。
4.2.1 线性相关性的刻画
至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示向量组 线性相关 )2(,,,
21?mm
定理 4-2
0
,,,,
,,,
2211
21
21
mm
m
m
kkk
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使存在一组不全为零实数线性相关证（必要性）设向量组个向量线性表示。由其余
，于是不放设
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k
k
k
k
k
k
k
k
k
i
m
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i
i
i
i
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i
i
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1
1
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1
1
1
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mmiiiii
i
llll
m
111111
1-
即个向量线性表示，由其余（充分性）设
0)1( 111111 mmiiiii llll于是于是 向量 线性相关 )2(,,,
21?mm
推论,向量组 线性无关 )2(,,,
21?mm
任一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表示
至少有一个向量 可由其前面的向量线性表示例 2,向量组 线性相关 )2(,,,
21?mm
)1( mii
必要性证：充分性显然，只证
0
,,,,
,,,
2211
21
21
mm
m
m
kkk
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使存在一组不全为零实数线性相关假设向量组矛盾），，与否则可能是第一个不为零的系数不
，则个系数一个一个往前看从第
000(
,
1111
1
kk
k
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。由其前面向量线性表示
，于是数为不妨设第一不为零的系
i
i
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k
k
k
k
mik
1
1
1
1
)1(0
则向量 必能由向量组 A线性表示，且表示式唯一,
定理 4-3,向量组 12:,,,mA线性无关,
而向量组 12:,,,,mB线性相关,
线性相关，证：由向量组 m,,,21?
0
,,,,
2211
21
lkkk
lkkk
mm
m
使数则存在一组不全为零实
0
,0
2211
mmkkk
l
则上式变为如果
.0
,,,
21
21
l
kkk
m
m
故线性无关矛盾，，，，这与不全为零，而且系数
mm
mm
lll
kkk
2211
2211设下面再证惟一性。
0)()() 222111 mmm lklklk（
两式相减得
,0,,0,0
,,,
2211
21
mm
m
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所以系数线性无关，因为
的。线性表示的方法是惟一，由故于是有
m
ii milk
,,
.,,2,1,
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12
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12
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,
,,,
,,,
,,,
m
T
n
T
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n
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定理 设 维向量组
，,,其中
4.2.3 线性相关性的判断,
条件是：
线性相关的充分必要，，，则向量组 m21
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
m m m n n
a x a x a x
a x a x a x
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性方程组为系数列向量的齐次线，，，以 m21
有非零解，且它的一个非零解 就是线性表示的一组不全为零的系数。 ),( 21 mkkk?
1 1 2 2 0nnx x x
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0,
0,
0.
nn
nn
m m m n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
线性方程组的向量表示
1 1 2 2
0
.
mm
A
x x x
等价的：向量组 线性相关充分必要条件是的就是齐次线性方程组有非零解
线性相关证：由向量组 m,,,21?
0
,,,,
2211
21
mm
m
kkk
kkk
使存在一组不全为零实数
0
0
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2
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11
1
nm
m
m
m
nn
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a
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k
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k
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a
k
)44(21?性方程组为系数列向量的齐次线，，，以 m
有非零解，且它的一个非零解 就是线性表示的一组不全为零的系数。 ),( 21 mkkk?
注亦即向量的维数。
向量的分量的个数，而方程的个数则是每个的向量的个数；个数就是向量组所包含中，未知量的齐次线性方程组 )44(?
利用此定理判别向量组的线性相关性等价的说法
(2)
n维向量组 线性相关m,,,21?定理,
.0 有非零解?Ax
mA,,,21其中
推论,n维向量组 线性无关
m,,,21
.0 只有零解?Ax12,,,mA其 中例 3,证明 n维基本向量组
TnTT 1,,0,0,,0,,1,0,0,,0,1 21
线性无关,
nE,,,21解,即只有零解,0?Ex
是线性无关的，，，所以基本向量组只有零解，
n
n
n
n
xxx
xxx
xxx
21
21
21
21
0100
0010
0001
例 4 判断向量组
是各不相同的数）（
。线性相关还是线性无关
dcba
dddccc
bbbaaa
,,,
,,,1,,,,1
,,,,1,,,,1
32
4
32
4
32
2
32
1
德行列式其系数行列式是范德蒙考虑齐次线性方程组
)54(
0
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0
0
4
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3
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2
3
1
3
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2
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2
4321
4321
xdxcxbxa
xdxcxbxa
dxcxbxax
xxxx
0))()()()()((
1111
3333
2222
cdbdbcadacab
dcba
dcba
dcba
D
由克莱姆法则，上述方程（ 4-5）只有零解线性无关，，，则向量组 m21
解：设数 1 2 3,,k k k使得 1 1 2 2 3 3 0k k k成立。
即
1 2 3
1 0 2 0
1 2 4 0
1 5 7 0
k k k
未知量为 1 2 3,,k k k
系数行列式
1 0 2
1 2 4 0
1 5 7
齐次线性方程组有非零解，所以向量
1 2 3,,线性相关。
向量 12,对应分量不成比例，所以线性无关。
例 5, TTT 7,4,2,5,2,0,1,1,1:
321已知试讨论向量组 及向量组的线性相关性,321,, 21
,
例 6
向量组:已知
321,,
线性无关,
133322211,,
.,,,321 线性无关试证
证明,用定义
0332211 kkk设
0)()()( 133322211 kkk
0)()()( 323212131 kkkkkk
,,,321 线性无关
0
0
0
32
21
31
kk
kk
kk
02
110
011
101
只有零解,0
321 kkk
.,,321 线性无关所以,
推论 4-2 n个 n维向量线性无关的充分必要条件是它们构成的方阵的行列式不等于零推论 4-3 任何 n+1个 n维向量一定线性相关。
一般的 当 m>n时,m个 n维向量一定线性相关推论 4-4 数域 P上的 n维向量空间 中，
任何一组线性无关的向量的个数最多为 n个。
nP
推论 4-5 如果在数域 P上的 n维向量空间 中，
有 n个向量 线性无关，则 中的任一向量 都可由 线性表示，
且表法惟一。
nP
n,,,21?
n,,,21?
nP
２,线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中有重要的应用； （ 重点 ）
３,线性相关与线性无关的判定方法：定义，
两个定理,（ 难点 ）
小结
.,
)3(
0 )2(
0 )1(
:
两式不一定同时成立或者线性相关的充要条件是，两个向量；线性无关的充要条件是一个向量；线性相关的充要条件是一个向量试证明
kk
思考题证明 （１）、（２）略．
（３） 充分性
.
,,0,0
,,,,
即可令则不妨设得使存在不全为零的数线性相关
x
y
k
x
y
xyx
yx
必要性
.,
,0)(1,
线性相关知由定义则有不妨设
kk
