4.4 矩阵的秩
4.4,1,行秩、列秩、矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些 行向量 组成（ 行向量组）,把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量 组成（ 列向量组 ）。
例如：矩阵
1 1 3 1
0 2 1 4
0 0 0 5
0 0 0 0
A
的行向量组是1
2
3
4
( 1,1,3,1 )
( 0,2,1,4 )
( 0,0,0,5 )
( 0,0,0,0 )
定义 4-13：
矩阵的行向量组的秩，就称为 矩阵的行秩 (row rank);
矩阵的列向量组的秩，就称为 矩阵的列秩 (column rank)。
1 2 3 4
1 1 3 1
0 2 1 4
,,,
0 0 0 5
0 0 0 0
可以证明,1 2 3,,是 A的行向量组的一个极大无关组，
因为，由 1 1 2 2 3 3 0k k k
即
1 2 3
1 1 2 1 2 1 2 3
( 1,1,3,1 ) ( 0,2,1,4 ) ( 0,0,0,5 )
(,2,3,4 5 )
( 0,0,0,0 )
k k k
k k k k k k k k
可知 1 2 3 0,k k k即 1 2 3,,线性无关；
而 4? 为零向量，包含零向量的向量组线性无关，
1 2 3 4,,, 线性相关。
所以向量组 1 2 3 4,,,的秩为 3，
所以矩阵 A的行秩为 3。
矩阵 A的列向量组是
1 2 3 4
1 1 3 1
0 2 1 4
,,,
0 0 0 5
0 0 0 0
可以验证 1 2 4,,线性无关，
而 3 1 2 471 022
所以向量组 1 2 3 4,,,的一个极大无关组是 1 2 4,,
所以向量组 1 2 3 4,,,的秩是 3，
所以矩阵 A的列秩是 3。
问题：矩阵的行秩 ＝ 矩阵的列秩定理 4-14,矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
（列） （列）
证：把 mnA? 按行分块，设
1
2
mn
m
A
（ 1）对换矩阵 A的两行
A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变，
所以矩阵 A的行秩不变。
（ 2）用非零常数 k乘以 A的第 i行
11
2
i
kr
ii
mm
kAA
显然，向量组 1,,,,imk
可以由向量组 1,,,,im
线性表示；
而向量组 1,,,,im
也可以由向量组 1,,,,imk线性表示。
所以矩阵 A 的行向量组与 2A 的行向量组等价，
又等价的向量组有相同的秩，
A? 的行秩＝ 2A 的行秩,即 A的行秩不变。
（ 3）非零常数 k乘以第 i行后加到第 j行上
11
3
i
ii
kr
j j i
mm
AA
k
显然,3A 中的行向量组可以由 A 的行向量组线性表示
A而 的行向量组可以由
3A 中的行向量组线性表示。
所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变，
所以矩阵的行秩不变。
定理 4-15,矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
（列） （行）
证：设矩阵 A经过初等行变换变为 B，
即存在有限个初等矩阵 12,,,SP P P
使得 12 SP P P A B?
令 12 SP P P P? 则 PA B?
把 mnA? 按列分块，设 12(,,,)m n nA
不妨设 A的列向量组的极大无关组为 12,,,,r
（可交换列的次序把它们换到前 r列，矩阵的秩不变）
则 1 2 1 2(,,,) (,,,)nnP A P P P P
B?
下面证明 A的列向量组的极大无关组 12,,,r
经过初等行变换变为 12,,,rP P P
是矩阵 B的列向量组的极大无关组。
设数 12,,,rk k k
使得 1 1 2 2 0rrk P k P k P成立
1 1 2 2( ) 0rrP k k k
因为 P为初等矩阵的乘积，所以 P可逆。
111 1 2 2( ) 0rrP P k k k P
1 1 2 2 0rrk k k又 12,,,r线性无关
1 2 3 0k k k12,,,rP P P 线性无关。
（ 1）先证 12,,,rP P P线性无关。
可由向量组 12,,,rP P P线性表示。
是 A的列向量组的极大无关组12,,,r
所以对于 A中任一列向量 12,,,rl l lj? 都存在数使得 1 1 2 2j r rl l l
等号两边左乘 P
有 1 1 2 2j r rP l P l P l P
由 (1)(2)可知 12,,,rP P P是 B的列向量组的一个极大无关组。
所以,B的列秩＝ r＝ A的列秩
（ 2）再证 B的列向量组中任一向量 jP?
推论,矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理 4-16,矩阵的行秩＝矩阵的列秩证：任何矩阵 A都可经过初等变换变为
0
00
rE
形式，
而它的行秩为 r，列秩也为 r。
又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，
所以,A的行秩＝ r＝ A的列秩定义 2,矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为 矩阵的秩。
记为 r(A),或 rankA，或秩 A。
推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
4.4,2 秩的性质及求法,
例 1 求下列矩阵的秩解,经过初等变换 rArEA r?
)(,
00
0可化为注,对于任何矩阵，总可以经过有限次 初等变换 把它变为标准形式
rArEA r
)(,
00
0 故可化为
11 12 1 1
22 2 2
0
00
0 0 0 0
0 0 0 0
rn
rn
rr rn
a a a a
a a a
A aa
矩阵秩的更一般的求法,
行阶梯形矩阵：
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
例如：
1 1 2 1 4
0 2 1 1 0
0 0 0 5 3
0 0 0 0 0
A
特点：
(1)可划出一条阶梯线，
线的下方全为零；
(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．
1 1 2 1 4
0 2 1 1 0
0 0 0 5 3
0 0 0 0 0
行最简形矩阵：
在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元为数 1，且这些 1所在的列的其他元素全都为零。
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
例如：
注,对于任何矩阵，总可以经过有限次初等 行变换 把它变为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
例 2,对矩阵
222110
100220
100110
111110
111000
A
作行初等变换,使成为行阶梯矩阵,
解,12rrA
0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1
0 1 1 0 0 1
0 2 2 0 0 1
0 1 1 2 2 2
31
41
51
2
0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1 2
0 0 0 2 2 3
0 0 0 1 1 1
rr
rr
rr
43
42
52
32
0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 1
000000
000000
rr
rr
rr
rr
求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等 行 变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。
例 3:
3 2 0 5 0
3 2 3 6 1
2 0 1 5 3
1 6 4 1 4
A
求 A的秩。
41461
35102
16323
05023
A
05023
35102
16323
41461
41 rr?
41461
35102
16323
05023
A
05023
35102
11340
41461
42
41
rr
rr
12812160
1179120
11340
41461
41461
35102
16323
05023
A
42
41
rr
rr
14
13
3
2
rr
rr
84000
84000
11340
41461
00000
84000
1134
41461
由阶梯形矩阵有三个非零行可知,3)(?AR
23 3rr?
24 4rr?
34 rr?
（ 1）向量组 12,,,s作列向量构成矩阵 A。
（ 2） AB初等行变换 （行最简形矩阵或行阶梯型矩阵）
r(A)=B的非零行的行数
（ 3）求出 B的列向量组的极大无关组
（ 4） A中与 B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组即为 A的极大无关组。
求向量组的秩及极大无关组的方法：
例 4：向量组
12
34
5
( 7,2,1,1 1 ),( 1,1,5,8 )
( 3,1,1,4 ),( 5,3,7,0 ),
( 4,2,1,1 1 )
TT
TT
T
求向量组的秩和一个极大无关组。
解：
7 1 3 5 4
2 1 1 3 2
1 5 1 7 1
1 1 8 4 0 1 1
A
1 5 1 7 1
2 1 1 3 2
7 1 3 5 4
1 1 8 4 0 1 1
1 5 1 7 1
0 9 1 1 1 0
0 3 6 4 4 4 3
0 6 3 7 7 7 0
1 5 1 7 1
0 9 1 11 0
0 0 0 0 3
0 0 0 0 0
B
( ) 3rA
又因为 B的 1,2,5列是 B的列向量组的一个极大无关组所以,1 2 5,,是 1 2 3 4 5,,,,的一个极大无关组。
考虑：是否还有其他的极大无关组？
1 3 5,, 1 4 5,,与
2 1 2 3
0 1 1 1
0 1 1 1
2 1 2 3
0 1 1 1
0 0 0 0
2 0 1 2
0 1 1 1
0 0 0 0
1
21 0 1
0 1 1 1
0 0 0 0
B
例 5：求向量组 1 2 3
4
( 2,4,2 ),( 1,1,0 ),( 2,3,1 ),
( 3,5,2 )
的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。
解：设
2 1 2 3
4 1 3 5
2 0 1 2
A
则 B的 1,2列为极大无关组，且
123 1 2 4 1 21,1 1
所以 12,为所求的一个极大无关组，且
123 1 2 4 1 21 ; 1 1
1
21 0 1
0 1 1 1
0 0 0 0
B
矩阵秩的性质推论 4-13 等价的矩阵，秩相同。
推论 4-14 任意矩阵,A 有 ( ) ( )Tr A r A?
推论 4-15 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。
,A?可逆，P 有 ( ) ( ) ( )r P A r A r AP
定理 4-18 矩阵的秩满足
( ) ( ) ( ) ;
( ) m in ( ),( ) ;
( ) ( ) ( ) ;
r A B r A r B
r AB r A r B
r AB r A r B n
当 AB=0时，有 ( ) ( ),r A r B n
4.4.3 矩阵的秩与行列式的关系定理 4-19,n阶方阵 A，
0,A即 A为可逆矩阵（也称为 满秩矩阵 ）()r A n?
A的 n个行（列）向量线性无关()r A n?
推论 4-16:
()r A n? 0A
推论 4-17:
A的 n个行（列）向量线性相关推论 4-18:
()r A n?
0
1
0
( ),
.
Ar
Dr
D A r
A R A
定义4 - 1 6 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子式,且所有 阶子式（如果存在的话）全等于,那末 称为矩阵 的最高阶非零子式，数称为矩阵 的秩，记作 并规定零矩阵的秩等于零
2
,
,
.
m n A k k k m
k n k
Ak
Ak
定义4 - 1 5 在 矩阵 中任取 行 列（
），位于这些行列交叉处的 个元素 不改变它们在 中所处的位置次序而得的 阶行列式，
称为矩阵 的 阶子式
,个阶子式共有的矩阵 knkm CCkAnm
4- 20 ( )
.
m n A R A r
A
定理 矩阵 的秩的充分必要条件是 的不等于零的子式
（非零子式）的最高阶数为r
例 6
.
174
532
321
的秩求矩阵
A
解 中，在 A
，阶子式只有一个的又 AA 3?
.032 21?
，且 0?A
.2)( AR
例 7：
.
00000
34000
52130
23012
的秩求矩阵
B
解,行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵,3B?
.4 阶子式全为零的所有B?
,0
400
230
312
而
.3)( BR
例 3
，求该矩阵的秩．已知
5102
3120
2231
A
,0220 31
502
320
231
解 计算 A的 3阶子式，
,0?,0?
510
312
223
512
310
221
,0
.0?
102
120
231
做初等变换，对矩阵
5102
3120
2231
A
另解
,
0000
3120
2231
~
5102
3120
2231
显然，非零行的行数为 2，
,2 AR 此方法简单！
小结
(2)初等变换法
1,矩阵秩的概念
2,求矩阵秩的方法
(1)利用定义
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 ).
(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数 );
思考题
)()(,是否相等与为任一实矩阵设 ARAARA T
思考题解答答 相等,
,0?x因为对于任一实向量,0时当?Ax
,0?AxA T必有 有时反之当,0?AxA T 0?AxAx TT
0?AxAx T ;0 Ax
由此可知,00 同解与 AxAAx T
.ARAAR T?故
4.4,1,行秩、列秩、矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些 行向量 组成（ 行向量组）,把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量 组成（ 列向量组 ）。
例如：矩阵
1 1 3 1
0 2 1 4
0 0 0 5
0 0 0 0
A
的行向量组是1
2
3
4
( 1,1,3,1 )
( 0,2,1,4 )
( 0,0,0,5 )
( 0,0,0,0 )
定义 4-13：
矩阵的行向量组的秩，就称为 矩阵的行秩 (row rank);
矩阵的列向量组的秩，就称为 矩阵的列秩 (column rank)。
1 2 3 4
1 1 3 1
0 2 1 4
,,,
0 0 0 5
0 0 0 0
可以证明,1 2 3,,是 A的行向量组的一个极大无关组，
因为，由 1 1 2 2 3 3 0k k k
即
1 2 3
1 1 2 1 2 1 2 3
( 1,1,3,1 ) ( 0,2,1,4 ) ( 0,0,0,5 )
(,2,3,4 5 )
( 0,0,0,0 )
k k k
k k k k k k k k
可知 1 2 3 0,k k k即 1 2 3,,线性无关；
而 4? 为零向量，包含零向量的向量组线性无关，
1 2 3 4,,, 线性相关。
所以向量组 1 2 3 4,,,的秩为 3，
所以矩阵 A的行秩为 3。
矩阵 A的列向量组是
1 2 3 4
1 1 3 1
0 2 1 4
,,,
0 0 0 5
0 0 0 0
可以验证 1 2 4,,线性无关，
而 3 1 2 471 022
所以向量组 1 2 3 4,,,的一个极大无关组是 1 2 4,,
所以向量组 1 2 3 4,,,的秩是 3，
所以矩阵 A的列秩是 3。
问题：矩阵的行秩 ＝ 矩阵的列秩定理 4-14,矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
（列） （列）
证：把 mnA? 按行分块，设
1
2
mn
m
A
（ 1）对换矩阵 A的两行
A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变，
所以矩阵 A的行秩不变。
（ 2）用非零常数 k乘以 A的第 i行
11
2
i
kr
ii
mm
kAA
显然，向量组 1,,,,imk
可以由向量组 1,,,,im
线性表示；
而向量组 1,,,,im
也可以由向量组 1,,,,imk线性表示。
所以矩阵 A 的行向量组与 2A 的行向量组等价，
又等价的向量组有相同的秩，
A? 的行秩＝ 2A 的行秩,即 A的行秩不变。
（ 3）非零常数 k乘以第 i行后加到第 j行上
11
3
i
ii
kr
j j i
mm
AA
k
显然,3A 中的行向量组可以由 A 的行向量组线性表示
A而 的行向量组可以由
3A 中的行向量组线性表示。
所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变，
所以矩阵的行秩不变。
定理 4-15,矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
（列） （行）
证：设矩阵 A经过初等行变换变为 B，
即存在有限个初等矩阵 12,,,SP P P
使得 12 SP P P A B?
令 12 SP P P P? 则 PA B?
把 mnA? 按列分块，设 12(,,,)m n nA
不妨设 A的列向量组的极大无关组为 12,,,,r
（可交换列的次序把它们换到前 r列，矩阵的秩不变）
则 1 2 1 2(,,,) (,,,)nnP A P P P P
B?
下面证明 A的列向量组的极大无关组 12,,,r
经过初等行变换变为 12,,,rP P P
是矩阵 B的列向量组的极大无关组。
设数 12,,,rk k k
使得 1 1 2 2 0rrk P k P k P成立
1 1 2 2( ) 0rrP k k k
因为 P为初等矩阵的乘积，所以 P可逆。
111 1 2 2( ) 0rrP P k k k P
1 1 2 2 0rrk k k又 12,,,r线性无关
1 2 3 0k k k12,,,rP P P 线性无关。
（ 1）先证 12,,,rP P P线性无关。
可由向量组 12,,,rP P P线性表示。
是 A的列向量组的极大无关组12,,,r
所以对于 A中任一列向量 12,,,rl l lj? 都存在数使得 1 1 2 2j r rl l l
等号两边左乘 P
有 1 1 2 2j r rP l P l P l P
由 (1)(2)可知 12,,,rP P P是 B的列向量组的一个极大无关组。
所以,B的列秩＝ r＝ A的列秩
（ 2）再证 B的列向量组中任一向量 jP?
推论,矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理 4-16,矩阵的行秩＝矩阵的列秩证：任何矩阵 A都可经过初等变换变为
0
00
rE
形式，
而它的行秩为 r，列秩也为 r。
又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，
所以,A的行秩＝ r＝ A的列秩定义 2,矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为 矩阵的秩。
记为 r(A),或 rankA，或秩 A。
推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
4.4,2 秩的性质及求法,
例 1 求下列矩阵的秩解,经过初等变换 rArEA r?
)(,
00
0可化为注,对于任何矩阵，总可以经过有限次 初等变换 把它变为标准形式
rArEA r
)(,
00
0 故可化为
11 12 1 1
22 2 2
0
00
0 0 0 0
0 0 0 0
rn
rn
rr rn
a a a a
a a a
A aa
矩阵秩的更一般的求法,
行阶梯形矩阵：
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
例如：
1 1 2 1 4
0 2 1 1 0
0 0 0 5 3
0 0 0 0 0
A
特点：
(1)可划出一条阶梯线，
线的下方全为零；
(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．
1 1 2 1 4
0 2 1 1 0
0 0 0 5 3
0 0 0 0 0
行最简形矩阵：
在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元为数 1，且这些 1所在的列的其他元素全都为零。
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
例如：
注,对于任何矩阵，总可以经过有限次初等 行变换 把它变为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
例 2,对矩阵
222110
100220
100110
111110
111000
A
作行初等变换,使成为行阶梯矩阵,
解,12rrA
0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1
0 1 1 0 0 1
0 2 2 0 0 1
0 1 1 2 2 2
31
41
51
2
0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1 2
0 0 0 2 2 3
0 0 0 1 1 1
rr
rr
rr
43
42
52
32
0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 1
000000
000000
rr
rr
rr
rr
求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等 行 变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。
例 3:
3 2 0 5 0
3 2 3 6 1
2 0 1 5 3
1 6 4 1 4
A
求 A的秩。
41461
35102
16323
05023
A
05023
35102
16323
41461
41 rr?
41461
35102
16323
05023
A
05023
35102
11340
41461
42
41
rr
rr
12812160
1179120
11340
41461
41461
35102
16323
05023
A
42
41
rr
rr
14
13
3
2
rr
rr
84000
84000
11340
41461
00000
84000
1134
41461
由阶梯形矩阵有三个非零行可知,3)(?AR
23 3rr?
24 4rr?
34 rr?
（ 1）向量组 12,,,s作列向量构成矩阵 A。
（ 2） AB初等行变换 （行最简形矩阵或行阶梯型矩阵）
r(A)=B的非零行的行数
（ 3）求出 B的列向量组的极大无关组
（ 4） A中与 B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组即为 A的极大无关组。
求向量组的秩及极大无关组的方法：
例 4：向量组
12
34
5
( 7,2,1,1 1 ),( 1,1,5,8 )
( 3,1,1,4 ),( 5,3,7,0 ),
( 4,2,1,1 1 )
TT
TT
T
求向量组的秩和一个极大无关组。
解：
7 1 3 5 4
2 1 1 3 2
1 5 1 7 1
1 1 8 4 0 1 1
A
1 5 1 7 1
2 1 1 3 2
7 1 3 5 4
1 1 8 4 0 1 1
1 5 1 7 1
0 9 1 1 1 0
0 3 6 4 4 4 3
0 6 3 7 7 7 0
1 5 1 7 1
0 9 1 11 0
0 0 0 0 3
0 0 0 0 0
B
( ) 3rA
又因为 B的 1,2,5列是 B的列向量组的一个极大无关组所以,1 2 5,,是 1 2 3 4 5,,,,的一个极大无关组。
考虑：是否还有其他的极大无关组？
1 3 5,, 1 4 5,,与
2 1 2 3
0 1 1 1
0 1 1 1
2 1 2 3
0 1 1 1
0 0 0 0
2 0 1 2
0 1 1 1
0 0 0 0
1
21 0 1
0 1 1 1
0 0 0 0
B
例 5：求向量组 1 2 3
4
( 2,4,2 ),( 1,1,0 ),( 2,3,1 ),
( 3,5,2 )
的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。
解：设
2 1 2 3
4 1 3 5
2 0 1 2
A
则 B的 1,2列为极大无关组，且
123 1 2 4 1 21,1 1
所以 12,为所求的一个极大无关组，且
123 1 2 4 1 21 ; 1 1
1
21 0 1
0 1 1 1
0 0 0 0
B
矩阵秩的性质推论 4-13 等价的矩阵，秩相同。
推论 4-14 任意矩阵,A 有 ( ) ( )Tr A r A?
推论 4-15 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。
,A?可逆，P 有 ( ) ( ) ( )r P A r A r AP
定理 4-18 矩阵的秩满足
( ) ( ) ( ) ;
( ) m in ( ),( ) ;
( ) ( ) ( ) ;
r A B r A r B
r AB r A r B
r AB r A r B n
当 AB=0时，有 ( ) ( ),r A r B n
4.4.3 矩阵的秩与行列式的关系定理 4-19,n阶方阵 A，
0,A即 A为可逆矩阵（也称为 满秩矩阵 ）()r A n?
A的 n个行（列）向量线性无关()r A n?
推论 4-16:
()r A n? 0A
推论 4-17:
A的 n个行（列）向量线性相关推论 4-18:
()r A n?
0
1
0
( ),
.
Ar
Dr
D A r
A R A
定义4 - 1 6 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子式,且所有 阶子式（如果存在的话）全等于,那末 称为矩阵 的最高阶非零子式，数称为矩阵 的秩，记作 并规定零矩阵的秩等于零
2
,
,
.
m n A k k k m
k n k
Ak
Ak
定义4 - 1 5 在 矩阵 中任取 行 列（
），位于这些行列交叉处的 个元素 不改变它们在 中所处的位置次序而得的 阶行列式，
称为矩阵 的 阶子式
,个阶子式共有的矩阵 knkm CCkAnm
4- 20 ( )
.
m n A R A r
A
定理 矩阵 的秩的充分必要条件是 的不等于零的子式
（非零子式）的最高阶数为r
例 6
.
174
532
321
的秩求矩阵
A
解 中，在 A
，阶子式只有一个的又 AA 3?
.032 21?
，且 0?A
.2)( AR
例 7：
.
00000
34000
52130
23012
的秩求矩阵
B
解,行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵,3B?
.4 阶子式全为零的所有B?
,0
400
230
312
而
.3)( BR
例 3
，求该矩阵的秩．已知
5102
3120
2231
A
,0220 31
502
320
231
解 计算 A的 3阶子式，
,0?,0?
510
312
223
512
310
221
,0
.0?
102
120
231
做初等变换，对矩阵
5102
3120
2231
A
另解
,
0000
3120
2231
~
5102
3120
2231
显然，非零行的行数为 2，
,2 AR 此方法简单！
小结
(2)初等变换法
1,矩阵秩的概念
2,求矩阵秩的方法
(1)利用定义
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 ).
(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数 );
思考题
)()(,是否相等与为任一实矩阵设 ARAARA T
思考题解答答 相等,
,0?x因为对于任一实向量,0时当?Ax
,0?AxA T必有 有时反之当,0?AxA T 0?AxAx TT
0?AxAx T ;0 Ax
由此可知,00 同解与 AxAAx T
.ARAAR T?故
