4.6 非齐次线性方程组
.0
,1)(
2
121
的解为对应的齐次方程则的解都是及设
Ax
xbAxxx
证明
,021 bbA
.021 Axx 满足方程即
bAbA 21,
１．非齐次线性方程组解的性质
4.6.1非齐次线性方程组有解的条件
12
12
,
0.
x x A x b
x A x
定理4- 25 （ 1) 设 及 都是 的解则 为对应的齐次方程 的解证明
,021 bbA
.021 Axx 满足方程即
bAbA 21,
4.6.2非齐次线性方程组的解的结构证明 AAA,0 bb
.的解是方程所以 bAxx
证毕．
.,0
,2)(
的解仍是方程则的解是方程的解是方程设
bAxxAx
xbAxx
11,n r n rx k k即其中 为对应齐次线性方程组的通解,为非齐次线性方程组的任意一个特解,
rnrnkk11
非齐次线性方程组的通解定理 4-26 如果非齐次线性方程组 Ax=b有解,则其通解为,
的一个基础解析。
是，，为任意常数,0,,,121 Axkkk rnn
基础解析。求对应的齐次方程组的是：解非齐次方程组的关键注意,)1(
只有唯一解只有零解，则若 bAxAx 0)2(
有无穷多组解。则有无穷多组解，对应的若
bAx
AxbAx
0)3(
与方程组 有解等价的命题 bAx?;,,,21 线性表示能由向量组向量 nb;,,,,,,,2121 等价与向量组向量组 bnn
.
,,,,,,,2121
的秩相等与矩阵矩阵 bBA nn
线性方程组 有解bAx?
例 1 求解方程组?
.2132
,13
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解,施行初等行变换对增广矩阵 B
213211
13111
01111
B
,
00000
212100
211011
~
并有故方程组有解可见,,2)()( BRAR
.212
,21
43
421
xx
xxx
,042 xx取,2131 xx则 即得方程组的一个解.
0
21
0
21
取中组在对应的齐次线性方程,2,
43
421
xx
xxx
,1001
4
2?
及
x
x,
2
1
0
1
3
1?
及则
x
x
程组的基础解系即得对应的齐次线性方,
1
2
0
1
,
0
0
1
1
21
于是所求通解为
).,(,
0
21
0
21
1
2
0
1
0
0
1
1
2121
4
3
2
1
Rcccc
x
x
x
x
.123438
,23622
,2323
,7
54321
5432
54321
54321
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
解
1213438
2362120
231213
711111
B
例 2 求下述方程组的解
000000
000000
2362120
711111
~
,,知方程组有解由 BRAR,3,2 rnAR又所以方程组有无穷多解,且原方程组等价于方程组
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx
求基础解系
.
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
5
4
3
x
x
x
令依次得,3
2,
1
0,
21
21
2
1?
x
x
5432
54321
622 xxxx
xxxxx代入
.
1
0
0
3
2
,
0
1
0
1
0
,
0
0
1
21
21
321
求特解
.223,29,0 21543 xxxxx 得令所以方程组的通解为故得基础解系
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx代入
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
0
0
1
0
0
0
1
21
21
321
kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
另一种解法
1213438
2362120
231213
711111
B
000000
000000
2362120
711111
~
000000
000000
223312110
29202101
~
则原方程组等价于方程组
2
23
3
2
1
2
9
2
2
1
5432
531
xxxx
xxx
55
44
33
5432
531
22332
2922
xx
xx
xx
xxxx
xxx
所以方程组的通解为
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
1
0
1
0
0
0
1
21
21
321
kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
并给出几何解释解三元一次方程组例
1)1(2
33)3(2
1
3
abzyax
zyax
zyx
ab
a
ab
a
ab
aB
B
rr
rr
rr
100
1110
1111
121a0
1110
1111
11-a2
3332
1111
23
13
12
2
2
2
作初等变换解对增广矩阵
ab
a
100
1110
1111
惟一交点。几何意义是三个平面由方程组由惟一解若
],,[
,1,1)1(
)1()1)(1(
)1(
)1)(1(
)1(
b
a
ba
ba
ba
baa
ba
,12a）若（
2000
1100
1111
1100
1100
1111
100
1110
1111
bbab
a
重合。且第一、第三两个平面交于一条直线，其几何意义是三个平面
，，（，，（
则方程组有无穷多解
TT
k )011)100
则方程组无解此时若,3]),([,2)(,2 bArArb
条平行直线。三个平面两两相交于三个平面不平行，两个向量不平行，故三中任系数矩阵若
b
b
22
322
111
,3
。第一个平面与他们相交则第二，三平面平行，若,3?b
,2?b此时若方程组有无穷多组解，时当若,0,1)3( ab
条直线，互不相同，但相交于一其几何意义是三个平面
，，（，，（ TT k )110)010?
两两相交三个平面互不平行，但则方程组无解若,,0?a
小结非齐次线性方程组解的情况
nBRAR
nBRAR <?,有无穷多解bAx?
BRAR?,无解bAx?
.有唯一解bAx
满足的三个解向量方程组如果非齐次线性且矩阵是设
321,,
.1,3
bAx
ARmA
,
3
2
1
21
,
1
1
0
32
1
0
1
13
.的通解求 bAx?
思考题
,1)(,3 ARmA 矩阵是解?
思考题解答
.
2130
无关的解向量个线性的基础解系中含有 Ax
则令,,,133221 cba
,
21
23
1
)(
2
1
1
bca?
,
23
23
0
)(
2
1
3
acb?
,
25
21
0
)(
2
1
2
cba?
,
2
1
1
21
2
3
1
31
.0 的基础解系中的解向量为?Ax
的通解为故 bAx?
,
21
23
1
2
3
1
2
1
1
21
3
2
1
kk
x
x
x
.,21 为任意实数其中 kk
.0
,1)(
2
121
的解为对应的齐次方程则的解都是及设
Ax
xbAxxx
证明
,021 bbA
.021 Axx 满足方程即
bAbA 21,
１．非齐次线性方程组解的性质
4.6.1非齐次线性方程组有解的条件
12
12
,
0.
x x A x b
x A x
定理4- 25 （ 1) 设 及 都是 的解则 为对应的齐次方程 的解证明
,021 bbA
.021 Axx 满足方程即
bAbA 21,
4.6.2非齐次线性方程组的解的结构证明 AAA,0 bb
.的解是方程所以 bAxx
证毕．
.,0
,2)(
的解仍是方程则的解是方程的解是方程设
bAxxAx
xbAxx
11,n r n rx k k即其中 为对应齐次线性方程组的通解,为非齐次线性方程组的任意一个特解,
rnrnkk11
非齐次线性方程组的通解定理 4-26 如果非齐次线性方程组 Ax=b有解,则其通解为,
的一个基础解析。
是，，为任意常数,0,,,121 Axkkk rnn
基础解析。求对应的齐次方程组的是：解非齐次方程组的关键注意,)1(
只有唯一解只有零解，则若 bAxAx 0)2(
有无穷多组解。则有无穷多组解，对应的若
bAx
AxbAx
0)3(
与方程组 有解等价的命题 bAx?;,,,21 线性表示能由向量组向量 nb;,,,,,,,2121 等价与向量组向量组 bnn
.
,,,,,,,2121
的秩相等与矩阵矩阵 bBA nn
线性方程组 有解bAx?
例 1 求解方程组?
.2132
,13
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解,施行初等行变换对增广矩阵 B
213211
13111
01111
B
,
00000
212100
211011
~
并有故方程组有解可见,,2)()( BRAR
.212
,21
43
421
xx
xxx
,042 xx取,2131 xx则 即得方程组的一个解.
0
21
0
21
取中组在对应的齐次线性方程,2,
43
421
xx
xxx
,1001
4
2?
及
x
x,
2
1
0
1
3
1?
及则
x
x
程组的基础解系即得对应的齐次线性方,
1
2
0
1
,
0
0
1
1
21
于是所求通解为
).,(,
0
21
0
21
1
2
0
1
0
0
1
1
2121
4
3
2
1
Rcccc
x
x
x
x
.123438
,23622
,2323
,7
54321
5432
54321
54321
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
解
1213438
2362120
231213
711111
B
例 2 求下述方程组的解
000000
000000
2362120
711111
~
,,知方程组有解由 BRAR,3,2 rnAR又所以方程组有无穷多解,且原方程组等价于方程组
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx
求基础解系
.
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
5
4
3
x
x
x
令依次得,3
2,
1
0,
21
21
2
1?
x
x
5432
54321
622 xxxx
xxxxx代入
.
1
0
0
3
2
,
0
1
0
1
0
,
0
0
1
21
21
321
求特解
.223,29,0 21543 xxxxx 得令所以方程组的通解为故得基础解系
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx代入
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
0
0
1
0
0
0
1
21
21
321
kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
另一种解法
1213438
2362120
231213
711111
B
000000
000000
2362120
711111
~
000000
000000
223312110
29202101
~
则原方程组等价于方程组
2
23
3
2
1
2
9
2
2
1
5432
531
xxxx
xxx
55
44
33
5432
531
22332
2922
xx
xx
xx
xxxx
xxx
所以方程组的通解为
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
1
0
1
0
0
0
1
21
21
321
kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
并给出几何解释解三元一次方程组例
1)1(2
33)3(2
1
3
abzyax
zyax
zyx
ab
a
ab
a
ab
aB
B
rr
rr
rr
100
1110
1111
121a0
1110
1111
11-a2
3332
1111
23
13
12
2
2
2
作初等变换解对增广矩阵
ab
a
100
1110
1111
惟一交点。几何意义是三个平面由方程组由惟一解若
],,[
,1,1)1(
)1()1)(1(
)1(
)1)(1(
)1(
b
a
ba
ba
ba
baa
ba
,12a）若（
2000
1100
1111
1100
1100
1111
100
1110
1111
bbab
a
重合。且第一、第三两个平面交于一条直线，其几何意义是三个平面
，，（，，（
则方程组有无穷多解
TT
k )011)100
则方程组无解此时若,3]),([,2)(,2 bArArb
条平行直线。三个平面两两相交于三个平面不平行，两个向量不平行，故三中任系数矩阵若
b
b
22
322
111
,3
。第一个平面与他们相交则第二，三平面平行，若,3?b
,2?b此时若方程组有无穷多组解，时当若,0,1)3( ab
条直线，互不相同，但相交于一其几何意义是三个平面
，，（，，（ TT k )110)010?
两两相交三个平面互不平行，但则方程组无解若,,0?a
小结非齐次线性方程组解的情况
nBRAR
nBRAR <?,有无穷多解bAx?
BRAR?,无解bAx?
.有唯一解bAx
满足的三个解向量方程组如果非齐次线性且矩阵是设
321,,
.1,3
bAx
ARmA
,
3
2
1
21
,
1
1
0
32
1
0
1
13
.的通解求 bAx?
思考题
,1)(,3 ARmA 矩阵是解?
思考题解答
.
2130
无关的解向量个线性的基础解系中含有 Ax
则令,,,133221 cba
,
21
23
1
)(
2
1
1
bca?
,
23
23
0
)(
2
1
3
acb?
,
25
21
0
)(
2
1
2
cba?
,
2
1
1
21
2
3
1
31
.0 的基础解系中的解向量为?Ax
的通解为故 bAx?
,
21
23
1
2
3
1
2
1
1
21
3
2
1
kk
x
x
x
.,21 为任意实数其中 kk
