4.3向量组的秩
4.3.1向量组的等价都可以由向量组定义 4-9,如果向量组中的每一个向量
12:,,,mA
12:,,,sB
线性表示，那么就称向量组 A可以由向量组 B线性表示。
若同时向量组 B 也可以由向量组 A线性表示，就称 向量组 A与向量组 B等价。
),2,1( mii
注意,等价是一种等价关系：即满足自反的，对称的和传递的关系）
1,,2,12211 mikkk sisiii
2,,2,12211 silll mimiii
定理 4-5 设 12,,,s与 是两个向量组，如果12,,,t
(2) st?
则向量组 必线性相关。12,,,s
12,,,s(1) 向量组 12,,,t线性表示；可以由向量组
0
,,,,
,,,:
2211
21
21
ss
s
s
kkk
kkk
使实数只证存在一组不全为零线性相关要证向量组分析
12,,,s由 向量组 12,,,t线性表示；可以由向量组
),2,1(
1
sik
t
j
jjii
t
j
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t
j
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0
0
0
:
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2222121
1212111
ststt
ss
ss
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
现考察齐次线性方程组零解故齐次线性方程组有非数的个数即方程的个数小于未知由于,ts?
0,,,,221121 sss kkkkkk 使所以向量组 必线性相关。12,,,s
推论 4-9 设 12,,,s与 是两个向量组，如果
12,,,s(1) 向量组 12,,,t线性表示；可以由向量组
12,,,t
(2)且向量组 线性无关12,,,s
ts?则例 任意 n+1个 n维向量一定线性无关；
任意多于 n个 n维向量一定线性无关；
.相同个数向量组包含等价的线性无关的向量推论 4-10
证明,设 12,,,s与 是两个等价的向量组，12,,,t
且都线性无关,由推论 4-9 tsstts 且
4.3.2,极大线性无关组简称 极大无关组。 (maximal independent system)
对向量组 A，如果在 A中有 r个向量 12,,,r
满足：
（ 2）任意 r＋ 1个向量都线性相关。（如果有的话）
0 1 2:,,,rA线性无关。（ 1）
那么称部分组 为向量组 的一个 极大线性无关组。0A A
注,（ 1）只含零向量的向量组没有极大无关组,
（ 2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
（ 3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示一个向量组线性无关的充分必要条件是,它的极大线性无关组就是其本身。
定理 4-6
定理 4-7 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示,且表示方法唯一证明分析 （ 1） 由极大无关组的定义知 任一向量都能由它的极大无关组线性表示
(2)用反证法证明表示是唯一的,
例如：在向量组 中，
1 2 3
2 4 2
1 2 1
,,
3 5 4
1 4 1
12,首先 线性无关,又 1 2 3,,线性相关，
所以 12,组成的部分组是极大无关组。
还可以验证 23,也是一个极大无关组。
注,一个向量组的 极大无关组 一般 不是唯一的。
定理 4-8 向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
向量组的极大 无关组不唯一，但每一个极大无关组都与向量组等价，所以：
证明,设 12,,,s
是向量组riii,,21
.的任一极大线性无关组
riii,,21
与 12,,,s可以相互表示。
故向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得一个向量组的任意两个极大无关组等价，
且所含向量的个数相同。
定理：
4.4.3 向量组的秩,维数和基定义 2,向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个 向量组的秩,记作 12(,,,)sr
例如,向量组 的
1 2 3
2 4 2
1 2 1
,,
3 5 4
1 4 1
秩为 2。
（ 4）等价的向量组必有相同的秩。
关于向量组的秩的结论：书（定理 4-10，定理 4-11，定理 4-12）
（ 1）零向量组的秩为 0。
（ 2）向量组 12,,,s线性无关? 12(,,,)srs
向量组 12,,,s线性相关? 12(,,,)s
（ 3）如果向量组 可以由向量组 12,,,t
线性表示，则
12,,,s
1 2 1 2(,,,) (,,,)strr
注,两个有相同的秩的向量组不一定等价。
两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。
定理 4-13
线性表示可用并设的秩都是这俩个向量组和证明：设
ts
ts
r
,,,,,
,,,,
2121
2121
线性表示可用下面证明 tst,,,,2121
线性表示可由向量组，显然 tts,,,,,,212121
等价。与，故 tts,,,,,,212121
rr
rr
s
tts
},,{
},,{},,,,{
21
212121
,故它线性表示可由量组的极大无关组，所以向
，
的极大无关组一定是显然
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,,
21
2121
21
线性表示可由即 st,,,,2121
定义 4-12,向量空间的基与维数设 V是向量空间，如果 r个向量 12,,,,r V
且满足 12,,,r线性无关。（ 1）
（ 2） V中任一向量都可由 12,,,r线性表示，
那么，就称向量组 12,,,r是向量空间 V的一个基,r称为向量空间 V的 维数,记作 dimV＝ r
并称 V是 r维向量空间 。
注,（ 1） 只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为 0。
（ 2）如果把向量空间看作向量组，可知,V的基就是向量组的极大无关组,V的维数就是向量组的秩。
（ 3）向量空间的基不唯一。
１．最大线性无关向量组的概念：
最大性,线性无关性,
２,矩阵的秩与向量组的秩的关系：
矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩
＝矩阵行向量组的秩
３,关于向量组秩的一些结论：
４,求向量组的秩以及最大无关组的方法：
将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．
小结总结证明向量组等价的方法思考题证法一根据 向量组等价的定义,寻找两向量组相互线性表示的系数矩阵；
思考题解答证法二利用,经初等列变换，矩阵的列向量组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价,
这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；
证法三直接计算向量组的秩，利用了 向量组的最大线性无关组等价 这一结论．
4.3.1向量组的等价都可以由向量组定义 4-9,如果向量组中的每一个向量
12:,,,mA
12:,,,sB
线性表示，那么就称向量组 A可以由向量组 B线性表示。
若同时向量组 B 也可以由向量组 A线性表示，就称 向量组 A与向量组 B等价。
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注意,等价是一种等价关系：即满足自反的，对称的和传递的关系）
1,,2,12211 mikkk sisiii
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定理 4-5 设 12,,,s与 是两个向量组，如果12,,,t
(2) st?
则向量组 必线性相关。12,,,s
12,,,s(1) 向量组 12,,,t线性表示；可以由向量组
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12,,,s由 向量组 12,,,t线性表示；可以由向量组
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推论 4-9 设 12,,,s与 是两个向量组，如果
12,,,s(1) 向量组 12,,,t线性表示；可以由向量组
12,,,t
(2)且向量组 线性无关12,,,s
ts?则例 任意 n+1个 n维向量一定线性无关；
任意多于 n个 n维向量一定线性无关；
.相同个数向量组包含等价的线性无关的向量推论 4-10
证明,设 12,,,s与 是两个等价的向量组，12,,,t
且都线性无关,由推论 4-9 tsstts 且
4.3.2,极大线性无关组简称 极大无关组。 (maximal independent system)
对向量组 A，如果在 A中有 r个向量 12,,,r
满足：
（ 2）任意 r＋ 1个向量都线性相关。（如果有的话）
0 1 2:,,,rA线性无关。（ 1）
那么称部分组 为向量组 的一个 极大线性无关组。0A A
注,（ 1）只含零向量的向量组没有极大无关组,
（ 2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
（ 3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示一个向量组线性无关的充分必要条件是,它的极大线性无关组就是其本身。
定理 4-6
定理 4-7 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示,且表示方法唯一证明分析 （ 1） 由极大无关组的定义知 任一向量都能由它的极大无关组线性表示
(2)用反证法证明表示是唯一的,
例如：在向量组 中，
1 2 3
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12,首先 线性无关,又 1 2 3,,线性相关，
所以 12,组成的部分组是极大无关组。
还可以验证 23,也是一个极大无关组。
注,一个向量组的 极大无关组 一般 不是唯一的。
定理 4-8 向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
向量组的极大 无关组不唯一，但每一个极大无关组都与向量组等价，所以：
证明,设 12,,,s
是向量组riii,,21
.的任一极大线性无关组
riii,,21
与 12,,,s可以相互表示。
故向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得一个向量组的任意两个极大无关组等价，
且所含向量的个数相同。
定理：
4.4.3 向量组的秩,维数和基定义 2,向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个 向量组的秩,记作 12(,,,)sr
例如,向量组 的
1 2 3
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秩为 2。
（ 4）等价的向量组必有相同的秩。
关于向量组的秩的结论：书（定理 4-10，定理 4-11，定理 4-12）
（ 1）零向量组的秩为 0。
（ 2）向量组 12,,,s线性无关? 12(,,,)srs
向量组 12,,,s线性相关? 12(,,,)s
（ 3）如果向量组 可以由向量组 12,,,t
线性表示，则
12,,,s
1 2 1 2(,,,) (,,,)strr
注,两个有相同的秩的向量组不一定等价。
两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。
定理 4-13
线性表示可用并设的秩都是这俩个向量组和证明：设
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线性表示可用下面证明 tst,,,,2121
线性表示可由向量组，显然 tts,,,,,,212121
等价。与，故 tts,,,,,,212121
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,故它线性表示可由量组的极大无关组，所以向
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线性表示可由即 st,,,,2121
定义 4-12,向量空间的基与维数设 V是向量空间，如果 r个向量 12,,,,r V
且满足 12,,,r线性无关。（ 1）
（ 2） V中任一向量都可由 12,,,r线性表示，
那么，就称向量组 12,,,r是向量空间 V的一个基,r称为向量空间 V的 维数,记作 dimV＝ r
并称 V是 r维向量空间 。
注,（ 1） 只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为 0。
（ 2）如果把向量空间看作向量组，可知,V的基就是向量组的极大无关组,V的维数就是向量组的秩。
（ 3）向量空间的基不唯一。
１．最大线性无关向量组的概念：
最大性,线性无关性,
２,矩阵的秩与向量组的秩的关系：
矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩
＝矩阵行向量组的秩
３,关于向量组秩的一些结论：
４,求向量组的秩以及最大无关组的方法：
将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．
小结总结证明向量组等价的方法思考题证法一根据 向量组等价的定义,寻找两向量组相互线性表示的系数矩阵；
思考题解答证法二利用,经初等列变换，矩阵的列向量组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价,
这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；
证法三直接计算向量组的秩，利用了 向量组的最大线性无关组等价 这一结论．
