第 3 章 矩 阵
3.1 高斯消元法及矩阵表示
3.1.1 高斯消元法及矩阵表示
3.1.2 矩阵表示
3.1.3 一般情形引例
)1(
3.1.1 高斯消元法求解线性方程组
,97963
,42264
,42
,22
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
分析：用消元法解下列方程组的过程．
2?
解
)1(?2?13 2
,97963
,232
,22
,42
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
2? 1
32?
3
3? 14?
,3433
,6355
,0222
,42
432
432
432
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
1
3
4
2
,3
,62
,0
,42
4
4
432
4321
x
x
xxx
xxxx
1
3
4
2
5?
2 21?
3
3?4
2
2
,00
,3
,0
,42
4
432
4321
x
xxx
xxxx
1
3
4
2?3
2?4
4
3
用“回代”的方法求出解：
于是解得?
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
.3 为任意取值其中 x
方程组的解可记作或令,3 cx?
3
3
4
4
3
2
1
x
cx
cx
cx
.为任意常数其中 c
小结：
1．上述解方程组的方法称为 消元法,2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换
（ 1）交换方程次序；
（ 2）以不等于０的数乘某个方程；
（ 3）一个方程加上另一个方程的 k倍．
i j（ 与 相互替换）
（以 替换 ）i k? i
j（以 替换 ）i k? i
称以上三种变换为 线性方程组的初等变换
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
线性方程组的解取决于
,,,2,1;,,2,1 njmia ij系数
mib i,,2,1
常数项
3.1.2 矩阵表示
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
称为上述方程组的 系数矩阵
nmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bAA
2
1
21
22221
11211
],[
~
称为上述方程组的 增广矩阵方程组与其增广矩阵 一 一对应定义 下面三种变换称为 矩阵的初等行变换,
）；记作两行对调两行（对调 ji rrji?,,1
;02 乘以某一行的所有元素以数?k
）记作行乘（第 krki i?,
.
3
）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的
ji krr
ikj
k
用矩阵的初等行变换 解方程组（ 1）：
97963
42264
41211
21112
~
A
97963
21132
21112
41211
21 rr?
23?r
34330
63550
02220
41211
13
32
2rr
rr
14 3rr?
31000
62000
01110
41211
23
2
5
2
rr
r
24 3rr?
00000
31000
30110
40101
00000
31000
01110
41211
31000
62000
01110
41211
43 rr?
34 2rr?
21 rr?
32 rr?,方程组为对应的?
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
3
3
4
4
3
2
1
x
cx
cx
cx
.为任意常数其中 c
方程组的解为：
高斯消元法解方程组的过程就是对其增广矩阵做 初等行变换 的过程，目标是将增广矩阵化为 行阶梯矩阵。
:行阶梯矩阵
（ 1）元素全为 0的行全在下方；
（ 2）对于非零行，第 i+1行的第一个非 0元素的列标大于第 i行的第一个非 0元素的列标
00000
31000
01110
41211
都是行阶梯矩阵
00000
31000
30110
40101
:简化行阶梯矩阵
（ 1）是行阶梯矩阵；
00000
31000
01110
41211
不是 简化行阶梯矩阵
00000
31000
30110
40101
（ 2）每一非 0行的第一个元素为 1；
（ 3）每一非 0行的第一个元素 1所在的列的其余元素均为 0；
是 简化行阶梯矩阵
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
线性方程组
3.1.3 一般情形对其增广矩阵作初等行变换，总可以化为如下形式的简化行阶梯矩阵（必要时交换未知量的下标）：
1
1,1111
2,21212
1,11111
0
r
nrnrr
nrnr
nrnr
d
dxcxcx
dxcxcx
dxcxcx
:方程组为对应的
000000
000000
00000
100
010
001
],[
~
1
,1
2,221
1,111
r
rrnrr
rn
rn
d
dcc
dcc
dcc
bAA
1
1,1111
2,21212
1,11111
0
r
nrnrr
nrnr
nrnr
d
dxcxcx
dxcxcx
dxcxcx
这个方程组与原方程组同解，所以时，方程组有解；当且仅当 0)1( 1rd；
则方程组有唯一解若时即方程组有解当
nn
r
dxdxdx
nrA
d
,,,
,)(
:)(0)2(
2211
1
则方程组有无穷多解。
作自由未知量，则若 nrr xxxnrB,,,,)( 21
00
0
0
0
,1111
,21212
,11111
nrnrr
nrnr
nrnr
xcxcx
xcxcx
xcxcx
当方程为齐次方程组时，
零解；时，则齐次方程组只有当 nr?)1(
021 mbbb?即
0121rddd?
齐次方程组至少有一组零解穷多组非零解；时，则齐次方程组有无当 nr?)2(
特别地，方程个数少于未知量个数的齐次方程组一定有非零解例 1 求解齐次线性方程组
.
034
0222
02
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解
3411
2212
1221
A
4630
4630
1221
施行初等行变换：对系数矩阵 A
13
12 2
rr
rr
0000
3
4
210
1221
0000
210
201
3
4
3
5
)3(2
23
r
rr
21 2rr?
0000
3
4
210
3
5
201
即得与原方程组同解的方程组
,0
3
4
2
,0
3
5
2
432
431
xxx
xxx
).,( 43 可任意取值xx由此即得?
,
3
4
2
,
3
5
2
432
431
xxx
xxx
,
,
,
3
4
2
,
3
5
2
24
13
222
221
cx
cx
ccx
ccx
:
,2413
式把它写成通常的参数形
，令 cxcx
.,21 为任意常数其中 cc
例２ 求解非齐次线性方程组
.3222
,2353
,132
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解 对增广矩阵 B进行初等变换，
32212
23513
11321
B
10450
10450
11321
20000
10450
11321
故方程组无解．
13
12 2
rr
rr
23 rr?
例３ 求解非齐次方程组的通解
.
2132
13
0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解 对增广矩阵 B进行初等变换
213211
13111
01111
B
212100
14200
01111
.
00000
212100
211011
故方程组有解，且有
212
21
43
421
xx
xxx
24
23
12
211
212
21
cx
cx
cx
ccx
.
00000
212100
211011
212
21
43
421
xx
xxx
.,21 为任意常数其中 cc
例４
求出它的一切解．
在有解的情况下，是有解的充要条件证明方程组
.0
54321
515
454
343
232
121
aaaaa
axx
axx
axx
axx
axx
解证 对增广矩阵 B进行初等变换，
方程组的增广矩阵为
5
4
3
2
1
10001
11000
01100
00110
00011
a
a
a
a
a
B
5
1
4
3
2
1
00000
11000
01100
00110
00011
i
i
a
a
a
a
a
.0
5
1
i
ia是方程组有解的充要条件
454
343
232
121
axx
axx
axx
axx
对应的方程组
454
343
232
121
axx
axx
axx
axx
由此得通解：
544
5433
54322
543211
xax
xaax
xaaa
xaaaa
.5 为任意实数x
例５ 设有线性方程组
2
321
321
321 1
xxx
xxx
xxx
,有无穷多个解有解取何值时问?
解
211
11
111
B
111
11
11 2
作初等行变换，对增广矩阵 ),( bAB?
22
2
2
1110
110
11
322
2
2
1200
110
11
2
2
112100
1110
11
111
11
11 2
,11 时当
0000
0000
1111
B
.方程组有无穷多解其通解为?
33
22
321 1
xx
xx
xxx
.,32 为任意实数xx
2
2
112100
1110
11
,12 时当
2
2
1200
110
11
B
这时又分两种情形：
:,2)1 方程组有唯一解时
.21,21,21
2
321?
xxx
2
2
112100
1110
11
.故方程组无解
,2)2 时
3000
6330
4211
B
（ 1）线性方程组的增广矩阵；
小结
（ 2）利用矩阵的初等行变换解线性方程组。 目标为化方程组的增广矩阵为简化行阶梯矩阵，从而判断方程组是否有解，有解时有唯一解还是无穷多解。
作业,P130 1
3.1 高斯消元法及矩阵表示
3.1.1 高斯消元法及矩阵表示
3.1.2 矩阵表示
3.1.3 一般情形引例
)1(
3.1.1 高斯消元法求解线性方程组
,97963
,42264
,42
,22
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
分析：用消元法解下列方程组的过程．
2?
解
)1(?2?13 2
,97963
,232
,22
,42
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
2? 1
32?
3
3? 14?
,3433
,6355
,0222
,42
432
432
432
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
1
3
4
2
,3
,62
,0
,42
4
4
432
4321
x
x
xxx
xxxx
1
3
4
2
5?
2 21?
3
3?4
2
2
,00
,3
,0
,42
4
432
4321
x
xxx
xxxx
1
3
4
2?3
2?4
4
3
用“回代”的方法求出解：
于是解得?
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
.3 为任意取值其中 x
方程组的解可记作或令,3 cx?
3
3
4
4
3
2
1
x
cx
cx
cx
.为任意常数其中 c
小结：
1．上述解方程组的方法称为 消元法,2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换
（ 1）交换方程次序；
（ 2）以不等于０的数乘某个方程；
（ 3）一个方程加上另一个方程的 k倍．
i j（ 与 相互替换）
（以 替换 ）i k? i
j（以 替换 ）i k? i
称以上三种变换为 线性方程组的初等变换
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
线性方程组的解取决于
,,,2,1;,,2,1 njmia ij系数
mib i,,2,1
常数项
3.1.2 矩阵表示
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
称为上述方程组的 系数矩阵
nmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bAA
2
1
21
22221
11211
],[
~
称为上述方程组的 增广矩阵方程组与其增广矩阵 一 一对应定义 下面三种变换称为 矩阵的初等行变换,
）；记作两行对调两行（对调 ji rrji?,,1
;02 乘以某一行的所有元素以数?k
）记作行乘（第 krki i?,
.
3
）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的
ji krr
ikj
k
用矩阵的初等行变换 解方程组（ 1）：
97963
42264
41211
21112
~
A
97963
21132
21112
41211
21 rr?
23?r
34330
63550
02220
41211
13
32
2rr
rr
14 3rr?
31000
62000
01110
41211
23
2
5
2
rr
r
24 3rr?
00000
31000
30110
40101
00000
31000
01110
41211
31000
62000
01110
41211
43 rr?
34 2rr?
21 rr?
32 rr?,方程组为对应的?
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
3
3
4
4
3
2
1
x
cx
cx
cx
.为任意常数其中 c
方程组的解为：
高斯消元法解方程组的过程就是对其增广矩阵做 初等行变换 的过程，目标是将增广矩阵化为 行阶梯矩阵。
:行阶梯矩阵
（ 1）元素全为 0的行全在下方；
（ 2）对于非零行，第 i+1行的第一个非 0元素的列标大于第 i行的第一个非 0元素的列标
00000
31000
01110
41211
都是行阶梯矩阵
00000
31000
30110
40101
:简化行阶梯矩阵
（ 1）是行阶梯矩阵；
00000
31000
01110
41211
不是 简化行阶梯矩阵
00000
31000
30110
40101
（ 2）每一非 0行的第一个元素为 1；
（ 3）每一非 0行的第一个元素 1所在的列的其余元素均为 0；
是 简化行阶梯矩阵
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
线性方程组
3.1.3 一般情形对其增广矩阵作初等行变换，总可以化为如下形式的简化行阶梯矩阵（必要时交换未知量的下标）：
1
1,1111
2,21212
1,11111
0
r
nrnrr
nrnr
nrnr
d
dxcxcx
dxcxcx
dxcxcx
:方程组为对应的
000000
000000
00000
100
010
001
],[
~
1
,1
2,221
1,111
r
rrnrr
rn
rn
d
dcc
dcc
dcc
bAA
1
1,1111
2,21212
1,11111
0
r
nrnrr
nrnr
nrnr
d
dxcxcx
dxcxcx
dxcxcx
这个方程组与原方程组同解，所以时，方程组有解；当且仅当 0)1( 1rd；
则方程组有唯一解若时即方程组有解当
nn
r
dxdxdx
nrA
d
,,,
,)(
:)(0)2(
2211
1
则方程组有无穷多解。
作自由未知量，则若 nrr xxxnrB,,,,)( 21
00
0
0
0
,1111
,21212
,11111
nrnrr
nrnr
nrnr
xcxcx
xcxcx
xcxcx
当方程为齐次方程组时，
零解；时，则齐次方程组只有当 nr?)1(
021 mbbb?即
0121rddd?
齐次方程组至少有一组零解穷多组非零解；时，则齐次方程组有无当 nr?)2(
特别地，方程个数少于未知量个数的齐次方程组一定有非零解例 1 求解齐次线性方程组
.
034
0222
02
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解
3411
2212
1221
A
4630
4630
1221
施行初等行变换：对系数矩阵 A
13
12 2
rr
rr
0000
3
4
210
1221
0000
210
201
3
4
3
5
)3(2
23
r
rr
21 2rr?
0000
3
4
210
3
5
201
即得与原方程组同解的方程组
,0
3
4
2
,0
3
5
2
432
431
xxx
xxx
).,( 43 可任意取值xx由此即得?
,
3
4
2
,
3
5
2
432
431
xxx
xxx
,
,
,
3
4
2
,
3
5
2
24
13
222
221
cx
cx
ccx
ccx
:
,2413
式把它写成通常的参数形
，令 cxcx
.,21 为任意常数其中 cc
例２ 求解非齐次线性方程组
.3222
,2353
,132
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解 对增广矩阵 B进行初等变换，
32212
23513
11321
B
10450
10450
11321
20000
10450
11321
故方程组无解．
13
12 2
rr
rr
23 rr?
例３ 求解非齐次方程组的通解
.
2132
13
0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解 对增广矩阵 B进行初等变换
213211
13111
01111
B
212100
14200
01111
.
00000
212100
211011
故方程组有解，且有
212
21
43
421
xx
xxx
24
23
12
211
212
21
cx
cx
cx
ccx
.
00000
212100
211011
212
21
43
421
xx
xxx
.,21 为任意常数其中 cc
例４
求出它的一切解．
在有解的情况下，是有解的充要条件证明方程组
.0
54321
515
454
343
232
121
aaaaa
axx
axx
axx
axx
axx
解证 对增广矩阵 B进行初等变换，
方程组的增广矩阵为
5
4
3
2
1
10001
11000
01100
00110
00011
a
a
a
a
a
B
5
1
4
3
2
1
00000
11000
01100
00110
00011
i
i
a
a
a
a
a
.0
5
1
i
ia是方程组有解的充要条件
454
343
232
121
axx
axx
axx
axx
对应的方程组
454
343
232
121
axx
axx
axx
axx
由此得通解：
544
5433
54322
543211
xax
xaax
xaaa
xaaaa
.5 为任意实数x
例５ 设有线性方程组
2
321
321
321 1
xxx
xxx
xxx
,有无穷多个解有解取何值时问?
解
211
11
111
B
111
11
11 2
作初等行变换，对增广矩阵 ),( bAB?
22
2
2
1110
110
11
322
2
2
1200
110
11
2
2
112100
1110
11
111
11
11 2
,11 时当
0000
0000
1111
B
.方程组有无穷多解其通解为?
33
22
321 1
xx
xx
xxx
.,32 为任意实数xx
2
2
112100
1110
11
,12 时当
2
2
1200
110
11
B
这时又分两种情形：
:,2)1 方程组有唯一解时
.21,21,21
2
321?
xxx
2
2
112100
1110
11
.故方程组无解
,2)2 时
3000
6330
4211
B
（ 1）线性方程组的增广矩阵；
小结
（ 2）利用矩阵的初等行变换解线性方程组。 目标为化方程组的增广矩阵为简化行阶梯矩阵，从而判断方程组是否有解，有解时有唯一解还是无穷多解。
作业,P130 1
