3.2 矩阵及其初等变换
3.2.1 矩阵的概念
3.2.2 矩阵应用实例
3.2.3 矩阵的初等变换由 个数排成的 行 列的数表
nm?m nnjmia ij,,2,1;,,2,1
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa

21
22221
11211
称为 矩阵,nm? 记作
3.2.1 矩阵的概念
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A

11
22221
11211
简记为.ijnmijnm aaAA
元的矩阵
nm
A
,
.,简称为元的元素个数称为这 Anm?
元素是实数的矩阵称为 实矩阵,
元素是复数的矩阵称为 复矩阵,
例如?

3469
5301
是一个 实矩阵,42?
222
222
2613 i
是一个 复矩阵,33?
4
2
1
是一个 矩阵,13?
9532
是一个 矩阵,41?
4
是一个 矩阵,11?
(2)只有一行的矩阵,,,,21 naaaA
称为 行矩阵 (或 行向量 ).,2
1


n
a
a
a
B
（ 3）只有一列的矩阵称为 列矩阵 (或 列向量 ).
（ 1） 元素全为零的矩阵称为 零矩阵,零矩阵记作 或,
nm?
nmo? o
几种特殊矩阵例如
222
222
2613 i
是一个 3 阶方阵,
(4)行数与列数都等于 的矩阵,称为 阶n nA
.nA方阵,也可记作一般的 n 阶方阵：
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
A

21
22221
11211
称为对角线元素。nnaaa,,,2211?
称为 上三角矩阵,
（ 5） 形如 的方阵,
nn
n
n
a
aa
aaa

00
0
222
11211
称为 下三角矩阵,
（ 6） 形如 的方阵,
nnnn
aaa
aa
a

21
2221
11
0
00
称为 对角矩阵 (或 对角阵 ）,?

n

00
00
00
2
1
（ 7） 形如 的方阵,
不全为 0
记作.,,,21 nd ia gA
全相等
k
k
k

00
00
00
（ 8） 形如 的方阵,称为 数量矩阵,
记作 ).(
nkEkE 或
(9)方阵

100
010
001

n
EE
称为 单位矩阵 （或 单位阵 ）,
全为 1
例 1,某航空公司在 A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从 A到 B有航班,则用带箭头的线连接 A 与 B.
A
B
C
D
3.2.2 矩阵应用实例；
四城市间的航班图情况常用表格来表示,
发站到站
A B C D
A
B
C
D
其中 表示有航班,
为了便于计算,把表中的 改成 1,空白地方填上
0,就得到一个数表,
A
B
C
D
1 1
1 1
11
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况,
A B C D
A
B
C
D
例 2(价格矩阵 )
四种食品 (Food)在三家商店 (Shop)中,单位量的售价 (以某种货币单位计 )可用以下矩阵给出
1915818
1913915
2111717
1F 2F 3F 4F
1S
2S
3S
例 3 之个变量与个变量 mn yyymxxxn,,,,,,2121
间的关系式



.
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay

的到变量表示一个从变量 mn yyyxxx,,,,,,2121
线性变换,
.为常数其中 ija



.
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay

mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A

11
22221
11211

系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系,
若线性变换为
nn
xy
xy
xy

,
,
22
11
称之为 恒等变换,
nn
xy
xy
xy

,
,
22
11
对应


100
010
001

单位阵,
线性变换



.c o ss in
,s inc o s
1
1
yxy
yxx

对应




c o ss in
s inc o s
X
Y
O?
yxP,
111,yxP
这是一个以原点为中心旋转 角的 旋转变换,?
定义 下面三种变换称为矩阵的 初等行变换,
）记作行乘（第 krki i?,
3.2.3 矩阵的初等变换同理可定义矩阵的 初等列变换 (所用记号是把,r”换成,c”)．
）记作两行对调对换变换：对调两行（ ji rrji?,,1
乘以某一行的所有元素倍乘变换：以数 02?k

.
3
）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行有元素的倍加变换：把某一行所
ji krr
ikj
k
等价关系的 性质,；等价于反身性）（ A A 1
A;B,B A 2 等价于则等价于若对称性）（
C,AC,BB,A 3 等价于则等价于等价于若）传递性（
等价．与就称矩阵
，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵
BA
BA
定义 矩阵的 初等列变换 与 初等行变换 统称为 初等变换．
标准形总可经过初等变换化为矩阵定理,Anm?
00000
00000
00100
00010
00001







A
r
m-r
r n-r
证明略章）的秩（见第称为矩阵矩阵中非零行的行数唯一确定，是行阶梯形由其中
4
.
Ar
Ar
称为 A的等价标准形例：将下列矩阵化为标准形



97963
42264
41211
21112
A


97963
21132
21112
41211
21 rr?
23?r


34330
63550
02220
41211
13
32
2rr
rr
14 3rr?
31000
62000
01110
41211
23
2
5
2
rr
r
24 3rr?
00000
31000
01110
41211
31000
62000
01110
41211
43 rr?
34 2rr?
13
12
2cc
cc
15
14
4cc
cc

00000
31000
01110
00001
23 cc?
24 cc?
00000
31000
00010
00001
45 3cc?
00000
01000
00010
00001
43 cc? B?
00000
00100
00010
00001
（ 1）矩阵及几类特殊矩阵；
小结
（ 2）矩阵的初等变换；
（ 3）初等变换化矩阵为其等价标准形。