3.5 分块矩阵
3.5.1 分块矩阵的概念
3.5.2 分块矩阵的运算
3.5.3 分块矩阵的逆矩阵对于行数和列数较高的矩阵,为了简化运算，经常采用 分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算,具体做法是：将矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 的 子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵,
A
A
A
3.5.1 分块矩阵的概念
,
3
2
1
B
B
B
b
b
a
a
A
110
101
000
001
例
A
001a
b
a
110
000
b110
1B
2B
3B
即
b
b
a
a
A
110
101
000
001
,
43
21?
CC
CC?
A
1a
1C
00
2C
10
01
0 a
3Cb
b
1
1
00
4C
即
,?
BE
OA
b
b
a
a
A
110
101
000
001
a
aA
0
1其中?
b
bB
1
1?
10
01E
0
0O
,4321 AAAA
b
b
a
a
A
110
101
000
001
0
1
0
1
a
A其中
1
0
1
2
a
A
0
0
3
b
b
1
4
（按列分块）
,
4
3
2
1
A
A
A
A
b
b
a
a
A
110
101
000
001
0011 aA?其中0002 aA101
3 bAbA 1104?
（按行分块）
有相同的分块法采用列数相同的行数相同与设矩阵
,
,,1 BA
那末列数相同的行数相同与其中,,ijij BA
.
11
111111
srsrss
rr
BABA
BABA
BA
srs
r
srs
r
BB
BB
B
AA
AA
A
1
111
1
111
,
3.5.2 分块矩阵的运算
那末为数设,,2
1
111
k
AA
AA
A
srs
r
.
1
111
srs
r
kAkA
kAkA
kA
分块成矩阵为矩阵为设,,3 nlBlmA
,,
1
111
1
111
trt
r
sts
t
BB
BB
B
AA
AA
A
那末的行数的列数分别等于其中
,
,,,,,,2121 ijjjitii BBBAAA
srs
r
CC
CC
AB
1
111
,,,1;,,1
1
rjsiBAC kj
t
k
ikij
其中
即是方阵且非零子块都其余子块都为零矩阵上有非零子块角线的分块矩阵只有在主对若阶矩阵为设
.
,,
,5 AnA
,
2
1
s
A
A
A
A
O
O
,4
11
srA
A
A
设 rA1
1sA
.
11
T
sr
T
T
A
A
A
则 TsA1
TrA1
s1
TrA1
.
11
T
sr
T
T则
,
2
1
s
A
A
A
A
O
O
.
,,2,1
对角矩阵为分块那末称都是方阵其中 AsiA i
.21 sAAAA
分块对角矩阵的行列式具有下述性质,
ss
B
B
B
A
A
A
00
00
00
00
00
00
6
2
1
2
1
.
00
00
00
22
11
ss
BA
BA
BA
例 1 设,
1011
0121
0010
0001
A,
0211
1401
1021
0101
B
.AB求解 分块成把 BA,
1011
0121
0010
0001
A
10
01
10
01
A
00
00
11
21?,?
E
E
O
1A
0211
1401
1021
0101
B
11B E
21B 22B
则?
2221
11
1 BB
EB
EA
OEAB
.
22121111
11?
BABBA
EB
.
22121111
11?
BABBA
EBAB
又 21111 BBA
11
01
21
01
11
21
11
01
20
43,
11
42?
02
14
11
21
221 BA,13
33?
于是
22121111
11
BABBA
EBAB
.
1311
3342
1041
0101
,
100
100
000
001
b
b
a
a
A设
b
b
a
a
B
100
000
001
000
.,AB ABA?求例 2
解 分块将 BA,
b
b
a
a
A
100
100
000
001
,0 0
2
1?
A
A
b
b
a
a
B
100
000
001
000
,0 0
2
1?
B
B
其中
,0 11?
a
aA;1 12?
b
bA
,1 01?
a
aB;1 02?
b
bB其中
2
1
2
1
0
0
0
0
B
B
A
ABA
,0 0
22
11?
BA
BA
a
a
a
aBA
1
0
0
1
11,21
12?
a
a
b
b
b
bBA
1
0
1
1
22,22
12?
b
b
.
2200
1200
0021
0012
b
b
a
a
2
1
2
1
0
0
0
0
B
B
A
ABA
22
11
0
0
BA
BA
2
1
2
1
2
1
0
0
0
0
0
0
A
A
B
B
A
AA B A
,0 0
222
111?
ABA
ABA
,12 32
23
111
aaa
aaaABA
,
23
122
32
23
222
bbb
bbbABA
2
1
2
1
2
1
0
0
0
0
0
0
A
A
B
B
A
AA B A
222
111
0
0
ABA
ABA
.
2300
12200
00
0012
32
23
32
23
bbb
bbb
aaa
aaa
3.5.3 分块矩阵的逆矩阵
,,
0
)1( 都是可逆方阵和其中设 CB
C
DBA
.,1?AA 并求可逆证明证,,可逆由 CB,0 CBA有,可逆得 A
,1?
YW
ZXA设,
0
0
0
E
E
YW
ZX
C
DB则
.
,
,
,
ECY
OCW
ODYBZ
EDWBX
.
,
,
,
11
1
1
OW
DCBZ
CY
BX
.
1
111
1
CO
DCBB
A
并有则若,0,,,2,10 AsiA i?
.
2
1
s
A
A
A
A
o
o
,2 2
1
s
A
A
A
A
设
o
o
1?
1?
1?
1?
.,,,11211 sAAAd ia g?
例 3 设
,
120
130
005
A
.1?A求解
120
130
005
A
,
2
1?
AO
OA
,51?A ;5111A,12 132A ;32 1112A
1
2
1
11
AO
OAA
.
320
110
00
5
1
三、小结在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法,
(1) 加法 采用相同的分块法同型矩阵,
(2) 数乘 的每个子块乘需乘矩阵数 AkAk,
(3) 乘法的划分相一致的列的划分与需相乘与若 BABA,
分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
(4) 转置
srA
A
A
11
rA1
1sA
TsA1
TrA1
T
sr
T
T
A
A
A
11
(5) 分块对角阵的行列式与逆阵
s
A
A
A
A
2
1
O
O
.21 sAAAA
.,,,
,,2,1
11
2
1
1
1
s
i
AAAd i a gA
siAA
且可逆可逆作业,P130 22 (2),23
3.5.1 分块矩阵的概念
3.5.2 分块矩阵的运算
3.5.3 分块矩阵的逆矩阵对于行数和列数较高的矩阵,为了简化运算，经常采用 分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算,具体做法是：将矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 的 子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵,
A
A
A
3.5.1 分块矩阵的概念
,
3
2
1
B
B
B
b
b
a
a
A
110
101
000
001
例
A
001a
b
a
110
000
b110
1B
2B
3B
即
b
b
a
a
A
110
101
000
001
,
43
21?
CC
CC?
A
1a
1C
00
2C
10
01
0 a
3Cb
b
1
1
00
4C
即
,?
BE
OA
b
b
a
a
A
110
101
000
001
a
aA
0
1其中?
b
bB
1
1?
10
01E
0
0O
,4321 AAAA
b
b
a
a
A
110
101
000
001
0
1
0
1
a
A其中
1
0
1
2
a
A
0
0
3
b
b
1
4
（按列分块）
,
4
3
2
1
A
A
A
A
b
b
a
a
A
110
101
000
001
0011 aA?其中0002 aA101
3 bAbA 1104?
（按行分块）
有相同的分块法采用列数相同的行数相同与设矩阵
,
,,1 BA
那末列数相同的行数相同与其中,,ijij BA
.
11
111111
srsrss
rr
BABA
BABA
BA
srs
r
srs
r
BB
BB
B
AA
AA
A
1
111
1
111
,
3.5.2 分块矩阵的运算
那末为数设,,2
1
111
k
AA
AA
A
srs
r
.
1
111
srs
r
kAkA
kAkA
kA
分块成矩阵为矩阵为设,,3 nlBlmA
,,
1
111
1
111
trt
r
sts
t
BB
BB
B
AA
AA
A
那末的行数的列数分别等于其中
,
,,,,,,2121 ijjjitii BBBAAA
srs
r
CC
CC
AB
1
111
,,,1;,,1
1
rjsiBAC kj
t
k
ikij
其中
即是方阵且非零子块都其余子块都为零矩阵上有非零子块角线的分块矩阵只有在主对若阶矩阵为设
.
,,
,5 AnA
,
2
1
s
A
A
A
A
O
O
,4
11
srA
A
A
设 rA1
1sA
.
11
T
sr
T
T
A
A
A
则 TsA1
TrA1
s1
TrA1
.
11
T
sr
T
T则
,
2
1
s
A
A
A
A
O
O
.
,,2,1
对角矩阵为分块那末称都是方阵其中 AsiA i
.21 sAAAA
分块对角矩阵的行列式具有下述性质,
ss
B
B
B
A
A
A
00
00
00
00
00
00
6
2
1
2
1
.
00
00
00
22
11
ss
BA
BA
BA
例 1 设,
1011
0121
0010
0001
A,
0211
1401
1021
0101
B
.AB求解 分块成把 BA,
1011
0121
0010
0001
A
10
01
10
01
A
00
00
11
21?,?
E
E
O
1A
0211
1401
1021
0101
B
11B E
21B 22B
则?
2221
11
1 BB
EB
EA
OEAB
.
22121111
11?
BABBA
EB
.
22121111
11?
BABBA
EBAB
又 21111 BBA
11
01
21
01
11
21
11
01
20
43,
11
42?
02
14
11
21
221 BA,13
33?
于是
22121111
11
BABBA
EBAB
.
1311
3342
1041
0101
,
100
100
000
001
b
b
a
a
A设
b
b
a
a
B
100
000
001
000
.,AB ABA?求例 2
解 分块将 BA,
b
b
a
a
A
100
100
000
001
,0 0
2
1?
A
A
b
b
a
a
B
100
000
001
000
,0 0
2
1?
B
B
其中
,0 11?
a
aA;1 12?
b
bA
,1 01?
a
aB;1 02?
b
bB其中
2
1
2
1
0
0
0
0
B
B
A
ABA
,0 0
22
11?
BA
BA
a
a
a
aBA
1
0
0
1
11,21
12?
a
a
b
b
b
bBA
1
0
1
1
22,22
12?
b
b
.
2200
1200
0021
0012
b
b
a
a
2
1
2
1
0
0
0
0
B
B
A
ABA
22
11
0
0
BA
BA
2
1
2
1
2
1
0
0
0
0
0
0
A
A
B
B
A
AA B A
,0 0
222
111?
ABA
ABA
,12 32
23
111
aaa
aaaABA
,
23
122
32
23
222
bbb
bbbABA
2
1
2
1
2
1
0
0
0
0
0
0
A
A
B
B
A
AA B A
222
111
0
0
ABA
ABA
.
2300
12200
00
0012
32
23
32
23
bbb
bbb
aaa
aaa
3.5.3 分块矩阵的逆矩阵
,,
0
)1( 都是可逆方阵和其中设 CB
C
DBA
.,1?AA 并求可逆证明证,,可逆由 CB,0 CBA有,可逆得 A
,1?
YW
ZXA设,
0
0
0
E
E
YW
ZX
C
DB则
.
,
,
,
ECY
OCW
ODYBZ
EDWBX
.
,
,
,
11
1
1
OW
DCBZ
CY
BX
.
1
111
1
CO
DCBB
A
并有则若,0,,,2,10 AsiA i?
.
2
1
s
A
A
A
A
o
o
,2 2
1
s
A
A
A
A
设
o
o
1?
1?
1?
1?
.,,,11211 sAAAd ia g?
例 3 设
,
120
130
005
A
.1?A求解
120
130
005
A
,
2
1?
AO
OA
,51?A ;5111A,12 132A ;32 1112A
1
2
1
11
AO
OAA
.
320
110
00
5
1
三、小结在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法,
(1) 加法 采用相同的分块法同型矩阵,
(2) 数乘 的每个子块乘需乘矩阵数 AkAk,
(3) 乘法的划分相一致的列的划分与需相乘与若 BABA,
分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
(4) 转置
srA
A
A
11
rA1
1sA
TsA1
TrA1
T
sr
T
T
A
A
A
11
(5) 分块对角阵的行列式与逆阵
s
A
A
A
A
2
1
O
O
.21 sAAAA
.,,,
,,2,1
11
2
1
1
1
s
i
AAAd i a gA
siAA
且可逆可逆作业,P130 22 (2),23
