3.3 矩阵的运算
3.3.1 矩阵的加法
3.3.2 矩阵的数乘
3.3.3 矩阵的乘法
3.3.4 矩阵的转置
3.3.5 矩阵的共轭
ijij baBA
设有两个 矩阵 那末矩阵
= 的和记作,规定为
nm,bB,aA ijij
A B BA?
3.3.1 矩阵的加法
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
2211
2222222121
1112121111
注,行数，列数相同的矩阵才能相加。
这样的矩阵称为 同型矩阵 。
例如
93
48
314
73
65
21
与为 同型矩阵,
9733
4685
32141
93
48
314
73
65
21
166
1013
515
性质,ABBA.1
)().(2 CBACBA
0)(],[],[.3 AAaAaA ijij 定义
)(.4 BABA定义两个矩阵 为 同型矩阵,并且对应元素相等,即ijij bBaA 与
,,,2,1;,,2,1 njmiba ijij
则称 矩阵 相等,记作BA与,BA?
.][
11
22221
11211
mnmm
n
n
ij
kakaka
kakaka
kakaka
kaAkkA
规定为或的乘积记作与矩阵数,AkkAAk
3.3.2 矩阵的数乘性质,)().(1 lAkAkl?
lAkAAlk ).(2
kBkABAk )(.3
00,1.4 AAA
s
k kjiksjisjijiij
babababac
12211
,,,2,1;,2,1 njmi
并把此乘积记作,ABC?
设 是一个 矩阵,是一个矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵,其中
ijaA? smijbB?
ns?
nmijcC?
A B
3.3.3 矩阵的乘法注,当 A的列数＝ B的行数时，才有 AB，且乘积
C=AB的行数为 A的行数，列数为 B的列数注意 1.矩阵乘法不满足交换律，即：
,BAAB,BAAB kkk?
2.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵例 设
11
11A?
11
11B
则,00 00?
AB,
22
22?
BA
.BAAB?故特别的，当 AB=BA时，则称 A与 B可交换 。
例 设
42
21
A
12
31
B
则
,
1010
55
ACAB
.,0 CBA 且但
3.矩阵乘法不满足消去律，
21
17
C
性质：
)().(1 BCACAB?
)()()(.2 kBABkAABk
ACABCBA )(.3
CABAACB )(
nmnnmnmnmm AEAAAE,.4
nmnnm
nmnmm
AkEA
kAAkE
)(
,).(5
结论,n阶数量矩阵与任意 n阶矩阵可交换定义 n阶方阵的 k次幂为,AAAA k
k个 A显然：
mkmk AAA
kmmk AA?)(
问等式阶方阵为与设,nBA
BABABA 22
成立的充要条件是什么?
例：
解,,22 BABBAABABA
故 成立的充要条件为BABABA 22
.BAAB?
定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作,?A
A
A
例,854
221?
A ;
82
52
41
TA
,618?B,618TB
１、转置矩阵
3.3.4 矩阵的转置转置矩阵的运算性质
;1 AA TT?
;2 TTT BABA
;3 TT kAkA?
,4 TTT ABAB?
例 5 已知
,
102
324
171
,
231
102
BA
.TAB求解法 1
102
324
171
231
102
AB?
,101317 3140?
,
103
1314
170
TAB
解法 2
TTT ABAB?
21
30
12
131
027
241
.
103
1314
170
,
102
324
171
,
231
102
BA
2、对称阵定义 设 为 阶方阵，如果满足,即那末 称为 对称阵,
A n TAA?
n,,,j,iaa jiij?21
A
.A 为对称阵例如
601
086
1612
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,说明
.
601
086
1612
为反对称阵
A
.称为反对称的则矩阵如果 AAA T
例 6 设列矩阵 满足TnxxxX,,,21,1?XX T
.,
,2,
EHH
HXXEHnE
T
T
且阵是对称矩证明阶单位矩阵为证明TTT XXEH 2TTT XXE 2
,2 HXXE T
.是对称矩阵H?
2HHH T22 TXXE
TTT XXXXXXE 44 TTT XXXXXXE 44
TT XXXXE 44,E?
例 7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和,
n A
证明 TAAC设
TTT AAC则 AA T?,C?
所以 C为对称矩阵,
,TAAB设TTAAB则 AA T,B
所以 B为反对称矩阵,
22
TT AAAA
A,22 BC 命题得证,
3.3.5 矩阵的共轭
][ ijaA?
为复矩阵，][ ijaA?
对矩阵：
称为 A的 共轭矩阵,
对复数,biazbiaz,称为 z的 共轭复数,
性质：
BABA.1 AkkA?.2
BAAB?.3 TT AA )(.4?
小结矩阵运算?
加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵共轭矩阵
（ 2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律,
（ 1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算,
注意
（ 3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同,
作业,P130 4,5(1)(2)(5)(6),6(2),7,9
3.3.1 矩阵的加法
3.3.2 矩阵的数乘
3.3.3 矩阵的乘法
3.3.4 矩阵的转置
3.3.5 矩阵的共轭
ijij baBA
设有两个 矩阵 那末矩阵
= 的和记作,规定为
nm,bB,aA ijij
A B BA?
3.3.1 矩阵的加法
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
2211
2222222121
1112121111
注,行数，列数相同的矩阵才能相加。
这样的矩阵称为 同型矩阵 。
例如
93
48
314
73
65
21
与为 同型矩阵,
9733
4685
32141
93
48
314
73
65
21
166
1013
515
性质,ABBA.1
)().(2 CBACBA
0)(],[],[.3 AAaAaA ijij 定义
)(.4 BABA定义两个矩阵 为 同型矩阵,并且对应元素相等,即ijij bBaA 与
,,,2,1;,,2,1 njmiba ijij
则称 矩阵 相等,记作BA与,BA?
.][
11
22221
11211
mnmm
n
n
ij
kakaka
kakaka
kakaka
kaAkkA
规定为或的乘积记作与矩阵数,AkkAAk
3.3.2 矩阵的数乘性质,)().(1 lAkAkl?
lAkAAlk ).(2
kBkABAk )(.3
00,1.4 AAA
s
k kjiksjisjijiij
babababac
12211
,,,2,1;,2,1 njmi
并把此乘积记作,ABC?
设 是一个 矩阵,是一个矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵,其中
ijaA? smijbB?
ns?
nmijcC?
A B
3.3.3 矩阵的乘法注,当 A的列数＝ B的行数时，才有 AB，且乘积
C=AB的行数为 A的行数，列数为 B的列数注意 1.矩阵乘法不满足交换律，即：
,BAAB,BAAB kkk?
2.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵例 设
11
11A?
11
11B
则,00 00?
AB,
22
22?
BA
.BAAB?故特别的，当 AB=BA时，则称 A与 B可交换 。
例 设
42
21
A
12
31
B
则
,
1010
55
ACAB
.,0 CBA 且但
3.矩阵乘法不满足消去律，
21
17
C
性质：
)().(1 BCACAB?
)()()(.2 kBABkAABk
ACABCBA )(.3
CABAACB )(
nmnnmnmnmm AEAAAE,.4
nmnnm
nmnmm
AkEA
kAAkE
)(
,).(5
结论,n阶数量矩阵与任意 n阶矩阵可交换定义 n阶方阵的 k次幂为,AAAA k
k个 A显然：
mkmk AAA
kmmk AA?)(
问等式阶方阵为与设,nBA
BABABA 22
成立的充要条件是什么?
例：
解,,22 BABBAABABA
故 成立的充要条件为BABABA 22
.BAAB?
定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作,?A
A
A
例,854
221?
A ;
82
52
41
TA
,618?B,618TB
１、转置矩阵
3.3.4 矩阵的转置转置矩阵的运算性质
;1 AA TT?
;2 TTT BABA
;3 TT kAkA?
,4 TTT ABAB?
例 5 已知
,
102
324
171
,
231
102
BA
.TAB求解法 1
102
324
171
231
102
AB?
,101317 3140?
,
103
1314
170
TAB
解法 2
TTT ABAB?
21
30
12
131
027
241
.
103
1314
170
,
102
324
171
,
231
102
BA
2、对称阵定义 设 为 阶方阵，如果满足,即那末 称为 对称阵,
A n TAA?
n,,,j,iaa jiij?21
A
.A 为对称阵例如
601
086
1612
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,说明
.
601
086
1612
为反对称阵
A
.称为反对称的则矩阵如果 AAA T
例 6 设列矩阵 满足TnxxxX,,,21,1?XX T
.,
,2,
EHH
HXXEHnE
T
T
且阵是对称矩证明阶单位矩阵为证明TTT XXEH 2TTT XXE 2
,2 HXXE T
.是对称矩阵H?
2HHH T22 TXXE
TTT XXXXXXE 44 TTT XXXXXXE 44
TT XXXXE 44,E?
例 7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和,
n A
证明 TAAC设
TTT AAC则 AA T?,C?
所以 C为对称矩阵,
,TAAB设TTAAB则 AA T,B
所以 B为反对称矩阵,
22
TT AAAA
A,22 BC 命题得证,
3.3.5 矩阵的共轭
][ ijaA?
为复矩阵，][ ijaA?
对矩阵：
称为 A的 共轭矩阵,
对复数,biazbiaz,称为 z的 共轭复数,
性质：
BABA.1 AkkA?.2
BAAB?.3 TT AA )(.4?
小结矩阵运算?
加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵共轭矩阵
（ 2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律,
（ 1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算,
注意
（ 3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同,
作业,P130 4,5(1)(2)(5)(6),6(2),7,9
