3.6 初等变换与初等矩阵
3.6.1 初等矩阵
3.6.2 利用初等变换求逆矩阵矩阵的 初等变换,
；，记作列对换变换：对调两行 )()(1 jiji ccrr
的所有元素列乘以某一行倍乘变换：以数 )(02?k
上列行倍加到第的列行倍加变换：把第 )()(3 ikj
3.6.1 初等矩阵
)( ii kckr记作
).( jiji crckrr记作定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为 初等矩阵,
E
三种初等变换对应着三种初等方阵,
行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；
k
k
.3
0.2
.1
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛,
初等倍乘矩阵
1
1
1
1
kkiE
行第 i?
第列i
0?k
初等倍加矩阵
1
1
1
1
k
kijE
行第 i?
行第 j?
第列i
第列j
0?k
初等对换矩阵
1
1
01
1
1
10
1
1
,
jiE
行第 j?
行第 i?
第列i
第列j
0
010
100
001
3
100
010
01
2
100
00
001
1
1
333231
232221
131211
3231
2221
1211
33231
22221
11211
k
bbb
bbb
bbb
aa
aa
aak
aaa
aaa
aaa
k
n
n
n
其中计算例
n
n
n
aaa
kakaka
aaa
33231
22221
11211
3231
2221
32123111
aa
aa
kaakaa
323331
222321
121311
bbb
bbb
bbb
一般结论,
,A
,A
kikiAE
kiAkiE
列乘的第结果相当于行乘的第结果相当于
,A
,A
列上加到第列乘的第结果相当于行上加到第行乘的第结果相当于
jkikijAE
ikjAkijE
,A,
,A,
列对换列与第的第结果相当于行对换行与第的第结果相当于
jijiAE
jiAjiE
或,设 A是 m? n矩阵，对 A施行一次初等 行 变换，相当于在 A的 左 边乘一个相应的 m阶初等矩阵；
对施行一次初等 列 变换，相当于在 A的 右 边乘一个 n
阶相应的阶初等矩阵初等矩阵是可逆的
E
k
k?
100
0
1
0
001
100
00
001
kijE
jiE,
k
iEkiE 11
kijEkijE 1
jiEjiE,,1
E
k
iEkiE
1
EkijE
EjiE,
1
1
1
1
1
1
1
1000
0001
0010
0100
2
321
k
P
c
PP
设初等矩阵例
1321321 )(?PPPPPP 及求
1
01
10
c
k
1
1
1
1
01
1
10
321
k
c
PPP
1
1
1
1
1
1
1
1
1000
0001
0010
0100
1
3
1
2
1
1 k
P
c
PP
1112131321 )( PPPPPP
10
01
1
10
c
k
543
432
321
001
010
100
100
012
001
,:
21
21
BPP
ABPPA
其中求已知
345
234
123
100
012
001
21BPPA?
345
1)2(22)2(33)2(4
123
345
012
123
定理,m?n矩阵可以经过若干次初等变换化为如下形式的矩阵：
)()()(
)(
00
0
rnrmrrm
rnrrE
，使，，，和，，，即存在初等矩阵 ts QQQPPP 2121
00
0
2112
r
ts
E
QQAQPPP
定理,设 A为可逆方阵，则 A经有限次初等变换可化为单位矩阵，且 A可表示成有限个初等矩阵的乘积。
证
nr
使，，，和
，，，存在初等矩阵由上定理
,
,
21
21
t
s
QQQ
PPP
00
0
2112
r
ts
E
QQAQPPP
因 A为可逆方阵，所以可逆ts QQAQPPP 2112
nts EQQAQPPP 2112即：
1
1
1
2
111
2
1
1
QQQEPPPA
tns：
所以,A经有限次初等变换可化为单位矩阵
3.6.2 利用初等变换求逆矩阵
，有时，由当 lPPPAA?21 0
,11111 EAPPP ll,111111 AEPPP ll?及
1?AE 行变换构造矩阵,EA
,
)(2
1?
AEEA
EAnn
就变成时，原来的变成当把施行初等行变换，矩阵即对
.,
343
122
321
1?
AA 求设解例１
103620
012520
001321
100343
010122
001321
EA 12 2rr?
13 3rr?
21 rr?
23 rr
111100
012520
011201
111100
012520
011201
111100
563020
231001
.
111
2
5
3
2
3
231
1
A
111100
2
5
3
2
3
010
231001
31 2rr?
32 5rr?
）（ 22r
）（ 13r
，有同理，由 lPPPA?21?
,11111 EPPAP ll,E 111111 APPP ll?及
列变换构造矩阵：
E
A
1A
E
,
2
1?
AEEA
E
A
nn
就变成时，原来的变成当把施行初等列变换，矩阵即对
,
,
1000
1100
1110
2222
A
1,
n
ji
ij
AA
n
式之和中所有元素的代数余子求方阵已知
解例 3
,02A?,可逆A?
.1* AAA且
10001000
01001100
00101110
00012222
EA
10001000
11000100
01100010
001
2
1
0001
,
1000
1100
0110
001
2
1
1
A
,2 1* AA?
n
ji
ijA
1,
故,1)]1()1(21[2 nn
例 4：
.
010
102
001
的乘积表示成有限个初等方阵将矩阵
A
解 可以看成是由 3阶单位矩阵 经 4次初等变换,A E
333132 1,1,2,crccrr
而得,而这 4次初等变换所对应的初等方阵为,
,
010
100
001
1
P,
102
010
001
2
P,
100
01
001
3
P
.
100
010
001
4
P
由初等方阵的性质得
4213 PEPPPA?,4213 PPPP?
三、小结
1,单位矩阵 初等矩阵,一次初等变换
2,利用初等变换求逆阵的步骤是,
;1?
E
AEA 或构造矩阵?
.,,
(,
,2
1
1
AEEA
E
A
AE
EAEA
对应部分即为后划为单位阵将变换施行初等列或对对应部分即为右边后化为单位矩阵将施行初等行变换对?
作业,P130 20 (1) (3) (4),21,24
3.6.1 初等矩阵
3.6.2 利用初等变换求逆矩阵矩阵的 初等变换,
；，记作列对换变换：对调两行 )()(1 jiji ccrr
的所有元素列乘以某一行倍乘变换：以数 )(02?k
上列行倍加到第的列行倍加变换：把第 )()(3 ikj
3.6.1 初等矩阵
)( ii kckr记作
).( jiji crckrr记作定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为 初等矩阵,
E
三种初等变换对应着三种初等方阵,
行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；
k
k
.3
0.2
.1
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛,
初等倍乘矩阵
1
1
1
1
kkiE
行第 i?
第列i
0?k
初等倍加矩阵
1
1
1
1
k
kijE
行第 i?
行第 j?
第列i
第列j
0?k
初等对换矩阵
1
1
01
1
1
10
1
1
,
jiE
行第 j?
行第 i?
第列i
第列j
0
010
100
001
3
100
010
01
2
100
00
001
1
1
333231
232221
131211
3231
2221
1211
33231
22221
11211
k
bbb
bbb
bbb
aa
aa
aak
aaa
aaa
aaa
k
n
n
n
其中计算例
n
n
n
aaa
kakaka
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33231
22221
11211
3231
2221
32123111
aa
aa
kaakaa
323331
222321
121311
bbb
bbb
bbb
一般结论,
,A
,A
kikiAE
kiAkiE
列乘的第结果相当于行乘的第结果相当于
,A
,A
列上加到第列乘的第结果相当于行上加到第行乘的第结果相当于
jkikijAE
ikjAkijE
,A,
,A,
列对换列与第的第结果相当于行对换行与第的第结果相当于
jijiAE
jiAjiE
或,设 A是 m? n矩阵，对 A施行一次初等 行 变换，相当于在 A的 左 边乘一个相应的 m阶初等矩阵；
对施行一次初等 列 变换，相当于在 A的 右 边乘一个 n
阶相应的阶初等矩阵初等矩阵是可逆的
E
k
k?
100
0
1
0
001
100
00
001
kijE
jiE,
k
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1
1
1
1
1
1
1
1000
0001
0010
0100
2
321
k
P
c
PP
设初等矩阵例
1321321 )(?PPPPPP 及求
1
01
10
c
k
1
1
1
1
01
1
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321
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c
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1
1
1
1
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0001
0010
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1
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P
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10
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1
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k
543
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012
001
,:
21
21
BPP
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其中求已知
345
234
123
100
012
001
21BPPA?
345
1)2(22)2(33)2(4
123
345
012
123
定理,m?n矩阵可以经过若干次初等变换化为如下形式的矩阵：
)()()(
)(
00
0
rnrmrrm
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，使，，，和，，，即存在初等矩阵 ts QQQPPP 2121
00
0
2112
r
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E
QQAQPPP
定理,设 A为可逆方阵，则 A经有限次初等变换可化为单位矩阵，且 A可表示成有限个初等矩阵的乘积。
证
nr
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，，，存在初等矩阵由上定理
,
,
21
21
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QQQ
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00
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因 A为可逆方阵，所以可逆ts QQAQPPP 2112
nts EQQAQPPP 2112即：
1
1
1
2
111
2
1
1
QQQEPPPA
tns：
所以,A经有限次初等变换可化为单位矩阵
3.6.2 利用初等变换求逆矩阵
，有时，由当 lPPPAA?21 0
,11111 EAPPP ll,111111 AEPPP ll?及
1?AE 行变换构造矩阵,EA
,
)(2
1?
AEEA
EAnn
就变成时，原来的变成当把施行初等行变换，矩阵即对
.,
343
122
321
1?
AA 求设解例１
103620
012520
001321
100343
010122
001321
EA 12 2rr?
13 3rr?
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23 rr
111100
012520
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111100
012520
011201
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.
111
2
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A
111100
2
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3
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231001
31 2rr?
32 5rr?
）（ 22r
）（ 13r
，有同理，由 lPPPA?21?
,11111 EPPAP ll,E 111111 APPP ll?及
列变换构造矩阵：
E
A
1A
E
,
2
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AEEA
E
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nn
就变成时，原来的变成当把施行初等列变换，矩阵即对
,
,
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1100
1110
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A
1,
n
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AA
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式之和中所有元素的代数余子求方阵已知
解例 3
,02A?,可逆A?
.1* AAA且
10001000
01001100
00101110
00012222
EA
10001000
11000100
01100010
001
2
1
0001
,
1000
1100
0110
001
2
1
1
A
,2 1* AA?
n
ji
ijA
1,
故,1)]1()1(21[2 nn
例 4：
.
010
102
001
的乘积表示成有限个初等方阵将矩阵
A
解 可以看成是由 3阶单位矩阵 经 4次初等变换,A E
333132 1,1,2,crccrr
而得,而这 4次初等变换所对应的初等方阵为,
,
010
100
001
1
P,
102
010
001
2
P,
100
01
001
3
P
.
100
010
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4
P
由初等方阵的性质得
4213 PEPPPA?,4213 PPPP?
三、小结
1,单位矩阵 初等矩阵,一次初等变换
2,利用初等变换求逆阵的步骤是,
;1?
E
AEA 或构造矩阵?
.,,
(,
,2
1
1
AEEA
E
A
AE
EAEA
对应部分即为后划为单位阵将变换施行初等列或对对应部分即为右边后化为单位矩阵将施行初等行变换对?
作业,P130 20 (1) (3) (4),21,24
