3.4 方阵的逆矩阵
3.4.1 方阵的行列式
3.4.2 可逆矩阵及其性质
3.4.3 矩阵可逆的条件定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，
叫做方阵 的行列式，记作 或
n A
A A,det A
86
32A例
86
32?A则
.2
运算性质 ;1 AA T ;2 AkkA n?
;3 BAAB?,BAAB
3.4.1 方的行列式证明,
nnn
n
nnn
n
n
bb
bb
aa
aa
D
1
111
1
111
2
1
1
0
BE
A
0
BAD n?2
02 E
CAD
n
njj rr
CA
En 01
ABCCED nn 12
定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵
A ijA
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
称为矩阵的 伴随矩阵,
A
例：
EAAA **AA:试证
nnn
n
nnn
n
AA
AA
A
aa
aa
A
1
111
*
1
111
A
A
A
AA
*
EA? AA*?
,111 aaaa
,11 EAAAA
则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵,A1?A
在数的运算中,当数 时，0?a 有
aa
11 a其中 为 的倒数,a（或称 的逆）；
在矩阵的运算中,E单位阵 相当于数的乘法运算中的 1,A那么，对于矩阵,1?A如果存在一个矩阵,
使得
3.4.2 可逆矩阵及其性质定义 对于 阶矩阵,如果有一个 阶矩阵则说矩阵 是 可逆 的，并把矩阵 称为 的 逆矩阵,
n A B
,EBAAB
B A
n
A
,使得
.1?AA 的逆矩阵记作例 设,2121
2121,
11
11?
BA
,EBAAB,的一个逆矩阵是 AB?
说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是 唯一 的,A A
若设 和 是 的可逆矩阵，B C A 则有
,,ECAACEBAAB
可得 EBBBCAABC?,CCE
所以 的逆矩阵是唯一的,即A
.1 ACB
例 设,01
12?
A,的逆阵求 A
解 设 是 的逆矩阵,
dc
baB
A
则?
dc
baAB
01
12?
0
01
10
0122
ba
dbca
利用待定系数法
,1
,0
,02
,12
b
a
db
ca
.2
,1
,1
,0
d
c
b
a
又因为
01
12?
21
10?
01
12
21
10
,10 01?
所以,21 101?
A
AB AB
,,0,2 且可逆则数可逆若 kAkA?
且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3 ABBA
1111 ABBAABAB
1 AEA,1 EAA
,111 ABAB
证明
1AB B1? 1?A
,1 11 AkkA
,,,1 111 AAAA 且亦可逆则可逆若逆矩阵的运算性质
TTT AAAA 11 TE?,E?
,11 TT AA
,,
,0,
10 kk AAEA
A
定义时当另外证明
为正整数k
,1212 AA推广 1A mA 1?mA 1?1A
,,,4 AAAA T?且亦可逆则可逆若 T T1? 1?
,1,5 11
A
AAA则有可逆若证明 EAA 1?
11AA
.AA 11因此定理 1 矩阵 可逆的充要条件是,且
,11 AAA
A 0?A
证明 若 可逆，A,EAAA 11 使即有
,11 EAA故,0?A所以
.的伴随矩阵为矩阵其中 AA?
,0时当?A
3.4.3 矩阵可逆的条件
,0时当?A,
A
A
A
A
O
O
AAAA
.EA?
,EAAAAAA
.1 AAA
按逆矩阵的定义得证毕
.
,0,,0
非奇异矩阵称为时当称为奇异矩阵时当 AAAA
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
.为非奇异矩阵是可逆阵的充要条件是由此可得 AA
,1 EBA,0?A故
,1 存在因而?A 于是
EBBBAA 1ABA 1
EA 1,1 A 证毕
,,1 ABEBAEAB 则或若推论证明例 1 求方阵 的逆矩阵,?
343
122
321
A
解
02
343
122
321
A?,
1存在 A
,234 1211A,333 1212A
同理可得,2,6,6,2 23222113 AAAA
,2,5,4 333231 AAA
332313
322212
312111
AAA
AAA
AAA
A得故
A
AA
11
222
563
462
2
1,
111
25323
231
,
222
563
462
3,2,2 1211 AAA
.
1151
531
132
B
解是否可逆下列矩阵 B
例 2
1151
531
132
B由于,0?
.B 不可逆故
1151
620
2170
,
13
02
31
,
35
12
,
343
122
321
CBA
例 3 设
.CAXBX?使满足求矩阵解
,02
343
122
321
A?
,0135 12B
.,11 都存在 BA
,
111
25323
231
1
A且
,25 131?
B
CAXB?又由 1111 CBAA X B BA
.11 CBAX
于是 11 CBAX
25
13
13
02
31
111
25323
231
E
证明,022 EAA由
EEAA 2得 EEAA 2
.,2,
:,022
并求它们的逆矩阵都可逆证明满足方程设方阵
EAA
EAAA
例 4
25
13
20
20
11
.
410
410
12
.可逆故 A
1?A
.211 EAA
022 EAA又由
0432 EEAEA
EEAEA 3412
.EA 可逆故 2?
EAEA 3412 1且,
4
3 AE
12 EA
,0!5A因由伴随矩阵法得,1 AAA
解,1存在故?A
.
50000
04000
00300
00020
00001
1?
AA 求已知例 5
43210000
05321000
00542100
00054310
00005432
5
1
!
.
510000
041000
003100
000210
00001
71
41
21
,61 ABAABAA 且
o
o
.B求
ABABAA 61
ABAEA 61 EBEA 61
,6 11 EAB
解
:,满足关系设三阶矩阵 BA例 6
EEABEAEA 611111
思考题
,.1
1
1
BAY
BYABAX
BAXA
是否有唯一解矩阵方程是否有唯一解那么矩阵方程可逆若
,,.2
111
BABABA
BABA
是否等于）（可逆时，在是否一定可逆？那么矩阵可逆若思考题解答
...1 1的唯一性决定的这是由于是的?A答
20
01
,
10
01
,
10
01
..2
CBA
例：不一定可逆不可逆
10
02
,
00
02
CABA
111)( CACA但小结方阵的行列式
.0?A
逆矩阵的计算方法
;2 1 AAA
利用公式逆矩阵 存在1?A?
;1 待定系数法
.3 后面介绍初等变换法逆矩阵的概念及运算性质,
作业,P130 10,11,12(1)(4) (6)，
13,15(4),17,19
3.4.1 方阵的行列式
3.4.2 可逆矩阵及其性质
3.4.3 矩阵可逆的条件定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，
叫做方阵 的行列式，记作 或
n A
A A,det A
86
32A例
86
32?A则
.2
运算性质 ;1 AA T ;2 AkkA n?
;3 BAAB?,BAAB
3.4.1 方的行列式证明,
nnn
n
nnn
n
n
bb
bb
aa
aa
D
1
111
1
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BE
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CAD
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CA
En 01
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定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵
A ijA
nnnn
n
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AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
称为矩阵的 伴随矩阵,
A
例：
EAAA **AA:试证
nnn
n
nnn
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AA
AA
A
aa
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A
1
111
*
1
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A
A
A
AA
*
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,111 aaaa
,11 EAAAA
则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵,A1?A
在数的运算中,当数 时，0?a 有
aa
11 a其中 为 的倒数,a（或称 的逆）；
在矩阵的运算中,E单位阵 相当于数的乘法运算中的 1,A那么，对于矩阵,1?A如果存在一个矩阵,
使得
3.4.2 可逆矩阵及其性质定义 对于 阶矩阵,如果有一个 阶矩阵则说矩阵 是 可逆 的，并把矩阵 称为 的 逆矩阵,
n A B
,EBAAB
B A
n
A
,使得
.1?AA 的逆矩阵记作例 设,2121
2121,
11
11?
BA
,EBAAB,的一个逆矩阵是 AB?
说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是 唯一 的,A A
若设 和 是 的可逆矩阵，B C A 则有
,,ECAACEBAAB
可得 EBBBCAABC?,CCE
所以 的逆矩阵是唯一的,即A
.1 ACB
例 设,01
12?
A,的逆阵求 A
解 设 是 的逆矩阵,
dc
baB
A
则?
dc
baAB
01
12?
0
01
10
0122
ba
dbca
利用待定系数法
,1
,0
,02
,12
b
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.2
,1
,1
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又因为
01
12?
21
10?
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21
10
,10 01?
所以,21 101?
A
AB AB
,,0,2 且可逆则数可逆若 kAkA?
且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3 ABBA
1111 ABBAABAB
1 AEA,1 EAA
,111 ABAB
证明
1AB B1? 1?A
,1 11 AkkA
,,,1 111 AAAA 且亦可逆则可逆若逆矩阵的运算性质
TTT AAAA 11 TE?,E?
,11 TT AA
,,
,0,
10 kk AAEA
A
定义时当另外证明
为正整数k
,1212 AA推广 1A mA 1?mA 1?1A
,,,4 AAAA T?且亦可逆则可逆若 T T1? 1?
,1,5 11
A
AAA则有可逆若证明 EAA 1?
11AA
.AA 11因此定理 1 矩阵 可逆的充要条件是,且
,11 AAA
A 0?A
证明 若 可逆，A,EAAA 11 使即有
,11 EAA故,0?A所以
.的伴随矩阵为矩阵其中 AA?
,0时当?A
3.4.3 矩阵可逆的条件
,0时当?A,
A
A
A
A
O
O
AAAA
.EA?
,EAAAAAA
.1 AAA
按逆矩阵的定义得证毕
.
,0,,0
非奇异矩阵称为时当称为奇异矩阵时当 AAAA
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
.为非奇异矩阵是可逆阵的充要条件是由此可得 AA
,1 EBA,0?A故
,1 存在因而?A 于是
EBBBAA 1ABA 1
EA 1,1 A 证毕
,,1 ABEBAEAB 则或若推论证明例 1 求方阵 的逆矩阵,?
343
122
321
A
解
02
343
122
321
A?,
1存在 A
,234 1211A,333 1212A
同理可得,2,6,6,2 23222113 AAAA
,2,5,4 333231 AAA
332313
322212
312111
AAA
AAA
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A得故
A
AA
11
222
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111
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,
222
563
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3,2,2 1211 AAA
.
1151
531
132
B
解是否可逆下列矩阵 B
例 2
1151
531
132
B由于,0?
.B 不可逆故
1151
620
2170
,
13
02
31
,
35
12
,
343
122
321
CBA
例 3 设
.CAXBX?使满足求矩阵解
,02
343
122
321
A?
,0135 12B
.,11 都存在 BA
,
111
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231
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A且
,25 131?
B
CAXB?又由 1111 CBAA X B BA
.11 CBAX
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25
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111
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231
E
证明,022 EAA由
EEAA 2得 EEAA 2
.,2,
:,022
并求它们的逆矩阵都可逆证明满足方程设方阵
EAA
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例 4
25
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20
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11
.
410
410
12
.可逆故 A
1?A
.211 EAA
022 EAA又由
0432 EEAEA
EEAEA 3412
.EA 可逆故 2?
EAEA 3412 1且,
4
3 AE
12 EA
,0!5A因由伴随矩阵法得,1 AAA
解,1存在故?A
.
50000
04000
00300
00020
00001
1?
AA 求已知例 5
43210000
05321000
00542100
00054310
00005432
5
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!
.
510000
041000
003100
000210
00001
71
41
21
,61 ABAABAA 且
o
o
.B求
ABABAA 61
ABAEA 61 EBEA 61
,6 11 EAB
解
:,满足关系设三阶矩阵 BA例 6
EEABEAEA 611111
思考题
,.1
1
1
BAY
BYABAX
BAXA
是否有唯一解矩阵方程是否有唯一解那么矩阵方程可逆若
,,.2
111
BABABA
BABA
是否等于）（可逆时，在是否一定可逆？那么矩阵可逆若思考题解答
...1 1的唯一性决定的这是由于是的?A答
20
01
,
10
01
,
10
01
..2
CBA
例：不一定可逆不可逆
10
02
,
00
02
CABA
111)( CACA但小结方阵的行列式
.0?A
逆矩阵的计算方法
;2 1 AAA
利用公式逆矩阵 存在1?A?
;1 待定系数法
.3 后面介绍初等变换法逆矩阵的概念及运算性质,
作业,P130 10,11,12(1)(4) (6)，
13,15(4),17,19
