第二章静定结构的受力分析内 容
§ 2.1 杆件的受力分析
§ 2.2 静定多跨梁和刚架
§ 2.3 三铰拱的内力计算
§ 2.4 静定平面桁架计算
§ 2.1 杆件的受力分析
1.梁内任一截面的内力
三个内力分量：轴力 N、剪力 Q、弯矩 M。
计算梁截面内力的基本方法：截面法利用平衡方程求三个内力分量：
计算法则,<1> 轴力：以拉力为正、压力为负。
<2> 剪力：以使截面所在的隔离体有顺时针转动趋势为正，
反之为负。
<3> 弯矩：弯矩使杆件下部受拉为正、反之为负。
2.载荷与内力之间的关系
<1> 微分关系由 0 ( ) 0xX N N d N q d x
x
dN qdx
由 0 ( ) 0yY Q Q d Q q d x
y
dQ qdx
2
20,( ) 0,2yy
d x d M d MM M M d M Q d x q d x q Q
d x d x
载荷连续分布的直杆，取 dx微段
(以右边截面形心为力矩中心 )
<2> 增量关系 （集中载荷作用处，取微段）
MM
NN
QQ
由平衡关系：
0X
0Y
0M
xNP
yQP
Mm
<3> 积分关系
B
A
x
B A x
x
N N q d x
B
A
x
B A y
x
Q Q q d x
B
A
x
BA
x
M M Q dx
yq
xq
3.叠加法作弯矩图分布载荷 q,端部力偶 MA,MB。
<1>考虑 MA,MB单独作用时：
<2>考虑 q单独作用时：
<3> 叠加：
oM M M
说明,1,选定外力不连续点,(如：集中力作用点、集中力偶作用点、
分布载荷的起始点 )为控制截面，求出控制截面的弯矩值。
2.分段画弯矩图，当控制截面间无载荷时，根据控制面的弯矩值即可作出直线弯矩图。有载荷时，根据控制截面的弯矩值作出直线图形后，再叠加,… 求得弯矩图。
§ 2.2 静定多跨梁和刚架
1,静定多跨梁：
由若干根梁铰结而成，用来跨越几个相联的跨度称静定梁。
特点：每增加一个铰就增加一个静力方程，铰截面处弯矩为零。
由：若干根梁铰结，跨过几个相联的跨度。
组成计算可分为基础部分，附属部分。
AC伸臂梁，由支座链杆固定，几何不变，
基础部分。
DF伸臂梁,它在竖向载荷作用下，
仍能独立的维持平衡。
在 竖向载荷 作用时，
也可将它当作基础部分。
CD悬跨梁，须依靠 AC,DF(基础部分 )，
才能保证其几何不变性，附属部分。
从整体上看，多跨梁是几何不变的，也是静定的。
静定多跨梁说明：
1.基础部分的载荷作用并不影响附属部分，
2.而附属部分的载荷作用则必传至基础部分，将附属部分的支座反力，反其方向加于基础的载荷。
3.所以应计算附属部分，再计算基础部分。
上图多跨梁,5个支座反力,2个铰，每增加一个铰，就增加一个静力平衡方程，即 铰的任一边所有外力对铰的力矩之和为零 。
例：
梁 AB,CD分别由支杆固定于基础，
AB与基础构成几何不变体 (基础 )
BC依靠 AB,CD基础部分方能承载，并保持平衡,(附属部分 )。
CD与基础同样构成几何不变体 (基础 )
三段基础部分,两段附属部分。
支座反力共 7个 (待求 )，
例：
4个铰点 4个 0M
铰的任一端所有外力对铰的力矩为 0。
3个整体平衡方程 0X
0Y
0M
7个未知力,7个方程 静定多跨梁计算方法,? 先计算附属部分，再计算基础部分。
附属部分支座反力，反其方向，加在基础部分，
为基础部分的载荷。
即，多跨梁可折成单跨梁分别计算。
例：
先作出层次图
1,计算附属部分 CD
0Y
1 2 0 6 0C D C DV V k N V V k N
2,计算基础部分 AC
6 0 3 2 0 0ABVV 380ABVV
利用基础部分 AC梁的平衡条件
320 4 120 1458
AV
3 8 0 1 4 5 2 3 5BV
0Y 80A B CV V V q
即有：
0M 8 2 3 2 0 4 0ACVV
即：
3,作内力图
M图，
峰值＝ 22113,6 3 2 4 2 6 3,5
88lq（）
120 180
Q图，
3.63m
145kN
175kN
60kN
60kN
145 3,6 31 7 5 8 x xx
2,平面静定刚架
1>由若干梁和柱用刚结点组成的结构。
特点：在刚结点处，
1) 各杆段不能发生相对移动，和相对转动。保持角度不变。
2) 因为刚结点 约束杆端相对转动,所以能 承受和传递弯矩 。 (与铰相反 )
工程中：杆件少，内部空间大，制作方便。
建筑工程中，用来承重骨架，通过它将载荷传到地基。
有消减结构中弯矩的峰值的作用。
2> 刚架内力图分析步骤：
2) 求内力
1) 由整体及某些部分的 平衡条件求出支座的反力及铰结处的约束力。
对于每一杆件的无载荷区段和承受均布载荷区段分别计算。
无载荷区段：定出弯矩控制竖标连直线。
有载荷区段：利用叠加方法。
3) 画图例：
静定平面刚架计算内力，并画出 内力图
<1> 取整体为隔离体,由平衡条件：
0 3 0 0 3 0 ( )BBX k N H H k N
0 6 3 0 4 2 0 6 3 0 4 0 ( )B A AM V V k N
0 6 3 0 4 2 0 6 3 0 8 0 ( )A B BM V V k N
利用 0Y 校核
<2> 作弯矩图：
00A C C AMMAD杆,AC段无载荷区，
CD段无均布载荷；
0 3 0 2 6 0 /C D D CM M k N m(左侧受拉 )
3 0 2 6 0D E D CM M k N m
DE杆,DE段受均布载荷，产生弯矩，为二次抛物线。
且 (上边受拉 )
3 0 6 1 8 0E D E BM M k N m(上边受拉 )
峰值＝
2211 20 6 9088ql
叠加：与二次抛物线叠加
0BEM?
BE杆,AC段无载荷作用,B端一约束力，弯矩为一直线。
3 0 6 1 8 0 /EDM k N m (左侧受拉 )
<3> 剪力图：根据已知反力或约束力求出杆端的剪力。
AD杆：
AC段的剪力为零
CD段 剪力为平行于杆轴的直线。
DE杆：
顺时针转动。
逆时针转动。
40D E AQ V k N
80E D BQ V k N
EB杆：
顺时针转动。
逆时针转动。
30E B BQ H k N
30B E BQ H k N
<4> 轴力图：
AD杆,4 0 ( ) 4 0 ( )A D A D AN V k N N k N
DE杆,3 0 ( ) 3 0 ( )D E E D AN k N N k N
EB杆,8 0 ( ) 8 0 ( )B E B E BN V k N N k N
<5> 内力校核：
截刚架任一部分为隔离体，看是否满足静力平衡条件。
例：
<1>求解支座力
8 0 ( )AV k N
0 8 2 0 8 4 0BAMV
0 8 2 0 8 4 0ABMV
8 0 ( )BV k N
00 A B A BX H H H H
0CM?因为 可取 C左侧或右侧为隔离体。
4 8 2 0 4 2 0 2 0 ( )A A AV H H k N
2 0 ( )BH k N
D
C
E
A B
<2> 作弯矩图 (分段作 )：
0 2 0 6 1 2 0A D D AM M k N mAD杆,(左侧受拉 )
叠加得：
DC杆的中点弯矩 2111 2 0 2 0 4 2 0
28 k Nm
(上边受拉 )
峰值
DC杆：
2 0 6 1 2 0DCM k N m (上边受拉 ) 传递杆：杆,DC受均布载荷作用，弯矩为一 二次抛物线。 峰值 ＝？
<3> 剪力图和轴力图
AD杆：剪力 2 0 2 0A D D AQ k N Q k N
轴力 80A D D AN N k N
因为,DC杆的轴向为 n方向,DC杆的竖直方向为 t方向,
注：
M图 Q图
1 cos2 ql?
1 sin2 ql?
1 sin2 ql?
N图
（逆时针）
（压力）
20 8 0 c o s 2 0 s i n 0 c o s 0,8 9 4
5DCtQ
18 0 c o s 2 0 s in s in 0,4 4 7
5DCQ
218 0 2 0 6 2,6
55 kN
D端：
0 8 0 s 2 0 s i n 0DCn N i n
8 0 s i n 2 0 c o sDCN
128 0 2 0 5 3,6
55 kN
0 6 2,6 8 0 c o s 0CDtQ
26 2,6 8 0 8,9
5CDQ k N
0 5 3,6 8 0 s 0CDn N i n
1 7,8CDN k N
C端：
作业：
§ 2.3 三铰拱的内力计算拱式结构：指杆轴通常为曲线，而且在竖向载荷 的作用下支座产生水平反力。或称水平推力。
没有水平推力
P
曲梁两端有水平推力
P
拱式结构拱式结构的特点：由于有 水平推力存在，拱的弯矩比相应的简支梁的弯矩小。
抗压性强，抗拉性若。
拱结构可分为：静定拱、超静定拱。
本节只讨论静定三铰拱静定三铰拱拱高,f,跨度,l,高跨比,f/l (与性能有关 )
常见的三铰拱：
支座间有水平拉杆 有水平推力
1,支座力的计算支座反力共四个分量需列出四个方程：
由整体平衡方程：
0BM 0BM和可求两个竖向支座反力：
AV
iiPb
l?
BV
iiPa
l?
由 0X
ABHHH
得：
另考虑中间铰 C处弯矩为零,0
CM
以左部分为例则：
1 1 1 1( ) 0CAM V l P l a H f
所以推力,1 1 1 1()AV l P l aH
f
(推力 )
分析两个竖向支座反力
AV
iiPb
l?
BV
iiPa
l?
与右图简支梁的支座反力：
0
AV
iiPb
l?
0
BV
iiPa
l?
0AAVV? 0BBVV?
分析 推力 H 式：
1 1 1 1()AV l P l aH
f
恰恰与简支梁截面 C处的弯矩 相同。0
CM
上式中的 分子
1 1 1 1()AV l P l a
0
CMH
f?
即，推力 H等于相应简支梁截面 C处的弯矩 除以拱高 f。0
CM
特点：
3) 推力只与支座和载荷位置有关，与拱轴形状无关；
即只与 f/l 有关 。
1) 由于推力的存在，三铰拱截面弯矩比简支梁弯矩小。
2) 梁无轴力 (在竖向载荷作用下 )
拱的截面轴力较大，且一般为压力。
1 1 1 1( ) 0CAM V l P l a H f 0C 1 1 1 1M ( )AV l P l a
三铰拱 C处弯矩 简支梁 C处弯矩
4) 当载荷和拱的跨度不变时，推力与拱高 f 成反比。
f 越大,H越小；反之,f 越小,H越大；
当 f 等于零,H趋于无穷大；此时三铰共线。
几何瞬变体系。
5) 三铰拱受向内的推力，因此需给基础施加向外的推力。
所以三铰拱的基础要比基础大，或加拉杆，以减小对墙的推力。
2,内力的计算公式
<1> 弯矩计算公式
11()K A K K KM V x P x a H y
0AAVV?
分析,0K K KM M H y
显然，由于推力 H 存在,0
KKMM?
<2> 剪力计算公式
1
1
c o s c o s s in
c o s s in
K A K K K
A K K
Q V P H
V P H
0 c o s s i nK K KQH
为相应简支梁 K截面处的剪力。0
KQ
注,在左半拱为正，右半拱为负。
K?
<3> 轴力计算公式
1
0
s i n c o s
s i n c o s
K A K K
K K K
N V P H
QH
§ 2.4 静定平面桁架计算
1> 实际复杂问题的简化和假定
<2> 各杆的轴线均为直线且通过铰心。
<3> 载荷和支座反力都作用在结点上。
理想桁架 各杆只受轴力,截面上应力分布均匀，
(主应力 )主内力
<1> 桁架的结点为光滑的铰结点。
实际问题往往轴线不绝对交于一点，产生一定的弯矩（次内力、次应力）。
2> 几何构造特点 (满足几何不变体系的规律 )
按几何组成分类：
简单桁架,由基本铰结三角形或基础，
依次增加二元体组成的桁架。
联合桁架 由几个简单桁架联合组成的几何不变的铰结体系。
复杂桁架 非前两种为复杂桁架。
按不同特征分类：
a) 平行弦桁架
b) 折弦桁梁
c) 三角形桁架
d) 梯形桁架或按竖向载荷引起的支座反力分类：
a) 无推力桁架
b) 有推力桁架
3> 内力的计算方法：
主要有两种：
<1> 数解法：取其一部分为隔离体，考虑隔离体的平衡；解各杆内力。
<2> 结点法：隔离体只含一个结点。
<3> 截面法：隔离体含两个以上结点。
取桁架结点为隔离体，利用汇交力系的两个平衡条件。
例：
(i) 求支座反力
1 8 1
1 ( 2 0 3 2 0 ) 4 0 ( ),0
2V V k N H
<1> 结点法：为分析桁架的基本方法之一，适合简单桁架
(ii) 计算各杆内力取 结点 1为隔离体
13 4 0 1 0 0V
0Y
13 30V k N
由比例关系，得
13 13
2 2 ( 30) 60
1H V k N
Y方向交汇平衡：
得到：
所以：
yx
作用在Y 方向的力 作用在X 方向的力
ll
由平衡方程 0X 得：
1 2 1 3 0NH
1 2 1 3 ( 6 0 ) 6 0N H k N
拉力
1 3 1 3
5 5 ( 3 0 ) 6 7,1
1N V k N
(压力 )
取 结点 2为隔离体由平衡方程首先将以求出的 按实际方向画出12N
0Y 得：
23 0N?
0X 得,25 60N k N? (拉力 )
结点 3
取结点 3为隔离体这里 和13N 23N 已求出利用平衡方程 0X
3 4 3 5 6 0 0HH
0Y 3 4 3 5 2 0 3 0 0VV
利用比例关系
34H
和
35H
可以表示为 和 的函数。
34V 35V
求解 及
34V 35V
以结点 5为矩心，可列出力矩方程，解出 和 。34V 35V
5 3 4 2 3 0 4 2 0 2 0MH
34 40H k N
利用比例关系，得：
34
1 ( 40) 20
2V k N
34
5 ( 4 0 ) 4 4,7
2N k N
(压力 )
由投影方程：
35 6 0 4 0 0XH
35 20H k N
利用比例关系，得
35
1 ( 20) 10
2V k N
35
5 ( 2 0 ) 2 2,4
2N k N
(压力 )
结点 4
取结点 4为隔离体根据水平投影方程，可得：
4 6 4 64 0 0 4 0X H H k N
另根据比例关系,
46
1 ( 10) 20
2V k N
46
5 ( 4 0 ) 4 4,7
2H k N
(压力 )
根据竖直投影方程，有：
4 5 4 52 0 2 0 2 0 0 2 0Y N N k N
(拉力 )
(iii) 校核本问题结构对称、载荷对称，所以各杆的内力也是对称的。
即有：
34 46NN?
等 ……
说明：
1> 零杆：两杆结点上无载荷作用，
则两杆内力＝ 0
2> 三杆结点上无载荷作用，若其中两杆在一条直线上，则另一杆必为零杆。
3> 四杆结点上无载荷作用，若其中两杆在一条直线上，
其它两杆在另一直线上，则同一直线上的两杆的内力相等且性质相同。
计算联合桁架不宜用结点法，而采用截面法截面法：用一适当截面，截取桁架一部分 (至少包括两个结点 )为隔离体，建立平衡方程解未知杆内力。
建立方程时，最好每个方程只包含一个未知力。
§ 2.1 杆件的受力分析
§ 2.2 静定多跨梁和刚架
§ 2.3 三铰拱的内力计算
§ 2.4 静定平面桁架计算
§ 2.1 杆件的受力分析
1.梁内任一截面的内力
三个内力分量：轴力 N、剪力 Q、弯矩 M。
计算梁截面内力的基本方法：截面法利用平衡方程求三个内力分量：
计算法则,<1> 轴力：以拉力为正、压力为负。
<2> 剪力：以使截面所在的隔离体有顺时针转动趋势为正，
反之为负。
<3> 弯矩：弯矩使杆件下部受拉为正、反之为负。
2.载荷与内力之间的关系
<1> 微分关系由 0 ( ) 0xX N N d N q d x
x
dN qdx
由 0 ( ) 0yY Q Q d Q q d x
y
dQ qdx
2
20,( ) 0,2yy
d x d M d MM M M d M Q d x q d x q Q
d x d x
载荷连续分布的直杆，取 dx微段
(以右边截面形心为力矩中心 )
<2> 增量关系 （集中载荷作用处，取微段）
MM
NN
由平衡关系：
0X
0Y
0M
xNP
yQP
Mm
<3> 积分关系
B
A
x
B A x
x
N N q d x
B
A
x
B A y
x
Q Q q d x
B
A
x
BA
x
M M Q dx
yq
xq
3.叠加法作弯矩图分布载荷 q,端部力偶 MA,MB。
<1>考虑 MA,MB单独作用时：
<2>考虑 q单独作用时：
<3> 叠加：
oM M M
说明,1,选定外力不连续点,(如：集中力作用点、集中力偶作用点、
分布载荷的起始点 )为控制截面，求出控制截面的弯矩值。
2.分段画弯矩图，当控制截面间无载荷时，根据控制面的弯矩值即可作出直线弯矩图。有载荷时，根据控制截面的弯矩值作出直线图形后，再叠加,… 求得弯矩图。
§ 2.2 静定多跨梁和刚架
1,静定多跨梁：
由若干根梁铰结而成，用来跨越几个相联的跨度称静定梁。
特点：每增加一个铰就增加一个静力方程，铰截面处弯矩为零。
由：若干根梁铰结，跨过几个相联的跨度。
组成计算可分为基础部分，附属部分。
AC伸臂梁，由支座链杆固定，几何不变，
基础部分。
DF伸臂梁,它在竖向载荷作用下，
仍能独立的维持平衡。
在 竖向载荷 作用时，
也可将它当作基础部分。
CD悬跨梁，须依靠 AC,DF(基础部分 )，
才能保证其几何不变性，附属部分。
从整体上看，多跨梁是几何不变的，也是静定的。
静定多跨梁说明：
1.基础部分的载荷作用并不影响附属部分，
2.而附属部分的载荷作用则必传至基础部分，将附属部分的支座反力，反其方向加于基础的载荷。
3.所以应计算附属部分，再计算基础部分。
上图多跨梁,5个支座反力,2个铰，每增加一个铰，就增加一个静力平衡方程，即 铰的任一边所有外力对铰的力矩之和为零 。
例：
梁 AB,CD分别由支杆固定于基础，
AB与基础构成几何不变体 (基础 )
BC依靠 AB,CD基础部分方能承载，并保持平衡,(附属部分 )。
CD与基础同样构成几何不变体 (基础 )
三段基础部分,两段附属部分。
支座反力共 7个 (待求 )，
例：
4个铰点 4个 0M
铰的任一端所有外力对铰的力矩为 0。
3个整体平衡方程 0X
0Y
0M
7个未知力,7个方程 静定多跨梁计算方法,? 先计算附属部分，再计算基础部分。
附属部分支座反力，反其方向，加在基础部分，
为基础部分的载荷。
即，多跨梁可折成单跨梁分别计算。
例：
先作出层次图
1,计算附属部分 CD
0Y
1 2 0 6 0C D C DV V k N V V k N
2,计算基础部分 AC
6 0 3 2 0 0ABVV 380ABVV
利用基础部分 AC梁的平衡条件
320 4 120 1458
AV
3 8 0 1 4 5 2 3 5BV
0Y 80A B CV V V q
即有：
0M 8 2 3 2 0 4 0ACVV
即：
3,作内力图
M图，
峰值＝ 22113,6 3 2 4 2 6 3,5
88lq（）
120 180
Q图，
3.63m
145kN
175kN
60kN
60kN
145 3,6 31 7 5 8 x xx
2,平面静定刚架
1>由若干梁和柱用刚结点组成的结构。
特点：在刚结点处，
1) 各杆段不能发生相对移动，和相对转动。保持角度不变。
2) 因为刚结点 约束杆端相对转动,所以能 承受和传递弯矩 。 (与铰相反 )
工程中：杆件少，内部空间大，制作方便。
建筑工程中，用来承重骨架，通过它将载荷传到地基。
有消减结构中弯矩的峰值的作用。
2> 刚架内力图分析步骤：
2) 求内力
1) 由整体及某些部分的 平衡条件求出支座的反力及铰结处的约束力。
对于每一杆件的无载荷区段和承受均布载荷区段分别计算。
无载荷区段：定出弯矩控制竖标连直线。
有载荷区段：利用叠加方法。
3) 画图例：
静定平面刚架计算内力，并画出 内力图
<1> 取整体为隔离体,由平衡条件：
0 3 0 0 3 0 ( )BBX k N H H k N
0 6 3 0 4 2 0 6 3 0 4 0 ( )B A AM V V k N
0 6 3 0 4 2 0 6 3 0 8 0 ( )A B BM V V k N
利用 0Y 校核
<2> 作弯矩图：
00A C C AMMAD杆,AC段无载荷区，
CD段无均布载荷；
0 3 0 2 6 0 /C D D CM M k N m(左侧受拉 )
3 0 2 6 0D E D CM M k N m
DE杆,DE段受均布载荷，产生弯矩，为二次抛物线。
且 (上边受拉 )
3 0 6 1 8 0E D E BM M k N m(上边受拉 )
峰值＝
2211 20 6 9088ql
叠加：与二次抛物线叠加
0BEM?
BE杆,AC段无载荷作用,B端一约束力，弯矩为一直线。
3 0 6 1 8 0 /EDM k N m (左侧受拉 )
<3> 剪力图：根据已知反力或约束力求出杆端的剪力。
AD杆：
AC段的剪力为零
CD段 剪力为平行于杆轴的直线。
DE杆：
顺时针转动。
逆时针转动。
40D E AQ V k N
80E D BQ V k N
EB杆：
顺时针转动。
逆时针转动。
30E B BQ H k N
30B E BQ H k N
<4> 轴力图：
AD杆,4 0 ( ) 4 0 ( )A D A D AN V k N N k N
DE杆,3 0 ( ) 3 0 ( )D E E D AN k N N k N
EB杆,8 0 ( ) 8 0 ( )B E B E BN V k N N k N
<5> 内力校核：
截刚架任一部分为隔离体，看是否满足静力平衡条件。
例：
<1>求解支座力
8 0 ( )AV k N
0 8 2 0 8 4 0BAMV
0 8 2 0 8 4 0ABMV
8 0 ( )BV k N
00 A B A BX H H H H
0CM?因为 可取 C左侧或右侧为隔离体。
4 8 2 0 4 2 0 2 0 ( )A A AV H H k N
2 0 ( )BH k N
D
C
E
A B
<2> 作弯矩图 (分段作 )：
0 2 0 6 1 2 0A D D AM M k N mAD杆,(左侧受拉 )
叠加得：
DC杆的中点弯矩 2111 2 0 2 0 4 2 0
28 k Nm
(上边受拉 )
峰值
DC杆：
2 0 6 1 2 0DCM k N m (上边受拉 ) 传递杆：杆,DC受均布载荷作用，弯矩为一 二次抛物线。 峰值 ＝？
<3> 剪力图和轴力图
AD杆：剪力 2 0 2 0A D D AQ k N Q k N
轴力 80A D D AN N k N
因为,DC杆的轴向为 n方向,DC杆的竖直方向为 t方向,
注：
M图 Q图
1 cos2 ql?
1 sin2 ql?
1 sin2 ql?
N图
（逆时针）
（压力）
20 8 0 c o s 2 0 s i n 0 c o s 0,8 9 4
5DCtQ
18 0 c o s 2 0 s in s in 0,4 4 7
5DCQ
218 0 2 0 6 2,6
55 kN
D端：
0 8 0 s 2 0 s i n 0DCn N i n
8 0 s i n 2 0 c o sDCN
128 0 2 0 5 3,6
55 kN
0 6 2,6 8 0 c o s 0CDtQ
26 2,6 8 0 8,9
5CDQ k N
0 5 3,6 8 0 s 0CDn N i n
1 7,8CDN k N
C端：
作业：
§ 2.3 三铰拱的内力计算拱式结构：指杆轴通常为曲线，而且在竖向载荷 的作用下支座产生水平反力。或称水平推力。
没有水平推力
P
曲梁两端有水平推力
P
拱式结构拱式结构的特点：由于有 水平推力存在，拱的弯矩比相应的简支梁的弯矩小。
抗压性强，抗拉性若。
拱结构可分为：静定拱、超静定拱。
本节只讨论静定三铰拱静定三铰拱拱高,f,跨度,l,高跨比,f/l (与性能有关 )
常见的三铰拱：
支座间有水平拉杆 有水平推力
1,支座力的计算支座反力共四个分量需列出四个方程：
由整体平衡方程：
0BM 0BM和可求两个竖向支座反力：
AV
iiPb
l?
BV
iiPa
l?
由 0X
ABHHH
得：
另考虑中间铰 C处弯矩为零,0
CM
以左部分为例则：
1 1 1 1( ) 0CAM V l P l a H f
所以推力,1 1 1 1()AV l P l aH
f
(推力 )
分析两个竖向支座反力
AV
iiPb
l?
BV
iiPa
l?
与右图简支梁的支座反力：
0
AV
iiPb
l?
0
BV
iiPa
l?
0AAVV? 0BBVV?
分析 推力 H 式：
1 1 1 1()AV l P l aH
f
恰恰与简支梁截面 C处的弯矩 相同。0
CM
上式中的 分子
1 1 1 1()AV l P l a
0
CMH
f?
即，推力 H等于相应简支梁截面 C处的弯矩 除以拱高 f。0
CM
特点：
3) 推力只与支座和载荷位置有关，与拱轴形状无关；
即只与 f/l 有关 。
1) 由于推力的存在，三铰拱截面弯矩比简支梁弯矩小。
2) 梁无轴力 (在竖向载荷作用下 )
拱的截面轴力较大，且一般为压力。
1 1 1 1( ) 0CAM V l P l a H f 0C 1 1 1 1M ( )AV l P l a
三铰拱 C处弯矩 简支梁 C处弯矩
4) 当载荷和拱的跨度不变时，推力与拱高 f 成反比。
f 越大,H越小；反之,f 越小,H越大；
当 f 等于零,H趋于无穷大；此时三铰共线。
几何瞬变体系。
5) 三铰拱受向内的推力，因此需给基础施加向外的推力。
所以三铰拱的基础要比基础大，或加拉杆，以减小对墙的推力。
2,内力的计算公式
<1> 弯矩计算公式
11()K A K K KM V x P x a H y
0AAVV?
分析,0K K KM M H y
显然，由于推力 H 存在,0
KKMM?
<2> 剪力计算公式
1
1
c o s c o s s in
c o s s in
K A K K K
A K K
Q V P H
V P H
0 c o s s i nK K KQH
为相应简支梁 K截面处的剪力。0
KQ
注,在左半拱为正，右半拱为负。
K?
<3> 轴力计算公式
1
0
s i n c o s
s i n c o s
K A K K
K K K
N V P H
QH
§ 2.4 静定平面桁架计算
1> 实际复杂问题的简化和假定
<2> 各杆的轴线均为直线且通过铰心。
<3> 载荷和支座反力都作用在结点上。
理想桁架 各杆只受轴力,截面上应力分布均匀，
(主应力 )主内力
<1> 桁架的结点为光滑的铰结点。
实际问题往往轴线不绝对交于一点，产生一定的弯矩（次内力、次应力）。
2> 几何构造特点 (满足几何不变体系的规律 )
按几何组成分类：
简单桁架,由基本铰结三角形或基础，
依次增加二元体组成的桁架。
联合桁架 由几个简单桁架联合组成的几何不变的铰结体系。
复杂桁架 非前两种为复杂桁架。
按不同特征分类：
a) 平行弦桁架
b) 折弦桁梁
c) 三角形桁架
d) 梯形桁架或按竖向载荷引起的支座反力分类：
a) 无推力桁架
b) 有推力桁架
3> 内力的计算方法：
主要有两种：
<1> 数解法：取其一部分为隔离体，考虑隔离体的平衡；解各杆内力。
<2> 结点法：隔离体只含一个结点。
<3> 截面法：隔离体含两个以上结点。
取桁架结点为隔离体，利用汇交力系的两个平衡条件。
例：
(i) 求支座反力
1 8 1
1 ( 2 0 3 2 0 ) 4 0 ( ),0
2V V k N H
<1> 结点法：为分析桁架的基本方法之一，适合简单桁架
(ii) 计算各杆内力取 结点 1为隔离体
13 4 0 1 0 0V
0Y
13 30V k N
由比例关系，得
13 13
2 2 ( 30) 60
1H V k N
Y方向交汇平衡：
得到：
所以：
yx
作用在Y 方向的力 作用在X 方向的力
ll
由平衡方程 0X 得：
1 2 1 3 0NH
1 2 1 3 ( 6 0 ) 6 0N H k N
拉力
1 3 1 3
5 5 ( 3 0 ) 6 7,1
1N V k N
(压力 )
取 结点 2为隔离体由平衡方程首先将以求出的 按实际方向画出12N
0Y 得：
23 0N?
0X 得,25 60N k N? (拉力 )
结点 3
取结点 3为隔离体这里 和13N 23N 已求出利用平衡方程 0X
3 4 3 5 6 0 0HH
0Y 3 4 3 5 2 0 3 0 0VV
利用比例关系
34H
和
35H
可以表示为 和 的函数。
34V 35V
求解 及
34V 35V
以结点 5为矩心，可列出力矩方程，解出 和 。34V 35V
5 3 4 2 3 0 4 2 0 2 0MH
34 40H k N
利用比例关系，得：
34
1 ( 40) 20
2V k N
34
5 ( 4 0 ) 4 4,7
2N k N
(压力 )
由投影方程：
35 6 0 4 0 0XH
35 20H k N
利用比例关系，得
35
1 ( 20) 10
2V k N
35
5 ( 2 0 ) 2 2,4
2N k N
(压力 )
结点 4
取结点 4为隔离体根据水平投影方程，可得：
4 6 4 64 0 0 4 0X H H k N
另根据比例关系,
46
1 ( 10) 20
2V k N
46
5 ( 4 0 ) 4 4,7
2H k N
(压力 )
根据竖直投影方程，有：
4 5 4 52 0 2 0 2 0 0 2 0Y N N k N
(拉力 )
(iii) 校核本问题结构对称、载荷对称，所以各杆的内力也是对称的。
即有：
34 46NN?
等 ……
说明：
1> 零杆：两杆结点上无载荷作用，
则两杆内力＝ 0
2> 三杆结点上无载荷作用，若其中两杆在一条直线上，则另一杆必为零杆。
3> 四杆结点上无载荷作用，若其中两杆在一条直线上，
其它两杆在另一直线上，则同一直线上的两杆的内力相等且性质相同。
计算联合桁架不宜用结点法，而采用截面法截面法：用一适当截面，截取桁架一部分 (至少包括两个结点 )为隔离体，建立平衡方程解未知杆内力。
建立方程时，最好每个方程只包含一个未知力。
