内 容例 5-2 用位移法计算一个未知数排架。
例 5-1 用位移法计算两个未知数的刚架例 5-3 用位移法计算横梁刚度无穷大一个未知数刚架例 5-4 两个角位移未知数的刚架例 5-5 横梁刚度无穷大两个线位移刚架
§ 5-6 对称性的利用
§ 5-7 有侧移的斜柱刚架
§ 5-8 温度改变时的计算
§ 5-9 思考题及习题课
§ 5-10 本章小结
§ 5-6-1 剪力静定杆带来的简化
§ 5-7-2 混合法
§ 5-7-1 联合法例 5-1
用位移法计算两个未知数的刚架。 =常数 。EI
0
0
2222121
1212111
P
P
RZrZr
RZrZr
位移法基本方程是,图?附加刚臂的反力矩和附加链杆反力应为零的平衡条件
0
0
2222121
1212111
P
P
RZKZK
RZKZK
为计算系数及自由项，绘出单位弯矩图和荷载弯矩图绘出 如右,图
2M
图PM绘出 如右,
解算基本方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
将刚度系数和自由项代入基本方程，便有解得,
，
i
PlZ
54
2
2?i
PlZ
881?
0
2
27
0
0
8
011
231
21
P
Z
l
i
Z
Pl
ZiZ
0
2
27
0
8
11
23
1
P
Z
l
i
Pl
iZ
按叠加法绘制最后弯矩图,即
PMZMZMM 2211
扩展 1
PRRl irrrir PP 21322211211,0,27,0,11
027
0011
23
1
PZl i
iZ
01?Z
i
PlZ
27
2
2?
扩展 2
扩展
3
例 5-2
用位移法计算一个未知数排架。
01111 PRZr
,83,6 1311 qlRlEIr P
EI
qlZ
16
4
1?
按叠加法绘制最后弯矩图,即
PMZMM 11
按刚度分
EI
qlZ
16
4
1?
扩展
扩展扩展 试求图示刚架的弯矩图，忽略横梁的轴向变形。
柱 AB,CD,EF是平行的，因而变形时横梁只有水平移动，横梁在变形前后保持平行（图 b），所以各柱顶的水平位移是相等的，只有一个独立的线位移 。1Z
各柱的线刚度为：
3
3
3
2
2
2
1
1
1,,h
EIi
h
EIi
h
EIi
)(3 2
3
3
2
2
2
2
1
1
11 h
i
h
i
h
ir
PR P1
22
3
3
2
2
2
2
1
1
1
3)(3
h
i
P
h
i
h
i
h
i
P
Z
例 5-3 用位移法计算横梁刚度无穷大一个未知数刚架，绘弯矩图。 E=常数。
因为横梁弯曲刚度无穷大，结点处不产生转动，故本题只有一个线位移未知数，如图 b所示。
22211
121812
l
i
l
i
l
ir
PR P1
i
Pl
l
i
l
i
l
i
P
Z
42121812
2
222
1?
用叠加法作弯矩图，即
111111 0 ZMZMMZMM P
按平衡条件绘出
i
PlZ
42
2
1?
扩展引用上面的解题结果,有扩展例 5-4 两个角位移未知数的刚架
0
0
2222121
1212111
P
P
RZrZr
RZrZr
为计算系数项和自由项，绘出单位和荷载弯矩图，如下：
解方程，得
i
qlZ
i
qlZ
672
3,
672
2
2
2
1
按叠加法绘制最后弯矩图,即
PMZMZMM 2211
例 5-5 横梁刚度无穷大两个线位移刚架
0
0
2222121
1212111
P
P
RZrZr
RZrZr
为计算系数项和自由项，绘出单位和荷载弯矩图，如下：
,3533232,32,1293212 22211211 iiiirirriiir
0,6 21 PP RqR
解方程，求出线位移。略按叠加法绘出最后弯矩图。即略 PMZMZMM 2211
超静定结构当支座产生已知的位移 (移动或转动 )时，结构中一般会引起内力。用位移法计算时,基本未知量和基本方程以及作题步骤都与荷载作用时一样,不同的只有固端力一项，例如由荷载产生的固端弯矩改变成由已知位移产生的固端弯矩，具体计算通过下面的例题来说明。
图示刚架的 A支座产生了水平位移 a、竖向位移 b=4a及转角
，试绘其弯矩图。
l
a
例 5-6 支座移动的计算 (一个未知数 )
01111RZr
根据基本结构在 及支座位移的共同影向下（图 b），附加刚臂上的反力矩为零的平衡条件，可建立典型方程为计算系数及自由项，绘出单位弯矩图及已知位移的弯矩图。在这里我们将已知位移的弯矩图由叠加法绘出如下：
lEIlEIlEIRlEIlEIlEIr 281216,1183 111
11281Z解得：
刚架的最后弯矩图为
PMZMM 11
判断题已 知 图 示 结 构 的 支 座 C 顺 时 针 转 动 弧 度,引 起结 点 D 产 生 角 位 移 弧 度 （ 逆 时 针 ） 。图 b为图 a的弯矩图，判断是否正确？
rad06.0
radD 01.0
01111RZr 01.0
11
1
1
r
RZ
位移法基本方程为,由题意可知：
绘出 图及 图,再由叠加法可得最后弯矩图，可验证所给结果是正确的。
11ZM?1R
§ 5-6对称性的利用对称结构的内力与变形特点对称结构在对称荷载作用下产生对称的内力与变形；对称结构在反对称荷载作用下产生反对称的内力与变形 。
半结构的选取原则利用结构对称性取半结构 (或四分之一结构 )进行计算时,
其半结构分开处的约束支座是根据其变形条件来确定的
。
1.奇数跨对称结构
（ 1）对称荷载（图 a）
在对称轴上的截面 C没有转角和水平位移，但可有竖向位移。计算中所取半边结构如图（ b）所示,C处取为滑动支承端。
（ 2）反对称荷载（图 a）
在对称轴上的截面 C没有竖向位移，但可有转角和水平位移。计算中所取半结构如图（ b）所示,C处取为链杆支座。
2.偶数跨对称结构
（ 1）对称荷载（图 a）
在对称轴上，截面 C没有转角和水平位移，柱 CD没有弯矩和剪力。因为忽略杆 CD的轴向变形，故半边结构如图（ b）所示,C端为固定支座。
（ 2）反对称荷载（图 a）
在对称轴上，柱 CD没有轴力和轴向位移。但有弯矩和弯曲变形。可将中间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半,这样问题就变为奇数跨 的问题（图 b），其中在两根分柱之间增加一跨，但其跨度为零。半边结构如图 c所示。因为忽略轴向变形的影响,C处的竖向支杆可取消，
半边结构也可按图 d选取。中间柱 CD的总内力为两根分柱内力之和。由于两根分 柱弯矩、剪力相同，故总弯矩总剪力为分柱弯矩和剪力的两倍。
又由于两根分柱的轴力绝对值相同而正负号相反，故总轴力为零。
用位移法计算图 a所示结构，绘制弯矩图。 E=常数。
根据正对称性质，图 a中 AB杆不会弯曲而只受轴力。在这里我们又不计轴向变形影响，故将 AB杆看作轴向刚度无限的链杆，则 A,B两点的竖向位移相同，简化分析半结构如图 b所示。
本题有两个独立未知数，位移法基本方程为
0
0
2222121
1212111
P
P
RZrZr
RZrZr
iiiir 1144311 lirr 62112 22222 15123 l il il ir
01?PR kNR P 202 iZ 43801? ilZ 1 2 92 2 02?
按叠加法
2211 ZMZMMM P
§ 5-6-1剪力静定杆带来的简化杆 AB称为剪力静定杆，
即用静力平衡条件可直接求得其剪力（见教材
P230所述及图 11-13）。
判断下面哪些结构是属于剪力静定结构？
本题特点是：
（ 1） 柱 AB的 B端虽然有侧向线位移，但柱 AB的剪力是静定的，称它为剪力静定柱。
（ 2） 横梁的两端无垂直于杆轴的相对线位移，称它为无侧移杆。
考虑到上述特点，所以在确定位移法的独立未知量时，可以不把柱端的侧移作为独立的位移未知量，从而使原来两个未知量（一个角位移和一个线位移）
减为一个角位移未知量，使计算得以简化。在选取位移法的基本结构时，只须在刚结点 B处附加阻止转动的刚臂约束即可，如图 b所示。在该基本结构中，由于 B端无侧向约束，柱子两端有相对线位移，而无角位移，所以 AB柱的 B端可视为滑动支座，下端为固定支座，从而满足剪力静定的要求。
各横梁的梁端虽然有水平位移，但对杆的内力无影响。因此各横梁可视为一端固定另一端链杆支座（图 b）。
08.212 )4129(3334311 EIEIEIEIr 3 7 5.41?PR
1.21Z
P
P
P
RZrZrZr
RZrZrZr
RZrZrZr
3333232131
2323222121
1313212111
0
109
31
21
11
r
ir
iiir
2
5
2
3
2
3
2
16
11
216
3
3
2
1
PlPl
PlR
Pl
Pl
Pl
R
PlPlPl
R
P
P
P
ir
iiiir
ir
32
22
12
119
iiiir
ir
r
119
0
33
23
13
§ 5-7 有侧移的斜柱刚架对于 有侧移的斜柱刚架在计算上的特点是，确定基本结构发生线位移时与平行柱的区别,见图 a和图 b。
对于图 a，在单位线位移作用下，两平行柱的两端相对线位移数值相同，
且都等于 1，而横梁仅平行移动，其两端并无相对线位移，故不弯曲。而对于图
b则就不同了，在单位线位移作用下，杆 AB,CD的垂直线位移不等于 1，水平杆 BC的两端产生了相对线位移，发生弯曲变形。因此，在非平行柱刚架中，在单位线位移作用下：（ 1）柱与横梁发生弯曲；（ 2）各杆端垂直于杆轴线的相对线位移亦各不相同。
如何确定对于 斜柱刚架在当结点发生线位移时各杆两端的相对线位移？以下面图所示一具有斜柱刚架发生结点线位移的情为例来说明。
应该注意到，各杆的线位移虽然不同，但它们是互相有关的。确定当结点发生单位线位移时各杆两端的相对线位移，可采用作结点位移图的方法。
首先将刚结点改为铰，然后观察在单位线位移条件下各结点的新位置及由此所产生的线位移数值方向。
图 a,结点 A的线位移 垂直于杆 AB，其水平位移分量为 1。由此可确定 B的新位置 。当机构 ABCD作机动时，杆 CD将绕铰 D转动，故铰 C的位移必垂直于 杆 CD。于是在 的作用下，杆 BC将最终占有位置 。
杆件 BC的运动可分解为平移（从 BC到 ）与转动（从 到 ）。因此，各杆的相对线位移为（图 b）：
BB?
CB
B?
CC? 13?Z CB
CB CB
CCBBCCCC ABBCCD,,
作结点位移图的方法（图 b）如下所述：
只需直接作出三角形 即可。其方法为：任选一点 O代表位移为零的点，
如 A,D点，称为极点。按适当比例绘出
，然后作 OB垂直于杆 AB；再过 B点作杆
BC的垂线；又过 O点作杆 CD的垂线，便得出交点 C。在此图中，向量 OB,OC即代表 B,C点的位移，而 AB,BC,CD则代表 AB杆,BC杆,CD杆两端的相线位移。则图 b称为结点位移图。
CCC
13?Z
例 5-3
0
0
2222121
1212111
P
P
RZrZr
RZrZr
由图 d得：
杆 AB两端相对线位移为,杆 CD两端相对线位移2?
AB? 1?CD?
由图 f 得,24611r 由图 g 得：
lr
626
12
由图 h 得 由图 i得由图 j 得
16
3
1
PlR
P 2220 l
2129r,0M
16
11,0
20
PRM
P
将各系数和自由项代如位移法基本方程，得
2
21
221
21
0 2 8 6 9.0,0 2 2 1 8.0:,
0
16
112129626
0
16
3626
246
PlZPlZ
P
Z
l
Z
l
Pl
Z
l
Z
解得按叠加法绘最后弯矩图
PMZMZMM 2211
试求图 a所示带斜杆结构的系数项和自由项位移法基本方程,
解：图 a所示结构虽然横梁刚度无限大
，但柱子不平行，横梁不仅能产生线位移，
也能产生转动，也即横量作平面运动。在小变形情况下结点位移如图 b,c所示，独立的位移只有一个线位移，因此可取图 d作为基本结构。
01111 PRZr
9 1 1 6 9.1 0 64 5 5 8 4.53
2,
2
2,0
4 5 5 8 4.5328218
18
2
121026
,0
2
2
110
22
22
110
Pl
l
P
Z
P
l
l
P
RM
lll
l
l
l
lllrM
P
图 示 结 构 在 作 用 下 的 单 位 弯 矩 图 中 正 确 的为,
A,; B,;
C,; ;
D,。 （ ）
11?Z
BAAB MM,
liMM BAAB /6= 2 liMM
BAAB /34= 2
liliM AB 3/34/6= 22
liliM BA 3/32/6= 22 BAAB MliliM 3/34/6= 22
试用位移法计算图示结构，并作弯矩图。 EI=常数。
0
0
2222121
1212111
P
P
RZrZr
RZrZr
3
7.7
3
6.14.1335.1
4.16.130
2.1438.3
22
2112
11
iiiii
r
iirr
iiiir
3
20
3
45,0
0,0
20
1
P
PB
RM
RM
i
Z
i
ZZiiZ
ZiZ 645.2
,2706.0:,0
3
20
3
7.74.1
004.12.14
21
21
21
解得
§ 5-7-1联合法用位移法计算图 a所示结构，绘制弯矩图。 E=常数。
联合法：上述这种求解同一问题时，联合应用力法、位移法求解的方法，称为联合法。
01111 PRZr 01111 PX?
i
mkN
i
mkN
r
R
Z
mkN
mkNql
R
iiir
P
P
3 8 8 9.1
9
5.12
5.12
12
56
12
945
11
1
1
22
1
11
kN
m
mkN
X
mkN
m
P
P
0764.6
108
25.656
25.656
108
3
3
11
1
1
3
1
3
11
PP MXMMMZMM 1111
注意点：用联合法求解对称结构时，每个半结构的计算简图的求解是很方便的，但从半结构的结果，利用对称性和进行叠加时必须细心，否则将前功尽弃。
§ 5-7-2混合法前面介绍的超静定结构的解法，即使是联合法，对每一个计算简图选用基本结构未知量都是相同性质的，但对图示结构，不管是用位移法或力法，其位知数数目均 7 个，手算是不可能的。
分析：左边,主厂房,部分一次超静定，但独立位移有 5个。由边,附属厂房,部分独立位移只有 2个，而超静定次数为六次。 如果左边部分以力作未知量，右边部分以位移作未知量，混合用两类未知量的总未知量只有 3个，
如图所示。下面说明混合法解题思路此例说明,解决问题不能墨守成规，要深刻理解和掌握力学概念、
原理和方法，在此基础上灵活应用知识，才能既好又省地解决问题。
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
RZrZrXr
RZrZrXr
ZZX
§ 5-8 温度改变时的计算温度改变时的计算，与支座位移时的计算基本相同。这里只作一点补充：除了杆件内外温差使杆件弯曲，因而产生一部分固端弯矩外；温度改变时杆件的轴向变形不能忽略，而这种轴向变形会使结点产生已知位移，从而使杆端产生相对横向位移，又产生另一部分固端弯矩。具体计算通过下面的例题来说明。
例如图示刚架的范 EI=常数，横梁温度均匀升高,两柱温度不变化，
试绘弯矩图。
Cto?
HlH
tl
l
EI
H
EIH
EItl
r
R
Z
22
3
24
13
2
2
11
1
1
HlH EIHltlH EItlHlH tlHEIM AB 23322 32 22
2
HlH EItlHlH tllEIM BC 2322 32
2
按叠加法绘制最后弯矩图,即
tMZMM 11
§ 5-9 思考题及习题课
1,位移法如何体现结构力学应满足的三个方面条件（平衡条件、几何条件与物理条件）？
答：位移法的两种计算方法（基本结构法和直接列杆端力建立平衡方程）都是按两大步骤进行，即单杆分析和整体分析。单杆分析是利用转角位移方程（式 5-1及式 5-3，第 202页）和固端力表（表 5-1）得到杆端力和杆端位移和荷载的关系，或得到单位、荷载弯矩图；整体分析得到位移法的基本方程。
在整体分析中，确定位移法的基本未知量，考虑了交于结点的诸杆端的变形条件，而基本方程反应了平衡条件。因此，整体分析是在结点处考虑了上述三个方面条件。
2
3
1
3
2
2
1
2
2
1
1
1
3
3
3
h
Z
iQ
h
Z
iQ
h
Z
iQ
EF
CD
AB
由每柱的平衡条件求得杆端剪力为,
位移法基本方程：取柱顶以上横梁部分为隔离体（图 c），由水平方向的平衡条件，即
22
3
3
2
2
2
2
1
1
12
3
3
2
2
2
2
1
1
1
3)(3
,0)(3
0)(,0
h
i
P
h
i
h
i
h
i
PZ
h
i
h
i
h
iZP
QQQPX EFCDAB
F
BAABBABA
F
ABABBAAB
M
l
iiM
M
l
iiiM
642
624单杆分析铰结端角位移和滑动支座线位移为什么不作为位移法的基本未知量？
在转角位移方程中,铰结端角位移和滑动支座线位移都不是独立的杆端位移分量，而与其它杆端位移分量保持确定的关系。在手算中，为了减少基本方程数目，
上述位移分量不引如基本未知量。
F
BAABBABA
F
ABABBAAB
M
l
iiM
M
l
iiiM
642
624
令,由第二式，得0?BAM
i
M
l
F
BA
ABAB 2
3
2
1
0
33
BA
F
ABABAAB
M
MliiM?
将 代入左式，有 00
BBAQ?和
)(122,
0126
0
0
2
A
F
BA
F
ABAAB
A
F
BA
F
AB
ABABA
MMMill
l
M
l
MM
l
i
l
iQ
即式中 为杆上荷载对 A点力矩（顺时针为正）。将上述关系左式，得
F
BAABA
F
ABAAB
MiM
MiM
0AM
什么情况下独立的结点线位移可以不作为位移法基本未知量？
若刚架的有侧移杆都是剪力静定杆，则用位移法求解时，独立结点立的线位移也可以不作为位移法的基本未知量。这时刚架中杆件分为两类：一类是无侧移杆件，其杆端弯矩计算公式照旧。另一类是有侧移但剪力静定杆，这类杆件无论其杆端连接刚结点还是固定端，其转角位移方程一律与一端刚结一端滑动约束杆相同。
答：可以。因为在静定结构中总是存在具有角位移或线位移的结点，其位移就可作为位移法基本未知量；对应于每个角位移或线位移可建立一个平衡方程，对应于任意单杆总可以建立相应的刚度方程。
力法只能用于求解超静定结构。其原因是：力法是以多于未知力为基本未知数，而静定结构的几何特征是，几何不变，且无多余约束的结构。
位移可否求解静定结构？
§ 5-10 本章小结
1.位移法计算基础：
以三类杆件为计算基础（即教材表 5-1 等截面直杆的杆端弯矩和剪 ）。
2.位移法计算原理：
几何不变的结构在一定的外因作用下，其内力与位移之间恒具有一定的关系，确定的内力只与确定的位移相对应。位移法是以结点处的独立角位移和线位移为基本未知量。
3.位移法的基本思路：
在相应的基本未知量处人为地附加约束而将原结构,化分,为若干个单跨等截面超静定梁，取这些单跨梁（或称为单元）作为计算的基本结构
。这些杆端位移应与其所在结点的其它杆端位移相协调。而后利用原结构在荷载和结点位移的共同作用下，使每个附加约束中的反力（或反力矩）都应等于零的平衡条件建立位移法的基本方程，解此方程，得结点位移。求得结点位移后，原结构的计算就转化为单个杆件的计算问题。
解算超静定结构的方法超静定结构分析的基本方法有两种，即力法和位移法。不管是力法还是位移法，都必需满足下列三方面的条件：
（ 1）平衡条件 —— 即力系的平衡条件或运动条件；
（ 2）几何条件 —— 即变形的几何连续或位移的协调条件；
（ 3）物理条件 —— 即应力与应变或力与位移的物理关系。
位移法的基本未知量和基本结构位移法是以刚结点处的角位移和结点的独立线位移作为基本未知量，在角位移处附加刚臂以阻止转动；在线位移处附加链杆以阻止移动，得位移法的基本结构。将结点位移和原结构荷载（或支座移动，或温度改变等）作用在基本结构上，得位移法的基本体系。同一结构不管外因如何，则基本结构是唯一的
（力法的基本结构有多种选择）。 用位移法计算结构时，确定基本未知量是整个学习中至关重要的一步，应重点掌握。
计算假定：
(1).弯曲直杆忽略轴力,剪力所产生的变形 (在手算中作这个假设 );
(2).变形是微小的 ;
(3).直杆弯曲后,两端之间的距离保持不变基本未知量的确定：
(1).铰处弯矩为零,故铰处角位移不作为基本未知量 (因为非独立量 );
(2).弯曲刚度无穷大的结点处不产生转动 ;
(3).静定部分可由平衡条件求出其内力,故该部分结点处的角位移和线位移不需作为基本未知量,
角位移,一个刚结点一个角位移未知数目；
线位移,由计算假定可知，可将原结构改变为铰结体系，
用附加链杆方法使该铰结体系成为几何不变体系时，所加链杆数目即为线位移未知数目。
