第六章 矩阵位移法内 容
§ 6.1 概述
§ 6.2 局部坐标单元刚度矩阵
§ 6.3 坐标变换
§ 6.4 结构的原始刚度矩阵
§ 6.5 支承条件的引入
§ 6.6 非结点荷载的处理结构数据化局部坐标系单元刚度矩阵坐标转换 — >整体单刚结构总体刚度矩阵非结点荷载处理支承条件解方程求结点位移杆端力计算编写程序
§ 6.1 概述
§ 6.2 局部坐标单元刚度矩阵 (1)
eee kF
局部坐标系杆端力列向量单元刚度方程：
Tejejejeieieie MQNMQNF?
Tejejejeieieie vuvu
eiM
e
iQ
eiN ejM
e
jQ
ejN
ji
e
eiu
y
l
x
i j
j
i
e
i?
eiv
eju
e
j?
ejv
局部坐标系杆端位移列向量
§ 6.2 局部坐标单元刚度矩阵 (2)
eee kF
局部杆端力与杆端位移的关系 —— 局部单元刚度方程
e
j
e
j
e
j
e
i
e
i
e
i
e
j
e
j
e
j
e
i
e
i
e
i
v
u
v
u
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
M
Q
N
M
Q
N
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
22
2323
22
2323
单元刚度方程,1?ei?
l
EI4 l
EI2
2
6
l
EI 26lEI?
§ 6.2 局部坐标单元刚度矩阵 (3)
杆端力与杆端位移的关系 —— 单元刚度矩阵
e
j
e
j
e
j
e
i
e
i
e
i
e
j
e
j
e
j
e
i
e
i
e
i
v
u
v
u
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
M
Q
N
M
Q
N
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
22
2323
22
2323
1?eiu 1?ei?1?e
iv 1?
eju 1?e
j?1?ejv
单元刚度矩阵的特点
对称 —— 反力互等奇异 —— 行列式值为零主元素大于零已知杆端力 {F} => 不能求出杆端位移 {δ}
ijji kk?
0?iik
0?K
杆端力的投影关系
整体坐标系与单元坐标系关系
aYaXN eieiei s i nc o s
aYaXQ eieiei c o ss i n
eiei MM?
aYaXN ejejej s inc o s
aYaXQ ejejej c o ss in
ejej MM?
eiX
eiY
ejM
eiN
eiQ
x
y
x
y
e
i
j e
jX
ejY
ejN
ejQ
eiM 整体坐标系xo y
单元坐标系xo y
O
e
i
e
i
e
i
e
i
e
i
e
i
M
Y
X
aa
aa
M
Q
N
100
0c o ss i n
0s i nc o s
§ 6.3 坐标变换
整体坐标系与单元坐标系关系
Te e e e e e ei i i j j jF X Y M X Y M?
Te e e e e e ei i i j j ju v u v
e eF T F?
e eT
eeeT F k T
eTee
eee
F T k T
Fk
Te e e e e e eijijijF N Q M N Q M?
Te e e e e e ei i j jiju v u v
100000
0c o ss i n000
0s i nc o s000
000100
0000c o ss i n
0000s i nc o s
aa
aa
aa
aa
T
ji
e ii ij
ji jj
ikk
k
jkk
eeeFk
1TTT T是正交矩阵 eTeF T F?
§ 6.4结构的原始刚度矩阵
首先进行单元、结点编号
12
( 1 ) ( 1 )
1 1 1 1 2
( 1 ) ( 1 )
2 1 2 2
1
2
kk
k
kk
（）
( 2 ) ( 2 )
22 232
( 2 ) ( 2 )
32 33
2
3
kk
k
kk
（）
( 3 ) ( 3 )
3 3 3 43
( 3 ) ( 3 )
3 2 4 4
3
4
kk
k
kk
（）
4
3
2
1
P
P
P
P
P
4
3
2
1
i
i
i
i
M
Y
X
P
i
i
i
i v
u
第 i 结点外力、位移向量结构结点外力、位移向量单元刚度矩阵（整体单刚）
1
2
3
x
y
1
2
3
4
x
y
3X
3Y3M
由 3结点平衡条件，得到结点力与结点位移的关系 2
3
3
4
3X
3Y3M
3 )3(3X
)3(3Y
)3(3M
)3(3X)3(3M
)3(3Y
3
)2(3Y
)2(3M
)2(3X
)2(3X
)2(3Y
)2(3M
2
000 MYX,，
)3(
3
)3(
3
)3(
3
)2(
3
)2(
3
)2(
3
3
3
3
M
Y
X
M
Y
X
M
Y
X
得到,
)3(3)2(33 FFP即：
)2(3)2(33)2(2)2(32)2(3 kkF
)3(4)3(34)3(3)3(33)3(3 kkF
4)3(343)3(33)2(332)2(323 kkkkP
4)3(43)3(3)2(32)2(2,，
2)1(121)1(111 kkP
3)2(232)2(22)1(221)1(212 kkkkP
4)3(443)3(434 kkP
由单元刚度方程知：
由结点位移协调知：
可得：
同理有：
总刚度矩阵
KP
结点外力 {P}与结点位移 {△ }关系（结构原始刚度方程）为：
简写为：
总刚性质：
直接刚度法,利用整体单刚通过 对号入座 得到总刚。
2)1(121)1(111 kkP
4)3(343)3(33)2(332)2(323 kkkkP
3)2(232)2(22)1(221)1(212 kkkkP
4)3(443)3(434 kkP
ij jikk?对称 0?奇异 K
( 1 ) ( 1 )
1 1 1 2
( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )
21
( 3 ) ( 3 )
4 3 4 4
2 2 2 2 2 322
( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 )
33 3 2 3 3 3 3 3 4
44
00
0
0
00
kk
P
k k k kP
P k k k
P
k
k
k
§ 6.5 支承条件的引入
已知部分未知数，求解方程组
1
2
3
x
y
1
2
3
4
x
y
已知 1,4结点位移：
结构结点外力、未知位移向量关系：
上式称为结构的刚度矩阵（缩减的总刚）。 由此可求位移。
3X
3Y3M
3
2
)3(
33
)2(
33
)2(
32
)2(
23
)2(
22
)1(
22
3
2
kkk
kkk
P
P
0
0
4
1
eee kF
eee FTF?
由结点位移可求整体单元杆端力：
进而可求局部单元杆端力：
§ 6.6 非结点荷载的处理
非结点荷载，用叠加法处理附加支反力：
)2( 2)1( 22 FFF XXX
1
2
3
1
2
3
4原体系
2FX
2FY
2FM 3FM
3FX
3FY
结点位移为零不用求解
2FX?
2FY?2FM?
3FX?
3FY? 3FM?
有结点位移用矩阵位移法求解
)2( 2)1( 22 FFF YYY
)2( 2)1( 22 FFF MMM
)3( 3)2( 33 FFF XXX
)3( 3)2( 33 FFF YYY
)3( 3)2( 33 FFF MMM
等效结点荷载：
22 FE XX 22 FE MM22 FE YY
33 FE XX 33 FE YY 33 FE MM
矩阵位移法例题用矩阵位移法分析图示平面刚架。
6/kN m
10kN m?
30kN
3m 4m
4m
723 1 0 /E kN m
40.042Im?
20.5Am?
1
2
x
y
1(1,2,3)
O
2(4,5,6)
3(7,8,9)
初始化数据，编码一、结构数据化
( 1 )
4
0 0 0 0
00
00
10
0
300 300
12.1 30.2 12.1 30.2
30.2 100,8 30.2 50.4
300 300
12.1 30.2 12.1 30.2
30.2 50.4 30.2 100
0 0 0
00
0,80
k
( 1 )
0.6 0.8
0.8 0.6
100,8
0.6 0.8
0.8 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
.
0
6
1
T
二、计算单元刚度矩阵
43 0 0 1 05EA 425.2 105EI 426 3 0,2 1 05EI 4312 12.1 105EI单元 1
sin 0,8
co s 0,6
3 2 3 2
22
3 2 3 2
22
0 0 0 0
1 2 6 1 2 6
00
6 4 6 2
00
0 0 0 0
1 2 6 1 2 6
6 2 6 4
EI EI EI EI
L L L L
EI EI EI EI
L L L L
EI E
EA EA
LL
I EI EI
L L L L
EI EI EI EI
L L L L
EA EA
LL
( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
4
1 1 5,7 1 3 8,2 2 4,2 1 1 5,7 1 3 8,2 2 4,2
1 3 8,2 1 9 6,2 1 8,2 1 3 8,2 1 9 6,2 1 8,2
2 4,2 1 8,2 1 0 0,8 2 4,2 1 8,2 5 0,4
1 1 5,7 1 3 8,2 2 4,2 1 1 5,7 1 3 8,2 2 4,2
1 3 8,2 1 9 6,2 1 8,2 1 3 8,2 1 9 6,2 1 8,2
2 4,2 1 8,2 5 0,4 2 4,2 1 8
10
.2
T
k T k T
1 0 0,8
单元 2
43 7 5 1 04EA 431.5 10
4
EI 4
2
6 4 7,3 1 0
4
EI 4
3
12 2 3,6 1 0
4
EI
( 2 )
4
0 0 0 0
00
00
10
0
375 375
23.6 47.3 23.6 47.3
47.3 126,0 47.3 63.0
375 375
23 6 30.
0 0 0
00 2 23.6 47.3
47.3 63.0 47.3 126,000
k
.
单元 2 不需要坐标转换
1
2
3
4
5
6
4
5
6
7
8
9
结点1
结点2
结点2
结点3
计算（ 1）单元整体单刚三、计算结构原始总刚度矩阵
( 1 ) ( 1 )
1 1 1 2
11
( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )
2 2 1 2 2 2 2 2 3 2
( 2 ) ( 2 )
33
3 2 3 3
0
0
kk
P
P k k k k
P
kk
四、计算结构总结点荷载列阵
1、计算单元固端力
( 1 ) 0FF?
( 2 )
0
12
8
0
12
8
F
F
2、计算结构总荷载
( 2 )
0
12
8
0
12
8
q
F
等效结点荷载
0 0 0 0 0 0 0
000 12
3 0 1
00
0 0 0 0 4 2 1 8 0
8 1 2 8
1
0
28
T
T
T
P
§ 6.1 概述
§ 6.2 局部坐标单元刚度矩阵
§ 6.3 坐标变换
§ 6.4 结构的原始刚度矩阵
§ 6.5 支承条件的引入
§ 6.6 非结点荷载的处理结构数据化局部坐标系单元刚度矩阵坐标转换 — >整体单刚结构总体刚度矩阵非结点荷载处理支承条件解方程求结点位移杆端力计算编写程序
§ 6.1 概述
§ 6.2 局部坐标单元刚度矩阵 (1)
eee kF
局部坐标系杆端力列向量单元刚度方程：
Tejejejeieieie MQNMQNF?
Tejejejeieieie vuvu
eiM
e
iQ
eiN ejM
e
jQ
ejN
ji
e
eiu
y
l
x
i j
j
i
e
i?
eiv
eju
e
j?
ejv
局部坐标系杆端位移列向量
§ 6.2 局部坐标单元刚度矩阵 (2)
eee kF
局部杆端力与杆端位移的关系 —— 局部单元刚度方程
e
j
e
j
e
j
e
i
e
i
e
i
e
j
e
j
e
j
e
i
e
i
e
i
v
u
v
u
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
M
Q
N
M
Q
N
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
22
2323
22
2323
单元刚度方程,1?ei?
l
EI4 l
EI2
2
6
l
EI 26lEI?
§ 6.2 局部坐标单元刚度矩阵 (3)
杆端力与杆端位移的关系 —— 单元刚度矩阵
e
j
e
j
e
j
e
i
e
i
e
i
e
j
e
j
e
j
e
i
e
i
e
i
v
u
v
u
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
M
Q
N
M
Q
N
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
22
2323
22
2323
1?eiu 1?ei?1?e
iv 1?
eju 1?e
j?1?ejv
单元刚度矩阵的特点
对称 —— 反力互等奇异 —— 行列式值为零主元素大于零已知杆端力 {F} => 不能求出杆端位移 {δ}
ijji kk?
0?iik
0?K
杆端力的投影关系
整体坐标系与单元坐标系关系
aYaXN eieiei s i nc o s
aYaXQ eieiei c o ss i n
eiei MM?
aYaXN ejejej s inc o s
aYaXQ ejejej c o ss in
ejej MM?
eiX
eiY
ejM
eiN
eiQ
x
y
x
y
e
i
j e
jX
ejY
ejN
ejQ
eiM 整体坐标系xo y
单元坐标系xo y
O
e
i
e
i
e
i
e
i
e
i
e
i
M
Y
X
aa
aa
M
Q
N
100
0c o ss i n
0s i nc o s
§ 6.3 坐标变换
整体坐标系与单元坐标系关系
Te e e e e e ei i i j j jF X Y M X Y M?
Te e e e e e ei i i j j ju v u v
e eF T F?
e eT
eeeT F k T
eTee
eee
F T k T
Fk
Te e e e e e eijijijF N Q M N Q M?
Te e e e e e ei i j jiju v u v
100000
0c o ss i n000
0s i nc o s000
000100
0000c o ss i n
0000s i nc o s
aa
aa
aa
aa
T
ji
e ii ij
ji jj
ikk
k
jkk
eeeFk
1TTT T是正交矩阵 eTeF T F?
§ 6.4结构的原始刚度矩阵
首先进行单元、结点编号
12
( 1 ) ( 1 )
1 1 1 1 2
( 1 ) ( 1 )
2 1 2 2
1
2
kk
k
kk
（）
( 2 ) ( 2 )
22 232
( 2 ) ( 2 )
32 33
2
3
kk
k
kk
（）
( 3 ) ( 3 )
3 3 3 43
( 3 ) ( 3 )
3 2 4 4
3
4
kk
k
kk
（）
4
3
2
1
P
P
P
P
P
4
3
2
1
i
i
i
i
M
Y
X
P
i
i
i
i v
u
第 i 结点外力、位移向量结构结点外力、位移向量单元刚度矩阵（整体单刚）
1
2
3
x
y
1
2
3
4
x
y
3X
3Y3M
由 3结点平衡条件，得到结点力与结点位移的关系 2
3
3
4
3X
3Y3M
3 )3(3X
)3(3Y
)3(3M
)3(3X)3(3M
)3(3Y
3
)2(3Y
)2(3M
)2(3X
)2(3X
)2(3Y
)2(3M
2
000 MYX,，
)3(
3
)3(
3
)3(
3
)2(
3
)2(
3
)2(
3
3
3
3
M
Y
X
M
Y
X
M
Y
X
得到,
)3(3)2(33 FFP即：
)2(3)2(33)2(2)2(32)2(3 kkF
)3(4)3(34)3(3)3(33)3(3 kkF
4)3(343)3(33)2(332)2(323 kkkkP
4)3(43)3(3)2(32)2(2,，
2)1(121)1(111 kkP
3)2(232)2(22)1(221)1(212 kkkkP
4)3(443)3(434 kkP
由单元刚度方程知：
由结点位移协调知：
可得：
同理有：
总刚度矩阵
KP
结点外力 {P}与结点位移 {△ }关系（结构原始刚度方程）为：
简写为：
总刚性质：
直接刚度法,利用整体单刚通过 对号入座 得到总刚。
2)1(121)1(111 kkP
4)3(343)3(33)2(332)2(323 kkkkP
3)2(232)2(22)1(221)1(212 kkkkP
4)3(443)3(434 kkP
ij jikk?对称 0?奇异 K
( 1 ) ( 1 )
1 1 1 2
( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )
21
( 3 ) ( 3 )
4 3 4 4
2 2 2 2 2 322
( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 )
33 3 2 3 3 3 3 3 4
44
00
0
0
00
kk
P
k k k kP
P k k k
P
k
k
k
§ 6.5 支承条件的引入
已知部分未知数，求解方程组
1
2
3
x
y
1
2
3
4
x
y
已知 1,4结点位移：
结构结点外力、未知位移向量关系：
上式称为结构的刚度矩阵（缩减的总刚）。 由此可求位移。
3X
3Y3M
3
2
)3(
33
)2(
33
)2(
32
)2(
23
)2(
22
)1(
22
3
2
kkk
kkk
P
P
0
0
4
1
eee kF
eee FTF?
由结点位移可求整体单元杆端力：
进而可求局部单元杆端力：
§ 6.6 非结点荷载的处理
非结点荷载，用叠加法处理附加支反力：
)2( 2)1( 22 FFF XXX
1
2
3
1
2
3
4原体系
2FX
2FY
2FM 3FM
3FX
3FY
结点位移为零不用求解
2FX?
2FY?2FM?
3FX?
3FY? 3FM?
有结点位移用矩阵位移法求解
)2( 2)1( 22 FFF YYY
)2( 2)1( 22 FFF MMM
)3( 3)2( 33 FFF XXX
)3( 3)2( 33 FFF YYY
)3( 3)2( 33 FFF MMM
等效结点荷载：
22 FE XX 22 FE MM22 FE YY
33 FE XX 33 FE YY 33 FE MM
矩阵位移法例题用矩阵位移法分析图示平面刚架。
6/kN m
10kN m?
30kN
3m 4m
4m
723 1 0 /E kN m
40.042Im?
20.5Am?
1
2
x
y
1(1,2,3)
O
2(4,5,6)
3(7,8,9)
初始化数据，编码一、结构数据化
( 1 )
4
0 0 0 0
00
00
10
0
300 300
12.1 30.2 12.1 30.2
30.2 100,8 30.2 50.4
300 300
12.1 30.2 12.1 30.2
30.2 50.4 30.2 100
0 0 0
00
0,80
k
( 1 )
0.6 0.8
0.8 0.6
100,8
0.6 0.8
0.8 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
.
0
6
1
T
二、计算单元刚度矩阵
43 0 0 1 05EA 425.2 105EI 426 3 0,2 1 05EI 4312 12.1 105EI单元 1
sin 0,8
co s 0,6
3 2 3 2
22
3 2 3 2
22
0 0 0 0
1 2 6 1 2 6
00
6 4 6 2
00
0 0 0 0
1 2 6 1 2 6
6 2 6 4
EI EI EI EI
L L L L
EI EI EI EI
L L L L
EI E
EA EA
LL
I EI EI
L L L L
EI EI EI EI
L L L L
EA EA
LL
( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
4
1 1 5,7 1 3 8,2 2 4,2 1 1 5,7 1 3 8,2 2 4,2
1 3 8,2 1 9 6,2 1 8,2 1 3 8,2 1 9 6,2 1 8,2
2 4,2 1 8,2 1 0 0,8 2 4,2 1 8,2 5 0,4
1 1 5,7 1 3 8,2 2 4,2 1 1 5,7 1 3 8,2 2 4,2
1 3 8,2 1 9 6,2 1 8,2 1 3 8,2 1 9 6,2 1 8,2
2 4,2 1 8,2 5 0,4 2 4,2 1 8
10
.2
T
k T k T
1 0 0,8
单元 2
43 7 5 1 04EA 431.5 10
4
EI 4
2
6 4 7,3 1 0
4
EI 4
3
12 2 3,6 1 0
4
EI
( 2 )
4
0 0 0 0
00
00
10
0
375 375
23.6 47.3 23.6 47.3
47.3 126,0 47.3 63.0
375 375
23 6 30.
0 0 0
00 2 23.6 47.3
47.3 63.0 47.3 126,000
k
.
单元 2 不需要坐标转换
1
2
3
4
5
6
4
5
6
7
8
9
结点1
结点2
结点2
结点3
计算（ 1）单元整体单刚三、计算结构原始总刚度矩阵
( 1 ) ( 1 )
1 1 1 2
11
( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )
2 2 1 2 2 2 2 2 3 2
( 2 ) ( 2 )
33
3 2 3 3
0
0
kk
P
P k k k k
P
kk
四、计算结构总结点荷载列阵
1、计算单元固端力
( 1 ) 0FF?
( 2 )
0
12
8
0
12
8
F
F
2、计算结构总荷载
( 2 )
0
12
8
0
12
8
q
F
等效结点荷载
0 0 0 0 0 0 0
000 12
3 0 1
00
0 0 0 0 4 2 1 8 0
8 1 2 8
1
0
28
T
T
T
P
