第四章 力法
§ 4.1超静定结构的基本概念和计算方法
1,超静定结构的 组成 和超静定 次数从平衡的角度：
一个结构，如果它的支座反力和各截面的内力不能够完全由静力平衡条件唯一地确定，就叫做超静定结构。
从几何构造的角度：
静定结构是没有多余约束的几何不变体系，
而超静定结构是有多余约束的几何不变体系。
超静定的次数：
超静定的次数是指超静定结构中多余约束的个数 n。
＝把原结构变成静定结构时所需撤掉的约束个数。
＝未知力的个数－平衡方程的个数计算表达式：
n = - w = b-2j = (3g + 2h＋ b) – 3m
或
<1>去掉支座出的一根支杆或切断一根链杆，
相对于去掉一个联系：
<2>去掉一个单铰，相对于去掉两个约束：
<3>将刚结改成单铰联结，相对于去掉一个约束：
<4>在刚性联结处剪开，相对于去掉三个约束：
§ 4.1超静定结构的基本概念和计算方法
2,力法的基本概念力法是计算超静定结构的最基本的方法
<1>力法的基本未知量把 多余未知力 的计算问题当作 解超静定问题的关键问题多余未知力 ———力法的基本未知量
§ 4.1超静定结构的基本概念和计算方法
2,力法的基本概念例：
未知量：
1,,,A A CV H V X
其中：未知力,,A A CV H V可由平衡方程求出。
多余未知力：
1X
<2>力法的 基本体系多余约束去掉后得到的静定结构称为 力法的基本体系 。
§ 4.1超静定结构的基本概念和计算方法
2,力法的基本概念
<3>力法的 基本方程 求解基本未知量
§ 4.1超静定结构的基本概念和计算方法
2,力法的基本概念除了平衡条件外，必修补充新的条件比较：
这里,为被动力，
相应的
1X
1 0
此时：
1X
为主动力，
变量，过大时 B处上凸
1X
过小时 B处下陷
1 0
时，基本体系中的变力 ＝超静定结构中常量1X
基本体系转化原来超静定结构的条件：
基本体系沿多余未知力,方向的位移1X 1?
与原结构相同,即,1 0
这个 转化条件是一个变形条件,
计算未知力需补充方程。称力法的基本方程。
讨论：线性变形体系根据叠加原理,1 1 1 1 0p
因为 是由 (未知力 )引起的位移，
11? 1X
且 与 成正比。1X11?
设,11 11 1X
若,1 1X? 则
11 1 1 1 1X
所以
1 1 1 1 0pX
<1>一次超静定的计算分析
11 1,p
分别为基本体系（静定结构）的位移。
由上基本方程：
1 1 1 1 0pX
求 之前需计算
11 1,p1X
上一章，我们已学过求解静定结构的位移法。
实际载荷：
21
2pM qx? 虚拟单位载荷,P＝ 1
MX
24
1
1 1 3()
3 2 4 8
p
p
MM q l l q ld x l
E I E I E I
虚拟力：在产生位移方向加单位载荷
23
11
11
12()
2 3 3
M M l l ldx
E I E I E I
34
1 038
l qlX
E I E I
代公式：
1
3
8X ql?
<3>利用平衡关系，可以分别求出：
,,A B AX X M
用图乘法计算位移。求 时应为 图乘
11? 1M 1M
图,2 2 3
1
11
12
2 3 3
M l l lds
E I E I E I
求 时应为 图乘1M
图，
24
1
1
1 1 3()
3 2 4 8
p
p
MM q l l q ld s l
E I E I E I
1p? pM
把得到的 和 代入基本方程
11? 1p? 1 1 1 1 0pX
4
1
31
11
() 3
8 ()
8
3
p
ql
qlEIX
l
EI
说明：
求出后，其余的反力、内力均为静力问题，
计算略。
绘制弯矩图，可利用已绘出的 和 图叠加。
即，
将 图的竖标乘以 倍，再与 图的对应竖标相加。
223
( ) ( )8 2 8A q l q l q lMl 上侧受拉
11 0pM M X M
1M 1X pM
1M pM
1X1M pM
首先求出多余未知力，然后由平衡条件即可计算其余反力，内力的方法，称为 力法 。
整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的，
超静定结构计算 静定结构计算例,如图三次超静定结构，用力法分析时，需去掉三个多余联系。
设去掉固定支座 A，得到基本结构，
相应的多余未知力,和代替去掉的联系的作用。且：
1
2
3
0
0
0
1X 2X 3X
设 表示基本结构上多余力 的作用点沿其作用方向在 单独作用时所产生的位移。
设 表示基本结构上多余力 的作用点沿其作用方向在 单独作用时所产生的位移。
ij? iX
1jX?
表示基本结构上多余力 的作用点沿其作用方向在载荷单独作用时所产生的位移。
ip? iX
ii? iX
1iX?
本题：
方向的位移分别为,和
1X 1 1 1 2 1 3、、
方向的位移分别为,和
2X 2 1 2 2 2 3、、
方向的位移分别为,和
3X 3 1 3 2 3 3、、
1p?
2p?
3p?
根据叠加原理：
1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1
2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2
3 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3
0
0
0
p
p
p
X X X
X X X
X X X
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋
求解方程组得到多余未知力,,
1X 2X 3X
若结构是 n次超静定结构，则可建立 n个求解多余未知力的方程。当且当原结构各多余未知力作用处的位移为零时。
1 1 1 1 2 2 1 1
1 1 2 2
1 1 2 2
0
........................................,................
0
........................................,.................
0
n n p
i i in n ip
n n n n n n p
X X X
X X X
X X X
＋ ＋.,,+
＋ ＋.,,+
＋ ＋.,,+
前式为 n次超静定结构的力法基本方程。
物理意义：基本结构在全部多余未知力和载荷共同作用下，在去掉多余联系处各多余未知力方向的位移，应与原结构相应的位移相等。
2 2 2
i i i
ii
M N k Qd s d s d s
E I E A G A
其中：
i j i j i j
i j j i
M M N N k Q Qd s d s d s
E I E A G A
i p i p i p
ip
M M N N k Q Qd s d s d s
E I E A G A
显然，对不同具体结构，所需计算的项是不同的。
系数和自由项求出后，将它们代入典型方程，求各多余未知力。然后由平衡条件即可求出反力和内力。
显然，结构的刚度越小这些位移就越大，因此这些系数又称为柔度系数；
力法典型方程是表示位移条件，因此称之为结构的柔度方程；力法亦称柔度法。
例：如图为一二次超静定刚架，去掉铰支座 B，换之为两个多余约束,和得到基本体系，
1X 2X
因为原结构 B点的水平和竖向位移为零的条件，
建立力法数值的典型方程为：
计算系数矩阵和自由项时，对于刚架通常可忽略轴力和剪力的影响。
因此，可分别绘出基本结构在多余未知力和载荷作用下的弯矩。
1 1X?
2 1X?
多余未知力
1 1X?
的弯矩图
1M
多余未知力
2 1X?
的弯矩图
2M
载荷 P的弯矩图将所得到的结果代入典型方程
3 3 3
12
1 1 1
3 3 3
12
1 1 1
5
0
6 4 9 6
5
0
4 6 1 6
a a a
X X P
E I E I E I
a a a
X X P
E I E I E I
整理得：
12
12
1 1 5
0
6 4 9 6
1 5 1
0
4 6 1 6
X X P
X X P
解得：
1
2
4
11
3
88
XP
XP
绘制弯矩图，可利用已绘出的 和 图叠加。
即，
将 图的竖标乘以 倍，
将 图的竖标乘以 倍，
再与 图的对应竖标相加。
1 1 2 2 0pM M X M X M
1M 1X
pM
1M pM2M
2M 2X
由以上可以看出：典型方程中每个系数和自由项均含有 EI1，可以消去。 在载荷作用下，超静定结构的内力只与各杆的刚度相对值有关，而与其刚度相对值有关，而与其刚度绝对值无关。对于同一材料组成的结构，内力也与材料性质 E无关。
多余未知力求得后，其余反力、内力的计算为静定问题，弯矩图的叠加由下式得到：
1 1 2 2 0pM M X M X M
如,AC杆的 A端弯矩：
1
4 3 1 5( ) ( )
1 1 8 8 2 8 8AC
PaM a P a P P a 外侧受拉注意：对于同一超静定结构，可按不同方式去掉多余联系，得到不同基本结构。
例如：
不能拆成几何可变体或瞬变体系拆去 B端横向约束和 A端的反力偶拆去 C端刚结，换为铰结，相对于在 C处拆去一对反力偶,…
归纳力矩算法：
确定超静定的次数，去掉多余约束。得到一个静定基本结构。以多余未知力代替多余约束的作用。
根据基本结构在多余未知力和载荷共同作用，在去掉的约束处产生的位移应与原结构各相应位移相等的条件，建立力法的典型方程。
作出基本结构的各单位内力图，计算典型方程中的系数和自由项。
解典型方程，解出各多余未知力。
按分析静定结构的方法，由平衡条件或叠加法解得最终内力解：本题为一个三次超静定结构。
由于结构载荷对称性，故可只取四分之一进行分析。
如图，仅为一次超静定。
基本结构如图 (c),
多余未知力为弯矩 。
1X
取极坐标系，单位弯矩和载荷弯矩分别为：
1 1M?
sin2p PRM
§ 4.1超静定结构的基本概念和计算方法
1,超静定结构的 组成 和超静定 次数从平衡的角度：
一个结构，如果它的支座反力和各截面的内力不能够完全由静力平衡条件唯一地确定，就叫做超静定结构。
从几何构造的角度：
静定结构是没有多余约束的几何不变体系，
而超静定结构是有多余约束的几何不变体系。
超静定的次数：
超静定的次数是指超静定结构中多余约束的个数 n。
＝把原结构变成静定结构时所需撤掉的约束个数。
＝未知力的个数－平衡方程的个数计算表达式：
n = - w = b-2j = (3g + 2h＋ b) – 3m
或
<1>去掉支座出的一根支杆或切断一根链杆，
相对于去掉一个联系：
<2>去掉一个单铰，相对于去掉两个约束：
<3>将刚结改成单铰联结，相对于去掉一个约束：
<4>在刚性联结处剪开，相对于去掉三个约束：
§ 4.1超静定结构的基本概念和计算方法
2,力法的基本概念力法是计算超静定结构的最基本的方法
<1>力法的基本未知量把 多余未知力 的计算问题当作 解超静定问题的关键问题多余未知力 ———力法的基本未知量
§ 4.1超静定结构的基本概念和计算方法
2,力法的基本概念例：
未知量：
1,,,A A CV H V X
其中：未知力,,A A CV H V可由平衡方程求出。
多余未知力：
1X
<2>力法的 基本体系多余约束去掉后得到的静定结构称为 力法的基本体系 。
§ 4.1超静定结构的基本概念和计算方法
2,力法的基本概念
<3>力法的 基本方程 求解基本未知量
§ 4.1超静定结构的基本概念和计算方法
2,力法的基本概念除了平衡条件外，必修补充新的条件比较：
这里,为被动力，
相应的
1X
1 0
此时：
1X
为主动力，
变量，过大时 B处上凸
1X
过小时 B处下陷
1 0
时，基本体系中的变力 ＝超静定结构中常量1X
基本体系转化原来超静定结构的条件：
基本体系沿多余未知力,方向的位移1X 1?
与原结构相同,即,1 0
这个 转化条件是一个变形条件,
计算未知力需补充方程。称力法的基本方程。
讨论：线性变形体系根据叠加原理,1 1 1 1 0p
因为 是由 (未知力 )引起的位移，
11? 1X
且 与 成正比。1X11?
设,11 11 1X
若,1 1X? 则
11 1 1 1 1X
所以
1 1 1 1 0pX
<1>一次超静定的计算分析
11 1,p
分别为基本体系（静定结构）的位移。
由上基本方程：
1 1 1 1 0pX
求 之前需计算
11 1,p1X
上一章，我们已学过求解静定结构的位移法。
实际载荷：
21
2pM qx? 虚拟单位载荷,P＝ 1
MX
24
1
1 1 3()
3 2 4 8
p
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虚拟力：在产生位移方向加单位载荷
23
11
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2 3 3
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34
1 038
l qlX
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代公式：
1
3
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<3>利用平衡关系，可以分别求出：
,,A B AX X M
用图乘法计算位移。求 时应为 图乘
11? 1M 1M
图,2 2 3
1
11
12
2 3 3
M l l lds
E I E I E I
求 时应为 图乘1M
图，
24
1
1
1 1 3()
3 2 4 8
p
p
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1p? pM
把得到的 和 代入基本方程
11? 1p? 1 1 1 1 0pX
4
1
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11
() 3
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ql
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EI
说明：
求出后，其余的反力、内力均为静力问题，
计算略。
绘制弯矩图，可利用已绘出的 和 图叠加。
即，
将 图的竖标乘以 倍，再与 图的对应竖标相加。
223
( ) ( )8 2 8A q l q l q lMl 上侧受拉
11 0pM M X M
1M 1X pM
1M pM
1X1M pM
首先求出多余未知力，然后由平衡条件即可计算其余反力，内力的方法，称为 力法 。
整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的，
超静定结构计算 静定结构计算例,如图三次超静定结构，用力法分析时，需去掉三个多余联系。
设去掉固定支座 A，得到基本结构，
相应的多余未知力,和代替去掉的联系的作用。且：
1
2
3
0
0
0
1X 2X 3X
设 表示基本结构上多余力 的作用点沿其作用方向在 单独作用时所产生的位移。
设 表示基本结构上多余力 的作用点沿其作用方向在 单独作用时所产生的位移。
ij? iX
1jX?
表示基本结构上多余力 的作用点沿其作用方向在载荷单独作用时所产生的位移。
ip? iX
ii? iX
1iX?
本题：
方向的位移分别为,和
1X 1 1 1 2 1 3、、
方向的位移分别为,和
2X 2 1 2 2 2 3、、
方向的位移分别为,和
3X 3 1 3 2 3 3、、
1p?
2p?
3p?
根据叠加原理：
1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1
2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2
3 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3
0
0
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p
p
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X X X
X X X
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＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋
求解方程组得到多余未知力,,
1X 2X 3X
若结构是 n次超静定结构，则可建立 n个求解多余未知力的方程。当且当原结构各多余未知力作用处的位移为零时。
1 1 1 1 2 2 1 1
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0
........................................,................
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＋ ＋.,,+
＋ ＋.,,+
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前式为 n次超静定结构的力法基本方程。
物理意义：基本结构在全部多余未知力和载荷共同作用下，在去掉多余联系处各多余未知力方向的位移，应与原结构相应的位移相等。
2 2 2
i i i
ii
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其中：
i j i j i j
i j j i
M M N N k Q Qd s d s d s
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M M N N k Q Qd s d s d s
E I E A G A
显然，对不同具体结构，所需计算的项是不同的。
系数和自由项求出后，将它们代入典型方程，求各多余未知力。然后由平衡条件即可求出反力和内力。
显然，结构的刚度越小这些位移就越大，因此这些系数又称为柔度系数；
力法典型方程是表示位移条件，因此称之为结构的柔度方程；力法亦称柔度法。
例：如图为一二次超静定刚架，去掉铰支座 B，换之为两个多余约束,和得到基本体系，
1X 2X
因为原结构 B点的水平和竖向位移为零的条件，
建立力法数值的典型方程为：
计算系数矩阵和自由项时，对于刚架通常可忽略轴力和剪力的影响。
因此，可分别绘出基本结构在多余未知力和载荷作用下的弯矩。
1 1X?
2 1X?
多余未知力
1 1X?
的弯矩图
1M
多余未知力
2 1X?
的弯矩图
2M
载荷 P的弯矩图将所得到的结果代入典型方程
3 3 3
12
1 1 1
3 3 3
12
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5
0
6 4 9 6
5
0
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X X P
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整理得：
12
12
1 1 5
0
6 4 9 6
1 5 1
0
4 6 1 6
X X P
X X P
解得：
1
2
4
11
3
88
XP
XP
绘制弯矩图，可利用已绘出的 和 图叠加。
即，
将 图的竖标乘以 倍，
将 图的竖标乘以 倍，
再与 图的对应竖标相加。
1 1 2 2 0pM M X M X M
1M 1X
pM
1M pM2M
2M 2X
由以上可以看出：典型方程中每个系数和自由项均含有 EI1，可以消去。 在载荷作用下，超静定结构的内力只与各杆的刚度相对值有关，而与其刚度相对值有关，而与其刚度绝对值无关。对于同一材料组成的结构，内力也与材料性质 E无关。
多余未知力求得后，其余反力、内力的计算为静定问题，弯矩图的叠加由下式得到：
1 1 2 2 0pM M X M X M
如,AC杆的 A端弯矩：
1
4 3 1 5( ) ( )
1 1 8 8 2 8 8AC
PaM a P a P P a 外侧受拉注意：对于同一超静定结构，可按不同方式去掉多余联系，得到不同基本结构。
例如：
不能拆成几何可变体或瞬变体系拆去 B端横向约束和 A端的反力偶拆去 C端刚结，换为铰结，相对于在 C处拆去一对反力偶,…
归纳力矩算法：
确定超静定的次数，去掉多余约束。得到一个静定基本结构。以多余未知力代替多余约束的作用。
根据基本结构在多余未知力和载荷共同作用，在去掉的约束处产生的位移应与原结构各相应位移相等的条件，建立力法的典型方程。
作出基本结构的各单位内力图，计算典型方程中的系数和自由项。
解典型方程，解出各多余未知力。
按分析静定结构的方法，由平衡条件或叠加法解得最终内力解：本题为一个三次超静定结构。
由于结构载荷对称性，故可只取四分之一进行分析。
如图，仅为一次超静定。
基本结构如图 (c),
多余未知力为弯矩 。
1X
取极坐标系，单位弯矩和载荷弯矩分别为：
1 1M?
sin2p PRM
