Ch5-21
§ 5.2 中心极限定理定理一林德伯格 -列维中心极限定理
[ 独立同分布的中心极限定理 ]
定理二棣莫弗 -拉普拉斯中心极限定理
[ 二项分布以正态分布为极限分布 ]
(Lindberg-levi)
(De Moivre-Laplace)
Ch5-22
独立同分布的中心极限定理设随机变量序列,,,,21 nXXX
独立同一分布,且有期望和方差：
,2,1,0)(,)( 2 kXDXE kk
则对于任意实数 x,?
x
t
n
k
k
n
dtex
n
nX
P 21
2
2
1
lim
定理 1
)( x
Ch5-23
注则 Y n 为?
n
k
kX
1
的标准化随机变量,
)(lim xxYP nn
即 n 足够大时,Y n 的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数
n
nX
Y
n
k
k
n
1
记
)1,0(~ NY n近似?
n
k
kX
1
nYn n ),( 2 nnN近似服从
Ch5-24
中心极限定理的意义在第二章曾讲过有许多随机现象服从正态分布若联系于此随机现象的随机变量为 X,
是由于许多彼次没有什么相依关系、对随机现象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作用的随机因素共同作用则它可被看成为许多相互独立的起微小作
k
kX用的因素 Xk的总和,而这个总和服从或近似服从正态分布,
(即这些因素的叠加 )的结果,
Ch5-25
对此现象还可举个有趣的例子 ——
高尔顿钉板试验 —— 加以说明,
3? 0 3
),0( nN
n — 钉子层数
Ch5-26
德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理
（ DeMoivre-Laplace ）
设 Y n ~ B( n,p),0 < p < 1,n = 1,2,…
则对任一实数 x,有?
x tn
n
dtex
pnp
npYP 2
2
2
1
)1(
lim
即对任意的 a < b,
b
a
t
n
n
dteb
pnp
npYaP 2
2
2
1
)1(
lim
Y n ~ N (np,np(1-p)) (近似 )
定理 2
Ch5-27
例 1 炮火轰击敌方防御工事 100 次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为 2,均方差为 1.5,若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求 100 次轰击
(1) 至少命中 180发炮弹的概率 ;
(2) 命中的炮弹数不到 200发的概率,
Ch5-30
例 2 售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为 1/3,令 X 是出售了 100份报时过路人的数目，求
P (280? X? 320).
解 令 Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出第 i 份报纸时的过路人数,i = 1,2,…,100
,2,1,1)( 3/11 kppkXP pki
(几何分布 ) 61)(,31)(
3/1
2
3/1
p
i
p
i p
pXD
p
XE
Ch5-31?
10 0
1k
kXX 1 0 021,,,XXX?相互独立,
60 0)(,30 0)( XDXE
)()600,300(~ 近似NX
600
300280
600
300320)320280(XP
1
6 0 0
202?
18165.02 5878.0?
由独立同分布中心极限定理,有
Ch5-32例 3 检验员逐个检查某产品,每查一个需用 10秒钟,但有的产品需重复检查一次，
再用去 10秒钟,若产品需重复检查的概率为 0.5,求检验员在 8 小时内检查的产品多于 1900个的概率,
解 若在 8 小时内检查的产品多于 1900个,
即检查 1900个产品所用的时间小于 8 小时,
设 X 为检查 1900 个产品所用的时间 (秒 )
设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间
(单位：秒 ),k = 1,2,…,1900
Ch5-33
Xk
P
10 20
0.5 0.5
25)(,15)( kk XDXE?
1900
1k
kXX 1 9 0 021,,,XXX?相互独立同分布,
4 7 5 0 0251 9 0 0)(
2 8 5 0 0151 9 0 0)(
XD
XE
)47500,28500(~ NX
近似
Ch5-34
)2 8 8 0 01 9 0 0 0(
)83 6 0 01 9 0 010(
Xp
XP
5 8 9.433 7 6.1
9162.0?
4 7 5 0 0
2 8 5 0 01 9 0 0 0
4 7 5 0 0
2 8 5 0 02 8 8 0 0
Ch5-35例 4 某车间有 200台车床，每台独立工作，
开工率为 0.6,开工时每台耗电量为 r 千瓦,
问供 电所至少要供给这个车间多少电力,
才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？
解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力，
X 为开工的车床数,则 X ~ B(200,0.6),
X ~ N (120,48) (近似 )
由 德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理,有
Ch5-36
48
1200
48
120/
)0(
ra
arXP
0
)32.17(
48
1 2 0/ ra
问题转化为求 a,使
%9.99)0( arXP
反查标准正态函数分布表，得
%9.9909.3
Ch5-37
令
09.3
48
1 2 0
r
a
解得
r
ra
1 4 1
)1 2 04809.3(
(千瓦 )
Ch5-38
Ch5-39
例 5 设有一批种子，其中良种占 1/6,
试估计在任选的 6000粒种子中，良种比例与 1/6 比较上下不超过 1%的概率,
解 设 X 表示 6000粒种子中的良种数,
X ~ B( 6000,1/6 )
6
5 0 0 0,1 0 0 0~ NX
近似由德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理,
则有
Ch5-40
65 0 0 0
1 0 0 09 4 0
65 0 0 0
1 0 0 01 0 6 0
65 0 0 0
60
65 0 0 0
60
1
65 0 0 0
60
2
9624.0?
01.0
6
1
6000
XP
601000 XP
Ch5-41比较几个近似计算的结果中心极限定理 9 6 2 4.001.06
1
6 0 0 0
XP
二项分布 (精确结果 ) 9 5 9 0.001.06
1
6 0 0 0
XP
Poisson 分布 9 3 7 9.001.06
1
6 0 0 0
XP
Chebyshev 不等式 7 6 8 5.001.06
1
6 0 0 0
XP
Ch5-42
作业 P.186 习题五
8 10
12 15
Ch5-43
设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是个相互独立且均值为 0,方差为
2 = 2的随机变量 Yn,并满足
)1(1 nYXX nnn
其中 Xn是第 n天该商品的价格,如果今天的价格为 100，求 18天后该商品的价格在 96 与 104 之间的概率,
*补充作业
Ch5-44
解 设 表示今天该商品的价格,为 18
18X0X
天后该商品的价格,则
.4 9 4.017 4 7.02
18
1
0181716181718
i
iYXYYXYXX
)
36
4
36
1
36
4( 18
1
i
iYP
)44()10496(
18
1
18
i
iYPXP
得
1)3/2(2)3/2()3/2(
Ch5-45
一本书有 1 000 000 个印刷符号,
排版时每个符号被排错的概率为千分之一,校对时,每个排版错误被改正的概率为 0.99,求在校对后错误不多于
15 个的概率,
第 12周 问 题
§ 5.2 中心极限定理定理一林德伯格 -列维中心极限定理
[ 独立同分布的中心极限定理 ]
定理二棣莫弗 -拉普拉斯中心极限定理
[ 二项分布以正态分布为极限分布 ]
(Lindberg-levi)
(De Moivre-Laplace)
Ch5-22
独立同分布的中心极限定理设随机变量序列,,,,21 nXXX
独立同一分布,且有期望和方差：
,2,1,0)(,)( 2 kXDXE kk
则对于任意实数 x,?
x
t
n
k
k
n
dtex
n
nX
P 21
2
2
1
lim
定理 1
)( x
Ch5-23
注则 Y n 为?
n
k
kX
1
的标准化随机变量,
)(lim xxYP nn
即 n 足够大时,Y n 的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数
n
nX
Y
n
k
k
n
1
记
)1,0(~ NY n近似?
n
k
kX
1
nYn n ),( 2 nnN近似服从
Ch5-24
中心极限定理的意义在第二章曾讲过有许多随机现象服从正态分布若联系于此随机现象的随机变量为 X,
是由于许多彼次没有什么相依关系、对随机现象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作用的随机因素共同作用则它可被看成为许多相互独立的起微小作
k
kX用的因素 Xk的总和,而这个总和服从或近似服从正态分布,
(即这些因素的叠加 )的结果,
Ch5-25
对此现象还可举个有趣的例子 ——
高尔顿钉板试验 —— 加以说明,
3? 0 3
),0( nN
n — 钉子层数
Ch5-26
德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理
（ DeMoivre-Laplace ）
设 Y n ~ B( n,p),0 < p < 1,n = 1,2,…
则对任一实数 x,有?
x tn
n
dtex
pnp
npYP 2
2
2
1
)1(
lim
即对任意的 a < b,
b
a
t
n
n
dteb
pnp
npYaP 2
2
2
1
)1(
lim
Y n ~ N (np,np(1-p)) (近似 )
定理 2
Ch5-27
例 1 炮火轰击敌方防御工事 100 次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为 2,均方差为 1.5,若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求 100 次轰击
(1) 至少命中 180发炮弹的概率 ;
(2) 命中的炮弹数不到 200发的概率,
Ch5-30
例 2 售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为 1/3,令 X 是出售了 100份报时过路人的数目，求
P (280? X? 320).
解 令 Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出第 i 份报纸时的过路人数,i = 1,2,…,100
,2,1,1)( 3/11 kppkXP pki
(几何分布 ) 61)(,31)(
3/1
2
3/1
p
i
p
i p
pXD
p
XE
Ch5-31?
10 0
1k
kXX 1 0 021,,,XXX?相互独立,
60 0)(,30 0)( XDXE
)()600,300(~ 近似NX
600
300280
600
300320)320280(XP
1
6 0 0
202?
18165.02 5878.0?
由独立同分布中心极限定理,有
Ch5-32例 3 检验员逐个检查某产品,每查一个需用 10秒钟,但有的产品需重复检查一次，
再用去 10秒钟,若产品需重复检查的概率为 0.5,求检验员在 8 小时内检查的产品多于 1900个的概率,
解 若在 8 小时内检查的产品多于 1900个,
即检查 1900个产品所用的时间小于 8 小时,
设 X 为检查 1900 个产品所用的时间 (秒 )
设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间
(单位：秒 ),k = 1,2,…,1900
Ch5-33
Xk
P
10 20
0.5 0.5
25)(,15)( kk XDXE?
1900
1k
kXX 1 9 0 021,,,XXX?相互独立同分布,
4 7 5 0 0251 9 0 0)(
2 8 5 0 0151 9 0 0)(
XD
XE
)47500,28500(~ NX
近似
Ch5-34
)2 8 8 0 01 9 0 0 0(
)83 6 0 01 9 0 010(
Xp
XP
5 8 9.433 7 6.1
9162.0?
4 7 5 0 0
2 8 5 0 01 9 0 0 0
4 7 5 0 0
2 8 5 0 02 8 8 0 0
Ch5-35例 4 某车间有 200台车床，每台独立工作，
开工率为 0.6,开工时每台耗电量为 r 千瓦,
问供 电所至少要供给这个车间多少电力,
才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？
解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力，
X 为开工的车床数,则 X ~ B(200,0.6),
X ~ N (120,48) (近似 )
由 德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理,有
Ch5-36
48
1200
48
120/
)0(
ra
arXP
0
)32.17(
48
1 2 0/ ra
问题转化为求 a,使
%9.99)0( arXP
反查标准正态函数分布表，得
%9.9909.3
Ch5-37
令
09.3
48
1 2 0
r
a
解得
r
ra
1 4 1
)1 2 04809.3(
(千瓦 )
Ch5-38
Ch5-39
例 5 设有一批种子，其中良种占 1/6,
试估计在任选的 6000粒种子中，良种比例与 1/6 比较上下不超过 1%的概率,
解 设 X 表示 6000粒种子中的良种数,
X ~ B( 6000,1/6 )
6
5 0 0 0,1 0 0 0~ NX
近似由德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理,
则有
Ch5-40
65 0 0 0
1 0 0 09 4 0
65 0 0 0
1 0 0 01 0 6 0
65 0 0 0
60
65 0 0 0
60
1
65 0 0 0
60
2
9624.0?
01.0
6
1
6000
XP
601000 XP
Ch5-41比较几个近似计算的结果中心极限定理 9 6 2 4.001.06
1
6 0 0 0
XP
二项分布 (精确结果 ) 9 5 9 0.001.06
1
6 0 0 0
XP
Poisson 分布 9 3 7 9.001.06
1
6 0 0 0
XP
Chebyshev 不等式 7 6 8 5.001.06
1
6 0 0 0
XP
Ch5-42
作业 P.186 习题五
8 10
12 15
Ch5-43
设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是个相互独立且均值为 0,方差为
2 = 2的随机变量 Yn,并满足
)1(1 nYXX nnn
其中 Xn是第 n天该商品的价格,如果今天的价格为 100，求 18天后该商品的价格在 96 与 104 之间的概率,
*补充作业
Ch5-44
解 设 表示今天该商品的价格,为 18
18X0X
天后该商品的价格,则
.4 9 4.017 4 7.02
18
1
0181716181718
i
iYXYYXYXX
)
36
4
36
1
36
4( 18
1
i
iYP
)44()10496(
18
1
18
i
iYPXP
得
1)3/2(2)3/2()3/2(
Ch5-45
一本书有 1 000 000 个印刷符号,
排版时每个符号被排错的概率为千分之一,校对时,每个排版错误被改正的概率为 0.99,求在校对后错误不多于
15 个的概率,
第 12周 问 题
