确定统计量的分布是数理统计的基本问题之一正态总体是最常见的总体,本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言,
ch6-45
(1) 正态分布则
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii aaNXa
1
22
11
,~
特别地,
n
NX
n
X
n
i
i
2
1
,~1则统计中常用分布
nXXX,,,21? ),(~ 2NX i
若 i.i.d.~
若 nXXX,,,21? ),( 2iiN~
ch6-46
标准正态分布的? 分位数分布的上? 分位数,
若,则称 z?为标准正态 zXP
定义正态分布的双侧? 分位数,
若,则称 为标准
2zXP 2?Z
ch6-47标准正态分布的? 分位数图形
575.2
96.1
645.1
0 0 5.0
0 2 5.0
05.0
z
z
z
-2 -1 1 2
0.1
0.2
0.3
0.4
z
常用数字
-2 -1 1 2
0.1
0.2
0.3
0.4
/2
-z?/2=z1-?/2
/2
z?/2?-z?/2?
zXP
2zXP
ch6-48
(2) )(2 n? 分布 ( n为自由度 )
定义 设 nXXX,,,21? 相互独立,
且都服从标准正态分布 N (0,1),则
n
i
i nX
1
22 )(~?
n = 1 时,其密度函数 为
0,0
0,
2
1
)(
22
1
x
xex
xf
x
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
ch6-49
n = 2 时,其密度函数 为
0,0
0,
2
1
)(
2
x
xe
xf
x
为参数为 1/2的指数分布,
2 4 6 8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
ch6-50
22
2
1
2
1
,0
2 ( )()
0,0
xn
n
n
e x x
fx
x
一般其中,
0
1)( dtetx tx?
在 x > 0时收敛，称为?函数，具有性质
)(!)1(
)2/1(,1)1(),()1(
Nnnn
xxx
)(2 n? 的密度函数 为自由度为 n 的
ch6-51
5 10 15 20 25
0.1
0.2
0.3
0.4
n=2
n = 3
n = 5
n = 10
n = 15
ch6-52
nnDnnE 2)(,)(1 22
例如 05.03 0 7.18)10(
3 0 7.18)10(
2
2
05.0
P
)(
,),(),(2
21
2
21
212
2
21
2
1
nnXX
XXnXnX
＋～＋则相互独立，若
正态分布时, )(3 2 nn
分位数有表可查分布的上 )(4 2 n?
分布的性质)(2 n?
20.05(10)? 5 10 15 20
0,0 2
0,0 4
0,0 6
0,0 8
0,1
n = 10
ch6-53
nXXX,,,21? 相互独立,
证 1?设?
n
i
ii niNXXn
1
22,,2,1)1,0(~)(
则 1)(,1)(,0)( 2
iii XEXDXE
nXEnE n
i
i
1
22 )(?
3d
2
1)(
2
2
44
xexXE x
i?
2)()()( 2242 iii XEXEXD
nXDnD
n
i
i 2)(
1
22
ch6-54(3) t 分布 (Student 分布 )
定义则称 T 服从自由度为 n 的 T 分布,
其 密度函数 为
n
Y
X
T?
t
n
t
n
n
n
tf
n
2
1
2
1
2
2
1
)(
Γ
Γ
),(~,)1,0(~ 2 nYNX?X,Y相互独立,设
ch6-55
t 分布的图形 (红色的是标准正态分布 )
n = 1
n=20
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
ch6-56
t 分布的性质
1° f n(t)是偶函数,
2
2
2
1)()(,t
n ettfn
2° T 分布的上?分位数 t?与双测?
分位数 t?/2 均 有表可查,
ch6-57
-3 -2 -1 1 2 3
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
n = 10
1tt
tTP
0,0 51,8 1 2 5 0,0 5 ( 1 0 ) 1,8 1 2 5P T t
t?-t
1,8 1 2 5 0,0 5,1,8 1 2 5 0,9 5P T P T
8 1 2 5.1)10(95.0 t
ch6-58
2/
2/
2
)(
tTP
tTP
-3 -2 -1 1 2 3
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
t?/2-t?/2
2281.2)10(
05.02281.2
025.02281.2
025.0
t
TP
TP
/2?/2
ch6-59(4) F 分布则称 F 服从为 第一自由度 为 n,第二自由度 为 m 的 F 分布,
0,0
01
22
2
),,(
2
1
2
2
t
tt
m
n
t
m
n
m
Γ
n
Γ
mn
Γ
mntf
mn
n
n
其密度函数为定义 ),(~),(~ 22 mYnX X,Y 相互独立,设
mY
nXF
/
/?令
ch6-60
1 2 3 4 5 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1 2 3 4 5 6
0.2
0.4
0.6
0.8
m = 10,n = 4
m = 10,n = 10
m = 10,n = 15
m = 4,n =10
m = 10,n = 10
m = 15,n = 10
ch6-61F分布的性质
1 ~ (,),1 / ~ (,)F F n m F F m n若则
1 2 3 4 5 6
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
例如 19.5)5,4(05.0?F
),(
1),(
1 nmFmnF
事实上,
19.5
1
)5,4(
1
)4,5(
05.0
95.0 FF
故
)),((
:),(),(2
mnFFP
mnFmnF 有表可查分位数的上?
求?)4,5(
95.0?F
F?(n,m)
ch6-62
)),(( 1 mnFFP
),(
11
1 mnFF
P故 ),(~1 nmF
F
由于
),(
11
1
1 mnFF
P
1
),(
),(
1
1
nmF
mnF
因而
),(
11
1 mnFF
P
例 1 证明
),(
1
),(1
nmF
mnF
证
ch6-63
证
2XY?
221
( | ( ) |) ( ( ) )P X t n P X t n有例 2 ),1()]([ 2
1 2 nFnt
证明：
))(())(( 2122
22
ntYPntXP
),1()(21
2
nFnt即设令
n
n
n
n
G
)(
1
)1(
)(
2
2
2
2
),1(~ nF
2 ()
~ ( ),,~ ( 0,1 )nX T n X G G N
n
ch6-64抽 样分布的某些结论
(Ⅰ) 一个正态总体
)1(~)1( 2
2
1
2
2
nXXSn
n
i
i?
2
2)1(
Sn? 与 X
相互独立设 总体,样本为 ( )，
),(~
2
nNX
)1,0(~ N
n
X
)1(~?
nT
n
S
XS
n
X?
(1)
(2)
2~ (,)XN
ch6-65( II ) 两个正态总体相互独立 的简单随机样本,
n
i
i
n
i
i
XX
n
S
X
n
X
1
22
1
1
)(
1
1
1
令?
m
j
j
m
j
j
YY
m
S
Y
m
Y
1
22
2
1
)(
1
1
1
设
nXXX,,,21?
与
mYYY,,,21?
分别是来
),(~ 211NX自正态总体 ),(~ 222NY与 的
ch6-66
则 )1(~
)1()1(~)1( 2
2
2
2
22
2
1
2
1 mSmnSn?
)1,1(~
2
2
2
2
2
1
2
1
mnF
S
S
若
21
则
)1,1(~
2
2
2
1 mnF
S
S
(3)
ch6-67
则 ),(~1),(~1 2
2
1
2
1
1 m
NY
m
Y
n
NX
n
X
m
j
j
n
i
i
)1,0(~
)()(
22
21 N
mn
YX
),(~
22
21 mnNYX
相互独立 的简单随机样本,
设
nXXX,,,21?
与
mYYY,,,21?
分别是来
21~ (,)XN自正态总体 2
2~ (,)YN与 的
ch6-68
)1(~
)1(
)1(~
)1( 2
2
2
22
2
2
1 mSmnSn?
2
2
2
2
2
1 )1()1(
SmSn
)2(~ 2 mn?
YX?与 2
2
2
2
2
1 )1()1(
SmSn
相互独立
ch6-69
2
)1()1(
)()(
2
2
2
2
2
1
22
21
mn
SmSn
mn
YX
2
)1()1(11
)()(
2
2
2
1
21
mn
SmSn
mn
YX
)2(~ mnt
(4)
ch6-70
的概率不小于 90%,则样本容量至少取多少?
例 3设 ~ (7 2,1 0 0 )XN,为使样本均值大于 70
解 设样本容量为 n,则 )
1 0 0,72(~
nNX故 )70(1)70( XPXP
n
10
7270
1?
n2.0
令 9.02.0?n? 得 29.12.0?n
即 6025.41?n 所以取 42?n
ch6-71例 4 从正态总体
),(~ 2NX 中，抽取了
n = 20的样本
1 2 2 0(,,,)X X X
(1) 求
2
20
1
22 76.1
20
137.0
i
i XXP
(2) 求
2
20
1
22 76.1
20
137.0
i
iXP
解 (1)
)19(~119 220
1
2
22
2
i
i XX
S即
)1(~)1( 22
2
nSn?
ch6-72
2
20
1
22 76.1
20
137.0
i
i XXP
故
2.3514.7
20
1
2
2
i
i XXP?
2.3514.71
20
1
2
2
20
1
2
2
i
i
i
i XXPXXP
98.001.099.0查表
(P.386)
ch6-73
(2) )20(~ 220
1
2
i
iX
2
20
1
22 76.1
20
137.0
i
iXP故
2.354.7
20
1
2
i
iXP
2.354.7
20
1
220
1
2
i
i
i
i XPXP
97.002 5.099 5.0
ch6-74例 5 设 r.v,X 与 Y 相互独立,X ~ N(0,16),
Y ~ N(0,9),X1,X2,…,X9 与 Y1,Y2,…,Y16
分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本,求统计量 1 2 9
2 2 2
1 2 1 6
X X X
Z
Y Y Y
所服从的分布,
解 )169,0(~
921 NXXX?
)1,0(~)(
43
1
921 NXXX
ch6-75 16,,2,1,)1,0(~
3
1iNY
i
)16(~
3
1 2216
1
i
iY
16
3
1
43
1
16
1
2
921
i
i
Y
XXX?
)16(~ t
2
16
2
2
2
1
921
YYY
XXX
从而
ch6-77例 7 设
12(,,,)nX X X
是来自 N (?,? 2 )的简单随机样本,X 是样本均值,
,)(
1
1
1
22
1?
n
i
i XXnS,)(
1
1
22
2?
n
i
i XXnS
,)(11
1
22
3?
n
i
iXnS?,)(
1
1
22
4?
n
i
iXnS?
则服从自由度为 n - 1的 t 分布的随机变量为
1)A(
1
n
S
X? 1)B(
2
n
S
X?
n
S
X
3
)C( n
S
X
4
)D(
ch6-78
)1,0(~
/
N
n
X
)1(~)(1 2
1
2
2
nXX
n
i
i
1
)(
1
/
1
2
2
n
XX
n
X
n
i
i
)1(~?nt
n
i
i XX
Xnn
1
2
)(
)()1(?
故应选 (B)
解
ch6-79作业 P,202 习题六
9 10
补充作业其样本均值为?
n
i
iXnX
2
12
1
n
i
ini XXXY
1
2)2(求统计量
1,设 为从正态总体
X ~ N (?,? 2) 中抽取的简单随机样本
)2(,,,221?nXXX n?
的数学期望 E (Y ),)0( （转后页）
ch6-80
YX,2,是来自正态 总体 的容量为 n 的两个样本均值,且两样本相互独立,试确定 n,使两样本均值之差的绝对值超过 的概率大约为 0.01.
),( 2N
ch6-81
第十三周 问 题某水产养殖场两年前在人工湖中混养了黑,白两种鱼,现在需要对黑白鱼数目的比例进行估计,
提示,分别用矩法与极大似然估计法解决此问题,
如何估计湖中黑、白鱼的比例
ch6-45
(1) 正态分布则
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii aaNXa
1
22
11
,~
特别地,
n
NX
n
X
n
i
i
2
1
,~1则统计中常用分布
nXXX,,,21? ),(~ 2NX i
若 i.i.d.~
若 nXXX,,,21? ),( 2iiN~
ch6-46
标准正态分布的? 分位数分布的上? 分位数,
若,则称 z?为标准正态 zXP
定义正态分布的双侧? 分位数,
若,则称 为标准
2zXP 2?Z
ch6-47标准正态分布的? 分位数图形
575.2
96.1
645.1
0 0 5.0
0 2 5.0
05.0
z
z
z
-2 -1 1 2
0.1
0.2
0.3
0.4
z
常用数字
-2 -1 1 2
0.1
0.2
0.3
0.4
/2
-z?/2=z1-?/2
/2
z?/2?-z?/2?
zXP
2zXP
ch6-48
(2) )(2 n? 分布 ( n为自由度 )
定义 设 nXXX,,,21? 相互独立,
且都服从标准正态分布 N (0,1),则
n
i
i nX
1
22 )(~?
n = 1 时,其密度函数 为
0,0
0,
2
1
)(
22
1
x
xex
xf
x
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
ch6-49
n = 2 时,其密度函数 为
0,0
0,
2
1
)(
2
x
xe
xf
x
为参数为 1/2的指数分布,
2 4 6 8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
ch6-50
22
2
1
2
1
,0
2 ( )()
0,0
xn
n
n
e x x
fx
x
一般其中,
0
1)( dtetx tx?
在 x > 0时收敛，称为?函数，具有性质
)(!)1(
)2/1(,1)1(),()1(
Nnnn
xxx
)(2 n? 的密度函数 为自由度为 n 的
ch6-51
5 10 15 20 25
0.1
0.2
0.3
0.4
n=2
n = 3
n = 5
n = 10
n = 15
ch6-52
nnDnnE 2)(,)(1 22
例如 05.03 0 7.18)10(
3 0 7.18)10(
2
2
05.0
P
)(
,),(),(2
21
2
21
212
2
21
2
1
nnXX
XXnXnX
＋～＋则相互独立，若
正态分布时, )(3 2 nn
分位数有表可查分布的上 )(4 2 n?
分布的性质)(2 n?
20.05(10)? 5 10 15 20
0,0 2
0,0 4
0,0 6
0,0 8
0,1
n = 10
ch6-53
nXXX,,,21? 相互独立,
证 1?设?
n
i
ii niNXXn
1
22,,2,1)1,0(~)(
则 1)(,1)(,0)( 2
iii XEXDXE
nXEnE n
i
i
1
22 )(?
3d
2
1)(
2
2
44
xexXE x
i?
2)()()( 2242 iii XEXEXD
nXDnD
n
i
i 2)(
1
22
ch6-54(3) t 分布 (Student 分布 )
定义则称 T 服从自由度为 n 的 T 分布,
其 密度函数 为
n
Y
X
T?
t
n
t
n
n
n
tf
n
2
1
2
1
2
2
1
)(
Γ
Γ
),(~,)1,0(~ 2 nYNX?X,Y相互独立,设
ch6-55
t 分布的图形 (红色的是标准正态分布 )
n = 1
n=20
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
ch6-56
t 分布的性质
1° f n(t)是偶函数,
2
2
2
1)()(,t
n ettfn
2° T 分布的上?分位数 t?与双测?
分位数 t?/2 均 有表可查,
ch6-57
-3 -2 -1 1 2 3
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
n = 10
1tt
tTP
0,0 51,8 1 2 5 0,0 5 ( 1 0 ) 1,8 1 2 5P T t
t?-t
1,8 1 2 5 0,0 5,1,8 1 2 5 0,9 5P T P T
8 1 2 5.1)10(95.0 t
ch6-58
2/
2/
2
)(
tTP
tTP
-3 -2 -1 1 2 3
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
t?/2-t?/2
2281.2)10(
05.02281.2
025.02281.2
025.0
t
TP
TP
/2?/2
ch6-59(4) F 分布则称 F 服从为 第一自由度 为 n,第二自由度 为 m 的 F 分布,
0,0
01
22
2
),,(
2
1
2
2
t
tt
m
n
t
m
n
m
Γ
n
Γ
mn
Γ
mntf
mn
n
n
其密度函数为定义 ),(~),(~ 22 mYnX X,Y 相互独立,设
mY
nXF
/
/?令
ch6-60
1 2 3 4 5 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1 2 3 4 5 6
0.2
0.4
0.6
0.8
m = 10,n = 4
m = 10,n = 10
m = 10,n = 15
m = 4,n =10
m = 10,n = 10
m = 15,n = 10
ch6-61F分布的性质
1 ~ (,),1 / ~ (,)F F n m F F m n若则
1 2 3 4 5 6
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
例如 19.5)5,4(05.0?F
),(
1),(
1 nmFmnF
事实上,
19.5
1
)5,4(
1
)4,5(
05.0
95.0 FF
故
)),((
:),(),(2
mnFFP
mnFmnF 有表可查分位数的上?
求?)4,5(
95.0?F
F?(n,m)
ch6-62
)),(( 1 mnFFP
),(
11
1 mnFF
P故 ),(~1 nmF
F
由于
),(
11
1
1 mnFF
P
1
),(
),(
1
1
nmF
mnF
因而
),(
11
1 mnFF
P
例 1 证明
),(
1
),(1
nmF
mnF
证
ch6-63
证
2XY?
221
( | ( ) |) ( ( ) )P X t n P X t n有例 2 ),1()]([ 2
1 2 nFnt
证明：
))(())(( 2122
22
ntYPntXP
),1()(21
2
nFnt即设令
n
n
n
n
G
)(
1
)1(
)(
2
2
2
2
),1(~ nF
2 ()
~ ( ),,~ ( 0,1 )nX T n X G G N
n
ch6-64抽 样分布的某些结论
(Ⅰ) 一个正态总体
)1(~)1( 2
2
1
2
2
nXXSn
n
i
i?
2
2)1(
Sn? 与 X
相互独立设 总体,样本为 ( )，
),(~
2
nNX
)1,0(~ N
n
X
)1(~?
nT
n
S
XS
n
X?
(1)
(2)
2~ (,)XN
ch6-65( II ) 两个正态总体相互独立 的简单随机样本,
n
i
i
n
i
i
XX
n
S
X
n
X
1
22
1
1
)(
1
1
1
令?
m
j
j
m
j
j
YY
m
S
Y
m
Y
1
22
2
1
)(
1
1
1
设
nXXX,,,21?
与
mYYY,,,21?
分别是来
),(~ 211NX自正态总体 ),(~ 222NY与 的
ch6-66
则 )1(~
)1()1(~)1( 2
2
2
2
22
2
1
2
1 mSmnSn?
)1,1(~
2
2
2
2
2
1
2
1
mnF
S
S
若
21
则
)1,1(~
2
2
2
1 mnF
S
S
(3)
ch6-67
则 ),(~1),(~1 2
2
1
2
1
1 m
NY
m
Y
n
NX
n
X
m
j
j
n
i
i
)1,0(~
)()(
22
21 N
mn
YX
),(~
22
21 mnNYX
相互独立 的简单随机样本,
设
nXXX,,,21?
与
mYYY,,,21?
分别是来
21~ (,)XN自正态总体 2
2~ (,)YN与 的
ch6-68
)1(~
)1(
)1(~
)1( 2
2
2
22
2
2
1 mSmnSn?
2
2
2
2
2
1 )1()1(
SmSn
)2(~ 2 mn?
YX?与 2
2
2
2
2
1 )1()1(
SmSn
相互独立
ch6-69
2
)1()1(
)()(
2
2
2
2
2
1
22
21
mn
SmSn
mn
YX
2
)1()1(11
)()(
2
2
2
1
21
mn
SmSn
mn
YX
)2(~ mnt
(4)
ch6-70
的概率不小于 90%,则样本容量至少取多少?
例 3设 ~ (7 2,1 0 0 )XN,为使样本均值大于 70
解 设样本容量为 n,则 )
1 0 0,72(~
nNX故 )70(1)70( XPXP
n
10
7270
1?
n2.0
令 9.02.0?n? 得 29.12.0?n
即 6025.41?n 所以取 42?n
ch6-71例 4 从正态总体
),(~ 2NX 中，抽取了
n = 20的样本
1 2 2 0(,,,)X X X
(1) 求
2
20
1
22 76.1
20
137.0
i
i XXP
(2) 求
2
20
1
22 76.1
20
137.0
i
iXP
解 (1)
)19(~119 220
1
2
22
2
i
i XX
S即
)1(~)1( 22
2
nSn?
ch6-72
2
20
1
22 76.1
20
137.0
i
i XXP
故
2.3514.7
20
1
2
2
i
i XXP?
2.3514.71
20
1
2
2
20
1
2
2
i
i
i
i XXPXXP
98.001.099.0查表
(P.386)
ch6-73
(2) )20(~ 220
1
2
i
iX
2
20
1
22 76.1
20
137.0
i
iXP故
2.354.7
20
1
2
i
iXP
2.354.7
20
1
220
1
2
i
i
i
i XPXP
97.002 5.099 5.0
ch6-74例 5 设 r.v,X 与 Y 相互独立,X ~ N(0,16),
Y ~ N(0,9),X1,X2,…,X9 与 Y1,Y2,…,Y16
分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本,求统计量 1 2 9
2 2 2
1 2 1 6
X X X
Z
Y Y Y
所服从的分布,
解 )169,0(~
921 NXXX?
)1,0(~)(
43
1
921 NXXX
ch6-75 16,,2,1,)1,0(~
3
1iNY
i
)16(~
3
1 2216
1
i
iY
16
3
1
43
1
16
1
2
921
i
i
Y
XXX?
)16(~ t
2
16
2
2
2
1
921
YYY
XXX
从而
ch6-77例 7 设
12(,,,)nX X X
是来自 N (?,? 2 )的简单随机样本,X 是样本均值,
,)(
1
1
1
22
1?
n
i
i XXnS,)(
1
1
22
2?
n
i
i XXnS
,)(11
1
22
3?
n
i
iXnS?,)(
1
1
22
4?
n
i
iXnS?
则服从自由度为 n - 1的 t 分布的随机变量为
1)A(
1
n
S
X? 1)B(
2
n
S
X?
n
S
X
3
)C( n
S
X
4
)D(
ch6-78
)1,0(~
/
N
n
X
)1(~)(1 2
1
2
2
nXX
n
i
i
1
)(
1
/
1
2
2
n
XX
n
X
n
i
i
)1(~?nt
n
i
i XX
Xnn
1
2
)(
)()1(?
故应选 (B)
解
ch6-79作业 P,202 习题六
9 10
补充作业其样本均值为?
n
i
iXnX
2
12
1
n
i
ini XXXY
1
2)2(求统计量
1,设 为从正态总体
X ~ N (?,? 2) 中抽取的简单随机样本
)2(,,,221?nXXX n?
的数学期望 E (Y ),)0( （转后页）
ch6-80
YX,2,是来自正态 总体 的容量为 n 的两个样本均值,且两样本相互独立,试确定 n,使两样本均值之差的绝对值超过 的概率大约为 0.01.
),( 2N
ch6-81
第十三周 问 题某水产养殖场两年前在人工湖中混养了黑,白两种鱼,现在需要对黑白鱼数目的比例进行估计,
提示,分别用矩法与极大似然估计法解决此问题,
如何估计湖中黑、白鱼的比例
