第七章习题课极大似然估计具有不变性,矩估计问题 1
是否也具有？
否,答例如 X 服从反射正态分布,其 p.d.f.为
00
0
12
)(
2
2
2
x
xe
xf
x

现用矩法分别对 和 作估计? 2?
设（ X1,X2,…,Xn ） 为总体的样本
7-37
2)/21()(XD
由矩法，令

n
i
iXnXEXDXE
1
2222 1)()()(?
XXE/2)(
n
i
iXn
1
22 1?
X2/
22 )?(
所以 矩估计 不具有不变性分别得 矩估计量为
,/2)(XE,)( 22XE
问题 2 似然方程的解都是极大似然估计吗？
不尽然,答例如 X 服从柯西 (Cauchy)分布,其 p.d.f.为
])(1[
1);(
2 xxf
x
1?n当 时，似然函数为
])(1[
1)(
2
1

x
L
7-38
])(1l n [ln)(ln 21 xL
2?n当 时，似然函数为此时，对数似然方程为
0
)(1
)(2ln
2
1
1?


x
x
d
Ld
1? X
故 是 极大似然估计,?
])(1][)(1[
1)(
2
2
2
1
2 xxL
(1)
7-38
要使 达到最大，只要 (1)的分母最小)(?L
令 ])(1][)(1[)( 2
2
2
1 xxf
由 )2(2)( 21 xxf
0]1)([ 21212 xxxx
解得三个解,2/)(
211 XX
2/]4)()[( 221213,2 XXXX?
(2)
通过 的正负可判得,)(?f
7-38
而无论发生何种情况,似然方程 (2)
极大似然估计；
当 为 的极大似然估计时，
1
反之,当 为 的极大似
3,2
然估计时,不是 的极大似然估计,
1
3,2
不是 的的三个解不全是 的极大似然估计,?
7-16 ~ (,)X B n?
令
2 2 2? //X n X n
()X E X n
22[ ( ) ( ) ] /D X E X n
2 2 2 2 2( ) ( / ) ( ) /E E X n E X n
2 2 2/.Xn? 的无偏估计量为解一
./])(/)1([ 222 nnnn
？
~ (,)X B n?令
解二
XnXE i)(

n
i
ii XEXDn
1
2 )]()([1



n
i
i
n
i
i XEnXnE
1
2
1
2 )(11
2)()1( nn
2)1( nnX
)1(
)(
2
`1
2
2
nn
XX
n
i
ii
样本 容量为何与分布的参数 n相同？
为 的无偏估计,2?
正确解 ~ (,)X B n? 令
,)( XnXE i

m
i
ii XEXDm
1
2 )]()([1



m
i
i
m
i
i XEmXmE
1
2
1
2 )(11
2)()1( nn
2)1( nnX
)1(
)(
`1
2
2
nmn
XX
m
i
ii
为 的无偏估计,2?
7-18
0)(
1
1
lim 2
1
2?




n
i
i
n n
P


22lim SP
n
2S 2?是 的一致估计,
死套定义等于没证！
,)1(~
)1( 2
2
2
2 nSn?
)1(2)( 2 nD?
.
1
2
)1(
)1(2
1
)(
4
2
4
2
2
2


nn
n
n
DSD

证明预备工作证一 由切贝雪夫不等式22 )(SE
)(0 22 SP
))(( 22 SESP
)(0
)1(
2)(
2
4
2
2

n
n
SD
由极限的夹逼定理
0lim 22

SP
n
2S 2?是 的一致估计,
证二 22 )(SE?
2S 2?是 的无偏估计,
)(lim 2SD
n
,0
1
2
lim
4
nn
由教材 P,219 例 14 结论得证,
7-20证,)(XE
22
2)(
2
1
),(?


x
exf
22 2/)(ln2lnln xf
X?是 的无偏估计,
24 2 1)(2ln ][ Xf EE
)(/]/[1)( 22ln0 XDnnED f
X?是 的有效估计量,
补充题 设总体 X ~ N (?,? 2),
),,,( 21 nXXX? 为 X 的一个样本,常数 k 取何值可使?
n
i
i XXk
1
|| 为?的无偏估计量解 1 )||(
1
n
i
i XXkE )||(
1

n
i
i XXEk
2/1
1
2 )||(?

n
i
i XXEk
2/12
1
2 )]([ XnXEk
n
i
i
？
])()([{ 2ii XEXDnk



n
i
i
n
i
i XEXD
1
2/12
1
)]}()([
2/12222 ])([ nnk
2/12 ])1[( nk 1nk
1/1 nk
2/12
1
2 )]()([ XnEXEk
n
i
i
？
？
解 2总体方差的无偏估计量为
n
i
i XXn
1
22 ||
1
1?
)||(
1
n
i
i XXkE )1( nk
2
1
2 )1(||
nXX
n
i
i
22
1
2 )1(])1[(||
nnEXXE
n
i
i
1/1 nk
？
？
解 3
2
1
2 )(
1
1? XX
n
n
i
i
总体方差的无偏估计量为

n
i
i XXn
1
||
1
1?
1
1

n
k
？



n
i
i
n
i
i XXnXXEk
1
22
1
2
1
1
)]||([
1
12

n
k
？
？
解 4 据题意又? 2的无偏估计量为

)||(
1
n
i
i XXkE
22
1
2 )]||([
n
i
i XXEk
n
i
i XXnS
1
22 ||
1
1
1/1 nk
解 5,0)( XXE
i nXXD i /)(
22
)/,0(~ 22 nNXX i
dze
n
n
zXXE n
n
z
i
2
2
1
2
1
2
1
|||)(|




n
n 1
2
2?
？
11
| | | |
nn
ii
ii
E k X X k E X X





故
n
n
kn
1
2
2?
)1(2?
nn
k
令?
解
nii XXnXXnXX )1(
1
21
,0)( XXE i 21)(?nnXXD i
)/,0(~ 22 nNXX i
dze
n
n
zXXE
n
n
z
i
2
2
1
2
1
2
1
|||)(|




dze
n
n
z n
n
z
2
2
1
2
0 1
2
1
2



n
n 1
2
2
11
| | | |
nn
ii
ii
E k X X k E X X





故
n
nkn 1
2
2
)1(2?
nn
k
令?
解二 令 XXZ
i
以下同解法一,
),(~ 2NX i )/,(~ 2 nNX
,0)(ZE
),(2)()()( XXC o vXDXDZD ii
),()/2(/
1
22?

n
i
ii XXC o vnn
222 )/2(/ nn,/22 n
)/,0(~ 22 nNZ