题一在一次乒乓球决赛中设立奖金 1千元,比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金,设甲,乙二人的球技相等,现已打了
3盘,甲两胜一负,由于某种特殊的原因必须中止比赛,问这 1000元应如何分配才算公平?
第 1周问 题方案一,平均分,这对甲不公平,
方案二,全部归甲,这对乙不公平,
解没有同学提出上述两个方案,
方案三,按已胜盘数的比例分配,
3/2即甲得 (667元 ),乙得 (333元 ),3/1
方案四 一同学提出,在我未学 概率 前,我认为甲应得 800元乙应得
200元,理由如下：
目前胜率,甲 2/3 乙 1/3
甲再胜一盘几率,2/3
乙连胜二盘几率,.9/1)3/1( 2?
方案五 甲得 888.89元,乙得 111.11元,
理由如下：
①甲胜
②乙胜,甲再胜
③乙胜,乙再胜
甲赢 3/2)(?AP
甲赢
9/2)3/2)(3/1()(BP
乙赢
9/1)3/1)(3/1()(CP
18
9/1
9/23/2
)(
)(
：
乙赢甲赢
P
P
方案三看来似乎合理,双方可接受,
但仔细分析,这样分未必合理,
理由如下,设想比赛继续进行下去,
要使甲,乙有一个胜 3 盘,只要再赛两盘即可,共有以下四种情况,
甲甲 甲乙 乙甲 乙乙甲得 1000元 乙得 1000元因球技相等,故 4 个结果等可能发生,
因此,甲乙最终获胜的大小比为 3:1
故全部奖金应按获胜率的比例分,才方案六：甲分 750元,乙分 250元,
公平合理,即大部分同学提出方案六,
问 题已知 P( A ) = P( B ) = P(C) =1/4,
P(AB) = 0,P(AC) = P(BC) = 1/6
通过做此题 你能发现什么问题？
第 2周则 A,B,C 全不发生的概率为,
一同学提出此题错误,原因是
4/1)(,6/1)( CPACP
A 与 C 的共同部分占 C 的 2/3
同理 B 与 C 的共同部分占 C 的 2/3
A 与 B 至少有 1/3部分重合，即
12/1)(?ABP
这与题中条件 P(AB) = 0 矛盾！
？
)(1)( CBAPCBAP
)()()(1 CPBPAP
.12/76/24/31
)()()()( A B CPBCPACPABP
一般会解出解事实上本题目出错，数万考生中就有指出题目错误的考生,
解
CBCAC )(
)()()()( A B CPBCPACPBCACP
)(4/13/106/16/1 CP
0)(0)( A B CPABP
)()( CPBCACP
这与下面正确结论矛盾！
A B
C
CBCAC )(
)()( CPBCACP
C
A B
欠妥！
.2/1)()()()( ABPBPAPBAP
).(12/52/1)( CBAPBAP
.12/5)( CBAP
由题设得另一方面又可得于是得矛盾解二若将条件修改为
P(AC) = P(BC) = 1/9
便无矛盾
).(36/192/1)( CBAPBAP
)()()()( A B CPBCPACPBCACP
)(4/19/209/19/1 CP
问 题第 3周
17世纪,法国的 C D Mere 注意到在赌博中一对骰子抛 25次,把赌注押到,至少出现一次双六” 比把赌注押到
“完全不出现双六”有利,但他本人找不出原因,后来请当时著名的法国数学家帕斯卡 (Pascal)才解决了这一问题,这问题是如何解决的呢?
解题时出现的各种错误
⑴ 设 事件 与 分别为第 2次与第 1
次掷出六,
A B
)()()()(
)()(
)(
ABPAPABPAP
ABPAP
BAP
)(
)(
1
1
)(5)(
)(
ABP
BAPABPABP
ABP
6/1)(?AP
同理有
)(
)(
1
1
)(
BAP
BAP
BAP
显然有 )()( BAPBAP? )()( BAPABP?
)(
)(
)(
)(
BAP
BAP
ABP
BAP
)()( BAPBAP
即压出双六有利,
？
骰子组合种类数：
⑵
18/12/1616 CCN
掷 1次不出现双六的概率,18/17
掷 25次无双六的概率,24.0)18/17( 25?
掷 25次出现双六的概率,76.024.01
问题解决,
⑶
A则事件 为,至少有一次双六,
设 事件 为,完全不出现双六,,A
0 6 3.0
)(
)()(
)(
251
6
241
5
1
25
251
5
C
CCC
AP
)(9 3 7.00 6 3.01)( APAP
掷 1次出现双六的概率：
⑷
36/11616?CC
掷 25次出现一次双六的概率,36/25
掷 25次不出现双六的概率,36/11
36/1136/25?
问题解决,
2525 21)123456(
An
A则事件 为,不出现双六,
2525 20)121(
Ak
⑸
2 9 5 3.0)21/20(/)( 25 AA nkAP
)()( APAP 即压 比压 有利,AA
设 事件 为,至少有一次双六,,A
⑹
A则事件 为,至少有一次双六,
设 事件 为,完全不出现双六,,A
01.0)6/5()( 25AP
)()6/5(1)( 25 APAP
⑺
5.0
36
25
25
36
24
35
1
1
C
CC
p
抛 25次,至少有一次双六,等同于从 36个球中抽出 25个，其中有 1个是特别的概率此概率挺大，不选成傻子了！
？
2396.0)36/34()( 25AP？
1 1 3 6.0)12/11()( 25AP？
0 1 2 6.06/)55()( 252425AP
各种计算错误
？
设 事件 为,完全不出现双六,,A
设 B 为,至少出现一次双六,,则
)()( BPBP?
因为 1)()( BPBP
因此，题中把赌注押到,至少出现一次双六,
B事件 为,完全不出现双六,
故只要证明 即可。2/1)(?BP
比押,完全不出现双六,有利的意思，即为分析设 ={ 第 i 次抛掷时出现数对 ( 6,6 )}
iA
36/1)(?iAP 36/35)(?iAP
一对骰子抛 25 次可视为 25 次独独立的重复随机试验,于是,可将所提问题视作 25重伯努利试验,
( i =1,2,…,25 )
则有解一
2521,.,AAAB
所以
)...(1)...()( 25212521 AAAPAAAPBP
2
1
5045.0
)(),,,()(1 2521 APAPAP
4955.01)
36
35
(1 25
因为
,取对数得
2
1
36
35
n
67.24
5 4 4 1.15 5 6 3.1
3 0 1 0.0
35lg36lg
2lg
n
解二由试验独立性,要求掷 次完全不n
出现双六的概率
.)(2/1)( BPBP故当 时，25?n
抛掷 25 次是起码的要求，少于 25次不
)()( BPBP?可见要使
1])
36
35
(1[lim
n
n
行,当然，抛掷次数越多，对事件“至少出现一次双六”的发生越有利,且注某市进行艺术体操赛,需设立两个裁判组,甲组 3名,乙组 1名,但组委会只召集到 3名裁判,由于临近比赛,便决定调一名不懂行的人参加甲组工作,其中两裁判独立地以概率 p 作出正确裁定,而第三人以掷硬币决定,最后根据多数人的意见决定,
乙组由 1 个人组成,他以概率 p 做出正确裁定,问哪一组做出正确裁定的概率大?
问 题第 4周不能确定，即需视情况而定,
同学 一 解甲组两裁判裁定有 3 种情况
2p )1( pp? 2)1( p?
不懂行的人裁定均为
2
1
故甲组正确裁定的概率推导如下结论：
)1(
2
1)1(
2
1)1(
2
1
2
1 222 pppppp
ppp 2~12
当 时 ppp 212
2
53?
p
故当 时 2/)53(0 p 甲组 >乙组故当 时 12/)53( p甲组 >乙组与 比较p
不能确定，即需视情况而定,
同学二解结论：
ppppppP
2
1
)1(
2
1
2
1
)
2
1
1(2)( 222甲
)
2
1
()()( ppPP 乙甲故当 时，2/1?p 甲组 >乙组故当 时，2/1?p 乙组 >甲组故当 时，2/1?p 乙组 =甲组同学三解甲 组做出正确裁定的概率大,结论：
设 甲、乙 组做出正确裁定分别为 A,B.
ppppppAP 222
2
3
2
1
2
1
2
1
)(
pBP?)(
)()( BPAP?
(1) 只要算出甲组正确裁定概率即可,
正确的几种解法两裁判都正确裁定的概率,ppp?
1
一裁判正确裁定且掷硬币者也正确裁定的概率,)1(5.022 ppp
P(甲组正确裁定 ),
21 ppp
故 两组做出正确裁定的概率相同,
(2)
pppC
2
1
)1(12
)
2
1
1()1(
2
1
)1(1)( 2233 ppCP 甲
)(乙P?
有 同学在算出两组作出正确裁定的概率相同后称赞组委会很明智！,
(3)
两组做出正确裁定的概率相同,结论：
甲组三人都正确裁定概率 2
3 5.0 pp?
甲组恰有二人正确裁定概率
2
2 5.0)1(5.0)1(5.05.0 ppppppppp
P(甲组正确裁定 ) ppp
23
P(乙组正确裁定 )?
只要把甲组的正确裁定概率计算出再与 p 比较即可,
为此应先搞清楚“最后结果根据多数人意见决定”是指什么,是指“甲组至少应该由 2个人作出正确裁定”,故设 A,B、
C分别表示“甲组 3个人均做出正确裁定”,D表示”甲组做出正确裁定”,则,
BCACBACABA B CD
BCACBACABA B CD
由题设
21)(,)()( CPpBPAP
.2/1)(,)()( CPpBPAP
(4)
由于 A,B,C 相互独立,则有
ppppppppp
CPBPAPCPBPAP
CPBPAPCPBPAP
BCAPCBAPCABPA B CP
DP
2
1
)1(
2
1
)1(
2
1
2
1
)()()()()()(
)()()()()()(
)()()()(
)(
所以,两组做出正确裁定的概率相同,
自动生产线调整以后出现废品的概率为 p,当生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间的合格产品数的分布,
问 题第 5周设两次调整之间生产的合格产品数是 X,则解
(X = 1) 表示调整后生产的第一个产品合格,而第二个是废品的事件,则
P( X = 0 )= p ;
P( X = 1 )= p (1-p) ;
(X = 0) 表示调整后生产的第一个产品是废品的事件,则依此类推,可得合格产品数 X 的概率分布为
( X = 2 ) 表示调整后生产的前二个产品是合格的,而第三个是废品的事件,则
P( X = 2 ) = p (1-p)2 ;
P( X = k ) = p (1-p)k,k =0,1,2,…
在高为 h 的 ABC 中任取一点
M,点 M 到 AB 的距离为随机变量
X,求其密度函数 f (x).
A B
C
h.M
问 题第 6周解
A (0,0) B (b,0)
C (xc,0)
h.M
y
其他，
内，
0
)/(2
),(~),(
AB Chb
yxfyxM
dxyxfyf Y ),()(
其他，
内，
0
)(1
1
A B Cdx
bxy
yx
ch
chhb
2
其他，
内，
0
AB C
h
y )1(2?
A B
C
.M
X
hx
,ABEF
当 时hx0
A B C
E F B A
S
S
xXPxF )()(
2)(11
h
xh
S
S
ABC
C E F
使 EF 与 AB 间的距离为 x
E F
解于是
hx
hx
h
xh
x
xF
1
0)(1
00
)(
2
其他0
02
)()( 2
hx
h
xh
xFxf
第 7周问 题上海某年有 9万名高中毕业生参加高考,结果有 5.4万名被各类高校录取,考试满分为 600分,540分以上有 2025人,360分以下有 13500
人,试估计高校录取最低分,
设 X 为考生成绩，则近似有解
),(~ 2NX
)540(?XP )540(1 XP
5 40
1
90000
2025?
972.0
540
查表
,91.1
5 40
15 班一同学
？
85.015.01
3 6 0
04.1
3 60
61,5.4 2 3
3 6 0
9 0 0 0 0
1 3 5 0 0
)3 6 0( XP
26.0
61
5.42 3
k查表
.4 4 036.4 3 9 k
所以此次高考最低录取分为 440,
6.0
9
4.5
61
5.4 2 3
)(
k
kXP？
24 班一同学
419?a
22 4.51,432
最低录取分为考生高考成绩为 r.v,X,它一般受先天遗传、后天努力、心理素质、
考试期间身体状态、求学期间班级学风、有无请家教等诸多随机因素的影响，而各因素的影响又是有限的，且正负影响会相互抵消，故分析
),(~ 2NX
【 1】由已知高考结果的两个信息，
由于参数 均未知，故解决2,
问题分两步建立关于未知参数 的两个方程，2,
并解之；
【 2】通过已公布的录取率，求得最低分值,
解 设考生高考成绩 ),(~ 2NX
)5 4 0(1)5 4 0( XPXP
97 75.0
90 00 0
20 25
1
540
3 6 0
9 0 0 0 0
1 3 5 0 0
)3 6 0( XP
85.015.01
3 6 0
反查正态
,00 5.2
54 0
04.1
3 60
59,421
分布表
)59,4 2 1(~ 2NX
所以已知录取率,6.09 0 0 0 0/5 4 0 0 0?
设被录取者最低分为 a,则
59
4 2 1
59
4 2 1
1
aa
)(16.0)( aXPaXP
,4 0 62 5 3.0
59
4 2 1
a
a
查正态分布表所以此次高考最低录取分为 406,
设随机变量 Z服从参数为 1 的指数分布，引入随机变量：
21
20
11
10
Z
Z
Y
Z
Z
X
求 ( X,Y ) 的联合分布律和分布函数,
问 题第 8周
0,1)( zezF zZ
解 (4 班两同学,21 班一同学 )
11)1()1()0( eFZPXp
Z
1)1(1)1()1( eFZPXp
Z
21)2()2()0( eFZPYp
Z
2)2(1)2()1( eFZPYp
Z
31 ee
3?e32 ee
)1)(1( 21 ee
11 e 1?e
21 e
2?e
ip
jp?
0 1X
0
1
Y
( X,Y ) 的联合分布律本题并未设 X,Y 相互独立 ！
？
X,Y 都是离散型的服从 (0－ 1)
1,0,),( jijYiXPp ij
而 X,Y 又都是分布已知的随机变量 Z
分布的随机变量，本题要求
ijp
的函数，故可以通过 Z 的分布求出,
[分析 ]
由题设 Z的分布函数
00
01
)(
z
ze
zF
z
Z
解正确解法由以下同学提供
3班 石 言 褚华斌
10班 吴 苑 吴 限 杨 锴
13班 沙 舟 蔡思捷
20班 陈永延 董皓远
24班 白 雪 25班 郭 憬
9班 陈 栋 张 鹏由 X,Y 的定义知下列事件等价：
)1()2,1()0,0( ZZZYX
)2,1()1,0( ZZYX
)21()2,1()0,1( ZZZYX
)2()2,1()1,1( ZZZYX
从而有：
11)1()1()0,0( eFZPYXP
Z
0)()1,0( PYXP
21)1()2()21()0,1( eeFFZPYXP
ZZ
2)2(1)2()1,1( eFZPYXP
Z
21 ee
2?e0
11 e
0 1X
0
1
Y
( X,Y ) 的联合分布律为
),( yxF 取不同值的区域有如下 5个：
0?x
0?y
10 x
10 y
10 x
10 y
1?x
1?y 1?y
1?x
1
y
x0
1
① 当
② 当
③ 当
0)(),(),( PyYxXPyxF
0?x 0?y或 时
,10 x 10 y
时
11)0,0(),( eYXPyxF
,10 x 1?y
时
)0,0(),( YXPyxF )1,0( YP
11 101 ee
④ 当,1?x 10 y 时
)0,0(),( YXPyxF )0,1( YXP
2211 11 eeee
⑤ 当,1?x 1?y 时
1)(),(),( PyYxXPyxF
),( yxF
00,0 yorx
10,10,1 1 yxe
1,10,1 1 yxe
10,1,1 2 yxe
1,1,1 yx
( X,Y ) 的联合分布函数为第 9周 问 题设随机变量 X 与 Y 相互独立，且
.)(~,)6.0,1(~ yfYBX
求随机变量 YXZ 3 的概率密度
.)( zg函数解 设 Y 的分布函数为 F(y),由全概率公式得 Z 的分布函数为
)3()()( zYXPzZPzG
)03()0( XzYXPXP
)13()1( XzYXPXP
)0(4.0 XzYP
)13(6.0 XzYP
由 X 与 Y 的独立性得
)3(6.0 zYP )(4.0)( zYPzG
)]3(1[6.0 zF )](1[4.0 zF
求导得 Z 的密度函数
.)3(6.0)(4.0)( zfzfzg
问 题第 10周某民营企业生产的某产品每周的需求量 X (单位,箱 ) 取 [1,5]上的每个整数值是等可能的,生产每箱产品的成本是
300元,出厂价每箱 900元,若售不出,则每箱以 100元的保管费借冷库保存,问该企业每周生产几箱产品能使获利的期望值最大？
解 设每周生产 y 箱,每周的利润 (单位,
yXyy 39
yXXyyX )(139
百元 ) 为 Z,则
Z
yXy?6
yXyX 410
X 的分布律为
5,4,3,2,1,5/1)( kkXP
)6(6)( yZPyZE
)410()410( yXZPyk
)()410()(6 yXPykyXPy
5/)410(5/6
1
5
1
yky
y
kyk
5/4)1(5/)5(6 2yyyyy
27 yy )( yf
027)( yyf令 得 5.3?y
又因
02)( yf
故每周生产 3.5箱产品时能使获利的期望值最大，且最大利润期望值为
25.12)5.3()( m a x fZE (百元 )
解
)6(6)( yZPyZE
)410()410( yXZPyk
)()410()(6 yXPykyXPy
5/)410(5/6
][
1
5
1][
yky
y
kyk
5/][4)1]]([[5/][66 yyyyyyy
同解一所设
yyyyy 6][2][][ 2
令,][,][ byyay
)(6)(2)( 2 baabaaaZE
,]1,0[?b则
)26(72 abaa
于是即 3?a 时,取当,026 a,1?b1)
65)( 2 aaZE 2 a
);(12)( m a x 百元?ZE即 y = 3 箱时，
,bay
即 3?a 时,取当,026 a,0?b2)
aaZE 7)( 2
);(12)( m a x 百元?ZE
);(12)( m a x 百元?ZE
综合 1) 2),当 3?y 或 4箱时,有最大期望利润
4 a
即 y = 3 箱时，
电视台需作节目 A 收视率的调查,每天在播电视的同时,随机地向当地居民打电话询问是否在看电视,若在看电视,再问是否在看节目 A,设回答第 11周 问 题看电视的居民户数为 n,若要保证以 95%的概率使调查误差在 10%之内,n 应取多大？
每晚节目 A 播出一小时,调查需同时进行,设每小时每人能调查 20户,每户居民每晚看电视的概率为 70%,电视台需安排多少人作调查,
又，若使调查误差在 1 %
之内,n 应取多大？
误解要估计的收视率,要求 n,使
)1.0/( pnXP n
)]10/(/)([ pqnnpqnpXP n
pq现在的问题是如何确定,
.95.0)]10/([ pqn
设 为回答看电视的居民中 在收看X
节目 A 的户数,则,其中 p 为),(~ pnBX
2/ ( 1 0 ) 1,6 4 5 1 6,4 5n p q n p q
设 pqpppf )1()(
令 021)( ppf
当 时,达到最大值,2/1?p 4/1)(?pf
6 8 0,7 9 7,1 4
1 0 0 2 0 5
电视台需安排 5 人作调查,
取 100.
21 6,4 5 2 7 0,6 ( 1 / 4 ) 6 7,6 5p q n
所以取 就能满足要求,68n?
若使调查误差在 1%之内，则
21 6 4,5 2 7 0 6 0,2 5 ( 1 / 4 ) 6 7 6 5p q n
所以取 就能满足要求,6766n?
9 6 6 6 2 0 4 8 3,3
电视台需安排 484 人作调查,
取 9666,71.9 6 6 57.06 7 6 6
解要估计的收视率,要求 n,使
pq现在的问题是如何确定?,
设 为回答看电视的居民中 在收看X
节目 A 的户数,则,其中 p 为),(~ pnBX
96.1)10/( pqn pqn 26.19
95.01)]10/([2 pqn
)1.0/( pnXP
)]10/(/)([ pqnn p qnpXP
设 pqpppf )1()(
令 021)( ppf
当 时,达到最大值,2/1?p 4/1)(?pf
npq 04.96)4/1(6.196.19 22
所以取 就能满足要求,97?n
1 3 97.097
720140
电视台需安排 7 人作调查,
取 140.
02)( pf又若使调查误差在 1%之内，则电视台需安排 687 人作调查,
取 13722.
npq 9 6 0 4)4/1(3 8 4 1 51 9 6 2
所以取 就能满足要求,9605?n
4.137217.09605
1.6862013722
一本书有 1 000 000 个印刷符号,
排版时每个符号被排错的概率为千分之一,校对时,每个排版错误被改正的概率为 0.99,求在校对后错误不多于
15 个的概率,
第 12周 问 题一本书有 1000000个印刷符号,排版时每个符号被排错的概率为千分之一,校对时,每个排版错误被改正的概率为 0.99，
求在校对后错误不多于 15个的概率,
解 设?
iX
1 第 i 个印刷符号被排错
0 第 i 个印刷符号未排错则总的被排错的印刷符号个数?
610
1i
iXX
)0 0 1.0,10(~ 6BX且解
1000)(?XE,9 9 9)(?XD
Y设校对后错误个数为,
XYE 01.0)(?,0 0 9 9.0)( XYD?
10)(01.0)01.0()]([)( XEXEYEEYE
.9 9 90 0 9 9.0)(0 0 9 9.0)( 22 XDYD
则近似有 )9 9 90 0 9 9.0,10(~ 2?NY
由中心极限定理于是
.1)98.15(
9990099.0
1015
)15(
YP
)01.0,(~ XBY则解 令
1 第 i 个符号被排错校对后仍错
0 其 他?iX
由于排版与校对是两个独立的工作,因而
,10)99.01(0 0 1.0)1( 5iXP 5101)0(iXP
510)(
iXE,)101(10)(
55
iXD
))101(10,10(~ 5BY
设校对后错误个数为?
610
1i
iXY
,则由中心极限定理
)101(10
100
)101(10
1015
)150(
55
YP
1010/5
.9422.0?
116.358.1
第 13周 问 题某水产养殖场两年前在人工湖中混养了黑,白两种鱼,现在需要对黑白鱼数目的比例进行估计,
提示,分别用矩法与极大似然估计法解决此问题,
如何估计湖中黑、白鱼的比例设湖中有黑鱼 a条，则白鱼数为 b=ka，
若是白鱼若是黑鱼
,0
,1
X
,
1
1
)1(
kkaa
a
XP
.
1
)1(1)0(
k
kXPXP
则解其中 k 为待估计参数,从湖中任捕一条鱼，
记为使抽取的样本为简单随机样本，
我们从湖中有放回的捕鱼 n 条,
( 即任捕一条，记下其颜色后放回湖中,
任其自由游动,稍后再捕第二条，重复前一过程 ),得样本 ),..,(
2,1 nXXX
各 相互独立,且均与 同分布,
iX X
设在这 n 次抽样中,捕得 m 条黑鱼,
以此抽样结果可对 k作出估计,下面用通常用的距法和极大似然估计法估计 k,
⑴ 矩估计法,
k
XEX
1
1
)(
11
X
k 矩令可得
nmX /?
由具体抽样结果知,的观测值为,X
1
m
nk
矩k
故 的矩估计值为
⑵ 极大似然估计法的分布为：
iX
1,0,)
1
1()
1
()( 1?
ixxii x
kk
kxXP
ii
则似然函数为：
n
mnxxn
n
k
k
kk
k
xxxkL
n
i
i
n
i
i
)1(
)
1
1
()
1
(),...,;( 1121
)1l n (ln)(),...,;(ln 21 knkmnxxxkL n
0
1
),...,;(ln 21?
k
n
k
mn
dk
xxxkLd n令得 的极大似然估计为k,1/ mnk
M L E
本题虽简单,但它是一个应用十分广泛的统计模型,
例如 可将黑白鱼看成是某批产品中的正次品或是某地区的男女性等等,
[注 ]
第 14周 问 题母亲嗜酒是否影响下一代的健康美国的 Jones医生于 1974年观察了母亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的 6名七岁儿童 （ 称为甲组 ）,以母亲的年龄,文化程度及婚姻状况与前 6名儿童的母亲相同或相近,但不饮酒的 46名七岁儿童为对照租 (称为乙组 ),测定两组儿童的智商,
结果如下：
甲 组 6 78 19
乙 组 46 99 16
人数 智商平均数 样本标准差
n x s
智商组别由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一代的智力？若有影响，推断其影响程度有多大?
提示 前一问题属假设检验问题后一问题属区间估计问题智商一般受诸多因素的影响,从而可以
),(),( 222211 uNuN 和本问题实际是检验甲组总体的均值是否比乙组总体的均值偏小?
若是，这个差异范围有多大? 前一问题属假设检验，后一问题属区间估计,
解假定两组儿童的智商服从正态分布,
由于两个总体的方差未知，而甲组的样本容量较小，因此采用大样本下两总体均值比较的 U— 检验法似乎不妥,故
2
2
2
11
2
2
2
10,;, HH
当 为真时,统计量
0H )45,5(~2
2
2
1 F
S
S
F?
采用方差相等 (但未知 ) 时，两正态总体均值比较的 t— 检验法对第一个问题作出回答,为此,利用样本先检验两总体方差是否相等，即检验假设拒绝域为
1.0取
)45,5()45,5( 2/2/1 FFFF 或
)45,5()45,5( 95.02/1 FF
43.2)45,5()45,5( 05.02/ FF?
22.0)5,45(/1 05.0 F
)45,5()45,5(
,41.1
16
19
05.0095.0
2
2
0
FFF
FF
得的观察值未落在拒绝域内，故接受,即可认为
0H
两总体方差相等,下面用 t — 检验法检
1? 2?验 是否比 显著偏小？ 即检验假设
211210,;,uuHuuH
当 为真时，检验统计量
0H
)2(~
11
21
21
21
nnt
nn
S
XX
T
w
01.0,
2
)1()1(
21
2
22
2
112?
取
nn
SnSn
S w其中的观察值T
,46,6,16,19 212221 nnSS将
)50(54.296.2 01.00 tT
代入得99,78 21 xx
嗜酒会对儿童智力发育产生不良影响,
落在拒绝域内,故拒绝,即认为母亲
0H
下面继续考察这种不良影响的程度,
为此要对两总体均值差进行区间估计,
)2(
11
21
221
12 nntnnSXX w?
的置信区间为的置信度为 112 uu
取 并代入相应数据可得,01.0
32.16,67.2)50(005.0 wSt
于是置信度为 99% 的置信区间为
46
1
6
1
67.232.167899
)91.39,09.2(91.1821
由此可断言：在 99%的置信度下，嗜酒母亲所生孩子在七岁时的智商比不饮酒的母亲所生孩子在七岁时的智商平均要低 2.09 到 39.91.
故限制显著性水平的原则体现了,保护零假设,的原则,
[注 ] 大家是否注意到，在解决问题时，
两次假设检验所取的显著性水平不同,
前者远
1.0在检验方差相等时，取 ; 在
01.0检验均值是否相等时取,
比后者大,为何这样取呢?因为检验的结果与检验的显著性水平 有关,
小，则拒绝域也会小，产生的后果使零假设难以被拒绝,
0H?
在 较大时,若能接受,说明
0H
说明在所给数据下,得出相应的
2
2
2
11.0
本例中,对,仍得出可被接受,01.0及对,21 uu? 可被拒绝的结论,
结论有很充足的理由,
更充足,
为真的依据很充足 ; 同样，在 很小时，
0H 0H
我们仍然拒绝,说明 不真的理由就另外在区间估计中，取较小的置信若反之,取较大的置信水平，则可
01.0水平 (即较大的置信度 ),从而使得区间估计的范围较大,
减少估计区间的长度，使区间估计精确提高，但相应地区间估计的可靠度降低了，即要冒更大的风险,
3盘,甲两胜一负,由于某种特殊的原因必须中止比赛,问这 1000元应如何分配才算公平?
第 1周问 题方案一,平均分,这对甲不公平,
方案二,全部归甲,这对乙不公平,
解没有同学提出上述两个方案,
方案三,按已胜盘数的比例分配,
3/2即甲得 (667元 ),乙得 (333元 ),3/1
方案四 一同学提出,在我未学 概率 前,我认为甲应得 800元乙应得
200元,理由如下：
目前胜率,甲 2/3 乙 1/3
甲再胜一盘几率,2/3
乙连胜二盘几率,.9/1)3/1( 2?
方案五 甲得 888.89元,乙得 111.11元,
理由如下：
①甲胜
②乙胜,甲再胜
③乙胜,乙再胜
甲赢 3/2)(?AP
甲赢
9/2)3/2)(3/1()(BP
乙赢
9/1)3/1)(3/1()(CP
18
9/1
9/23/2
)(
)(
：
乙赢甲赢
P
P
方案三看来似乎合理,双方可接受,
但仔细分析,这样分未必合理,
理由如下,设想比赛继续进行下去,
要使甲,乙有一个胜 3 盘,只要再赛两盘即可,共有以下四种情况,
甲甲 甲乙 乙甲 乙乙甲得 1000元 乙得 1000元因球技相等,故 4 个结果等可能发生,
因此,甲乙最终获胜的大小比为 3:1
故全部奖金应按获胜率的比例分,才方案六：甲分 750元,乙分 250元,
公平合理,即大部分同学提出方案六,
问 题已知 P( A ) = P( B ) = P(C) =1/4,
P(AB) = 0,P(AC) = P(BC) = 1/6
通过做此题 你能发现什么问题？
第 2周则 A,B,C 全不发生的概率为,
一同学提出此题错误,原因是
4/1)(,6/1)( CPACP
A 与 C 的共同部分占 C 的 2/3
同理 B 与 C 的共同部分占 C 的 2/3
A 与 B 至少有 1/3部分重合，即
12/1)(?ABP
这与题中条件 P(AB) = 0 矛盾！
？
)(1)( CBAPCBAP
)()()(1 CPBPAP
.12/76/24/31
)()()()( A B CPBCPACPABP
一般会解出解事实上本题目出错，数万考生中就有指出题目错误的考生,
解
CBCAC )(
)()()()( A B CPBCPACPBCACP
)(4/13/106/16/1 CP
0)(0)( A B CPABP
)()( CPBCACP
这与下面正确结论矛盾！
A B
C
CBCAC )(
)()( CPBCACP
C
A B
欠妥！
.2/1)()()()( ABPBPAPBAP
).(12/52/1)( CBAPBAP
.12/5)( CBAP
由题设得另一方面又可得于是得矛盾解二若将条件修改为
P(AC) = P(BC) = 1/9
便无矛盾
).(36/192/1)( CBAPBAP
)()()()( A B CPBCPACPBCACP
)(4/19/209/19/1 CP
问 题第 3周
17世纪,法国的 C D Mere 注意到在赌博中一对骰子抛 25次,把赌注押到,至少出现一次双六” 比把赌注押到
“完全不出现双六”有利,但他本人找不出原因,后来请当时著名的法国数学家帕斯卡 (Pascal)才解决了这一问题,这问题是如何解决的呢?
解题时出现的各种错误
⑴ 设 事件 与 分别为第 2次与第 1
次掷出六,
A B
)()()()(
)()(
)(
ABPAPABPAP
ABPAP
BAP
)(
)(
1
1
)(5)(
)(
ABP
BAPABPABP
ABP
6/1)(?AP
同理有
)(
)(
1
1
)(
BAP
BAP
BAP
显然有 )()( BAPBAP? )()( BAPABP?
)(
)(
)(
)(
BAP
BAP
ABP
BAP
)()( BAPBAP
即压出双六有利,
？
骰子组合种类数：
⑵
18/12/1616 CCN
掷 1次不出现双六的概率,18/17
掷 25次无双六的概率,24.0)18/17( 25?
掷 25次出现双六的概率,76.024.01
问题解决,
⑶
A则事件 为,至少有一次双六,
设 事件 为,完全不出现双六,,A
0 6 3.0
)(
)()(
)(
251
6
241
5
1
25
251
5
C
CCC
AP
)(9 3 7.00 6 3.01)( APAP
掷 1次出现双六的概率：
⑷
36/11616?CC
掷 25次出现一次双六的概率,36/25
掷 25次不出现双六的概率,36/11
36/1136/25?
问题解决,
2525 21)123456(
An
A则事件 为,不出现双六,
2525 20)121(
Ak
⑸
2 9 5 3.0)21/20(/)( 25 AA nkAP
)()( APAP 即压 比压 有利,AA
设 事件 为,至少有一次双六,,A
⑹
A则事件 为,至少有一次双六,
设 事件 为,完全不出现双六,,A
01.0)6/5()( 25AP
)()6/5(1)( 25 APAP
⑺
5.0
36
25
25
36
24
35
1
1
C
CC
p
抛 25次,至少有一次双六,等同于从 36个球中抽出 25个，其中有 1个是特别的概率此概率挺大，不选成傻子了！
？
2396.0)36/34()( 25AP？
1 1 3 6.0)12/11()( 25AP？
0 1 2 6.06/)55()( 252425AP
各种计算错误
？
设 事件 为,完全不出现双六,,A
设 B 为,至少出现一次双六,,则
)()( BPBP?
因为 1)()( BPBP
因此，题中把赌注押到,至少出现一次双六,
B事件 为,完全不出现双六,
故只要证明 即可。2/1)(?BP
比押,完全不出现双六,有利的意思，即为分析设 ={ 第 i 次抛掷时出现数对 ( 6,6 )}
iA
36/1)(?iAP 36/35)(?iAP
一对骰子抛 25 次可视为 25 次独独立的重复随机试验,于是,可将所提问题视作 25重伯努利试验,
( i =1,2,…,25 )
则有解一
2521,.,AAAB
所以
)...(1)...()( 25212521 AAAPAAAPBP
2
1
5045.0
)(),,,()(1 2521 APAPAP
4955.01)
36
35
(1 25
因为
,取对数得
2
1
36
35
n
67.24
5 4 4 1.15 5 6 3.1
3 0 1 0.0
35lg36lg
2lg
n
解二由试验独立性,要求掷 次完全不n
出现双六的概率
.)(2/1)( BPBP故当 时，25?n
抛掷 25 次是起码的要求，少于 25次不
)()( BPBP?可见要使
1])
36
35
(1[lim
n
n
行,当然，抛掷次数越多，对事件“至少出现一次双六”的发生越有利,且注某市进行艺术体操赛,需设立两个裁判组,甲组 3名,乙组 1名,但组委会只召集到 3名裁判,由于临近比赛,便决定调一名不懂行的人参加甲组工作,其中两裁判独立地以概率 p 作出正确裁定,而第三人以掷硬币决定,最后根据多数人的意见决定,
乙组由 1 个人组成,他以概率 p 做出正确裁定,问哪一组做出正确裁定的概率大?
问 题第 4周不能确定，即需视情况而定,
同学 一 解甲组两裁判裁定有 3 种情况
2p )1( pp? 2)1( p?
不懂行的人裁定均为
2
1
故甲组正确裁定的概率推导如下结论：
)1(
2
1)1(
2
1)1(
2
1
2
1 222 pppppp
ppp 2~12
当 时 ppp 212
2
53?
p
故当 时 2/)53(0 p 甲组 >乙组故当 时 12/)53( p甲组 >乙组与 比较p
不能确定，即需视情况而定,
同学二解结论：
ppppppP
2
1
)1(
2
1
2
1
)
2
1
1(2)( 222甲
)
2
1
()()( ppPP 乙甲故当 时，2/1?p 甲组 >乙组故当 时，2/1?p 乙组 >甲组故当 时，2/1?p 乙组 =甲组同学三解甲 组做出正确裁定的概率大,结论：
设 甲、乙 组做出正确裁定分别为 A,B.
ppppppAP 222
2
3
2
1
2
1
2
1
)(
pBP?)(
)()( BPAP?
(1) 只要算出甲组正确裁定概率即可,
正确的几种解法两裁判都正确裁定的概率,ppp?
1
一裁判正确裁定且掷硬币者也正确裁定的概率,)1(5.022 ppp
P(甲组正确裁定 ),
21 ppp
故 两组做出正确裁定的概率相同,
(2)
pppC
2
1
)1(12
)
2
1
1()1(
2
1
)1(1)( 2233 ppCP 甲
)(乙P?
有 同学在算出两组作出正确裁定的概率相同后称赞组委会很明智！,
(3)
两组做出正确裁定的概率相同,结论：
甲组三人都正确裁定概率 2
3 5.0 pp?
甲组恰有二人正确裁定概率
2
2 5.0)1(5.0)1(5.05.0 ppppppppp
P(甲组正确裁定 ) ppp
23
P(乙组正确裁定 )?
只要把甲组的正确裁定概率计算出再与 p 比较即可,
为此应先搞清楚“最后结果根据多数人意见决定”是指什么,是指“甲组至少应该由 2个人作出正确裁定”,故设 A,B、
C分别表示“甲组 3个人均做出正确裁定”,D表示”甲组做出正确裁定”,则,
BCACBACABA B CD
BCACBACABA B CD
由题设
21)(,)()( CPpBPAP
.2/1)(,)()( CPpBPAP
(4)
由于 A,B,C 相互独立,则有
ppppppppp
CPBPAPCPBPAP
CPBPAPCPBPAP
BCAPCBAPCABPA B CP
DP
2
1
)1(
2
1
)1(
2
1
2
1
)()()()()()(
)()()()()()(
)()()()(
)(
所以,两组做出正确裁定的概率相同,
自动生产线调整以后出现废品的概率为 p,当生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间的合格产品数的分布,
问 题第 5周设两次调整之间生产的合格产品数是 X,则解
(X = 1) 表示调整后生产的第一个产品合格,而第二个是废品的事件,则
P( X = 0 )= p ;
P( X = 1 )= p (1-p) ;
(X = 0) 表示调整后生产的第一个产品是废品的事件,则依此类推,可得合格产品数 X 的概率分布为
( X = 2 ) 表示调整后生产的前二个产品是合格的,而第三个是废品的事件,则
P( X = 2 ) = p (1-p)2 ;
P( X = k ) = p (1-p)k,k =0,1,2,…
在高为 h 的 ABC 中任取一点
M,点 M 到 AB 的距离为随机变量
X,求其密度函数 f (x).
A B
C
h.M
问 题第 6周解
A (0,0) B (b,0)
C (xc,0)
h.M
y
其他，
内，
0
)/(2
),(~),(
AB Chb
yxfyxM
dxyxfyf Y ),()(
其他，
内，
0
)(1
1
A B Cdx
bxy
yx
ch
chhb
2
其他，
内，
0
AB C
h
y )1(2?
A B
C
.M
X
hx
,ABEF
当 时hx0
A B C
E F B A
S
S
xXPxF )()(
2)(11
h
xh
S
S
ABC
C E F
使 EF 与 AB 间的距离为 x
E F
解于是
hx
hx
h
xh
x
xF
1
0)(1
00
)(
2
其他0
02
)()( 2
hx
h
xh
xFxf
第 7周问 题上海某年有 9万名高中毕业生参加高考,结果有 5.4万名被各类高校录取,考试满分为 600分,540分以上有 2025人,360分以下有 13500
人,试估计高校录取最低分,
设 X 为考生成绩，则近似有解
),(~ 2NX
)540(?XP )540(1 XP
5 40
1
90000
2025?
972.0
540
查表
,91.1
5 40
15 班一同学
？
85.015.01
3 6 0
04.1
3 60
61,5.4 2 3
3 6 0
9 0 0 0 0
1 3 5 0 0
)3 6 0( XP
26.0
61
5.42 3
k查表
.4 4 036.4 3 9 k
所以此次高考最低录取分为 440,
6.0
9
4.5
61
5.4 2 3
)(
k
kXP？
24 班一同学
419?a
22 4.51,432
最低录取分为考生高考成绩为 r.v,X,它一般受先天遗传、后天努力、心理素质、
考试期间身体状态、求学期间班级学风、有无请家教等诸多随机因素的影响，而各因素的影响又是有限的，且正负影响会相互抵消，故分析
),(~ 2NX
【 1】由已知高考结果的两个信息，
由于参数 均未知，故解决2,
问题分两步建立关于未知参数 的两个方程，2,
并解之；
【 2】通过已公布的录取率，求得最低分值,
解 设考生高考成绩 ),(~ 2NX
)5 4 0(1)5 4 0( XPXP
97 75.0
90 00 0
20 25
1
540
3 6 0
9 0 0 0 0
1 3 5 0 0
)3 6 0( XP
85.015.01
3 6 0
反查正态
,00 5.2
54 0
04.1
3 60
59,421
分布表
)59,4 2 1(~ 2NX
所以已知录取率,6.09 0 0 0 0/5 4 0 0 0?
设被录取者最低分为 a,则
59
4 2 1
59
4 2 1
1
aa
)(16.0)( aXPaXP
,4 0 62 5 3.0
59
4 2 1
a
a
查正态分布表所以此次高考最低录取分为 406,
设随机变量 Z服从参数为 1 的指数分布，引入随机变量：
21
20
11
10
Z
Z
Y
Z
Z
X
求 ( X,Y ) 的联合分布律和分布函数,
问 题第 8周
0,1)( zezF zZ
解 (4 班两同学,21 班一同学 )
11)1()1()0( eFZPXp
Z
1)1(1)1()1( eFZPXp
Z
21)2()2()0( eFZPYp
Z
2)2(1)2()1( eFZPYp
Z
31 ee
3?e32 ee
)1)(1( 21 ee
11 e 1?e
21 e
2?e
ip
jp?
0 1X
0
1
Y
( X,Y ) 的联合分布律本题并未设 X,Y 相互独立 ！
？
X,Y 都是离散型的服从 (0－ 1)
1,0,),( jijYiXPp ij
而 X,Y 又都是分布已知的随机变量 Z
分布的随机变量，本题要求
ijp
的函数，故可以通过 Z 的分布求出,
[分析 ]
由题设 Z的分布函数
00
01
)(
z
ze
zF
z
Z
解正确解法由以下同学提供
3班 石 言 褚华斌
10班 吴 苑 吴 限 杨 锴
13班 沙 舟 蔡思捷
20班 陈永延 董皓远
24班 白 雪 25班 郭 憬
9班 陈 栋 张 鹏由 X,Y 的定义知下列事件等价：
)1()2,1()0,0( ZZZYX
)2,1()1,0( ZZYX
)21()2,1()0,1( ZZZYX
)2()2,1()1,1( ZZZYX
从而有：
11)1()1()0,0( eFZPYXP
Z
0)()1,0( PYXP
21)1()2()21()0,1( eeFFZPYXP
ZZ
2)2(1)2()1,1( eFZPYXP
Z
21 ee
2?e0
11 e
0 1X
0
1
Y
( X,Y ) 的联合分布律为
),( yxF 取不同值的区域有如下 5个：
0?x
0?y
10 x
10 y
10 x
10 y
1?x
1?y 1?y
1?x
1
y
x0
1
① 当
② 当
③ 当
0)(),(),( PyYxXPyxF
0?x 0?y或 时
,10 x 10 y
时
11)0,0(),( eYXPyxF
,10 x 1?y
时
)0,0(),( YXPyxF )1,0( YP
11 101 ee
④ 当,1?x 10 y 时
)0,0(),( YXPyxF )0,1( YXP
2211 11 eeee
⑤ 当,1?x 1?y 时
1)(),(),( PyYxXPyxF
),( yxF
00,0 yorx
10,10,1 1 yxe
1,10,1 1 yxe
10,1,1 2 yxe
1,1,1 yx
( X,Y ) 的联合分布函数为第 9周 问 题设随机变量 X 与 Y 相互独立，且
.)(~,)6.0,1(~ yfYBX
求随机变量 YXZ 3 的概率密度
.)( zg函数解 设 Y 的分布函数为 F(y),由全概率公式得 Z 的分布函数为
)3()()( zYXPzZPzG
)03()0( XzYXPXP
)13()1( XzYXPXP
)0(4.0 XzYP
)13(6.0 XzYP
由 X 与 Y 的独立性得
)3(6.0 zYP )(4.0)( zYPzG
)]3(1[6.0 zF )](1[4.0 zF
求导得 Z 的密度函数
.)3(6.0)(4.0)( zfzfzg
问 题第 10周某民营企业生产的某产品每周的需求量 X (单位,箱 ) 取 [1,5]上的每个整数值是等可能的,生产每箱产品的成本是
300元,出厂价每箱 900元,若售不出,则每箱以 100元的保管费借冷库保存,问该企业每周生产几箱产品能使获利的期望值最大？
解 设每周生产 y 箱,每周的利润 (单位,
yXyy 39
yXXyyX )(139
百元 ) 为 Z,则
Z
yXy?6
yXyX 410
X 的分布律为
5,4,3,2,1,5/1)( kkXP
)6(6)( yZPyZE
)410()410( yXZPyk
)()410()(6 yXPykyXPy
5/)410(5/6
1
5
1
yky
y
kyk
5/4)1(5/)5(6 2yyyyy
27 yy )( yf
027)( yyf令 得 5.3?y
又因
02)( yf
故每周生产 3.5箱产品时能使获利的期望值最大，且最大利润期望值为
25.12)5.3()( m a x fZE (百元 )
解
)6(6)( yZPyZE
)410()410( yXZPyk
)()410()(6 yXPykyXPy
5/)410(5/6
][
1
5
1][
yky
y
kyk
5/][4)1]]([[5/][66 yyyyyyy
同解一所设
yyyyy 6][2][][ 2
令,][,][ byyay
)(6)(2)( 2 baabaaaZE
,]1,0[?b则
)26(72 abaa
于是即 3?a 时,取当,026 a,1?b1)
65)( 2 aaZE 2 a
);(12)( m a x 百元?ZE即 y = 3 箱时，
,bay
即 3?a 时,取当,026 a,0?b2)
aaZE 7)( 2
);(12)( m a x 百元?ZE
);(12)( m a x 百元?ZE
综合 1) 2),当 3?y 或 4箱时,有最大期望利润
4 a
即 y = 3 箱时，
电视台需作节目 A 收视率的调查,每天在播电视的同时,随机地向当地居民打电话询问是否在看电视,若在看电视,再问是否在看节目 A,设回答第 11周 问 题看电视的居民户数为 n,若要保证以 95%的概率使调查误差在 10%之内,n 应取多大？
每晚节目 A 播出一小时,调查需同时进行,设每小时每人能调查 20户,每户居民每晚看电视的概率为 70%,电视台需安排多少人作调查,
又，若使调查误差在 1 %
之内,n 应取多大？
误解要估计的收视率,要求 n,使
)1.0/( pnXP n
)]10/(/)([ pqnnpqnpXP n
pq现在的问题是如何确定,
.95.0)]10/([ pqn
设 为回答看电视的居民中 在收看X
节目 A 的户数,则,其中 p 为),(~ pnBX
2/ ( 1 0 ) 1,6 4 5 1 6,4 5n p q n p q
设 pqpppf )1()(
令 021)( ppf
当 时,达到最大值,2/1?p 4/1)(?pf
6 8 0,7 9 7,1 4
1 0 0 2 0 5
电视台需安排 5 人作调查,
取 100.
21 6,4 5 2 7 0,6 ( 1 / 4 ) 6 7,6 5p q n
所以取 就能满足要求,68n?
若使调查误差在 1%之内，则
21 6 4,5 2 7 0 6 0,2 5 ( 1 / 4 ) 6 7 6 5p q n
所以取 就能满足要求,6766n?
9 6 6 6 2 0 4 8 3,3
电视台需安排 484 人作调查,
取 9666,71.9 6 6 57.06 7 6 6
解要估计的收视率,要求 n,使
pq现在的问题是如何确定?,
设 为回答看电视的居民中 在收看X
节目 A 的户数,则,其中 p 为),(~ pnBX
96.1)10/( pqn pqn 26.19
95.01)]10/([2 pqn
)1.0/( pnXP
)]10/(/)([ pqnn p qnpXP
设 pqpppf )1()(
令 021)( ppf
当 时,达到最大值,2/1?p 4/1)(?pf
npq 04.96)4/1(6.196.19 22
所以取 就能满足要求,97?n
1 3 97.097
720140
电视台需安排 7 人作调查,
取 140.
02)( pf又若使调查误差在 1%之内，则电视台需安排 687 人作调查,
取 13722.
npq 9 6 0 4)4/1(3 8 4 1 51 9 6 2
所以取 就能满足要求,9605?n
4.137217.09605
1.6862013722
一本书有 1 000 000 个印刷符号,
排版时每个符号被排错的概率为千分之一,校对时,每个排版错误被改正的概率为 0.99,求在校对后错误不多于
15 个的概率,
第 12周 问 题一本书有 1000000个印刷符号,排版时每个符号被排错的概率为千分之一,校对时,每个排版错误被改正的概率为 0.99，
求在校对后错误不多于 15个的概率,
解 设?
iX
1 第 i 个印刷符号被排错
0 第 i 个印刷符号未排错则总的被排错的印刷符号个数?
610
1i
iXX
)0 0 1.0,10(~ 6BX且解
1000)(?XE,9 9 9)(?XD
Y设校对后错误个数为,
XYE 01.0)(?,0 0 9 9.0)( XYD?
10)(01.0)01.0()]([)( XEXEYEEYE
.9 9 90 0 9 9.0)(0 0 9 9.0)( 22 XDYD
则近似有 )9 9 90 0 9 9.0,10(~ 2?NY
由中心极限定理于是
.1)98.15(
9990099.0
1015
)15(
YP
)01.0,(~ XBY则解 令
1 第 i 个符号被排错校对后仍错
0 其 他?iX
由于排版与校对是两个独立的工作,因而
,10)99.01(0 0 1.0)1( 5iXP 5101)0(iXP
510)(
iXE,)101(10)(
55
iXD
))101(10,10(~ 5BY
设校对后错误个数为?
610
1i
iXY
,则由中心极限定理
)101(10
100
)101(10
1015
)150(
55
YP
1010/5
.9422.0?
116.358.1
第 13周 问 题某水产养殖场两年前在人工湖中混养了黑,白两种鱼,现在需要对黑白鱼数目的比例进行估计,
提示,分别用矩法与极大似然估计法解决此问题,
如何估计湖中黑、白鱼的比例设湖中有黑鱼 a条，则白鱼数为 b=ka，
若是白鱼若是黑鱼
,0
,1
X
,
1
1
)1(
kkaa
a
XP
.
1
)1(1)0(
k
kXPXP
则解其中 k 为待估计参数,从湖中任捕一条鱼，
记为使抽取的样本为简单随机样本，
我们从湖中有放回的捕鱼 n 条,
( 即任捕一条，记下其颜色后放回湖中,
任其自由游动,稍后再捕第二条，重复前一过程 ),得样本 ),..,(
2,1 nXXX
各 相互独立,且均与 同分布,
iX X
设在这 n 次抽样中,捕得 m 条黑鱼,
以此抽样结果可对 k作出估计,下面用通常用的距法和极大似然估计法估计 k,
⑴ 矩估计法,
k
XEX
1
1
)(
11
X
k 矩令可得
nmX /?
由具体抽样结果知,的观测值为,X
1
m
nk
矩k
故 的矩估计值为
⑵ 极大似然估计法的分布为：
iX
1,0,)
1
1()
1
()( 1?
ixxii x
kk
kxXP
ii
则似然函数为：
n
mnxxn
n
k
k
kk
k
xxxkL
n
i
i
n
i
i
)1(
)
1
1
()
1
(),...,;( 1121
)1l n (ln)(),...,;(ln 21 knkmnxxxkL n
0
1
),...,;(ln 21?
k
n
k
mn
dk
xxxkLd n令得 的极大似然估计为k,1/ mnk
M L E
本题虽简单,但它是一个应用十分广泛的统计模型,
例如 可将黑白鱼看成是某批产品中的正次品或是某地区的男女性等等,
[注 ]
第 14周 问 题母亲嗜酒是否影响下一代的健康美国的 Jones医生于 1974年观察了母亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的 6名七岁儿童 （ 称为甲组 ）,以母亲的年龄,文化程度及婚姻状况与前 6名儿童的母亲相同或相近,但不饮酒的 46名七岁儿童为对照租 (称为乙组 ),测定两组儿童的智商,
结果如下：
甲 组 6 78 19
乙 组 46 99 16
人数 智商平均数 样本标准差
n x s
智商组别由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一代的智力？若有影响，推断其影响程度有多大?
提示 前一问题属假设检验问题后一问题属区间估计问题智商一般受诸多因素的影响,从而可以
),(),( 222211 uNuN 和本问题实际是检验甲组总体的均值是否比乙组总体的均值偏小?
若是，这个差异范围有多大? 前一问题属假设检验，后一问题属区间估计,
解假定两组儿童的智商服从正态分布,
由于两个总体的方差未知，而甲组的样本容量较小，因此采用大样本下两总体均值比较的 U— 检验法似乎不妥,故
2
2
2
11
2
2
2
10,;, HH
当 为真时,统计量
0H )45,5(~2
2
2
1 F
S
S
F?
采用方差相等 (但未知 ) 时，两正态总体均值比较的 t— 检验法对第一个问题作出回答,为此,利用样本先检验两总体方差是否相等，即检验假设拒绝域为
1.0取
)45,5()45,5( 2/2/1 FFFF 或
)45,5()45,5( 95.02/1 FF
43.2)45,5()45,5( 05.02/ FF?
22.0)5,45(/1 05.0 F
)45,5()45,5(
,41.1
16
19
05.0095.0
2
2
0
FFF
FF
得的观察值未落在拒绝域内，故接受,即可认为
0H
两总体方差相等,下面用 t — 检验法检
1? 2?验 是否比 显著偏小？ 即检验假设
211210,;,uuHuuH
当 为真时，检验统计量
0H
)2(~
11
21
21
21
nnt
nn
S
XX
T
w
01.0,
2
)1()1(
21
2
22
2
112?
取
nn
SnSn
S w其中的观察值T
,46,6,16,19 212221 nnSS将
)50(54.296.2 01.00 tT
代入得99,78 21 xx
嗜酒会对儿童智力发育产生不良影响,
落在拒绝域内,故拒绝,即认为母亲
0H
下面继续考察这种不良影响的程度,
为此要对两总体均值差进行区间估计,
)2(
11
21
221
12 nntnnSXX w?
的置信区间为的置信度为 112 uu
取 并代入相应数据可得,01.0
32.16,67.2)50(005.0 wSt
于是置信度为 99% 的置信区间为
46
1
6
1
67.232.167899
)91.39,09.2(91.1821
由此可断言：在 99%的置信度下，嗜酒母亲所生孩子在七岁时的智商比不饮酒的母亲所生孩子在七岁时的智商平均要低 2.09 到 39.91.
故限制显著性水平的原则体现了,保护零假设,的原则,
[注 ] 大家是否注意到，在解决问题时，
两次假设检验所取的显著性水平不同,
前者远
1.0在检验方差相等时，取 ; 在
01.0检验均值是否相等时取,
比后者大,为何这样取呢?因为检验的结果与检验的显著性水平 有关,
小，则拒绝域也会小，产生的后果使零假设难以被拒绝,
0H?
在 较大时,若能接受,说明
0H
说明在所给数据下,得出相应的
2
2
2
11.0
本例中,对,仍得出可被接受,01.0及对,21 uu? 可被拒绝的结论,
结论有很充足的理由,
更充足,
为真的依据很充足 ; 同样，在 很小时，
0H 0H
我们仍然拒绝,说明 不真的理由就另外在区间估计中，取较小的置信若反之,取较大的置信水平，则可
01.0水平 (即较大的置信度 ),从而使得区间估计的范围较大,
减少估计区间的长度，使区间估计精确提高，但相应地区间估计的可靠度降低了，即要冒更大的风险,
