第 2章 资金的时间价值及等值计算
2.1 资金的时间价值
2.2 资金等值计算
2.1 资金的时间价值
（ Time Value of Money）
一,资金的时间价值概念资金的价值既体现在额度上，同时也体现在发生的时间上。
例,有一个公司面临两个投资方案 A,B，寿命期都是 4年，初始投资也相同，均为 10000元。实现利润的总额也相同，但每年数额不同，具体数据见下表：
年末 A方案 B方案
0 -10000 -10000
1 7000 1000
2 5000 3000
3 3000 5000
4 1000 7000
资金的时间价值：
资金在周转使用过程中由于时间因素而形成的价值 差额 。
资金时间价值如何度量？
例如：社会总体资金具体资金二、现金流量图
（ cash flow diagram）
现金流出量,项目所需的 各种费用,例如投资、
成本等现金流量 （ cash flow）：由许多次投入（支出
）和产出（收入）按时间顺序构成的动态序量现金流入量：项目带来的 各种收入,例如销售收入、利润等收支
disbursement
－
＋ receipts
P
0 1 2 3 4 …… n-1 n
年例,
现金流量图,
……
现金流量图的观点：
1262
0
1000
1 2 3 4
借款人收入支出 支出
1000
1262
4
贷款人
0 1 2 3
收入例,
2.2 资金等值 （ Equivalent Value） 计算一,折现的概念现在值（ Present Value 现值）,未来时点上的资金折现到现在时点的资金价值。
将来值（ Future Value 终值）,与现值等价的未来某时点的资金价值。
折现（ Discount 贴现）,把将来某一时点上的资金换算成与现在时点相等值的金额的换算过程例,定期一年存款 100元,月息 9.45厘,一年后本利和 111.34元 。 这 100元就是现值,111.34元是其一年后的终值 。 终值与现值可以相互等价交换,
把一年后的 111.34元换算成现在的值 100元的折算过程就是折现,
1 =×+=1P
F
ni= +
111.34
12 0.00945 100
利率 （ Interest Rate）,一定时间（年、月）所得到的利息额与原资金额（本金）之比，通常用百分数表示计息周期 （ Interest Period）,计算利息的时间单位付息周期,在计息的基础上支付利息的时间单位二,利息的概念利息 （ Interest）,资金通过一定时间的生产经营活动以后的增值部分或投资的收益额三、单 利和复利单利 （ Simple Interest）,只计本金利息，而利息不计利息。
P—本金 n—计息期数 i—利率
I—利息总额 F—本利和
( )F P ni P I= + = +1
I P= ni
例,第 0年末存入 1000元，年利率 6％,4年末可取多少钱？
12401000× 6%=60
11801000× 6%=60
11201000× 6%=60
10601000× 6%=60
10000
4
3
2
1
0
年末本利和年末利息年 末
I＝ 1000× 4× 6％＝ 240
F＝ 1000＋ 240＝ 1240
复利 （ Compound interest）,除本金以外，利息也计算下个计息期的利息，即利滚利。
1262.481191.02× 6%=71.46
1191.021123.60× 6%=67.42
1123.601060× 6%=63.60
10601000× 6%=60
10000
4
3
2
1
0
年末本利和年末利息年 末上例,
本金越大，利率越高，年数越多时，两者差距就越大。
单利与复利的比较我国银行对储蓄存款实行级差单利计算例：某年某月定期存款利率存款种类 3个月 6个月 一年 二年 三年 五年年利率 % 1.98 2.16 2.25 2.43 2.70 2.88
我国银行对贷款实行复利计算例：年利率 2.25%复利计算，存两年 10000元本金到期可得本利和为
10000（ 1+0.0225)2 = 10455.06
若按两年单利 2.43%计算,存两年定期本利和为
10000（ 1+2× 0.0243) = 10486
一次支付终值公式；
一次支付现值公式；
等额支付系列终值公式；
等额支付系列偿债基金公式；
等额支付系列资金回收公式；
等额支付系列现值公式；
等差支付系列终值公式；
等差支付系列现值公式；
等差支付系列年值公式；
等比支付系列现值与复利 公式以复利计算的资金等值计算公式符号定义,
P — 现值
F — 将来值
i — 年利率
n — 计息期数
A — 年金（年值） Annuity计息期末等额发生的现金流量
G — 等差支付系列中的等差变量值 Arithmetic
Gradient
g — 等比系列中的增减率 Geometric
⒈ 一次支付终值公式
0 1 2 3 ………………,n-1 n 年
F=?
P
公式推导,设年利率 i
年 末 年末利息 年末本利和
0
1
2
3
┇
n
( )iiP +1
( )P i i1 2+
( )P i in1 1+?
( )iPPiP +=+ 1
( ) ( ) ( )P i P i i P i1 1 1 2+ + + = +
( )P i1 3+
( )P i n1 +
0 P
Pi
┇ ┇
F = P(1+i)n
(1+i)n =（ F/P,i,n） _____一次支付终值系数
（ Compound amount factor,single payment）
即 n年后的将来值为：
= P（ F/P,i,n）
例,
某工程现向银行借款 100万元，年利率为 10%，
借期 5年，一次还清。问第五年末一次还银行本利和是多少?
或
F = P（ F/P,i,n）
F = P(1+i)n = （ 1+10%） 5100 =161.05（万元）解：
= 100（ F/P,10%,5） (查复利表）
= 100 × 1.6105= 161.05（万元）
⒉ 一次支付现值公式
P = F(1+i)-n
0 1 2 3 ………………,n-1 n 年
F
P =？
(1+i)-n =（ P/F,i,n） — 一次支付现值系数
（ Present Worth Factor,Single Payment）
= F（ P/F,i,n）
例：
某企业拟在今后第 5年末能从银行取出 20万元购置一台设备，如年利率 10%，那么现应存入银行多少钱？
解,P
= 20 × 0,6209
= 12.418（万元）
= 20× （ 1+10%） -5
⒊ 等额支付系列终值公式
A A A,..........,A A
0 1 2 3 ………………,n-1 n
年
F=?
F A A A A= + + + +)( i+1 )( i+1 ( )i+1n?2 n?1L
( ) ( ) ( ) ( ) ( )F i A i A i A i A in n1 1 1 1 12 1+ = + + + + + + + +?L
( ) ( ) niAAFiF ++?=?+ 11
( )Fi A i n= +?1 1
(1+i)n -1
i
即
=（ F/A,i,n） — 等额支付系列终值 系数
（ compound amount factor,uniform series）
= AF (1+i)
n -1
i = A（ F/A,i,n）
某厂连续 3年，每年末向银行存款 1000万元，
利率 10%，问 3年末本利和是多少？
例：
解,
F (1+0.1)
3 -1
0.1= 1000 × = 3310（万元）
⒋ 等额支付系列偿债（积累）基金公式
(1+i)n -1
i
A A A ………………,A A=？
0 1 2 3 ………………,n-1 n
年
F
=（ A/F,i,n） — 等额支付系列偿债基金系数
（ Sinking Fund Factor）
= (1+i)n -1iA = F（ A/F,i,n）F
某工厂计划自筹资金于 5年后新建一个基本生产车间，预计需要投资 5000万元。年利率
5%，从现在起每年年末应等额存入银行多少钱?
例：
解,A= F
(1+i)n -1
i = 5000
(1+5%)5 -1
5%
= 5000× 0.181
= 905（万元）
⒌ 等额支付系列资金回收（恢复）公式等额支付系列资金回收现金流量图
0 1 2 3 ………………,n-1 n 年
P
A A A ………………,？ =A A
F
=（ A/P,i,n） _____资金回收系数
（ capital recovery factor）(1+i)
n -1
i (1+i)n
( )A F
i
i n
=
+?
1 1
( )F P i n= +1而于是 = P（ A/P,i,n）
i=
(1+i)n -1A
(1+i)nP
某工程项目一次投资 30000元，年利率 8%，
分 5年每年年末等额回收，问每年至少回收多少才能收回全部投资?
例：
解：
A=P (1+i)n–1i (1+i)n = (1+0.08)5 -10.08(1+0.08)530000
= 7514（元）
某新工程项目欲投资 200万元,工程 1年建成,生产经营期为 9年,期末不计算余值 。 期望投资收益率为 12％,问每年至少应等额回收多少金额？
例,
0
2 3 4 5 6 7 8 9 101
P
A
041.42
]
1)12.01(
)12.01(12.0
[)12.01(200
)9%,12,/)(1%,12,/(200
9
9
1
=
+
+
+=
= PAPFA
万元
⒍ 等额支付系列现值公式
P
(1+i)n -1
i (1+i)n
0 1 2 3 ………………,n-1 n 年
P=？
A A A ………………,A A
= A（ P/A,i,n）
=（ P/A,i,n） — 等额支付系列现值 系数
（ Present Worth Factor,Uniform Series）
= (1+i)
n -1
i (1+i)nA
某项目投资，要求连续 10年内连本带利全部收回，且每年末等额收回本利和为 2万元，
年利率 10%，问开始时的期初投资是多少？
例：
解,P = 2（ 10%,10P/A,）
= 12.2892（万元）
0 1 2 3 4 5 …… n-1 n
F
(n-1)G
(n-2)G
4G
3G
G 2G
年
P
7,等差支付系列终值公式
( )1,,/?niAF ( )2,,/?niAFF = G + G ++L G ( )2,,/ iAF + G ( )1,,/ iAF
= ( ) ( ) ( ) ( )
++?
+++
++
+
i
iG
i
iG
i
iG
i
iG nn 11111111 221 L
( )?
+ n
i
i
i
G n 11=
( )F G i n/,,
为 等差支付系列复利系数
（ compound amount factor,arithmetic gradient）
( )?
+ n
i
i
i
n 111 =记
( )niPF += 1?
( ) ( )?
+=+? n
i
i
i
GiP nn 111
( )
( )P G
i in
i i
n
n=
+
+
1 1
12
即
( )P G i n/,,
等差支付系列现值系数
(arithmetic gradient to present worth )( )niGP,,/
( )
( )
+
+
n
n
ii
ini
1
11
2
=
G=
8,等差支付系列现值公式已知某机床售价 40000元，可使用 10年，不计算残值。据估算第一年维修费为 1000元，以后每年按 300元递增,i＝ 15％，求该机床所耗费的全部费用的现值。
例：
0 1 2 3 …… 8 9 10 年
1000 1300 1600 ……
3100
3400 3700
40000
( ) ( )P P P P A P G= + = + +
= +? +? =
1 2 40000 1000 1 5 %,10 300 1 5 %,10
40000 1000 5 019 300 16 98 50113
/,/,
.,
该公式是把等差支付系列换算成等额支付系列
( )? A P A P i n= /,,
( )? P G P G i n= /,,
( )( )
( )
( )
( )
( )
+
+
+
+
=
=?
11
1
1
11
,,/,,/
2 n
n
n
n
i
ii
ii
ini
G
niPAniGPGA
( )
( )
+
+=
11
11
n
n
ii
iniG
9,等差支付系列年值公式
( )
( )11
11
+
+
n
n
ii
ini ( )niGA,,/=
记等差支付系列年值系数
（ arithmetic gradient conversion factor）
即
( )( ) GniPAniGPGA ==,,/,,/ ( )niGA,,/
某厂第一年年末销售利润额为 50万元，预测在以后 4年每年将递增 10万元，年利率为 10％，如果换算成 5年的等额支付系列，其年值是多少？
例：
解：
( ) ( ) 1 0 1.685%,10,/1050,,/1 =?+=+= GAniGAGAA （万元）
0 1 2 3 4 …… n-1 n
A A(1+g)
A(1+g)2
A(1+g)3
A(1+g)n-2
A(1+g)n-1
10,等比支付系列现值与复利公式现金流公式：
( ) 11?+= tt gAA t=1,…,n
其中 g为现金流周期增减率。
经推导，现值公式为：
( ) ( )?
++?=?
gi
igAP nn 111 gi?
gi=P nA
i= +1
( ) ( )
++
gi
ig nn 111
记
( )nigAP,,,/= 等比支付系列现值系数
（ geometric gradient to present worth ）
复利公式：
( ) ( ) ( ) ( )?
++?+=+=?
gi
igiAiPF nnnn 11111
( ) ( ) ( )?
++?+?
gi
igi nnn 1111 =
记 ( )nigAF,,,/
某厂投入 32000元增添一套生产设备,预计第一年产品销售额可增加 20000元,以后逐年年收入增加率为 7％,计划将每年收入的 10％ 按年利率 5％ 存入银行,问 10年后这笔存款可否换回一套新设备？
解：
例,
0 1 2 3 10 年
2000
2000 (1+0.07)
2000(1+0.07)9
( ) ( ) ( ) 02.2 0 7 6 607.005.0 05.0107.0112 0 0 010%,5%,7,/2 0 0 0
1010
=?
++?==?APP
( )F F P= =20766 02 5 %,10 33825 66,/,.>32000元
（元）
（元）
所以 10年后可以换一台新设备。
五,资金等值计算资金等值,在同一系统中不同时点发生的相关资金，数额不等但价值相等，这一现象即资金等值。
决定资金等值的因素有三个：
① 资金的金额大小
② 资金金额发生的时间
③ 利率的大小性质,如果两个现金流量等值，则它们在任何时间折算的相应价值必定相等。
按单利 计算,相当于只计息不付息,
r i mc= =? =1% 12 12%
例：存款 100元，每月计息一次，月利率为 1％，求一年后的本利和。
解：
按 复利 计算,相当于计息且付息,
( ) （元）1 1 212.011 0 0 =+?=F
( ) ( ) （元）68.11201.011001100 1212 =+?=+?= ciF
%1=ci m =12
六、名义利率、实际利率与连续利率
i = 12.68% （ 实际利率）
（ 名义利率）
m（ 一年内的 ） 计息期数名义利率 mir c=
ic
i F PP=?
实际利率其中 实际计息期利率按复利计算一年内的利息额与原始本金的比值，即如何根据名义利率计算实际利率呢？
( )? F P i c m= +1
( ) ( )? = +? = +?i P i P
P i
c
m
c
m1 1 1
i rmc =? = +i rm
m
1 1又当 时m
当 m = 1时当 m >1时即为按连续复利计息计算
i = r
i >r
七、（复利）资金等值计算的几种情况在工程经济分析的实践中,有时 计息周期 是 小于一年 的,
如季,半年,月,周,日 … 等,这时根据 支付周期 与 计息周期 的关系可分为三种情况来进行分析 。
计息周期,某某时间计息一次，表明计息且付息，即按复利计算支付周期,指现金流量的发生周期，亦称支付期。
(一 )计息周期等于支付期的情况设年利率 12％,每季计息一次,从现在起三年内以每季末 200元的等额值支出,问与其等值的终值是多少 。
例,
解：
i rm= = =0 124 0 03.,（次）1234 =?=n
计息周期利率 计息期数
( ) ( )? = = =F A F A i n F A/,,/,.,.200 0 03 12 2838 4
0 1 2 3 4 8 12（ 季度 ）
1年 2年 3年
200
有人目前借入 2000元,在今后 2年中分 24次偿还 。 每次偿还 99.80元
,复利按月计算,试求月实际利率,年名义利率和年实际利率 。
( )99 80 2000 24,/,,= A P i
( )A P i/,,.,24 99 802000 0 0499= =
例,
即解：
年实际利率
ic = 1 5%.
r i c=? =12 18%
i rm
m
= + = + =1 1 1 0 1812 1 19 56%
12.
.
查表可得 ～ 月实际利率年名义利率
(二 )计息期小于支付期的情况例,某人每半年存入银行 500元，共三年，年利率 8％，每季复利一次，试问 3年底他的帐户总额。
0 1 2 3 4 5 6（ 半年 ）
500
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12（季）
方法一：先求计息期实际利率,再进行复利计算：
计息周期总数为 12（季）
%24%8 ==季i
( ) ( ) ( ) ( )
( ) （元）8.3 3 1 95002%,2,/500
4%,2,/5006%,2,/5008%,2,/50010%,2,/500
=++
+++=
PF
PFPFPFPFF
每季复利一次，则季实际利率方法二：把每个支付周期期末发生的现金流换算为以计息期为基础的等额系列,再求复利和：
( ) （元）季 53.2 4 72%,2,/5 0 0 == FAA
( ) （元）8.3 3 1 912%,2,/53.2 4 7 == AFF
方法三：先求支付周期的实际利率,再以支付期为基础进行复利计算：
%04.412 2%21
2
=
+=i
( ) （元）8.3 3 1 96%,04.4,/500 == AFF
计息期间的 存款应放在期末,而计息期间的 提款应放在期初 。
每季度计息一次，年利率 8％，求年底帐户总额。例,
250
400
100
存款提款
100
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12（ 月 ）
(二 )计息期大于支付期的情况解：按上述原则,现金流量图可改画为：
100
250
400
100
200
0 1 2 3 4 季度
300
( )( ) ( ) ( )( )
（元）3.262
1002%,2,/2503003%,2,/1004%,2,/200400
=
+?+= PFPFPFF
m
i rm
m
= +1 1
( ) ( )F P i n i rm rmn
m n mn
/,,= + = + +
= +1 1 1 1 1
( )F P r n e nr/,,=
( )P F r n e nr/,,=? ( ) ( )
1
1,,/
=
rnr
nr
ee
enrAP
八、连续复利
1.连续复利（公式）系数现金流是离散的，复利是连续的，即例如,
令m 则有同理此时现金流也是连续的,计算公式虽然较复杂,但在某些情况下,可能也是符合工程项目资金活动实际的 。 关键是现金流量的数学表达 。
2.连续现金流量的连续复利计算本章作业
P49 2-9,2-10,2-12,2-13,2-14
P50 2-16
2.1 资金的时间价值
2.2 资金等值计算
2.1 资金的时间价值
（ Time Value of Money）
一,资金的时间价值概念资金的价值既体现在额度上，同时也体现在发生的时间上。
例,有一个公司面临两个投资方案 A,B，寿命期都是 4年，初始投资也相同，均为 10000元。实现利润的总额也相同，但每年数额不同，具体数据见下表：
年末 A方案 B方案
0 -10000 -10000
1 7000 1000
2 5000 3000
3 3000 5000
4 1000 7000
资金的时间价值：
资金在周转使用过程中由于时间因素而形成的价值 差额 。
资金时间价值如何度量？
例如：社会总体资金具体资金二、现金流量图
（ cash flow diagram）
现金流出量,项目所需的 各种费用,例如投资、
成本等现金流量 （ cash flow）：由许多次投入（支出
）和产出（收入）按时间顺序构成的动态序量现金流入量：项目带来的 各种收入,例如销售收入、利润等收支
disbursement
－
＋ receipts
P
0 1 2 3 4 …… n-1 n
年例,
现金流量图,
……
现金流量图的观点：
1262
0
1000
1 2 3 4
借款人收入支出 支出
1000
1262
4
贷款人
0 1 2 3
收入例,
2.2 资金等值 （ Equivalent Value） 计算一,折现的概念现在值（ Present Value 现值）,未来时点上的资金折现到现在时点的资金价值。
将来值（ Future Value 终值）,与现值等价的未来某时点的资金价值。
折现（ Discount 贴现）,把将来某一时点上的资金换算成与现在时点相等值的金额的换算过程例,定期一年存款 100元,月息 9.45厘,一年后本利和 111.34元 。 这 100元就是现值,111.34元是其一年后的终值 。 终值与现值可以相互等价交换,
把一年后的 111.34元换算成现在的值 100元的折算过程就是折现,
1 =×+=1P
F
ni= +
111.34
12 0.00945 100
利率 （ Interest Rate）,一定时间（年、月）所得到的利息额与原资金额（本金）之比，通常用百分数表示计息周期 （ Interest Period）,计算利息的时间单位付息周期,在计息的基础上支付利息的时间单位二,利息的概念利息 （ Interest）,资金通过一定时间的生产经营活动以后的增值部分或投资的收益额三、单 利和复利单利 （ Simple Interest）,只计本金利息，而利息不计利息。
P—本金 n—计息期数 i—利率
I—利息总额 F—本利和
( )F P ni P I= + = +1
I P= ni
例,第 0年末存入 1000元，年利率 6％,4年末可取多少钱？
12401000× 6%=60
11801000× 6%=60
11201000× 6%=60
10601000× 6%=60
10000
4
3
2
1
0
年末本利和年末利息年 末
I＝ 1000× 4× 6％＝ 240
F＝ 1000＋ 240＝ 1240
复利 （ Compound interest）,除本金以外，利息也计算下个计息期的利息，即利滚利。
1262.481191.02× 6%=71.46
1191.021123.60× 6%=67.42
1123.601060× 6%=63.60
10601000× 6%=60
10000
4
3
2
1
0
年末本利和年末利息年 末上例,
本金越大，利率越高，年数越多时，两者差距就越大。
单利与复利的比较我国银行对储蓄存款实行级差单利计算例：某年某月定期存款利率存款种类 3个月 6个月 一年 二年 三年 五年年利率 % 1.98 2.16 2.25 2.43 2.70 2.88
我国银行对贷款实行复利计算例：年利率 2.25%复利计算，存两年 10000元本金到期可得本利和为
10000（ 1+0.0225)2 = 10455.06
若按两年单利 2.43%计算,存两年定期本利和为
10000（ 1+2× 0.0243) = 10486
一次支付终值公式；
一次支付现值公式；
等额支付系列终值公式；
等额支付系列偿债基金公式；
等额支付系列资金回收公式；
等额支付系列现值公式；
等差支付系列终值公式；
等差支付系列现值公式；
等差支付系列年值公式；
等比支付系列现值与复利 公式以复利计算的资金等值计算公式符号定义,
P — 现值
F — 将来值
i — 年利率
n — 计息期数
A — 年金（年值） Annuity计息期末等额发生的现金流量
G — 等差支付系列中的等差变量值 Arithmetic
Gradient
g — 等比系列中的增减率 Geometric
⒈ 一次支付终值公式
0 1 2 3 ………………,n-1 n 年
F=?
P
公式推导,设年利率 i
年 末 年末利息 年末本利和
0
1
2
3
┇
n
( )iiP +1
( )P i i1 2+
( )P i in1 1+?
( )iPPiP +=+ 1
( ) ( ) ( )P i P i i P i1 1 1 2+ + + = +
( )P i1 3+
( )P i n1 +
0 P
Pi
┇ ┇
F = P(1+i)n
(1+i)n =（ F/P,i,n） _____一次支付终值系数
（ Compound amount factor,single payment）
即 n年后的将来值为：
= P（ F/P,i,n）
例,
某工程现向银行借款 100万元，年利率为 10%，
借期 5年，一次还清。问第五年末一次还银行本利和是多少?
或
F = P（ F/P,i,n）
F = P(1+i)n = （ 1+10%） 5100 =161.05（万元）解：
= 100（ F/P,10%,5） (查复利表）
= 100 × 1.6105= 161.05（万元）
⒉ 一次支付现值公式
P = F(1+i)-n
0 1 2 3 ………………,n-1 n 年
F
P =？
(1+i)-n =（ P/F,i,n） — 一次支付现值系数
（ Present Worth Factor,Single Payment）
= F（ P/F,i,n）
例：
某企业拟在今后第 5年末能从银行取出 20万元购置一台设备，如年利率 10%，那么现应存入银行多少钱？
解,P
= 20 × 0,6209
= 12.418（万元）
= 20× （ 1+10%） -5
⒊ 等额支付系列终值公式
A A A,..........,A A
0 1 2 3 ………………,n-1 n
年
F=?
F A A A A= + + + +)( i+1 )( i+1 ( )i+1n?2 n?1L
( ) ( ) ( ) ( ) ( )F i A i A i A i A in n1 1 1 1 12 1+ = + + + + + + + +?L
( ) ( ) niAAFiF ++?=?+ 11
( )Fi A i n= +?1 1
(1+i)n -1
i
即
=（ F/A,i,n） — 等额支付系列终值 系数
（ compound amount factor,uniform series）
= AF (1+i)
n -1
i = A（ F/A,i,n）
某厂连续 3年，每年末向银行存款 1000万元，
利率 10%，问 3年末本利和是多少？
例：
解,
F (1+0.1)
3 -1
0.1= 1000 × = 3310（万元）
⒋ 等额支付系列偿债（积累）基金公式
(1+i)n -1
i
A A A ………………,A A=？
0 1 2 3 ………………,n-1 n
年
F
=（ A/F,i,n） — 等额支付系列偿债基金系数
（ Sinking Fund Factor）
= (1+i)n -1iA = F（ A/F,i,n）F
某工厂计划自筹资金于 5年后新建一个基本生产车间，预计需要投资 5000万元。年利率
5%，从现在起每年年末应等额存入银行多少钱?
例：
解,A= F
(1+i)n -1
i = 5000
(1+5%)5 -1
5%
= 5000× 0.181
= 905（万元）
⒌ 等额支付系列资金回收（恢复）公式等额支付系列资金回收现金流量图
0 1 2 3 ………………,n-1 n 年
P
A A A ………………,？ =A A
F
=（ A/P,i,n） _____资金回收系数
（ capital recovery factor）(1+i)
n -1
i (1+i)n
( )A F
i
i n
=
+?
1 1
( )F P i n= +1而于是 = P（ A/P,i,n）
i=
(1+i)n -1A
(1+i)nP
某工程项目一次投资 30000元，年利率 8%，
分 5年每年年末等额回收，问每年至少回收多少才能收回全部投资?
例：
解：
A=P (1+i)n–1i (1+i)n = (1+0.08)5 -10.08(1+0.08)530000
= 7514（元）
某新工程项目欲投资 200万元,工程 1年建成,生产经营期为 9年,期末不计算余值 。 期望投资收益率为 12％,问每年至少应等额回收多少金额？
例,
0
2 3 4 5 6 7 8 9 101
P
A
041.42
]
1)12.01(
)12.01(12.0
[)12.01(200
)9%,12,/)(1%,12,/(200
9
9
1
=
+
+
+=
= PAPFA
万元
⒍ 等额支付系列现值公式
P
(1+i)n -1
i (1+i)n
0 1 2 3 ………………,n-1 n 年
P=？
A A A ………………,A A
= A（ P/A,i,n）
=（ P/A,i,n） — 等额支付系列现值 系数
（ Present Worth Factor,Uniform Series）
= (1+i)
n -1
i (1+i)nA
某项目投资，要求连续 10年内连本带利全部收回，且每年末等额收回本利和为 2万元，
年利率 10%，问开始时的期初投资是多少？
例：
解,P = 2（ 10%,10P/A,）
= 12.2892（万元）
0 1 2 3 4 5 …… n-1 n
F
(n-1)G
(n-2)G
4G
3G
G 2G
年
P
7,等差支付系列终值公式
( )1,,/?niAF ( )2,,/?niAFF = G + G ++L G ( )2,,/ iAF + G ( )1,,/ iAF
= ( ) ( ) ( ) ( )
++?
+++
++
+
i
iG
i
iG
i
iG
i
iG nn 11111111 221 L
( )?
+ n
i
i
i
G n 11=
( )F G i n/,,
为 等差支付系列复利系数
（ compound amount factor,arithmetic gradient）
( )?
+ n
i
i
i
n 111 =记
( )niPF += 1?
( ) ( )?
+=+? n
i
i
i
GiP nn 111
( )
( )P G
i in
i i
n
n=
+
+
1 1
12
即
( )P G i n/,,
等差支付系列现值系数
(arithmetic gradient to present worth )( )niGP,,/
( )
( )
+
+
n
n
ii
ini
1
11
2
=
G=
8,等差支付系列现值公式已知某机床售价 40000元，可使用 10年，不计算残值。据估算第一年维修费为 1000元，以后每年按 300元递增,i＝ 15％，求该机床所耗费的全部费用的现值。
例：
0 1 2 3 …… 8 9 10 年
1000 1300 1600 ……
3100
3400 3700
40000
( ) ( )P P P P A P G= + = + +
= +? +? =
1 2 40000 1000 1 5 %,10 300 1 5 %,10
40000 1000 5 019 300 16 98 50113
/,/,
.,
该公式是把等差支付系列换算成等额支付系列
( )? A P A P i n= /,,
( )? P G P G i n= /,,
( )( )
( )
( )
( )
( )
+
+
+
+
=
=?
11
1
1
11
,,/,,/
2 n
n
n
n
i
ii
ii
ini
G
niPAniGPGA
( )
( )
+
+=
11
11
n
n
ii
iniG
9,等差支付系列年值公式
( )
( )11
11
+
+
n
n
ii
ini ( )niGA,,/=
记等差支付系列年值系数
（ arithmetic gradient conversion factor）
即
( )( ) GniPAniGPGA ==,,/,,/ ( )niGA,,/
某厂第一年年末销售利润额为 50万元，预测在以后 4年每年将递增 10万元，年利率为 10％，如果换算成 5年的等额支付系列，其年值是多少？
例：
解：
( ) ( ) 1 0 1.685%,10,/1050,,/1 =?+=+= GAniGAGAA （万元）
0 1 2 3 4 …… n-1 n
A A(1+g)
A(1+g)2
A(1+g)3
A(1+g)n-2
A(1+g)n-1
10,等比支付系列现值与复利公式现金流公式：
( ) 11?+= tt gAA t=1,…,n
其中 g为现金流周期增减率。
经推导，现值公式为：
( ) ( )?
++?=?
gi
igAP nn 111 gi?
gi=P nA
i= +1
( ) ( )
++
gi
ig nn 111
记
( )nigAP,,,/= 等比支付系列现值系数
（ geometric gradient to present worth ）
复利公式：
( ) ( ) ( ) ( )?
++?+=+=?
gi
igiAiPF nnnn 11111
( ) ( ) ( )?
++?+?
gi
igi nnn 1111 =
记 ( )nigAF,,,/
某厂投入 32000元增添一套生产设备,预计第一年产品销售额可增加 20000元,以后逐年年收入增加率为 7％,计划将每年收入的 10％ 按年利率 5％ 存入银行,问 10年后这笔存款可否换回一套新设备？
解：
例,
0 1 2 3 10 年
2000
2000 (1+0.07)
2000(1+0.07)9
( ) ( ) ( ) 02.2 0 7 6 607.005.0 05.0107.0112 0 0 010%,5%,7,/2 0 0 0
1010
=?
++?==?APP
( )F F P= =20766 02 5 %,10 33825 66,/,.>32000元
（元）
（元）
所以 10年后可以换一台新设备。
五,资金等值计算资金等值,在同一系统中不同时点发生的相关资金，数额不等但价值相等，这一现象即资金等值。
决定资金等值的因素有三个：
① 资金的金额大小
② 资金金额发生的时间
③ 利率的大小性质,如果两个现金流量等值，则它们在任何时间折算的相应价值必定相等。
按单利 计算,相当于只计息不付息,
r i mc= =? =1% 12 12%
例：存款 100元，每月计息一次，月利率为 1％，求一年后的本利和。
解：
按 复利 计算,相当于计息且付息,
( ) （元）1 1 212.011 0 0 =+?=F
( ) ( ) （元）68.11201.011001100 1212 =+?=+?= ciF
%1=ci m =12
六、名义利率、实际利率与连续利率
i = 12.68% （ 实际利率）
（ 名义利率）
m（ 一年内的 ） 计息期数名义利率 mir c=
ic
i F PP=?
实际利率其中 实际计息期利率按复利计算一年内的利息额与原始本金的比值，即如何根据名义利率计算实际利率呢？
( )? F P i c m= +1
( ) ( )? = +? = +?i P i P
P i
c
m
c
m1 1 1
i rmc =? = +i rm
m
1 1又当 时m
当 m = 1时当 m >1时即为按连续复利计息计算
i = r
i >r
七、（复利）资金等值计算的几种情况在工程经济分析的实践中,有时 计息周期 是 小于一年 的,
如季,半年,月,周,日 … 等,这时根据 支付周期 与 计息周期 的关系可分为三种情况来进行分析 。
计息周期,某某时间计息一次，表明计息且付息，即按复利计算支付周期,指现金流量的发生周期，亦称支付期。
(一 )计息周期等于支付期的情况设年利率 12％,每季计息一次,从现在起三年内以每季末 200元的等额值支出,问与其等值的终值是多少 。
例,
解：
i rm= = =0 124 0 03.,（次）1234 =?=n
计息周期利率 计息期数
( ) ( )? = = =F A F A i n F A/,,/,.,.200 0 03 12 2838 4
0 1 2 3 4 8 12（ 季度 ）
1年 2年 3年
200
有人目前借入 2000元,在今后 2年中分 24次偿还 。 每次偿还 99.80元
,复利按月计算,试求月实际利率,年名义利率和年实际利率 。
( )99 80 2000 24,/,,= A P i
( )A P i/,,.,24 99 802000 0 0499= =
例,
即解：
年实际利率
ic = 1 5%.
r i c=? =12 18%
i rm
m
= + = + =1 1 1 0 1812 1 19 56%
12.
.
查表可得 ～ 月实际利率年名义利率
(二 )计息期小于支付期的情况例,某人每半年存入银行 500元，共三年，年利率 8％，每季复利一次，试问 3年底他的帐户总额。
0 1 2 3 4 5 6（ 半年 ）
500
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12（季）
方法一：先求计息期实际利率,再进行复利计算：
计息周期总数为 12（季）
%24%8 ==季i
( ) ( ) ( ) ( )
( ) （元）8.3 3 1 95002%,2,/500
4%,2,/5006%,2,/5008%,2,/50010%,2,/500
=++
+++=
PF
PFPFPFPFF
每季复利一次，则季实际利率方法二：把每个支付周期期末发生的现金流换算为以计息期为基础的等额系列,再求复利和：
( ) （元）季 53.2 4 72%,2,/5 0 0 == FAA
( ) （元）8.3 3 1 912%,2,/53.2 4 7 == AFF
方法三：先求支付周期的实际利率,再以支付期为基础进行复利计算：
%04.412 2%21
2
=
+=i
( ) （元）8.3 3 1 96%,04.4,/500 == AFF
计息期间的 存款应放在期末,而计息期间的 提款应放在期初 。
每季度计息一次，年利率 8％，求年底帐户总额。例,
250
400
100
存款提款
100
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12（ 月 ）
(二 )计息期大于支付期的情况解：按上述原则,现金流量图可改画为：
100
250
400
100
200
0 1 2 3 4 季度
300
( )( ) ( ) ( )( )
（元）3.262
1002%,2,/2503003%,2,/1004%,2,/200400
=
+?+= PFPFPFF
m
i rm
m
= +1 1
( ) ( )F P i n i rm rmn
m n mn
/,,= + = + +
= +1 1 1 1 1
( )F P r n e nr/,,=
( )P F r n e nr/,,=? ( ) ( )
1
1,,/
=
rnr
nr
ee
enrAP
八、连续复利
1.连续复利（公式）系数现金流是离散的，复利是连续的，即例如,
令m 则有同理此时现金流也是连续的,计算公式虽然较复杂,但在某些情况下,可能也是符合工程项目资金活动实际的 。 关键是现金流量的数学表达 。
2.连续现金流量的连续复利计算本章作业
P49 2-9,2-10,2-12,2-13,2-14
P50 2-16
