第10章 边坡稳定的可靠度和风险分析
10,1 边坡稳定的风险分析
10,1,1 边坡稳定分析中的不确定因素
随着对结构应力变形和稳定分析手段的逐步完善这些分析中包含的不确定因素也暴露得更加明显工程师们逐步意识到在进行工程设计和安全评价时不仅要很好地了解各种分析判断手段而且要把握在进行这些分析过程中包含的各项不确定因素工程建设中的重大决策实际上就是对各项不确定因素造成的风险的评价
近年来风险分析成为了结构和岩土工程师日益关注的课题在岩土和边坡领域一大批著名学者都以这一题目发表了大量的重要论文1965年Casagrande以土工与地基工程中计算风险的作用为题作太沙基讲座演讲同时围绕风险分析的学术活动也十分活跃2000年国际大坝会议将风险分析在大坝安全和管理中的应用作为一个重要专题进行研究交流共收到22个国家的48篇论文2000年在墨尔本召开的世纪岩土工程会议
(GeoEng 2000) 中也提交了大量的有关岩土工程和大坝岩土环境工程中的风险分析方法的特邀报告或主题报告在此基础上各国和各学术机构也在编制有关风险分析的导则规范等
Morgenstern将岩土工程分析中包含的不确定因素分为管理因素模型因素和参数因素三大类
1,管理不确定因素(Human uncertainty)
管理的不确定因素按原文直译应为人为不确定因素指由于人们的行为不当导致的岩土工程失事最常见例子是施工质量方面的问题本章第10.7.2节将讨论青海沟后水库大坝溃决的实例这一工程在大坝设计和施工中存在诸多缺陷是导致失事的主要原因但在这些缺陷的背后隐藏着管理方面的问题有关文献李君纯陈祖煜1996详细介绍了这些非技术因素如项目管理没有归口由省水利厅领导建设单位没有从事水利工程施工经验导致防浪墙止水存在严重施工质量问题在建设过程中不恰当地将原设计的堆石面板坝改为砂砾石面板坝时值汛期管理人员疏于职守闸门启动不灵导致发现险情时无法放空水库通讯不灵导致人员没有及时疏散等上述种种在项目管理方面存在的问题最终导致了340余人死亡的重大事故上述因素在风险分析中难以直接定量评估但是所有从事风险分析的技术人员对这类不确定因素都需要有一个清醒的认识否则再好的风险分析也是脱离实际的
2,模型不确定因素(Model uncertainty)
模型的不确定因素反映了我们在设计过程中采用的分析方法在模拟实际情况方面的局
274 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
限任何一个数学模型在模拟岩土材料的特性时都存在近似性通过第5章的论述我们认识到摩尔?库仑强度准则和室内外的试验在模拟岩土材料抗剪强度特性方面存在局限性第2章和第3章介绍的极限平衡分析方法也包含有多个假定土石坝设计规范规定对瑞典法和Bishop法采用不同的允许安全系数反映了对模型所包含的误差的处理这些例子所包含的误差总体来说是较小的在边坡稳定分析领域还有一些更大的模型不确定性因素例如对降雨导致的土的饱和或非饱和孔隙水压力特征的模拟对土在渗流和抗剪强度方面各向异性的模拟对在地震动力条件下边坡稳定性的模拟等沟后大坝溃决后在残留坝体得到一个难得一见的大坝的横剖面图从而发现上坝砂砾料在洒水和震动碾压条件下会发生液化导致骨架分离形成一层细颗粒一层粗颗粒这样的结构这些细颗粒层作为相对不透水带阻止渗入坝体内的水往垂直方向渗透导致坝体浸润线抬高这是大坝溃决的主要原因详见文献李君纯陈祖煜1996在没有认识到这一问题以前人们将筑坝材料视为各自同性的均匀介质那么这样的分析就包含有较大的模型误差在岩土工程领域类似这样认识上的盲区可能还不少
模型所包含的误差不一定总是不利因素例如在边坡稳定分析领域通常采用二维分析方法所得安全系数通常较实际值偏低
3,参数不确定因素(Parameter uncertainty)
参数不确定因素是因岩土材料的极不均匀性决定的在已经确定了数学模型的基础上分析由于参数的变异特征导致边坡工程结构失效的概率这是本章要研究的重点我们称这一分析过程为可靠度分析
这一领域包括两个步骤
(1) 研究影响结构稳定性岩土材料各项参数的变异特征这一工作必须建立在对岩土材料基本特性如干密度 颗粒级配渗透系数及强度等大量试验的基础上需要研究这些试验本身包括的各种误差
(2) 计算可靠度指标和边坡工程失效概率该工作是在确定了各影响因子的变异特征的基础上进行的
综上所述如果定义由管理因素模型因素参数因素导致的系统失效概率分别为P(A)
P(M)和P(P)则整个系统的失效概率P(S)为
(10.1) )]P(1[)M(1[)]A(1[1)S( PPPP?×?×=
P(A) P(M)和P(P)之间并不独立例如由于管理上的不确定因素会直接导致参数较大的变异性因此上式只是近似公式
10,1,2 风险分析的基本原理
Casagrande (1965)指出风险作为一种用来考虑和评估工程实践中诸多不确定和无法预测因素而导致工程失事的一种手段时是所有岩土工程中先天固有的在当今的工程技术还没有发展到能准确确定这些因素时工程技术人员应清醒地意识到风险在工程实践中的先天存在性并运用安全与经济相平衡的原则对工程失事的风险进行分析计算
这一工程风险评估的思想就构成现今岩土工程风险评估的基本理论框架后来许多学第10章 边坡稳定的风险分析 275
者(Whitman,1984; Morgan,1992; Fell,1992)把这一思想继续深化并推广到评定工程安全的风险分析研究实践中但是由于公众和工程技术人员对风险分析理解上的差异相对于业已成熟的确定性分析方法风险分析方法在工程实践中的应用远没有达到成熟的地步
1,基本定义
Fell (1993)回顾了风险分析在大坝安全评估方面的应用的基础上介绍了一种用于滑坡安全的风险评估方法其中用于滑坡风险分析的主要术语可表述如下
分类(Classification)? 对滑坡和潜在滑坡的自然特性的描述
滑坡规模M (Magnitude)? 潜在滑坡体的体积大小以m
3
计
发生概率P (Probability)? 一特定的边坡在一段时间的失稳概率通常为一年
危害H (Hazard)? 对滑坡体积大小和发生概率的总体评估从一般意义来讲H
=
M×P
脆弱度V (Vulnerability)? 对滑坡发生后所能影响范围内的单一个体损失程度的描述通常为0到1之间的一个数
单一风险R
s
(Specific risk)? 等于发生概率和单一个体的脆弱度的乘积即 (R
s
=
P×V)
风险体E (Elements at risk)? 处于滑坡潜在影响范围内的人口财产经济活动以及公共服务等
整体风险Rt (Total Risk)? 可以预计到的人员伤亡财产损失经济活动或者环境受到破坏的数目
有关风险术语的定义还有很多建议(Australian Geomechanics Society,2000; Stewart,
2000)
2,风险管理
风险管理是对风险和承受者的脆弱度进行分析并作出相应对策的综合体系这里包括了对风险的评估和灾害采取的各项应对措施图10.1给出了基本流程图
图 10,1 风险管理基本流程图
276 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
3,风险分析方法
边坡失稳的发生概率可以按单一值计算也可以是所有外界诱发因素引起的破坏概率的总和单一个体的脆弱度可用式(10.2)给以评估(Morgan,et al.,1992)即
(10.2) )L()T()S( VVVV ××=
式中V(S)为空间影响的可能性滑坡体是否影响到建筑物或者正好避开建筑物V(T)为暂时影响的可能性比如在影响的一瞬间一个固定的建筑物和一个运动的车辆的风险的差别V(L)为受影响个体财产损失或者人员生命损失的可能性V为单一个体的脆弱度
边坡稳定风险分析的范围和严格程度取决于风险分析本身的目的和用途它通常是风险本身的自然特性灾害后果不确定因素的类型和它们对决策过程的影响以及风险分析实用性的一个函数岩土工程师在开始进行边坡稳定风险分析前应该和与工程有关的工程技术人员和要求对边坡稳定进行风险分析的主管部门共同探讨以期达到双方都可以理解和接受的风险分析成果另外风险分析方法通常分定性和定量分析两种
10,1,3 定性风险分析方法
定性风险分析主要用于土地规划和政策制定阶段滑坡管理分析分析的结论通常用危险性极高高中等词句表达表10.1是定性风险分析的主要描述方法
进行定性风险分析的主要手段有以下三个方面
(1) 按发生概率予以量化该工作是建立在对10.1.1节中介绍的各种不确定因素进行分析的基础上
(2) 使用失效树(Fault Tree)的推理方法可详见文献(Ho,et al.,2000)
(3) 专家系统专家评估可以和上述几种定性分析工作相结合进一步提高定性风险分析的可靠度
在定性风险分析阶段不可能作很多详细的工程地质和岩土力学特性参数的勘探和试验工作也不可能进行定量的可靠度与分析计算这一阶段使用的主要手段有以下几种
1,对历史滑坡资料进行调查
滑坡危险性较高的地区通常可以在历史记载中找到先例例如三峡库区是滑坡灾害高发区有关滑坡的书面记载可以追溯到宋朝收集了历史资料后可以按滑坡的规模触发因素和发生频率来进行滑坡风险分析这样的分析由于是建立在实际资料基础上的其成果十分可信
建立在地形地貌分析基础上的经验方法分析 2,
将边坡的高度坡度和主要构成物质以及地下水条件降雨地震等因素进行逐项量化评估然后通过综合分析给出本地区的滑坡风险性评估这一工作和滑坡历史调查结合同样可能成为有效的手段香港土木工程署详细记载了大小滑坡3000余个并邀请Fell (1992)
在整理这些资料的基础上给出对现有的边坡风险分析评估
3,对主要触发因素的风险评估
这一评估同样也是建立在对以往滑坡资料的分析基础上的例如香港土木工程署在分析了大量暴雨导致的滑坡的资料基础上给出了根据降雨评估滑坡风险的方法这一方法
第10章 边坡稳定的风险分析 277
表 10,1 定性风险分析术语表(Fell,1993)
评估指标
M
s
描述 体积(m
3
)
大小
7
6
5
4
3
2.5
2
极大
很大
中/高
中等
小
很小
极小
>5,000,000
>1,000,000和<5,000,000
>250,000和<1,000,000
>50,000和<250,000
>5,000和<50,000
>500和<5,000
500
P
s
描述 年发生概率
破坏概率
12
8
5
3
2
极高
很高
高
中
低
≈1
≈0.2
≈0.05
≈0.01
≈0.001
描述 M
s
×P
s
危害
=
大小×破坏概率
极高
很高
高
中
低
很低
≥30
≥20和<30
≥10和<20
≥7和<10
≥3和<7
<3
描述 脆弱度
脆弱度(只考虑财产损失)
很高
高
中等
低
很低
≥0.9
≥0.5和<0.9
≥0.1和<0.5
≥0.05和<0.1
<0.05
描述 估计概率
单一风险(只考虑财产损失)
很高
高
中等
低
很低
≥0.1
≥0.02和<0.1
≥0.005和<0.02
≥0.001和<0.005
≥0.0001和<0.001
根据1小时和24小时降雨强度结合所评估滑坡以往发生频繁程度进行风险性分析类似的工作可以用于地震滑坡危险性分析
下面以一实例说明风险定性分析的过程图10.2给出澳大利亚纽卡斯尔一滑坡的平面图根据资料记录和经验判断该边坡失稳的发生概率介于0.04～0.1之间有迹象表明边坡失稳后滑坡体会在影响范围内缓慢滑移A.1.1区域但有可能在A.1.2区域陡坡以下和
A3区域加速滑移如果考虑滑坡影响范围内的A B C三个建筑物并分别对边坡的滑体大小失稳发生概率脆弱度危害大小以及单一风险进行定性分析其成果列于表10.2
278 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
10,1,4 定量风险分析法
定量风险分析是建立在风险概率和以人员伤亡和财产为定量指标基础上的一个综合决策系统
(1) Morgan (1992)用以下的条件概率计算公式来评价一个独立个体的风险
(10.3) )T/L()S/T()H/S()H()IN( VPPPR ×××=
式中R(IN)为一个独立个体发生伤亡的年频率P(H)为灾害(这里指滑坡)的年发生频率
P(S/H)为灾害的空间破坏频率(例如滑坡对一定距离的建筑物的影响) P(T/S)为考虑时间效应影响的概率V(L/T)为个体的脆弱程度
图 10,2 澳大利亚纽卡斯尔一滑坡平面位置图
表 10,2 某滑坡单一风险分析
脆弱度 单一风险 风险
个体
滑坡
大小
发生
概率
危害
程度 V
a
V
b
V
c
V
L
V
P
人身财产
A 大 0.05 很高 1.0 0.05 1.0 0.05 1.0 0.0025
B 大 0.05 很高 0.5 0.3 0.9 0.15 0.45 0.0075
C 大 0.05 很高 0.5 0.01 0.05 0.005 0.025 0.00025
注 Va为单一个体受滑坡影响的概率建筑物B与C 只有在泥石流发生时才受影响V
b
为在建筑物受到影响
时有一人致死的概率V
c
为在建筑物受到影响时单一风险个体价值的比率V
L
为人员伤亡的脆弱度
( = V
a
×V
b
) V
P
为财产损失的脆弱度( = V
a
×V
c
)
(2) 对于财产的损失评估公式为
第10章 边坡稳定的风险分析 279
(10.4) EPPP ×××= )S/P()H/S()H()R(
式中P(R)为 以货币为单位的每年财产的损失相应个体是长久存在的还是临时的此值就有明显的不同V(P/S)为建筑物滑坡灾害的脆弱程度E为以货币为单位的损失例如该财产目前的价值其余变量定义同式(10.3)
对于滑坡体影响范围内风险个体的脆弱度通常可在历史记录和工程技术人员判断的基础上进行评估例如在高陡边坡坡脚处的建筑物就比远离坡脚处的建筑物具有较高的脆弱度即建筑物整体的破坏的概率高处于高速度滑坡区影响范围内的建筑物就比位于速度低滑坡区的同一建筑物的脆弱度高
定量风险分析方法能比较全面和定量地分析滑坡问题的失稳概率以及相应的灾害后果能直接面对和处理滑坡问题的风险评估定量风险分析方法通常有以下几个步骤
(1) 建立一滑坡灾害模型该模型尽可能包含滑坡区的地质条件各种可能诱发滑坡的内在和外在因素以及滑坡区周围的工厂居民区交通设施等
(2) 列出所有可能的边坡破坏模式和计算相应的破坏概率这是定量分析的一个重要内容通常称可靠度分析将在本章其它节中进行详细的讨论
(3) 建立滑坡后果模型评估特定滑坡破坏模式下的灾害后果
(4) 计算风险个体的单一风险和滑坡影响范围内的整体风险
10,1,5 大坝和边坡的允许风险
制定一个合适的允许风险程度是风险管理的一个重要组成部分通常用以下两种指标规定大坝和边坡的允许风险
1,允许风险
允许风险通常以每年每一单独生命被摧毁的概率来描述例如假定我国人口以1.2×10
9
计每年因滑坡泥石流死亡人数为1200人则以年计的风险为1200÷(1.2×10
9
)
=
10
-6
在风险分析领域还需要区分单独生命是主动的还是被动的风险承受者例如对登山者主动吸烟者这样的主动风险承担者设定其允许风险时自然要比大坝下游的居民被动吸烟者等被动风险承担者要高得多Reid (1989)介绍了英国CIRA (Construction Industry and
Research Association)在1977年规定的建筑物以年计的允许风险社会指数见表10.3
表 10,3 英国CIRA规定的以年计的允许风险社会指数
建筑物类型 大坝人群聚居处 办公室商业工业区 桥梁 塔近海结构
K
s
0.005 0.05 0.5 5
Fell (1993)在英国CIRA 规定的建筑物以年计的允许风险社会指数的基础上提出了各种行业允许风险的确定方法如下式
r
s
N
K
fP
4
10
)(
×
= (10.5)
式中K
s
为社会指数见表10.3 N
r
为受影响的人数
280 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
表10.4摘录了Reid (1989)对各类主动和被动风险承受者建议的允许风险
表 10,4 各种行业对生命伤害的风险统计(Reid,1989)
风险种类 单独个体以年计死亡的概率(×10
-6
)
桥梁破坏
结构破坏桥墩(UK) 0.14
桥梁火灾 4
自然灾害(US)
暴风雨 0.4
龙卷风 0.4
雷电 0.5
地震 2
一般风险
火车旅行 4
电击 6
飞机旅行 9
水上旅行 9
中毒 20
溺水 30
火灾 40
落石 90
公路旅行 300
职业风险
制衣业 5
汽车制造业 15
化工业 85
造船业 105
农业 110
建筑业 150
铁道 180
煤矿 210
采石 295
采矿 750
近海石油 1,650
深海捕鱼 2,800
运动风险
洞穴探险 45
滑翔 400
潜水 420
赛艇 800
高空滑翔 1,500
跳伞 1,900
所有的原因
整体 12,000
30岁女性 600
30岁男性 1,000
60岁女性 10,000
60岁男性 20,000
第10章 边坡稳定的风险分析 281
Fell在分析了各种行业风险的基础上认为对于被动风险承受者以年计允许风险应小于10
6
最大也不得超过10
5
图10.3为南非荷兰和澳大利亚对大坝允许风险的规定(Kreuzer,2000)
Ο
从中可以看到允许的风险程度是和一个国家的经济发展程度以及人口密度等情况密切相关的例如在图
10.3中南非和荷兰均以1000人作为横坐标N最大的度量而澳大利亚则取10000人在我国则横坐标至少要外延至10万人
对于滑坡灾害澳大利亚岩土力学学会和香港政府分别建议如表10.5和图10.4所示的允许风险(Australian Geotechnics Society,2000; Ho,et al.,2000)
图 10,3 一些国家对大坝允许风险的规定
a南非b荷兰c澳大利亚N为失效个体的数量
Ο
图10.3(a)原文纵坐标似有误已根据作者理解改正
282 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
图 10,4 香港政府对边坡允许风险的规定
(a) 二层次评价方法(b) 三层次评价方法
表 10,5 澳大利亚岩土力学学会建议的以年计的允许风险
情况 人群属性 建议的允许风险
处于高危地区的人群 10
-4
已建边坡
一般人群 10
-5
处于高危地区的人群 10
-5
新建边坡
一般人群 10
-6
第10章 边坡稳定的风险分析 283
2,允许可靠度指标
在进行定量风险分析时通常可以得到功能函数的可靠度指标β详见10.2节
假设功能函数为正态分布则β可以和失效概率P
f
建立相关的关系如表10.6所示我国可靠度设计规范对各种建筑物的允许可靠度指标作出了规定
表 10,6 可靠度指标β和失效概率P
f
的关系
失效概率P
f
0.5 0.25 0.1 0.05 0.01 0.001 0.0001 0.00001
可靠度指标β
0 0.67 1.28 1.65 2.33 3.1 3.72 4.25
我国水利水电工程结构可靠度设计统一标准规定持久状态结构的允许β
值按表10.7 所示表中第一类破坏指非突发性破坏破坏前能见到明显征兆破坏过程缓慢第二类破坏指突发性破坏破坏前无明显征兆结构一旦发生事故难于补救或修复规范同时规定了建筑物的设计基准期这样允许可靠度指标也可以与以年计的允许风险建立关系
表 10,7 水工规范规定的持久结构承载能力允许可靠度设计指标β
结构安全级别 级 级 级
一类破坏3.7 3.2 2.7
二类破坏 4.2 3.7 3.2
依据表10.7 I级大坝发生坝坡失稳那样的二类破坏允许β
值为4.2从表10.6可查得相应的风险为3.1×10
5
按规范规定该大坝设计基准期为100年如果大坝本身的寿命为500
年则以年计的失效概率为6.2×10
6
将表10.5中的数值和这一数值相比可知我国一级大坝的允许风险率比澳大利亚新建边坡处于高危地区相当
10,1,6 小结
风险分析和风险管理是近几年来在边坡和大坝工程领域兴起的一门新兴学科分支它的适用性和可操作性还有待于在实践中进一步验证上面几节着重描述了滑坡风险分析的一些基本概念简要介绍了边坡风险分析实践的两种方法在以下各节将暂时离开这一带有战略意义的课题转入一个对边坡稳定分析参数不确定因素进行定量分析的领域这一领域相对来说更易于用近代可靠度分析理论进行定量分析同时这也是整个边坡体系所包含的不确定因素中十分重要的一个方面自然这只是一个带有战术意义的课题也就是说获得了由于影响安全系数的诸多参数强度指标孔隙水压力等的变异特征导致的风险率并不意味着就获得了整个边坡体系的风险性同时还要研究由于管理和分析模型方面带来的风险最终按式(10.1)确定整个体系的风险
284 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
10,2 可靠度分析基础
10,2,1 引言
为了对可靠度分析的内容和意义有一个简明的了解首先来看Duncan (2000)教授在著作中举的一个例子该例子是对一个挡土墙抗滑稳定安全系数进行可靠度分析见图10.5
对于图10.5所示挡土墙计算其抗滑稳定安全系数的公式如下
E
WW
F
ss
δtan)(
21
+
= (10.6)
式中W
1
,W
2
分别为墙和底板上回填土的重量 为墙壁和砂之间的摩擦角E为墙踵以 δ
图 10,5 挡土墙抗滑稳定可靠度分析示例(Duncan,2000)
(a) 计算简图(b) 失效概率
第10章 边坡稳定的风险分析 285
上的土压力引入等效液体容重)
2
45(tan
2
φ
γ
′
=
o
ef
γ则土压力计算公式为
2
2
1
HE
ef
γ= (10.7)
Duncan使用表10.8这样一个简单的分析步骤计算安全系数的标准差和变异系数本例中F的均值为1.50这个值被称为最大似然的安全系数F
MLV
在了解γ
ef
δ和γ
bf
的均值和标准差的情况下可以进行表10.8所示的一系列计算最后获得安全系数F的变异系数V
F
为
17%根据F的均值和变异系数在假定安全系数按对数正态分布的条件下查阅表10.9
可得知安全系数的失效概率P
F
为1%
表 10,8 挡土墙的Taylor级数展开法可靠度分析
*
变量 分析指标 数值 安全系数?F
最大似然值 +σ 45 pcf F
+
=
1.33
等效液体容重 γ
ef
最小似然值 -σ 35 pcf F
=
1.71
-0.38
最大似然值 +σ 0.55 pcf F
+
=
1.65
tanδ
最小似然值 -σ 0.45 pcf F
=
1.35
0.30
最大似然值 +σ 127 pcf F
+
=
1.56
回填料容重 γ
bf
最小似然值 -σ 113 pcf F
=
1.44
0.12
最大似然值 +σ 152 pcf F
+
=
1.50
混凝土容重 γ
c
最小似然值 -σ 148 pcf F
=
1.49
0.01
注 1 安全系数的标准差σ
f
=[(0.38/2)2+(0.30/2)2+(0.12/2)2]1/2=0.25
2 1pcf =0.157 kN/m
3
3 安全系数的变异系数V
F
= 标准差/均值 = 0.25/1.50 =17%
* 保留原有的英制单位1英尺= 0.305m 1磅= 4.448N
观察这一分析步骤可以发现在确定性模型分析中只须通过安全系数来评价边坡的安全度而可靠度分析则在计算安全系数均值的同时还要计算安全系数的标准差或变异系数在假定安全系数符合一定概率模型的前提下得到结构失稳即F<1概率这一计算是建立在对影响安全系数的各个因子的均值和标准差的定量分析基础上的
可靠度分析的好处是对影响安全系数的每个影响因子均根据各自包含的不确定性予以适当考虑例如如果认为这一挡土结构不能满足对安全度的要求需要采用一定的加固措施设采用加筋土或排水这两种措施都能使安全系数提高到1.8那么传统的确定性模型认为这两种措施的作用是同等的但是引入可靠度分析后就会发现采用加筋土这样的机械措施其保证率是很大的因为它可以从增大安全系数的均值和减少安全系数的变异系数两个方面增加结构的安全度而排水涉及到多种不确定因素可靠性较差两者的变异系数有很大的差别因此使用可靠度方法来评价这两种措施不会得出其对提高挡土墙的抗滑稳定性作用是同等的这样一个结论在边坡治理时尽管布置了排水措施人们往往仍不大放心对重要的工程还要增设一些诸如抗滑桩锚索那样的措施这种心理状态可以用可靠度概念作出理论解释在施加抗滑桩和锚索时经常发现这些加固措施在提高边坡的安全系数的绝对值方面起的作用不是很大的即便提高5%也要付出极大的代价表 10,9 根据安全系数的均值和变异系数确定结构的失效概率单位%
V
F
F
2 4 6 8 10 12 14 16 20 25 30 40 50 60 80
1.05 0.8 12 22 28 33 36 39 41 44 47 49 53 55 58 61
1.10
1.0E-4 0.9 6 12 18 23 27 30 35 40 43 48 51 54 59
1.15 3.1E-10 0.03 0.7 4 9 13 18 21 27 33 37 43 48 51 56
1.16 1.9E-11 0.01 0.3 3 8 12 16 20 26 32 36 42 47 50 56
1.18 6.9E-14 1.9E-3 0.13 2 5 9 13 17 23 29 34 41 45 49 55
1.20 2.4E-16 2.9E-4 0.01 1.2 4 7 11 14 21 27 32 39 44 48 54
1.25 3.4E-22 1.5E-6 1.1E-2 0.3 1.4 4 6 9 15 22 27 35 41 45 51
1.30 1.8E-27 4.8E-9 7.0E-4 0.06 0.50 1.6 3 6 11 17 23 31 37 42 49
1.35 3.6E-32 1.2E-11 3.4E-5 0.01 0.20 0.7 1.9 4 8 14 19 28 34 40 47
1.40 2.6E-36 2.9E-14 1.3E-6 1.5E-3 0.04 0.3 1.0 2 5 11 16 25 32 37 45
1.50 2.8E-43 2.8E-19 1.5E-9 2.5E-5 3.0E-3 0.04 0.2 0.7 3 6 11 19 27 32 41
1.60 0.00 8.0E-24 1.4E-12 3.1E-7 1.6E-4 0.01 0.05 0.2 1.1 4 7 15 22 28 38
1.70 0.00 7.6E-28 1.7E-15 3.3E-9 7.4E-6 6.1E-4 0.01 0.06 0.5 2 5 12 19 25 34
1.80 0.00 2.1E-31 2.8E-18 3.5E-11 3.1E-7 6.2E-5 1.7E-3 0.01 0.2 1.2 3 9 16 22 31
1.90 0.00 1.4E-34 7.1E-21 4.1E-13 1.2E-8 6.0E-6 2.9E-4 3.8E-3 0.08 0.65 2 7 13 19 29
2.00 0.00 2.1E-37 2.9E-23 5.7E-15 5.2E-10 5.7E-7 4.8E-5 9.8E-4 0.03 0.36 1.3 5 11 17 26
2.20 0.00 3.2E-42 1.6E-27 1.9E-18 1.4E-12 5.1E-9 1.3E-6 5.5E-5 0.01 0.10 0.56 1.3 8 13 22
2.40 0.00 0.00 3.7E-31 1.5E-21 3.1E-15 5.1E-11 3.5E-8 3.1E-6 7.8E-4 0.03 0.23 1.9 5 10 19
2.60 0.00 0.00 2.7E-34 2.5E-24 1.4E-17 6.4E-13 1.0E-9 1.9E-7 1.2E-4 0.01 0.09 1.1 4 7 16
2.80 0.00 0.00 5.0E-37 8.2E-27 1.0E-19 1.0E-14 3.5E-11 1.2E-8 1.8E-5 0.00 0.04 0.66 3 6 13
3.00 0.00 0.00 1.9E-39 5.0E-29 1.1E-21 2.1E-16 1.4E-12 8.0E-10 2.8E-6 0.00 0.02 0.39 1.8 4 11
注 1 V
F
为安全系数的变异系数2 F为均值安全系数3 P
F
为结构失效概率以%计表中3.7E-31理解为(3.7 ×10
-31
)% 4安全系数为对数正态分布
第10章 边坡稳定的风险分析 287
但这些措施可大幅度地增大可靠度指标减少边坡失效的风险因此如果采用风险分析那么这些机械加固措施的作用或许可以得到更加合理的评价
本节介绍的计算安全系数的变异系数和失效概率的方法是一种简化的处理当问题是非线性时还需要更加符合实际的数学模型和分析方法本章以下各节就是讨论这一可靠度分析理论的数值分析方法
10,2,2 可靠度分析的基本原理
1,边坡的失效概率
广义地讲对任何一个结构的安全性分析包括了研究其资源(Supply)和需要
(Demand)之间的关系如果分别以X和Y来代表这两个因素那么当X>Y时结构处于安全状态当X<Y时则结构处于失稳状态这一关系可用式(10.8)表示当X = Y时该方程称为极限状态方程所有处于极限状态的自变量组合构成了该问题的状态边界面
(10.8)0=?= YXM
对于一均质边坡作用于滑体上的抗力和作用力分别可用X和Y来表示由于边坡材料参数和作用荷载的不确定性X和Y 可以假设为随机变量其相应的概率密度函数分布形式如图10.6所示当抗力X小于作用力Y时边坡就会破坏或者失效边坡失效的可能性或者概率P
F
可用X和Y 的概率密度函数和相重叠部分来代表)(Xf
X
)(Yf
Y
图 10,6 抗力X和作用力Y的概率密度函数
从图10.6可以看出失效概率P
F
通常取决于以下两个方面
(1) X和Y概率密度分布函数的相对位置)(Xf
X
)(Yf
Y
位置越远重叠越少失效概率P
F
越小反之则失效概率P
F
越大两者相对位置通常用X Y的均值的比值μ
X
/μ
Y
也就是安全系数或者安全裕度(μ
X
μ
Y
)来衡量
(2) X和Y概率密度函数的分散度)(Xf
X
和分布越分散)(Yf
Y
重叠越多失效概率
P
F
越大图10.6中虚线代表的曲线)(Xf
X
和的分散度)(Yf
Y
通常用X和的Y标准差
σ
X
和σ
Y
来描述
简而言之失效概率与μ
X
,μ
Y
,σ
X
和σ
Y
有关即
288 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
),,/(
YXYXF
fP σσμμ∝
2,可靠度指标的定义及其几何解释
为表述方便假设X Y服从,的正态分布),(
XX
N σμ ),(
YY
N σμ且统计上相互独立则极限状态方程的概率密度分布函数同样服从的正态分布YXM?= ),(
MM
σμN其中
(10.9)
YXM
μμμ?=
(10.10)
222
YXM
σσσ+=
对于一个服从正态分布N(μ
M
,σ
M
)的状态方程研究的目标是确定M<0的概率即图10.6
所示的重叠区的面积显然有
(10.11)
∫
∞?
=<?=>
0
)()0( dMMNYXMPP
F
不难证明这一积分可以唯一地表达为
M
M
σ
μ
的函数即
)(1)0(
M
M
F
YXMPP
σ
μ
Φ?=<?== (10.12)
可靠性理论称该数值为可靠度指标用β表示即
M
M
σ
μ
β= (10.13)
有了可靠度指标后即可通过表10.6确定结构的失效概率
为进一步阐述可靠度指标β的几何意义引入标准化变量
X
X
X
X
σ
μ?
=′ (10.14)
Y
Y
Y
Y
σ
μ?
=′ (10.15)
把式(10.14)和式(10.15)代入极限状态方程即式(10.8)得
(10.16)
YXYX
YXM μμσσ+′?′=?
在图10.7所示的标准化变量空间中安全状态和失效状态被状态边界面M
=
0分开从图中所示的几何关系可知
X
YX
a
σ
μμ?
= (10.17)
Y
YX
b
σ
μμ?
= (10.18)
22
YX
YX
YX
c σσ
σσ
μμ
+
= (10.19)
因此边坡系统的安全程度或可靠度可用原点到极限状态线的最短距离d来衡量根据几第10章 边坡稳定的风险分析 289
何知识可知
β
σ
μ
σσ
μμ
==
+
==
M
M
YX
YX
c
ab
d
22
(10.20)
通过式(10.20)以及可靠度指标β的定义可以看出可以用标准化变量空间中原点到极限状态线的最短距离来衡量
β
图 10,7 标准化变量空间上的极限状态面
在上述讨论中状态方程被假定为具有两个相互独立但仍服从正态分布的随机变量的线性函数当线性安全度方程所包含的随机变量的个数增加同样服从正态分布且相互独立时可靠度指标β的计算可直接由式(10.20)从二维推广到多维而当随机变量不服从正态分布或者相互关联时可以通过某种方式把相应的随机变量转化为服从正态分布且相互独立从而求得可靠度指标β
(Ang and Tang,1984)上面对线性安全度方程功能函数可靠度指标的求解思路将为求解广泛存在于边坡问题中的非线性功能函数的可靠度指标提供了坚实的基础
3,功能函数的定义及其讨论
(1) 功能函数的定义结构可靠度通常是指在一段时间内一定荷载条件作用下完成预定功能或系统运行正常的一种度量在可靠度分析中通常定义功能函数为
(10.21) ),,,()(
21 n
xxxgg L=X
式中),,,(
21 n
xxx L=X为一向量x
i
(i
=
1,2,…,n)为影响边坡系统可靠度的n个变量
)(Xg反映了结构的运行性能或者状态当>0时)(Xg边坡系统处于安全状态当
<0时)(Xg结构处于破坏或失效状态而)X(g
=
0表示系统达到极限运行状态
通常)(Xg
=
0称为结构的极限状态方程
如果功能函数中随机变量x
i
(i
=
1,2,…,n)的联合概率密度函数为),,,(
21,,
1
nxx
xxxf
n
L
L
则结构处于安全状态( >0)的概率为 )(Xg
(10.22)
∫∫
>
=
0)(
2121,,,
),,,(
21
Xg
nnxxxs
dxdxdxxxxfP
n
LLL
L
290 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
同样处于破坏状态( <0)的失效概率P)(Xg
F
可以表示为
(10.23)
∫∫
<
=
0)(
2121,,,
),,,(
21
Xg
nnxxxF
dxdxdxxxxfP
n
LLL
L
由式(10.22)和式(10.23)可见无论是P
s
还是P
F
都可以通过数值积分的方法得到当功能函数是线性)(Xg所包含的随机变量相互独立且服从正态分布时可以用10.2.2节中介绍的方法计算可靠度指标β及相应的失效概率P
F
在随机变量的联合概率函数不易得到或者功能函数是非线性时)(Xg可以用下面将要介绍的一次二阶矩法(FOSM)蒙特卡洛法(Monte Carlo Method)和Rosenbleuth法来计算边坡问题的可靠度指标β及相应的失效概率P
F
作为向可靠度分析过渡的一个措施在建筑和水电行业的一些规范中规定了分项系数极限状态设计的原则此时分别将式(10.8)中的资源和需求用抗力R和作用S来代表并根据结构的重要性和参数的变异特性加入了分项系数例如重力坝设计规范中的公式为
),(
1
),,(
1
0 K
m
k
d
KKQKG
f
RQGS α
γγ
αγγψ ≤ (10.24)
式中各项公式意义可参见规范原文
(2) 边坡稳定分析中的功能函数在边坡稳定领域进行可靠度分析时发现在第2章和第3章介绍的各种计算安全系数的方法都无法变成式(10.8)或式(10.24)的形式在稳定分析中某些物理量如材料的重量既可以视为作用但也是产生抗力摩擦力的主要因素因此在将已有边坡稳定分析和可靠度分析接轨的过程中需要作适当的处理下面是现有文献中可以看到的两种作法
(a) 在已有的安全系数基础上定义功能函数将极限状态改为(Li and Lumb,1987;
Lowe,et,Al,1998)如下两式即
(10.25)
01),,,(
21
=?
n
xxxF L
(10.26) 0),,,(ln
21
=
n
xxxF L
式(10.25)和式(10.26)中安全系数F为随机变量的函数),,2,1( nix
i
L= Li和Lumb (1987)
指出可以有各种不同的方法定义边坡稳定分析的功能函数F是通过不同的方法获得的安全系数如简化毕肖普法Spencer法Morgenstern?Price方法等
相应的可靠度指标定义(Chowdhurg,1984; Tabba,1984; Fell,et,al,1988)为
F
F
σ
μ
β
1?
= (10.27)
式中μ
F
和σ
F
为安全系数F的均值和标准差
使用这一处理方案第2章和第3章介绍的计算安全系数的各种方法均不需要作任何改动即可进行可靠度分析
第10章 边坡稳定的风险分析 291
(b) 套改方案这一方案要求将现有的有关结构和稳定分析的方法按式(10.24)予以改造一些文献中曾将第3章介绍的瑞典法和毕肖普法中分子和分母两项改为相减的形式陈祖煜张广文1994在重力坝设计规范中出现了一个从未见诸于文献的适应于式(10.24)的双折线滑面深层抗滑稳定分析公式水工建筑物抗震规范没有改造现有的毕肖普法其条文说明在论述土石坝和静力法边坡稳定分析时提供了按毕肖普法计算获得的安全系数和结构系数γ
d
相关联的表但是这张表是出现在条文说明中一般并无法律约束性这一以安全系数为基础的方法出现在该规范中仍然是有条件的以上种种作法的一个共同特点是有意无意地阻止在规范正文和附录中出现安全系数这四个字可靠度和分项系数极限状态分析方法是作为传统的安全系数的对立面提出的因此与安全系数相关的各种分析方法也必须推倒重来
笔者曾著文讨论了按式(10.24)强行修改稳定分析的传统方法存在的种种问题陈祖煜张广文1994陈祖煜陈立宏2002文中指出现行的有关安全系数定义和相应的处理方法是几十年来人们在长期实践中积累而形成被普遍接受的作法在边坡稳定分析中的一些因素如重力地震惯性力它们既是作用又是抗力很难将其分开同时如式(10.24)
那样带有量纲的比较方案难以在参数敏感性和优化设计中应用一个边坡的抗力比作用大
10万吨这样的结论不会给人们关于其安全度有多大的定量概念而安全系数为1.5这一命题所描述的安全度却是一个客观性指标可以作为衡量所有边坡稳定性的依据
上述作法(b)反映了有关人员对边坡稳定分析领域中关于安全系数概念的误解近代岩土力学对安全系数定义已经不是早期那个概括了诸多不确定因素的大老K了安全系数F是这样一个数值它使设计参数中的强度指标c和f缩减为c/F和f/F从而使结构达到极限平衡状态
其实上述作法(a)在西方有关边坡稳定可靠度分析中文献中早已成为普遍接受广泛采用的方案10.2.1节介绍的挡土墙抗滑稳定的内容便是一例子在这个例子中可以发现传统的挡土墙稳定分析方法一点都不需要修改安全系数还是照算在这篇论文的结论中Duncan写道失效概率不能看成安全系数的替代品而是一种补充同时计算安全系数和失效概率比单独计算任何一个更好虽然我们还不能准确地计算安全系数和失效概率但是两者互补可以大大提高成果的精度
20世纪90年代初期美国科学院下属的美国国家科学研究委员会(National Research
Council 1995)组成了一个从事可靠度和传统方法的专家人数相同的的班子对可靠度方法在岩土工程中的应用和存在问题进行全面的研究此班子名为岩土工程减灾可靠度方法研究委员会研究班子由这两个领域的著名专家Wilson Tang和 Duncan领导1995年该委员会提出了岩土工程中的可靠度方法的研究报告(National Research Council,1995)这个报告的结论的第一段内容如下对于可靠度方法在岩土工程中作用的问题委员会的主要发现是可靠度方法如果不是把它作为现有传统方法的替代物的话确实可以为分析岩土工程中包含的不确定性提供系统的定量的途径在工程设计和决策中用这一方法来定量地驾驭和分析这些不确实因素尤为有效
另外还注意到这一研究报告对安全系数和可靠度分析之间的关系写下以下一段文字
292 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
有时用抗力/作用这样的简单的表达式来定义安全系数不一定有明确的概念例如在边坡稳定分析中位于坡趾的土的重量可以作为一个抵抗土体主要部分的滑动力矩的平衡力量这一贡献既不是附加的抗力也不是减少的作用力由于对这些贡献的处理方法不同用前述的简化方法计算可靠度指标时会出现一些反常现象为了解决这一问题在岩土工程系统中可以引入对安全系数具有一般意义的定义安全系数可以表达为以下一个广义的功能函数
),,(
21 m
xxxgF L=
式中x
i
为结构自变量
事实上这一公式具有更为一般的意义因为抗力通常是土的特性和几何特性的函数而作用力同样又是这样一些变量加上其它一些变量
综上所述作者认为在建筑物抗滑稳定和滑坡分析中已经有了一套成熟的建立在安全系数基础上的可靠度分析方法因此进入可靠度和风险分析领域无需引入式(10.24)
这样一个过程
10,3 蒙特卡洛法 (Monte Carlo Method)
10,3,1 基本原理
蒙特卡洛法又称统计试验法或随机抽样技巧法它适用于随机变量的概率密度分布形式已知或符合假定的情况在目前可靠度计算中是一种相对精确的方法随着计算机技术的不断发展蒙特卡洛法在工程中的应用将越来越广
蒙特卡洛法是从概率的角度出发来求解失效概率的首先对影响可靠度的随机变量进行大量随机抽样然后将这些抽样值逐个代入功能函数累计功能函数值小于零的个数由此确定失效频率根据定义某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算因此如果抽样次数达到一定值时得到的失效频率将逼近可靠度分析的失效概率但是应用蒙特卡洛法抽样随机性的可靠性和样本数目的大小都是影响该失效概率精度的主要因素
10,3,2 随机抽样过程
1,随机数的产生方法
抽样的随机性是通过产生随机数的方法来完成这通常要分两步进行首先产生在开区间(0,1)上的均匀分布随机数然后在此基础上变换成给定分布的随机数
产生随机数的方法一般是利用随机数表物理方法和数学方法其中数学方法以其速度快计算简单和可重复性等优点而被人们广泛地使用随着对随机数的不断研究和改进人们已提出了各种数学方法例如取中法加同余法乘同余法混合同余法和组合同余法上述方法中乘同余法更具有统计性质优良周期长等特点下面简要介绍一下该方法的计算过程
(1) 选择适当的参数将参数a b c和初始值x
0
代入公式
(10.28) ))(mod(
1
cbaxx
ii
+=
+
式中x a b c均为正整数
第10章 边坡稳定的风险分析 293
式(10.28)表示以c为模数的同余式即(ax
i
+b)除以c后得到的余数记为x
i+1
(2) 对x
i+1
进行换算将x
i+1
除以c后即可得标准化的随机数u
i+1
即
(10.29)cxu
ii
/
11 ++
=
将x
i+1
作为初值重复步骤(1)和(2)得到随机数序列{u}
目前可靠度计算中一般常用正态分布和对数正态分布因此下面着重介绍这二种分布函数随机数的产生
(3) 正态分布的处理由于这种分布应用极广因此对于这种变量的模拟已发展了很多方法其中坐标变换法产生随机数的速度较快精度较高
设随机数u
i
和u
i+1
是(0,1)区间中的两个均匀随机数则可用下列变换得到标准正态分布
N(0,1)的两个随机数和
x
*
i
x
*
1i+
(10.30)
=
=
++
+
)2sin()ln2(
)2cos()ln2(
1
2/1*
1
1
2/1*
iii
iii
uux
uux
π
π
如果随机变量X服从一般正态分布N(m
x
,σ
x
)则其随机数x
i
和x
i+1
算式变成
(10.31)
+=
+=
++ xxii
xxii
mxx
mxx
σ
σ
*
11
*
式(10.31)中随机数成对产生它们不仅是互相独立的而且服从一般正态分布
(4) 对数正态分布的处理对数正态分布变量的随机数可以由正态分布随机数转化而来假设随机变量X服从对数正态分布则随机变量Y
=
lnX服从正态分布Y的标准差和变异系数可以由X的标准差和变异系数求得参见10.6.3节然后根据上面介绍的方法求得Y的随机数y则X的随机数为 x
i
=
exp(y
i
)
(5) 样本数目的大小抽样样本数目N的大小是影响失效概率计算精度的重要因素
Bennet和Ang (1983)建议用95%的置信度以保证用蒙特卡罗法解题的允许误差ε
(10.32)
2/1
)]/()1(2[
FF
PNP=ε
由式(10.32)可见样本数目N越大误差ε越小因此要达到一定的精度N必须取得足够大为简便起见建议
(10.33)
F
PN /100≥
式中
F
P为预先估计的失效概率
由于一般是一个很小的数
F
P这就要求计算次数很多例如工程结构的失效概率一般在0.1%以下因此要求计算次数达十万次以上这对计算方法就提出了新的要求为此目前正在研究如何在计算次数不太多的情况下得到满足精度要求的值的方法
F
P
2,解释Monte Carlo法的算例
[例10.1] 均匀土坡算例
首先讨论一个具有固定圆弧滑裂面的均质土坡的例子参见11.4节中ACADS 例题
1(a)该边坡及圆弧滑裂面的几何尺寸如图10.8所示
294 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
在可靠度分析中滑坡体材料的强度参数粘聚力c和摩擦系数f tanφ按随机变量来处理并假定c,f统计上相互独立且分别服从N(μ
c
,σ
c
)和N(μ
f
,σ
f
)的正态分布其中μ
c
= 3.0 kPa
f
= 0.356 σ
c
= 0.3 kPa σ
f
= 0.03另外滑坡体材料容重γ
=
20.0 kN/m
3
μ
对c和f进行500次模拟所得安全系数的直方图如图10.9示根据此直方图获得安全系数的均值和标准差分别为1.106和0.084,β
=1.256
图 10,8 均匀土坡计算实例几何尺寸
图 10,9 均匀土坡计算结果直方图Monte Carlo法
10,4 一次二阶矩法
10,4,1 基本原理
通常情况下由于边坡系统存在着大量的不确定性因素包含在功能函数中的随机变量的概率分布形式很难确定随机变量的一阶矩均值和二阶矩方差比较容易获得一次二阶矩法(FOSM)就是在这种背景下提出的此法只根据随机变量均值和标准差的数学模型去求解可靠度
该方法将功能函数在某点用Taylor级数展开),,,()(
21 n
xxxgg L=X ),,,(
21
=
n
xxx L
*
X
第10章 边坡稳定的风险分析 295
使之线性化然后计算功能函数在点 的均值和标准差),,,(
21
=
n
xxx L
*
X然后求解可靠度因此称为一次二阶矩法
),,2,1( ni
i
L=
i
i
x
xi
i
x
z
σ
μ?
=
首先我们来研究随机变量相互独立的情况
对于一组相互独立的随机变量x引入标准变量
i
z
(10.34)
式中
i
x
μ
i
x
σ分别为的均值和标准差
i
x
把功能函数在某点 用Taylor级数展开),,,()(
21 n
xxxgg L=X ),,,(
21
=
n
xxx L
*
X得
LL +
+
+=
∑∑
==
n
i
i
ii
n
i
i
iin
x
gxx
x
g
xxxxxgg
1
2
22*
1
***
2
*
1
|
2
)(
|)(),,,()(
**
XX
X (10.35)
略去二阶小量得
*
X
X |)(),,,()(
1
***
2
*
1
∑
=
+=
n
i
i
iin
x
g
xxxxxgg L (10.36)
式中
*
X
|
i
x
g
为 在点对x),,,()(
21 n
xxxgg L=X ),,,(
21 n
xxx L=
*
X
i
一阶偏导数值
注意到为破坏面或者极限状态函数上的一点),,,(
21 n
xxx L=
*
X因此
(10.37) 0),,,(
**
2
*
1
=
n
xxxg L
把式(10.37) 代入(10.36)中得
*
X
X |)()(
1
*
∑
=
=
n
i
i
ii
x
g
xxg (10.38)
在结构可靠度分析中对功能函数g往往采用线性化后的式(10.38)而不直接用原来的公式原因是线性化后的g无论求解均值或方差都容易得多
由式(10.34)得
(10.39)
ii
xxii
zx μσ+=
同样
ixi
i
ii
z
g
x
z
z
g
x
g
i
=
=
σ
1
(10.40)
如果随机变量的均值和方差σ已知且服从正态分布
),,2,1( nix
i
L= ),,2,1( ni
i
x
L=μ ),,2,1( ni
i
x
L=
把式(10.39)和式(10.40)代入式(10.38)得
∑
=
=
n
i i
ii
z
g
zzg
1
*
*
|)()(
Z
X (10.41)
g(X)的均值为
296 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
∑
=
=
n
i
i
ig
z
g
z
1
*
|
*
Z
μ (10.42)
g(X)的标准差σ
g
为
∑
=
=
n
i
i
g
z
g
1
2
)|(
*
Z
σ (10.43)
由此可见可靠度指标β为
∑
∑
=
=
==
n
i
i
n
i
i
i
g
g
z
g
z
g
z
1
2
1
*
)|(
|
*
*
Z
Z
σ
μ
β (10.44)
定义
(10.45)
T
n
zzz ),,,(
**
2
*
1
L=
*
Z
T
z
n
z
2
z
1
n21
z
g
z
g
z
g
)|,,|,|(
***
= L
*
G (10.46)
则式(10.44)可表示为
2/1
)(
**
**
GG
ZG
T
T
=β (10.47)
对式(10.47)进行向量变换后得
2/1*
)(
*
*
*
GG
G
Z
T
β?
= (10.48)
由式(10.48)可知
T
n
zzz ),,,(
**
2
*
1
L=
*
Z的各个分量可以表示为
(10.49) ),,2,1(
**
niz
ii
L=?=βα
其中
∑
=
=
n
i
i
i
i
z
g
z
g
1
2
*
)|(
|
*
*
Z
Z
α (10.50)
式中
*
i
α为在Z 空间中破坏面在点处的方向导数
T
n
zzz ),,,(
**
2
*
1
L=
*
Z
同样在Z 空间中功能函数可以表示为
(10.51) 0)( =Zg
综上所述计算可靠度指标β的步骤可具体化为寻找在状态边界面式(10.51)上的一个点
Z该点满足式(10.48)和式(10.49)而该两式中包含的β是通过式(10.44)确定的
第10章 边坡稳定的风险分析 297
由前述可知在标准变量空间中可靠度指标β同时也是可能破坏点Z
*
到原点的最大距离所以上述结论也可以通过下述条件极值问题求得即
在g
=
0的条件下求
22
12 n
dzz z=+++L
2
的最小值
10,4,2 随机变量统计相关情况
可靠度分析中对随机变量是统计相关情况),,2,1( niz
i
L=通常把这些变量转换为一组统计上相互独立的标准化变量),,2,1( niy
i
L=它们之间的相关系数以协方差矩阵表示为
(10.52)
=
1
1
1
21
221
112
L
L
L
L
nn
n
n
ρρ
ρρ
ρρ
Z
C
通过这一处理不相关变量Y可以通过正交变换得到
T
n
yyy ),,(
21
L=其公式为
(10.53)ZTY
T
=
式中T为正交矩阵
正交矩阵T的列向量为矩阵C
Z
的特征矢量具体表述为
(10.54)
==
n
T
λ
λ
λ
λ
L
L
L
L
00
00
00
2
1
TCT
Z
式中),,2,1( ni
i
L=λ为矩阵C
Z
的特征值
另外通过正交变换得到的相互独立的变量Y的协方差矩阵为
T
n
yyy ),,(
21
L=
(10.55)
λ=
==
==
TCTTZZET
TZZTEYYEC
Z
TTT
TTT
Y
)(
)()(
通过式(10.53)的正交变换计算含有统计相关随机变量功能函数的可靠度指标β变为
[]
2/1
)()(
)(
*
*
*
Z
*
Z
Z
*
*
Z
*
GCG
ZG
T
T
=β (10.56)
其中
T
n
z
g
z
g
z
g
)|,,|,|()(
21
****
ZZZZ
*
G
= L (10.57)
注意式(10.53)则
T
Y
n
YYY
*
y
g
y
g
y
g
G
**
)|,,|,|()(
**
= L
21
可通过计算求得计算公式为
(10.58)
**
Y
*
Z
*
GTG )()( =
298 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
把式(10.53)和式(10.58)代入式(10.56)并注意到T为正交矩阵有T IT
T
=可得
2/12/1
])()[(
)(
])()[(
)(
**
*
**
*
Y
*
Y
*T
*
Y
*T
Y
*
Z
T
Y
*T
*T
Y
*T
GG
YG
GTCTG
TYTG
λ
β
=
= (10.59)
由式(10.59)可得到破坏面上破坏点Y ),,,(
21 n
yyy L=
*
其值为
2/1
])()[(
)(
**
*
Y
*
Y
*T
Y
*
*
GG
G
Y
λ
βλ?
= (10.60)
由式(10.60)可知),,,(
21 n
yyy L=
*
Y的各个分量为
βλα
iiYi
y
**
= (10.61)
其中
∑
=
=
n
i
i
i
i
i
iY
y
g
y
g
1
2
*
)|(
)|(
*
*
Y
Y
λ
λ
α (10.62)
式中
*
iY
α为Y 空间中破坏面在点Y处的方向导数沿轴的分量),,,(
21 n
yyy L=
*
i
y
另外在Y空间功能函数变为
(10.63)0)( =Yg
10,4,3 数值分析方法
根据以上论述可靠度分析计算中的一次二阶矩法可用数值分析的方法得到其具体算法表述如下(Ang and Tang,1984)
(1) 定义),,,()(
21 n
xxxgg L=X假定初始的破坏点),,2,1(
*
nix
i
L=由式(10.34)计算折减变量),,2,1(
*
niz
i
L=如果随机变量统计相关),,2,1(
*
nix
i
L=由式(10.53)得到不相关的随机变量),,2,1(
*
niy
i
L=
(2) 计算点处的),,2,1(
*
niz
i
L=
*
Z
|
i
z
g
及α值
*
i
如果随机变量统计相关),,2,1(
*
nix
i
L=
则需计算处的),,2,1 nL(
*
iy
i
=
*
Y
|
i
y
g
及α值
*
iY
(3) 由式(10.49)得到或者由式(10.61)得到),,2,1(
*
niz
i
L= ),,2,1(
*
niy
i
L=
(4) 将代入式(10.44)或者将代入式(10.59)求解β),,2,1(
*
niz
i
L= ),,2,1(
*
niy
i
L=
(5) 用第4步求得的β值再通过式(10.49)和式(10.61)分别重新计算或者值
),,2,1(
*
niz
i
L=
),,2,1(
*
niy
i
L=
(6) 重复第2至第5步直至收敛
第10章 边坡稳定的风险分析 299
这种算法具有试凑的特点但并不是总能保证收敛以边坡稳定性分析为例如果采用简化的毕肖普法或者Morgenstern?Price方法计算的第一步是要寻找状态边界面上的一组随机变量即粘聚力摩擦角和孔压系数的组合其抗滑稳定安全系数为1.0这一过程类似边坡工程中的反演分析本身必须经过一系列迭代而计算每一个滑面的可靠度指标β
则是第二个层次的迭代如果寻找相应最小可靠度指标β
的临界滑裂面则又需增加第三层次的迭代为了改进上述常规算法安全系数的收敛性问题以及提高一次二阶矩法的实用性作者结合边坡稳定分析的具体情况提出一个改进的算法在10.4.4节中详细介绍
10,4,4 改进FOSM方法
1,基本原理及计算步骤
对于随机变量在统计上是彼此相关的还是相互独立的),,2,1(
*
nix
i
L=改进方法的表述在概念上是一致的为表述清楚我们假定随机变量已按10.4.2节变成统计独立的情况
实际在常规算法第(1)步中初始值使得功能函数有一非零的d值),,2,1(
*
niy
i
L= )(Yg
(10.64) dyyygg
n
== ),,,()(
**
2
*
1
LY
对于下一次迭代
*
i
y?改进FOSM方法认为将位于破坏面上
**
ii
yy?+即
(10.65) 0),,,(
***
2
*
2
*
1
*
1
=?+?+?+
nn
yyyyyyg L
将式(10.65)左边在点展成Taylor级数),,2,1(
*
niy
i
L=并忽略?二阶以上高阶小量得
*
i
y
0|),,,(
1
***
2
*
1
=?
+
∑
=
n
i
i
i
n
y
y
g
yyyg
*
Y
L (10.66)
将式(10.66)减去式(10.64)得到
dy
y
g
n
i
i
i
=?
∑
=1
*
|
*
Y
(10.67)
由式(10.61)可得
),,2,1()()(
****
niyy
iiYiYii
L=?+?+=?βλαα (10.68)
在式(10.68)中忽略后得到
*
iy
α?
),,2,1()(
***
niyy
iiYii
L=?+= ββλα (10.69)
将(10.69)式代入(10.67)式中得到?β
∑
∑
=
=
+?
=?
n
i
i
iiY
n
i
i
iiiY
y
g
y
g
yd
1
*
1
**
]|[
]|)[(
*
*
Y
Y
λα
βλα
β (10.70)
根据以上公式推导改进FOSM方法具体包含以下步骤
300 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(1) 定义),,,()(
21 n
xxxgg L=X假定初始的破坏点),,2,1(
*
nix
i
L=由式(10.34)计算折减变量),,2,1(
*
niz
i
L=如果随机变量统计相关),,2,1(
*
nix
i
L=由式(10.53)得到不相关的随机变量),,2,1(
*
niy
i
L=并确定β值的初始迭代值
(2) 将代入(10.64)得到d),,2,1(
*
niy
i
L=
(3) 计算点处的),,2,1(
*
niz
i
L=
*
Z
|
i
z
g
及α
i
值如果随机变量统计相关),,,(
*
n21ix
i
L=
则需计算处的),,2,1 nL(
*
iy
i
=
*
Y
|
i
y
g
及α值
*
iY
(4) 由式(10.70)得到?β把β+?β作为β的下一次迭代值
(5) 利用第4步求得的β值再通过式(10.49)和式(10.61)分别重新计算或者值
),,2,1(
*
niz
i
L=
),,2,1(
*
niy
i
L=作为下步迭代的初始值
(6) 重复第2步到第5步直到满足以下的收敛准则
(10.71)
β
εβ<?
(10.72)
d
d ε<
式中ε
β
和ε
d
为允许误差
注意到在上述推导过程中忽略了式(10.68)中的项
*
iY
α?这一简化使问题求解简单而且仅仅构成操作误差不会影响最终收敛结果
作者在开发边坡稳定可靠度分析程序时对本节介绍的算法进行了实际考核发现其收敛性极佳现以下面一个例子来说明
2,解释改进的FOMS 法的算例1
[例10.2] 固定圆弧滑裂面算例
该算例为一具有固定圆弧滑裂面土坡的例子参见11.4节中ACADS 例题1(c)该边坡共包含层土层边坡剖面如图10.10所示
图 10,10 解释FOMS法计算过程算例
在可靠度分析中将第一层土的粘聚力作为确定性变量摩擦系数f(或内摩擦角φ)作为随机变量而第二三层土的和f全部作为随机变量且第二三层土的和f统计相关各土层材料的物理强度参数以及随机变量的有关参数详见表10.10
表 10,10 随机变量和材料的物理参数表[例10.2]
第10章 边坡稳定的风险分析 301
粘聚力c (kPa) 摩擦系数f = tanφ
土层编号
均值 标准差 均值 标准差
相关系数
容重γ
(kN/m
3
)
1 0 0 0.781 0.1 0 19.5
2 5.3 0.7 0.424 0.05 0.1 19.5
3 7.2 0.2 0.364 0.05 0.3 19.5
根据表10.10可知反映相关系数的矩阵为
(10.73)
=
13000
30100
00110
00101
.
.
.
.
Z
C
采用线性代数方法可得式(10.53)中的T为
(10.74)
=
70700000
70700000
07070000
07070070700
000100
,
,
,
,,
,
T
C
z
的特征值为
(10.75) ) 1.140 1.049,1.0,0.949,(0.836,)( =λ
这样相应任意一套自变量向量X的Y向量即可通过式(10.53)求得在可靠度分析中首先考虑一固定圆弧滑裂面的情况在利用改进FOSM法分析圆弧滑面的边坡稳定性过程中随机变量c和 f
=
tanφ及孔隙水压力系数r
u
的初始迭代值通过下面两个步骤来选取
1) 用c和 f的均值求出相应的安全系数F
2) 在安全系数F与1差值较大情况下将c/F f/F分别作为c f的初始迭代值
经验表明安全系数F与c和f近似呈线性关系调整后的初始值给出的F等于1因此使迭代从破坏面附近开始最终很快逼近收敛解其计算迭代过程及结果见表10.11
作为迭代的第一步将表10.10所示的各参数的均值输入程序获得相应的安全系数为
1.542于是将各土层的f和c除1.542获得一个处于状态边界面即F=1的自变量向量即表10.11第4列中的参数(0.506,3.437,…,0.236)相应第一次迭代这一特定迭代步d
=
0相应的Y向量即为表10.11第5列所列值根据可靠度指标β为原点和状态边界面的垂直距离的定义我们得到的第一个β的近似值
79.13...
22
2
2
10
=+++=
n
yyyβ
在该点上的数值列于表10.11第7 列这样就有条件通过(10.62)确定α
iY
值通过式
(10.70)确定?β其值为?8.786因此经过第一次迭代后获得了一个新的β即
003.5786.878.13
1
=?=β
302 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
表 10,11 采用改进FOSM法计算过程及计算结果[例10.2]
迭代次数
土层
编号
随 机
变量X
Y?g/?y?y β?β d
1 f 0.506 7.138 4.399 -8.563
c 3.437 -0.221 4.895 -1.817
2
f 0.275 -2.744 1.775 1.924
c 4.669 -3.985 6.492 0.682
1
3
f 0.236 -10.758 4.992 7.757
β
0
=13.79
β
1
=5.003
-8.786 d
0
=0.000
1 f 0.699 -1.424 4.447 0.023
c 4.674 -2.038 5.068 -0.015
2
f 0.235 -0.820 1.450 0.167
c 6.977 -3.303 6.701 -0.015
2
3
f 0.208 -3.001 5.045 0.049
β
1
=5.003
β
2
=4.963
-4.02×10
-2
d
1
=-4.1×10
-3
1 f 0.716 -1.401 4.449 1.50×10
-3
c 4.674 -2.053 5.082 -2.46×10
-3
2
f 0.234 -0.065 1.431 9.48×10
-3
c 6.981 -3.319 6.718 -3.19×10
-3
3
3
f 0.210 -2.952 5.047 3.08×10
-3
β
3
=β
m
=4.963 -1.76×10
-4
d
2
=-1.8×10
-5
现在进入第二次迭代使用式(10.49)和式(10.61)获得一套新的自变量如表10.11第
2次迭代的第4列即Z
=
(0.699,4.674,…,0.208)
T
使用这一套参数获得的安全系数是0.9958
也就是说经过第一步迭代更新后的自变量已偏离状态边界面式(10.64)中的d为?4.1×10
3
重复这一套迭代步骤第二次迭代获得的?β
=
4.02×10
2
β
2
为4.963当迭代进入第3步时
d即收敛到?1.8×10
5
最终获得的β值为4.963
3,解释FOMS 法的算例2
[例10.3] 用FOSM法计算[例10.1]
用改进的FOSM法对[例10.1]重新进行计算对应c f的均值得到的安全系数为1.107
经过二次迭代该非线性问题即收敛迭代终止时?β从?0.22变为?2.817632 10
6
d从
4.988变为?2.38 10
7
并且两个?y都小于10
5
可靠度指标β由1.495收敛为1.277
10,4,5 Rosenbleuth方法
1,基本原理
上述介绍的可靠度指标计算方法中Monte Carlo法包含了数目极大的随机采样FOSM
法则需要通过多次迭代求解因此这两种方法在实际工程应用中均比较因难Rosenbleuth
于1975年提出通过点估计的方式来计算岩土工程中的可靠度指标β后来许多学者和研究人员(Chowdhury,1984; Li,1992)都讨论了这一方法在岩土工程问题中的应用作者在边坡稳定分析领域实际应用此法时发现这一十分简单的计算方法所得到的可靠度指标与前述两个方法惊人地吻合因此该方法可成为一种实用的可靠度指标计算方法
Rosenbleuth法要求在某几个点上估计功能函数的值根据这些数据即可通过简单的计算公式确定可靠度指标这些点是根据一定的原则由随机变量的均值以及标准差生成的
下面以包含三个随机变量的功能函数为例说明Rosenbleuth法的计算过程
定义功能函数为g(x
1
,x
2
,x
3
)则它的一二阶矩阵E(g)和E(g
2
)的计算公式为
第10章 边坡稳定的风险分析 303
(10.76) L+++≈
+?++?+?++?++++++++
gPgPgPgE )(
(10.77) L+++≈
+?++?+?++?++++++++
2222
)( gPgPgPgE
式中g为随机变量x
1
x
2
x
3
的目标函数功能函数
式(10.76)和式(10.77)的右边分别包含了8项g和P的下标及正负号分别定义为
(10.78) ),,(
332211
xxxxxx
gg σμσμσμ++=
+++
+
+
(10.79) ),,(
332211
xxxxxx
gg σμσμσ ++=
++
(10.80) ),,(
332211
xxxxxx
gg σμσμσμ?+=
+?+
(10.81) 8/)1(
312312
ρρρ+++=
+++
P
(10.82) 8/)1(
312312
ρρρ?++=
++
P
(10.83) 8/)1(
312312
ρρρ+?+=
+?+
P
式中
ij
为随机变量x
i
与x
j
的相关系数 ρ
根据式(10.76)和式(10.77) Rosenbleuth法的可靠度指标β计算公式为
22
)()(
)(
gEgE
gE
=β (10.84)
2,符号集的结构
式(10.76)和式(10.77)中P和g的下标符号集可以从下面矩阵A中获得即
+
+?
++?
+
+?+
++
+++
= A (10.85)
矩阵A中第1列代表式(10.76)和式(10.77)中右边第一项的下标符号如此类推式(10.76)
和式(10.77)右边第n项由列阵A中第n列来表示通常矩阵A是一行接一行地生成第一行包括两组符号组第一组称为正号组有四个+号第二组称为负号组含有四个?
号第二行含有四组符号组每组符号数目减少为2正负符号组交替出现
一般情况下在式(10.76)和式(10.77)的右边分别有2
n
项其中n为功能函数包含的随机变量的个数每一项均含一个g和P值带+号和?号下标的g的n个自变量分别取值为( i
xixi
i σμ+sign?
=
1,2,,n)其中signi代表第i个自变量所取的符号值如果g的下标中第i个为+则为反之为?1
带有+和?的P计算公式为
n
n
j
jj
jj
P
2
])(sign)1(sign0.1[
1
1,
∑
=
+
++
=
ρξ
(10.86)
式中当j+1=n+1时j+1被1代替定义为当n
=2 ξ
=0.5当n
≠2 ξ
=1 ξ
一般情况下对于具有n个变量的功能函数P和g的下标符号集可用矩阵B表示为
304 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
+?+
++
+?+
++
++
+
+++
+?+
+++
+++
=
..,
..,
..,
......
......
...,..
...,..
......
...
...
其结构形式可以用下面的表10.12的形式来描述
表 10,12 Rosenbleuth法变量符号排列矩阵
行 符号组 符号组数
1 2
n-1
个+ 号 2
n-1
个-号 2
1
2 2
n-2
个+ 号 2
n-2
个- 号 2
n-2
个+ 号 2
n-2
个-号 2
2
n + - + -,…....,2
n
3,由二进制整形数表达的结构
Rosenbleuth方法的计算过程虽然十分简单但生成如表10.12所示规则的符号系统并非易事这一套符号集的矩阵B必须在执行Rosenbleuth方法之前生成在计算未结束时存放矩阵B的数组就不能消去如果功能函数包含的随机变量的数目n较大则需要很大的内存空间来存贮该矩阵例如当n 15时则需要容量为2
15
×15/2的内存从而使计算效率降低如果矩阵B也能按列生成则每个g和P可以同时进行计算那么内存里的信息以后不再使用即可以删除在开发STAB95程序过程中作者的合作者闫继军发现利用计算机提供的整形数的二进制表达功能按列生成矩阵B的问题就很容易得到解决
重新考察矩阵B各列如果+代表0?代表1那么矩阵第一列代表整形数0
的二进制表达第二列代表整形数1的二进制表达以此类推因此这2
n
列只不过意味着生成整形数0,1,2,3,2
n
1的二进制形式大多数计算机编译器提供了用二进制表达整形数的函数在Fortran语言中的内部函数BTEST(I,J)就能揭示出整型数i第j个字节是0还是
1运用此函数就可以编写一个服务于Rosenbleuth方法的短小的子程序见附录下面用一个实例说明
4,解释Rosenbleuth法的算例
[例10.4] 采用Rosenbleuth法计算[例10.1]
对于[例10.1]采用Rosenbleuth法计算其可靠度指标表10.13给出了Rosenbleuth法的计算过程其中第二列给出了按照上述方法产生的符号矩阵得到的强度参数第三列给出了相应的安全系数对于只有两个随机变量的情况Rosenbleuth法只需4次采样就可计算得到相应的可靠度指标值
表10.14汇总了利用蒙特卡洛法改进的FOSM法及Rosenbleuth法对同一例题即[例
10.1] [例10.3]和[例10.4]进行计算的结果可以发现这三种方法得到的的可靠度指标非常接近
第10章 边坡稳定的风险分析 305
表 10,13 包含两变量的Rosenbleuth法计算过程[例10.4]
计算次数
c
=μ
c
±σ
c
f
=μ
f
±σ
f
安全系数F P
i
g
i
P
i
g
i
2
计算结果
i
=
1
c
=μ
c
+σ
c
=3.3
f
=μ
f
+σ
f
=0.386
1.2018 0.3000 0.3611
i
=
2
c
=μ
c
+σ
c
=3.3
f
=μ
f
-σ
f
=0.326
1.0369 0.2592 0.2688
i
=
3
c
=μ
c
-σ
c
=2.7
f
=μ
f
+σ
f
=0.386
1.1763 0.2940 0.3459
i
=
4
c
=μ
c
-σ
c
=2.7
f
=μ
f
-σ
f
=0.326
1.0113 0.2528 0.2557
F
=
1.10264
E(F)
=
1.106
E(F
2
)
=
1.232
E(F
2
)-E
2
(F)=
6.97×10
-3
β
=
1.277
注 功能函数g
=F?1
表 10,14 不同方法对[例10.1]进行可靠性分析的结果
方法 可靠指标
Monte Carlo μ
F
=1.106 σ
F
=0.084 β
=1.256
FOSM β
=1.277
Rosenbleuth μ
F
=1.107 σ
F
=0.083 β
=1.277
10,5 自动搜索最小β
值
10,5,1 搜索最小可靠度指标β
的方法
与确定性方法中所用的分析过程类似边坡稳定可靠度分析通常包括以下两个步骤
(Tabba,1984; Hassan,et al.,1999)
1) 对于一指定滑面求β;
2) 在所有可能的滑面中用最优化方法寻找一个所谓临界滑面其β为最小值β
m
一些研究者将由确定性模型获得的临界滑裂面相应的可靠度指标作为边坡最小可靠度指标作者曾就此问题作过讨论指出两者不可能获得相同的结论可靠度分析的目的是找到失效概率最大的滑裂面以及相应的β
值
在实际使用中发现第4章介绍的计算最小安全系数的各种最优化方法全部可以用来计算最小可靠度指标唯一需要改动的是目标函数此时不再是F而是β
10,5,2 自动搜索最小β 值算例
[例10.5] 对[例10.2]自动搜索最小β
值
该算例进行临界圆弧滑裂面搜索设圆弧滑面都具有同样的深度D
s
=25m改变圆心坐标(x
c
,y
c
)对β值进行优化图10.11比较了二维情况下的β
等值线图x y轴分别代表x
c
y
c
由图10.11可以发现改进FOSM法和Rosenbleuth法给出的β等值线图在形状和位置上十分接近这表明无论是改进FOSM法还是Rosenbleuth法都能合理和准确地得到边坡稳定的最小可靠度指标在计算中还发现在用最优化方法搜索边坡临界滑面的过程中以最小可靠度指标为目标函数的搜索方法与以最小安全系数为为目标函数的搜索方法一样是切实可行的
306 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
图 10,11 可靠度指标的等值线图[例10.5]
注 虚线为Rosenblueth法实线为改进FOSM法
10,6 岩土材料的变异特征和统计参数
10,6,1 数理统计的方法
岩土材料的物理力学特性指标存在着变异特征在大量的采样和试验基础上可以应用数理统计的方法确定其概型和均值方差有关方法在很多的教科书中均有介绍
1,矩法
采用矩法对三轴和直剪资料分别整理也就是说对n组c和f
=
tanφ或φ 的成果分别按下式计算其均值和标准值
∑
=
n
ix
x
n
1
1
μ (10.87)
∑
=
n
xix
x
n
1
2
)(
1
1
μσ (10.88)
第10章 边坡稳定的风险分析 307
式中x为c或tanφ
建筑地基基础设计规范规定样本数量n的修正系数的计算公式为
x
nn
ηψ
+?
=
2
678.4740.1
1 (10.89)
式中
x
为随机变量x的变异系数即η
xxx
μσ /= η
修正后的μ
x
为
(10.90) x
x
ψμ =′
2,一次线性回归
在边坡稳定分析中材料的强度指标c和f
=
tanφ是最重要的参数根据试验数据确定c
和f的均值方差以及协方差的是最基本的途径但是如果将一种土的若干组(设组数为m)
试验的c和f直接进行统计导致的误差可能比较大因为对每一组土样的若干个法向应力级(设分n级相应的剪应力进行线性回归获得c和f时本身包含一个层次的误差对m
组c和f进行线性回归获得其均值和方差时再出现一个新的层次的误差通常对一种土不可能进行很多组试验即m值较小较难获得真正具有统计意义的成果
将各组试验的点放在同一个坐标系中进行线性回归的方法如第5章中的图5.5所示显然要好得多将m个试样的成果放在一起总共可以有m×n个数据点不仅解决了试验样本的数量问题而且消除了每组试验获得的c和f本身包含的误差
图10.12为小浪底水利工程72组上坝心墙料数据进行线性回归的成果图10.13是陕西省关中平原灌区6个高度超过10m的均质坝坝料线性回归成果这两个实例说明只要进行系统的三轴试验都有条件进行线性回归能够得到符合实际情况的可靠度指标的均值当强度试验采用直剪试验时统计分析的横坐标为法向应力σ纵坐标为抗剪强度τ如果采用三轴试验则需要在假定一个φ的基础上将三轴资料换算成与小主应力夹角为45°+φ
/2面上的σ和τ另一种方案是纵横坐标为p
=
(σ
1
+σ
3
)/2和q
=
(σ
1
σ
3
)/2如第5章图5.5示
图 10,12 小浪底上坝土料统计参数线性回归成果
308 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
图 10,13 陕西省关中平原灌区坝料统计参数线性回归成果
(a) 王家崖(b) 石堡川(c) 信邑沟(d) 泔河(e) 大北沟(f) 桃曲坡
上述两种方案在确定性模型中是适用的但是问题涉及到统计分析领域时那就存在纵横坐标这两个变量本身是相关的这一问题
为了克服这一理论缺陷Lumb(1966,1970)建议将σ
1
和σ
3
作为纵横坐标由于σ
1
和σ
3
与c和φ存在以下关系即
(10.91) )2/4/(tan)2/4/tan(2
2
31
φπσφπσ +++= c
第10章 边坡稳定的风险分析 309
如果通过线性回归获得了σ
1
和σ
3
坐标系上的截距A和斜率B则可通过下面两式获得c
和φ值即
(10.92) )2/4/tan(2 φπ += cA
(10.93))2/4/(tan
2
φπ +=B
对于n组(x
i
y
i
)的试验数据采用一次线性回归回归方程为
(10.94)
iii
eBxAy ++=
式中e
i
为一个均值为零标准差为s
0
的正态随机变量
A和B的系数可由下式决定即
(10.95)
mm
BxyA?=
22
mi
mmii
nxx
ynxyx
B
∑
∑
= (10.96)
式中x
m
和y
m
为x
i
和y
i
的均值
s
0
和A,B的标准差s
A
s
B
为
2
)(
22
2
0
∑∑
=
n
ynxyxBnyy
s
mmiimi
(10.97)
∑
+=
22
22
02
1
mi
m
A
nxx
x
n
S
s (10.98)
22
2
02
mi
B
nxx
S
s
∑
= (10.99)
这里假定A和B为独立的变量因此协方差s
AB
为零
如果x
i
,y
i
分别代表直剪试验中的σ和τ那么A和B分别是c和f如果x
i
和y
i
为σ
3
和
σ
1
那么需要通过式(10.92)和式(10.93)来转化成c和f下面根据这一实际需要介绍一个很有用的转化公式(Lumb,1970)
设),( yxfz =那么在知道x和y的均值x
m
和y
m
以及方差s
x
2
,s
y
2
,s
xy
情况下z的均值和标准差可按下式确定即
三次高阶量+
+
+
+=
2
2
2
2
2
2
2
2
1
),(
x
f
s
x
f
s
yx
f
syxfz
yxxymmm
(10.100)
三次高阶量+
+
+
=
y
f
y
f
s
y
f
s
x
f
ss
yxz xy
2
2
2
2
22
(10.101)
式中方括弧项代表括号内的变量在(x
m,
y
m
)处的数值
根据这一方法来确定A,B和c,f之间的统计参数的变化可按下面步骤确定
1) 根据式(10.93) f的均值为
310 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
)2/tanarc2tan( π?= Bf
m
(10.102)
2) 根据式(10.96)和式(10.99)略去高阶小量f的标准差为
2
22
22
)1(
)1(
BB
f
ss
m
Bf
+
+
=
(10.103)
3) 根据式(10.95)和式(10.98) c的均值和标准差分别为
B
A
c
m
2
= (10.104)
)
4
(
2
2
2
2
22
B
s
A
s
cs
BA
mc
= (10.105)
利用上述一次线性回归确定统计参数变异特性的方法目前使用还不广泛尚存在一些问题需通过进一步的探讨予以解决同时由于x
i
数值较小时相应的试验值y
i
偏离回归方程的绝对值较x
i
较大时的相应值小故Lumb (1970)还提出了一个对试验值进行加权处理的方案详见原文
10,6,2 确定材料变异特性指标的经验方法
根据岩土材料试验资料整理统计参数经常受到以下因素的制约
(1) 土工试验的组数特别是有关抗剪强度渗透系数之类的试验通常不可能太多从统计意义来说样本数量远不能满足要求
(2) 复杂的土工试验本身包含有误差例如在第章 中讨论了影响三轴和直剪试验成果的诸多因素(这里还没有包括试样扰动这一重要的因素)因此直接使用这些试验成果往往会获得不完全反映实际情况的较大的变异系数
因此在确定材料变异特性时引入一些其它的分析方法通过综合分析最终确定统计参数是十分有益的下面介绍两种方法
1,3σ法则
这一经验法则首先由Dai和Wang (1992)提出他们注意到对于一个具有正态分布的参数99.73%的数据落于(μ?3σ μ+3σ)区间因此可以理解μ?3σ和μ+3σ分别为该参数的最大可能值(HCV)和最小可能值(LCV)反过来说如果没有足够的试验数据来进行某一参数的变异特性的数理统计分析那么可以根据经验首先确定该参数最小和最大可能值然后根据下式确定该参数的标准差即
6
LCVHCV?
=σ (10.106)
使用这一法则有可能在数据较少时根据经验来确定标准差同时在通过其它途径确定了标准差后这一法则也可作为判别成果合理性的一个依据
图10.14为使用图解法进行现场不排水剪试验成果用3σ法则整理的例子首先画出代表平均值的直线曲线然而再画出相应最大可能和最小可能数值的曲线注意个别点落在此两线外这些点被认为是错误的数据
第10章 边坡稳定的风险分析 311
图 10,14 图解法进行现场不排水剪试验成果用3σ法则整理的例子
表10.15和表10.16为根据经验总结的各项土工参数的变异特征
表 10,15 常用土工指标变异系数参考值(Duncan,2000)
属性或现场试验数据 变异系数V % 数据来源
容重γ 3–7 Harr (1984),Kulhawy (1992)
浮容重γ
b
0–10 Lacasse & Nadim (1997),Ducan (2000)*
有效应力摩擦角φ′ 2–13 Harr (1984),Kulhawy (1992)
不排水剪切强度S
u
13–40 Harr (1984),Kulhawy (1992),Lacasse &
Nadim (1997),Ducan (2000)*
不排水强度比S
u
/σ
v
′
5–15 Lacasse & Nadim (1997),Ducan (2000)*
压缩指数C
c
10–37 Lacasse & Nadim (1997) Ducan (2000)*
先期固结压力P
p
10–35 Lacasse & Nadim (1997) Ducan (2000)*
饱和粘土的渗透系数k 68–90 Harr (1984),Ducan (2000)*
部分饱和粘土的渗透系数k 130–240 Harr (1984),Benson et al,(1999)
固结系数c
v
33–68 Duncan (2000)*
标贯试验击数N 15–45 Harr(1984),Kulhawy (1992)
电子触探试验q
c
5–15 Kulhawy (1992)
机械触探试验q
c
15–37 Harr (1984),Kulhawy (1992)
膨胀试验端阻力q
DMT
5–15 Kulhawy (1992)
十字板剪切试验不排水强度S
v
10–20 Kulhawy (1992)
* 参考文献见Duncan (2000) 原文
312 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
表 10,16 从诸文献中总结的土的各种特性指标的变异系数COV (Chowdhury,1982)
材料 特性指标 COV(%) 材料 特性指标 COV(%)
液限 5.9 砂粘土 Log(C
c
) 34.2
塑限 4± 粉细砂 F 13.8
粘粒含量 11.4 f 14.8
比重 0.5± c 31.6
粘土
干密度 26.4
淤泥
c 25.9
粘聚力DS 94.8 松渥太华砂 φ 14
页岩粘土
摩擦系数直剪 45.6 密渥太华砂 φ 12.5
c,DS 103.3
粘性冰碛土
f,DS 17.7
C三轴 13.5
淤泥(不饱和)
c
φ
S
U
51
22
19
F三轴 1.6
C CU 19.9
F CU 9.8
淤泥饱和
c
φ
s
55
29
20
C UU 18.8 淤泥 c 64
不扰动”土
F UU 22.3
C三轴
UU
15
C D 24.0
CH
φ,UU 56
F D 2.1 c,UU 22
C CD 26.9
CL
φ,UU 19
F CD 6.8 c,UU 71
c UU 25.5
ML
φ,UU 12
填筑土
f UU 5.4 c,DS 63
14.8
CH
φ,DS 10.4
14.7 CL c,DS 3
31.0 ML c,DS 2.5
19.8 吸力 24.2
多种冰碛土 UU
29.0
路基
吸力 23.2
e
0
21.6 LL 6.37
粉砂
n 89.4
16个粘土
平均值 PL 9.55
e
0
29 CBR 17.4
砂砾
n 16 密度 3.9
n 9.8 PI 75.0
粗砂
e
0
16
路基粗粒土
S
U
36.8
n 10
中砂
e
0
17.5
细砂 e
0
13.3
海洋粘土 c
18.4
伦敦粘土 c 16.2
塑性粘土
细砂
砂砾
粗砂
压缩比
f
f
f
17%~38%
5~13
5
8~14
2,用基本力学参数相关所研究的变量
在土工试验中颗分曲线塑限液限塑性指数和孔隙率这些参数可以大量取样同时这些试验受到的外界干扰因素较少数据本身的可信度较高因此使用这些参数研究相关渗透系数强度指标这样一些样本数量较少试验本身包含误差因素大的参数不失为一种有效的辅助手段现将作者在研究沟后水库大坝时所作的一些工作介绍如下
第10章 边坡稳定的风险分析 313
(1) 对砂砾石的渗透系数的相关分析填筑砂砾石的渗透系数是一个随机变量它和砂砾石的颗粒级配和压实度有关刘杰(1994)曾详细讨论确定渗透系数K的各种经验公式提出以下经验公式即
(10.107)
2
20
3
10
234 dnK =
式中K为渗透系数单位以以cm/s计K的下标为相应的温度n为坝体材料的孔隙率
d
20
为在粒径级配累级曲线中占总土质量20%的最大颗粒的粒径单位以cm计
根据刘杰的研究对沟后土样中国水利水电科学研究院给出了很好的拟合结果根据施工档案得到现场核子密度计测定的坝体填筑料干容重的613个数据将干容重换算成孔隙率同时还查到45条颗分曲线和12个垮坝后现场取样试验资料根据这57组数据获得沟后坝砂砾料孔隙率n和统计指标d
20
的直方图见图10.15和图10.16其统计特征值如表
10.17所示采用蒙特卡洛法可通过式(10.107)获得如图10.17所示渗透系数的直方图拟合的结果渗透系数为对数正态分布均值和标准差分别为1.31×10
2
cm/s和3.39×10
2
cm/s
根据此直方图可绘出渗透系数小于某一值的概率图如图10.18从中可以发现渗透系数小于0.1×10
2
cm/s 0.5×10
2
cm/s和1×10
2
cm/s的概率分别为15% 49%和65%
图 10,15 沟后坝砂砾料孔隙率的直方图
(2) 对砂砾石的内摩擦角的相关分析和渗透系数取值一样有关坝料强度指标的样本是十分有限的确定抗剪强度指标变异特征的一个有用的途径也是借助经验公式对于粗颗粒土可以通过坝料的压实密度和颗粒级配进行间接判断
最上武雄(1968)提出了确定无凝聚性土内摩擦角的经验公式为
e
m
=′φtan (10.108)
式中e为孔隙比m为与土料的不均匀系数η有关的经验系数二者之间关系为
314 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(10.109) ηlogBAm?=
中国水利水电科学研究院曾对沟后材料进行三轴试验其成果如图10.19示
图 10,16 沟后坝砂砾料粒径的直方图
图 10,17 沟后坝砂砾料渗透系数的直方图
表 10,17 沟后大坝坝料主要物理性指标的统计成果
概型 均值 标准差
孔隙率n 正态 0.161 0.009
孔隙比e 正态 0.191 0.012
有效粒径d
20
(mm) 对数正态 0.89 0.70
不均匀系数η 对数正态 74.22 47.19
第10章 边坡稳定的风险分析 315
图 10,18 沟后坝砂砾料渗透系数小于某一值的概率
图 10,19 中国水利水电科学研究院对沟后坝砂砾料作三轴试验成果
(a) 上限级配 (b) 平均级配
316 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
分别对清华大学和中国水利水电科学研究院试验成果进行线性回归得
(10.110) ηlog16.0586.0?=m
(10.111) ηlog10.0357.0?=m
表10.18和表10.19为回归的结果
同样对施工质检和垮坝后的颗分资料进行统计分析获得坝料孔隙比e和不均匀系数的特征值η见表10.18和表10.19统计结果如图10.20和图10.21所示在确定强度参数时使用表10.17提供的孔隙e和不均匀系数η的统计特征值进行10×2000次蒙特卡洛模拟可得f值概型为对数正态如图10.22 tanφ的均值和标准差分别为0.933和0.16如果将其转换为成等效正态分布则分别为0.933和0.12
表 10,18 清华大学土工试验成果拟合参数m
区号 孔隙比e 不均匀系数η 内摩擦角φ ′ 摩擦系数tanφ ′ m
0.347 60 39.18 0.815 0.3048
0.374 74.5 37.07 0.7554 0.2825
0.374 87.5 36.59 0.7423 0.2776
表 10,19 中国水利水电科学研究院土工试验成果拟合参数m
级配 干密度(g/cm
3
) 孔隙比 不均匀系数η 内摩擦角φ′ m
平均级配 2.23 0.206 120 41.0 0.219
上限级配 2.16 0.251 27.5 37.1 0.1557
图 10,20 沟后坝砂砾料孔隙比e的直方图
第10章 边坡稳定的风险分析 317
图 10,21 沟后坝砂砾料不均匀系数η的直方图
图 10,22 内摩擦系数f值分布直方图
10,6,3 关于概率密度函数截尾的讨论
近代可靠度分析的主要方法都是以参数为正态分布这一基础发展起来的这意味着这些参数有可能是负值这和相当一部分参数的物理含义不符这一问题在岩土工程参数中有关粘聚力c的分析中表现尤为突出c值的变异系数大于(30~40)%是经常可能发生的这就导致c值存在较大的可能为负值在实际应用可靠度理论分析边坡的风险时计算所得的可靠度指标往往较低这一偏低的数值一方面是c值固有的较大的变异特征有关另一方面也
318 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
和计算分析中隐含允许c为负值这一事实有关边坡稳定安全系数F这一目标函数同样也有这一问题F不仅不能为负值而且还要以F =
1而不是功能函数小于零来衡量结构的失效状态
为了解决这一问题吴世伟(1990)讨论了对呈正态的参数进行截尾的方法另外一个可能的方案是按对数正态来整理这些参数此时其取值在范围在(0,∞)之间同时F =
1与
lnF=
0相对应衡量边坡失稳的标准和功能函数小于零的传统作法可以接轨作者的经验表明粘聚力的标准差过大对其进行可靠度分析已失去意义不如干脆令c=
0在大坝稳定复核中常有一种对材料作纯摩处理的方案即是一例
在确定性模型的分析计算时输入的强度参数通常为小值平均(参见土石坝设计规范的规定)按3σ准则小值平均可以理解为(μ
c
σ
c
),其中μ
c
和σ
c
分别是为c的均值和标准差因此如果通过数理统计获得的c值的均值使(μ
c
σ
c
)小于零时建议将c值取为零不再按随机变量处理现讨论使用对数正态概率分布时的处理方式
对于符合对数正态分布的参数F令y符合正态分布并有
(10.112)Fy ln=
或
(10.113)
y
eF =
则F可转化为标准正态分布函数
F和y的均值和标准差存在以下转化关系即
)1ln(
2
Fy
V+=σ (10.114)
+
=
2
1
ln
F
F
y
V
μ
μ
(10.115)
式中
y
和σ
y
分别为y的均值和标准差 μ
根据以上两式得变异系数为
F
F
F
V
μ
σ
=
(10.116)
由于y小于零和F小于1是等价的因此可靠度指标既反映了反映了y<0
的概率
yy
σμβ /=
也反映了F<1的概率对于正态分布的变量y β同样可以用μ
F
和σ
F
来表达
对于对数正态分布的变量F为Duncan,2000 β
)1ln(
)
1
ln(
2
2
F
F
F
V
V
+
+
=
μ
β (10.117)
根据这一认识表10.6和表10.9 就可以产生对应的关系例如相应10.2.1节的例题对于μ
F
=
1.50 V
F
=
17%的情况查阅表10.9可知F>1的概率为99%这一数值可通过以下计算公式获得即
第10章 边坡稳定的风险分析 319
169.0)17.01ln(
2
=+=
y
σ (10.118)
391.0
17.01
5.1
ln
2
=
+
=
y
μ (10.119)
314.2
169.0
391.0
==β (10.120)
查表10.6可以获得y<0或F<1的概率为99%
10,7 工程实际应用实例
10,7,1 十三陵抽水蓄能电站上池面板坝
1,问题的提出
十三陵抽水蓄能电站上池面板堆石坝位于北京西北部地区坝轴线位于山脊上因此坝址处地形变化较大坝轴线处坝高57m下游坝脚处坝高118m坝体上游设计坡比为1:1.5
下游坡比为1:1.75根据设计要求新鲜的安山岩堆石料填筑在480m高程以下以便充分排水池盆开挖的劣质料填筑于下游区480m高程以上图10.23给出了坝体0+240和0+160
两个地质断面的剖面图
图 10,23 十三陵抽水蓄能电站大坝典型剖面图
320 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
根据初步设计坝体的大部分填筑料将由开挖池盆获得可是在池盆开挖后发现池盆岩体风化程度较强细粒含量偏高能否应用池盆风化料作为坝体填筑料成为工程技术人员关注的问题因此在常规确定性模拟基础上又进行了可靠度分析
2,抗剪强度参数
首先汇总设计和施工阶段有关池盆风化料室内和现场的实验资料其结果见表10.20
然后采用矩法和线性回归两种方法来确定坝体填筑料的抗剪强度参数其结果见表10.21
在评估下游坝坡是否稳定的可靠度分析中发现采用两种方法得出的粘聚力c的标准差都比较大为此按10.3节讨论意见将粘聚力作为定量c
=0来处理同时还以粘聚力c
=10kPa
摩擦系数f
=
tanφ服从正态分布作为辅助方案进行可靠性分析其均值和标准差分别为0.85
和0.15由于本例题只涉及一个随机变量f 因此属于随机变量不相关的问题
表 10,20 十三陵坝料抗剪强度参数汇总表
线性指标 干密度
(g/cm
3
)
非线性指标
三轴试验 直剪试验 三轴试验
试验
单位
试验
编号
直剪 三轴 φ
,(°)?φ
,(°) c
,( kPa) φ
,(°) c
,( kPa)?φ
,(°)
TJ8 2.18 2.00 44.5 6.5 40.0 46.7 26.0 41.4
TJ10 1.95 2.05 100.0 39.5 20.0 39.1
TJ23 1.99 195.0 47.1
北京院
1989.9
PD115 2.05 2.00 47.0 10.0 68.0 42.9 20.0 39.1
1a 2.07 45.6 6.8 60.0 39.2 中国水利水电科学研究院
1992.4
1b 2.00 38.4 0 50.0 38.4
B1-1 2.04 325.0 41.0
C1-1 2.08 2.06 44.1 7.7 102.0 40.6 18.0 38.1
C2-1 2.02 75.0 32.6
C2-2 2.06 2.12 41.7 6.11 90.0 38.7 17.2 35.8
C2-4 2.03 2.07 48.0 12.2 119.6 38.0 40.3 36.2
C2-3 2.06 250.0 39.6
二场 2.05 2.05 47.6 6.0 237.0 42.7 25.5 40.4
北京院
1992.5
IB 2.05 2.10 46.5 8.9 80.0 38.7 35.2 38.1
北京院
1992.10
Ι区料 2.08 48.8 16.2 34.4 34.0
中国水利水电科学研究院
1993.8
I区料 2.09 43.7 6.0 55.0 36.0
表 10,21 两种方法获得的统计参数表
c (kPa) f
=
tanφ
方法 试验
μ σ μ σ
ρ
三轴 33.5 15.3 0.783 0.059 -0.17
矩法
直剪 140 89.3 0.833 0.12 0.13
三轴 41.8 29.8 0.733 0.033 -0.907
线性回归法
直剪 188.9 49.8 0.800 0.182 -0.913
第10章 边坡稳定的风险分析 321
3,边坡稳定的可靠度分析
应用一次二阶矩法对坝体0+160和0+240两个地质断面进行可靠度分析计算其最小可靠度指标β分别为4.10和3.76相应的失效概率分别为3.0×10
5
和1.0×10
4
相对于0+160
和0+240断面的临界滑裂面分别示于图10.24(a)和图10.24(b)
图 10,24 十三陵上池面板坝典型边坡可靠度分析成果
(a) 0+160断面(b) 0+240断面
10,7,2 沟后水库砂砾石面板坝
1,沟后水库大坝失事
1993年8月27日位于青海省共和县的沟后水库大坝发生溃决造成死亡288人失踪44人直接经济损失达1.53亿元的重大灾难图10.25为该坝一典型剖面图其最大坝高71m坝顶高程3281m总库容330万m
3
正常高水位为3278m防浪墙呈L形与面板之间仅设一道橡胶止水其底板高程为3277.5m低于其正常库水位3280m
经多家科研单位和大学对溃坝失稳机理的深入探讨和研究李君纯陈祖煜1996
总结出大坝失事的主要诱发因素是
1) 砂砾石坝顶防浪墙与面板交接处的止水失效
2) 使用振动碾洒水碾压砂砾石时坝体砂砾石产生严重分层致使水平的渗透系数远大于垂直的渗透系数
3) 当库区水位超过防浪墙与面板交接处后水流入坝体由于砂砾石料颗粒偏细渗透系数较小导致坝体排水失效浸润线抬高如果此时坝体的抗剪强度不足以使下游坝坡的抗滑稳定安全系数大于1就有可能发生滑坡
失事后见到的一个明显的事实是残留坝体全部饱和水从坝内流出持续一个多星期
322 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
对于大坝溃决原因大部分学者认为管涌和坝体下游滑坡是导致坝失稳的两个因素刘杰
1995陈祖煜赵毓芝1995不管以那一个原因为主大坝失事都与高浸润线有关
图 10,25 沟后水库大坝典型剖面图单位m
1?防浪墙2?正常蓄水位3?钢筋混凝土面板4?死水位5?任意料6?粘土防渗墙
7?干砌石护坡8?河床砂砾石9?花岗闪长岩10?坝轴线
2,确定性模型分析
(1) 渗流分析渗流分析是在一个重要的背景下进行的即水库在此季节的入库流量只有0.6m
3
/s也就是说一旦渗入坝内的流量超过了0.6m
3
/s水库水位就会下降不再超过防浪墙与面板交接处入渗现象会暂时停止因此如果坝体的渗透系数足够大能够容纳
0.6m
3
/s的入渗量就不会出现全部饱和这一现象的渗流分析就是要定量地了解坝体的渗透系数小到何值就无法容纳0.6m
3
/s这一渗透流量
在入渗过程中水从某几个部位集中渗入渗流场的上游边界条件是比较难以确定的在坝体全部被水充填后就基本上可以用以下两种情况模拟
1) 假定上游面板防渗全部失效在上游坝坡面作用一个静水压力
2) 假定上游坝面均匀地分布一个入渗流量
如前所述砂砾石坝料在填筑中有较严重的分离现象因此坝体渗透系数的各向异性是一个不可忽视的因素分析计算采用坝体渗透系数K各向同性及各向异性两种情况平均渗透系数可由下式确定为
yx
KKK = (10.121)
式中K为平均渗透系数K
x
为水平方向渗透系数K
y
为垂直方向渗透系数
在所有复核工况中坝基材料渗透系数K
1
均按各向同性处理即K
1x
=
K
2y
=
0.668cm/s
下面着重介绍将上游面作为孔压边界条件这一工况的计算结果其它计算内容可参见文献陈祖煜赵毓芝1995本次计算根据坝身材料渗透系数的不同又分为四种情况
(a) 坝身材料渗透系数K
2
各向同性即K
2x
=K
2y
=0.01cm/s
计算得到的浸润线逸出高程为3236.57m见图10.26实线单宽渗透流量
q=4.24×10
3
m
3
/s大坝等效渗流宽度大致为170m故总渗透量Q
=0.72m
3
/s
第10章 边坡稳定的风险分析 323
(b) 坝身材料K
2x
增大1倍K
2y
缩小1倍即K
2x
= 0.02cm/s K
2y
= 0.005cm/s K
2x
/K
2y
=4
此时坝身平均渗透系数K
2
= 0.01cm/s保持原值
计算得到的浸润线逸出高程为3262.92m见图10.26虚线可见有明显抬高较各向同性情况抬高26.35m单宽渗透流量q=5.32×10
3m
3
/s
可见水平渗透系数加大垂直向渗透系数减小会使浸润线有显著的提高这对坝体稳定是不利的
(c) 坝身材料K
2x
K
2y
均较原设计值缩小10倍即K
2x
=K
2y
=0.001cm/s
计算得到的浸润线逸出高程为3227.47m见图10.27实线单宽渗透流量q=
2.72×10
3
m
3
/s按大坝宽主度170m计总渗透量Q
=
0.46m
3
/s较K
2
=
0.01cm/s 时Q减少了0.26m
3
/s
(d) 坝身材料K
2x
增大1倍K
2y
缩小1倍即K
2x
= 0.002cm/s K
2y
= 0.0005cm/s K
2x
/K
2y
=4
此时坝身平均渗透系数K
2
= 0.001cm/s保持原值其计算结果见图10.27虚线
根据计算可知坝身材料渗透系数各向异性导致浸润线有显著的提高这是控制坝体稳定的一个重要因素
图 10,26 稳定渗流分析等势线图上游水位3277m
实线K
2x
=K
2y
=0.01cm/s虚线坝区K
2
各向异性K
2x
/ K
2y
= 4
图 10,27 稳定渗流分析等势线图上游水位3277m
实线K
2x
=K
2y
=0.001cm/s; 虚线坝区K2各向异性K
2x
/ K
2y
= 4
324 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
根据上述计算结果可以绘制单宽渗流量q和导致坝体不能自由排水的临界渗透系数
K
cr
之间的关系曲线如图10.28所示K
cr
的定义是导致单宽渗透流量达到q值时相应的渗透系数如对于上述情况(a)在各向同性情况下相应单宽渗透流量q
=
4.24×10
3
m
3
/s的K
cr
为0.01cm/s由于每一种工况均相应一个下游坝坡出逸高程因而也可绘制单宽渗流量q和失去自由排水能力时的出逸高程之间的关系曲线如图10.29所示
图 10,28 单宽渗流量q和临界渗透系数K
cr
之间的关系曲线
图 10,29 单宽渗流量q和逸出高程H
cr
之间的关系曲线
第10章 边坡稳定的风险分析 325
(2) 坝坡稳定分析对沟后坝的筑坝材料中国水利水电科学研究院和清华大学分别进行了三轴排水试验其试验成果见表10.22在本次分析计算中选用c′
=20kPa
=39° φ′
采用毕肖普简化方法主要计算成果如图10.30主要结论如下
情况 1相应前述渗流情况(a)按图10.26实线所示浸润线位置安全系数为1.132
情况 2相应前述渗流情况(b)按图10.26虚线所示浸润线位置安全系数为0.817
情况 3,相应前述渗流分析情况(c)获得的安全系数为0.773
图 10,30 下游坝坡圆弧稳定分析成果
(a) 情况 1 (b) 情况 2 (c) 情况 3
表 10,22 沟后上坝砂砾料的抗剪强度参数
试验单位 土料 c′
(kPa) φ′
(°)
区 13.29 39.10
区 10.47 37.07 清华大学
区 5.09 36.59
平均级配 0 41.0°
中国水利水电科学研究院
上限级配 0 37.1°
注 中国水利水电科学研究院的试验指标按c=0时整理相应φ′
为σ
3
=0.4MPa时的有效内摩擦角
326 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
根据上述确定性模型计算结果可得到以下结论
(a) 稳定分析成果表明相应最高库水位3277.00m当筑坝材料的平均渗透系数为
0.01cm/s时坝基渗透系数为0.0688cm/s坝体的最大渗透流量为0.7m
3
/s左右当从坝顶伸缩缝和各个有缺陷部分入渗的流量接近和超过此值时坝体将失去自由排水能力在坝体内将形成浸润线以前人们普遍认为当渗透系数达0.01cm/s数量级时则筑坝材料即认为中等或强透水现在看来从坝体自由排水的要求看10
2
的数量级仍嫌不足因为从已建的面板坝的实际运用情况看对于一个中等高度的面板坝坝高40～70m,漏水量超过
0.5~1.0m
3
/s入渗宽度170m这样的数量级是可能的
(b) 筑坝材料在填筑时分离造成的各向异性特征对浸润线位置影响极大本文的算例K
x
仅为K
y
的4倍已使浸润线位置较各向同性的材料提高了26m之多
(c) 从确定型分析可以看到当砂砾石面板坝的渗漏量达到某一临界值Q
cr
后坝内形成浸润线如果此时坝体的抗剪强度不足以使下游坝坡的抗滑稳定安全系数超过1就有可能发生滑坡而Q
cr
的数值则是直接与筑坝砂砾石的渗透系数有关以沟后大坝为例如坝体渗透系数为10
2
cm/s根据渗流计算可以大致确定Q
cr
值约为0.7m
3
/s这和大坝失事时推算的实际入渗量(约0.6m
3
/s)接近
(d) 如果考虑渗透系数各向异性的特点则下游坝坡稳定安全系数远小于1
3,可靠度分析步骤
(1) 坝坡稳定可靠度分析的提法对于沟后砂砾石面板坝在上游坝坡止水失效发生漏水时坝坡稳定可靠度分析的提法包括
1) 事件Q? 当坝体上游入渗单宽流量达到某一值q后下游坝坡失稳该事
件发生的概率为P
f
(Q)
2) 事件A? 当大坝单宽入渗流量达到某一值q后坝体自由排水能力失效坝体内形成浸润线此时出逸高度为H
cr
3) 事件B? 下游坝坡失稳
4) 事件B/A? 在坝体内浸润线已形成的条件下发生坝坡失稳
根据以上定义事件Q可定义为事件A B同时发生即当大坝单宽入渗流量为q时大坝下游坝坡失稳根据概率论原理有
(10.122) )A/B()A()AB()Q(
ffff
PPPP?==
因此需要用可靠度分析方法确定P
f
(A)和P
f
(B/A)的值
(2) 求解坝体失去自由排水能力事件A的概率P
f
(A)通常发生在砂砾石坝体的渗流通常与入渗的单宽流量q坝体材料的渗透系数以及变异性有关当单宽入渗流量q时坝体失去自由排水能力形成浸润线的极限功能函数可表述为
(10.123)
crcr
KdnKdng?=
2
20
3
20
234),,(
如前所述第10.6.2节对于沟后坝料渗透系数小于0.001cm/s 0.005cm/s和0.01cm/s
的概率分别为15% 49%和65%
第10章 边坡稳定的风险分析 327
(3) 求解相应于某一浸润线出逸高程H
cr
下游坝坡稳定的失效率P
f
(B/A)在进行边坡稳定分析时需要确定强度指标的统计参数在应用第10.6.2节介绍的确定强度指标的经验公式时还根据实际情况作了经验修正在垮坝后残留坝体中出现了高40~60m不等的基本直立的边坡这一事实说明沟后料可能较试验值稍高如果将一个高32m坡度80°的边坡进行反演分析tanφ′
取0.933相应c′
值为80kPa因此在进行坝坡稳定可靠度分析时最终选定的强度指标参数是粘聚力c′
=20kPa确定性指标摩擦系数f′
=tanφ′正态分布
f
=0.933 σ
f
=0.12计算结果见图10.31 μ
图 10,31 逸出高程H
cr
和失效概率P
f
的关系
本例采用一次二阶矩法依次对浸润线出逸高程H
cr
进行可靠度分析计算计算结果见表10.23相应临界滑裂面及最小可靠度指标见图10.32
表 10,23 相应不同浸润线出逸高程的最小可靠度指标
浸润线出逸高程(m) 相应图10.33的图号 β
m
P
f
(B/A)
无浸润线 (a) 3.932 4.0×10
-5
3231.0 (b) 2.304 1.06×10
-2
3236.6 (c) 1.935 2.65×10
-2
3239.9 (d) 1.684 4.61×10
-2
3243.1 (e) 1.428 7.0×10
-2
3246.4 (f) 0.694 0.24
(4) 求解下游坝坡的失效概率按下列步骤计算某一入渗流量q值的P
f
(Q)值
1) 给出一入渗单宽流量q和沿水平方向和垂直方向的渗透系数的比值K
2x
/ K
2y
2) 相应该入渗单宽流量q根据图10.28和图10.29计算临界渗透系数K
cr
和逸出高程
H
cr
3) 相应此K
cr
值在图10.18中查得坝体失去自由排水能力的概率P
f
(A);
4) 根据相应q值的出逸高度H
cr
值计算下游坝坡的最小可靠度指标β
m
和相应的失效概率P
f
(B/A)
328 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
5) 按式(10.122)计算P
f
(Q)值
表10.24汇总了相应于不同q值的失效概率值P
f
(Q)从中可以得出在各向同性的情况下当入渗单宽流量为q
=
2.5×10
3
m
3
/s时坝坡尚保持原有干坡时的失效概率当入渗单宽流量q大于5.7×10
3
m
3
/s时失效概率P
f
(Q)急剧增至于100%
当ξ
=4和ξ
=10时在相同单宽入渗流量的前提下其失效概率较ξ
=1增大许多
图 10,32 不同浸润线出逸高程的临界滑裂面及相应最小可靠度指标(相应表10.23)
表 10,24 不同入渗单宽流量情况下的下游坝坡的失效概率P
f
(Q)
各向异性
入渗单宽流量
(10
-3
m
3
/s)
出逸高程
(m)
临界渗透系数K
cr
(10
-3
cm/s)
P
f
(A) P
f
(B/A) P
f
(Q)
2.5 3228 8.0 0.17 0.003 0.00051
4.0 3234 10.0 0.65 0.02 0.0013K
2x
/K
2y
=1
5.7 3247 20.0 0.99 0.99 0.99
2.5 3258 1.0 0.15 0.99 0.15
K
2x
/K
2y
=4
4.0 3260 5.0 0.48 0.99 0.48
2.5 3275 2.0 0.28 0.99 0.28
K
2x
/K
2y
=10
4.0 3275 3.0 0.36 0.99 0.36
第10章 边坡稳定的风险分析 329
10,8 讨论和结论
10,8,1 边坡的安全系数和失效风险
本章表10.6和式(10.27)在传统方法的安全系数和可靠度指标和失效风险之间架起了一座桥梁显然这是一个分析手段的重大进步在工程设计中一旦计算出了边坡的安全系数如果同时也能合理地分析安全系数的变异系数那么就可以知道该边坡的失效概率类似“安全系数从1.20增加到1.25这样论述是比较抽象的而风险从10
2
减少到10
5
这样的结论所提供的信息却是明白无误至少保险公司更为乐意接受后者
在使用式(10.27)计算β值时需要注意的一个问题是通常按规范要求计算的安全系数并不是其均值因此不能直接把它直接代到式(10.27)中计算可靠度指标
大部分规范在规定安全系数的允许值时同时也规定了计算安全系数所输入的强度指标的取值标准在土石坝规范中规定了强度指标应取试验值的小值平均在水利水电工程地质勘测规范中也规定了取试验值分布曲线中0.2的分位数的强度为设计指标这一强度指标的设计采用值也可大致取为强度指标的均值减一倍的标准差
因此按规范规定的方法计算获得的安全系数大致也应为其小值平均值或者说应为安全系数的均值减去它的一倍标准差现在不妨来作下面一个试算以了解我国土石坝设计规范规定一级坝在正常运用工况下允许安全系数F
a
为1.5意味多大的失效风险
根据对大量上坝土料强度指标试验成果的统计分析对一级坝将c和f的变异系数定为
0.1是基本可行的参见图10.12因此也可将一级坝安全系数的变异系数假定为V
F
=
0.1
如上所述规范规定安全系数的允许值F
a
为安全系数的小值平均安全系数的均值可近似取为小值平均加一倍的标准差故有
FFaFaF
VFF μσμ +=+=
不难得到在F
a
=
1.5 V
F
=
0.1的情况下μ
F
=
1.67,故有
01.4
167.0
167.11
=
=
=
F
F
σ
μ
β
这一数值和表10.7 所示我国水利水电工程结构可靠度设计统一标准对I级建筑物二类破坏规定的允许β值4.2是接近的相应的失效概率为3.1×10
5
统一标准还规定I
级建筑物的设计基准年是100年假定一级坝的寿命为500年因此以年计的失效概率为
0.62×10
5
可以将这个数字和第10.1.5节所介绍的各种允许风险标准作一比较
10,8,2 风险分析存在的问题和应用前景
在传统的确定性模型边坡稳定分析中获得的是衡量安全度的一个指标即安全系数F
在可靠度分析中可以获得是两个指标即安全系数的均值μ
F
和标准差σ
F
据此获得边坡的可靠度指标和失效概率可靠度分析从目标函数最可能数值和变异系数两个方面把握结构的安全度对结构失效概率是通过研究每一个影响因素的变异特征获得的其分析成果自然要比确定性模型更加合理
但是为了实现这一分析过程工程师需要付出代价在输入每一种材料的岩土力学的
330 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
指标时也要输入两个值即均值和标准差从严格意义上讲还要加上概型这一项岩土力学的一些特征指标如c和f其确定过程中本来就带有很多经验成分在一些重大工程中确定某一种材料的c和f的均值对决策者来说已是不小的负担要他们再为其决定相应的标准差就更加勉为其难了但是如果不能科学地确定如c和f的标准差相应的可靠度计算难免会成为一种数学游戏正是在确定参数统计特性方面的困难使可靠度分析在边坡工程中的推广遇到了重大的障碍
但是从本章对10.6节介绍的方法和相应的工程应用情况中可以看出如果恰当地应用风险分析的概念和方法大量地采取诸如干容重颗分这样一些基本特性试验成果同时借鉴以往工程的经验综合考虑3σ法则合理地确定参数的变异特性是可能的通过可靠度分析可以使工程设计建立在更为科学的论证基础上如果说可靠度分析方法成为一种成熟实用的方法进入规范还有一段很长的路要走那么它作为安全系数方法的一种补充定量地分析判断工程设计中包含的不确定因素是具有广泛的应用前景的同时在制定规范时它也可以为合理地规定一些重要的系数提供科学的分析依据
在推广可靠度分析中遇到的困难不应成为否定这一方法的理由而应成为激励岩土工程师在实践中进一步完善这一方法的动力
10,9 本章附录
10,9,1 进行Rosenbleuth法计算的源程序
1,说明
本程序实现10.5.3节介绍的Rosenbleuth法符号编码方法功能函数与程序OBF()由用户自已提供本节第3部分提供了三个测试题其目标函数分别为
3
3
3
2
3
1
5.105.06.0 xxxy?+=
321
xxxy?=
21
381 xxy?+=
答案已在注释行中列出
2,源程序
SUBROUTINE ROTH(BET)
C 参照第10章中介绍的Rosenbleuth 法编写的FORTRAN源程序编者闫继军陈祖煜
C 变量属性受隐性规则控制
C KMAX随机变量的个数
C IM符号矩阵中的总列数
C IS()用来存放符号矩阵中第I列的符号值
IM
=
2**KMAX
A
=
FLOAT(IM)
C 给功能函数一二阶矩E(g)和E(g
2
)赋初值
E1
=
0,
E2
=
0,
DO I
=
1,IM
C 计算符号矩阵中第I列的符号值(或I-1整形数的二进制表达式)
CALL FLAG(IS,KMAX,I)
第10章 边坡稳定的风险分析 331
P
=
1.0
PK
=
1,!Ceta
IF(KMAX.EQ.2)PK
=
0.5 !Ceta
DO K
=
1,KMAX
C 通过第k个随机变量的均值和标准差求可靠度分析中的随机变量值
RPA(K)
=
RM1(K)+IS(K)*RD1(K)
KI
=
K+1
IF(KI.GT.KMAX)KI
=
1
P
=
P+IS(K)*IS(KI)*R11(K,KI)*PK
END DO
C 计算Rosenbleuth 法中的P
+…
值
P
=
P/A
C 把随机变量转换为岩土材料的粘聚力摩擦系数和孔隙水压力系数
DO IQ
=
1,N
DO IY
=
1,KMAX
IF(MLA(IQ).NE.NSOIL(IY))CYCLE
MJ
=
NPARA(IY)
IF(MJ.EQ.1)C(IQ)
=
RPA(IY)
IF(MJ.EQ.2)F(IQ)
=
RPA(IY)
IF(MJ.EQ.3)RU(IQ)
=
RPA(IY)
KKK
=
KKK+1
ENDDO
ENDDO
C 计算功能函数值
CALL FS1(FOS)
C 功能函数一阶矩E(g)
E1
=
E1+FOS*P
C 功能函数二阶矩E(g
2
)
E2
=
E2+FOS*FOS*P
END DO
E2
=
E2-E1*E1
C 可靠度指标β
BET
=
(E1-1)/SQRT(E2)
RETURN
END
SUBROUTINE FLAG(IS,N,II)
C 利用FORTRAN语言中提供的BTEST(I,J)函数得到整形数I第J字节是0或者1
C 我们约定0代表+ 1代表-变量属性受隐性规则控制
C 符号矩阵中第II列
II
=
II-1
J
=
0
DO WHILE(J.LE.N-1) N随机变量的个数
IF(BTEST(I,JJ)THEN
IS(N-J)
=
-1
ELSE
IS(N-J)
=
+1
ENDIF
J = J+1
ENDDO
RETURN
END
3,测试题
C
C SUBROUTINE OBF OBTAINS THE VALUE OF PERFORMANCE FUNCTION F
C WITH THE INPUT OF VARIABLES VAR ()
332 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
C TO WRITE OBF FOR A PARTICULAR PROBLEM IS THE RESPONSIBILY OF
C USERS,THE CODES CONTAINED IN THIS SUBROUTINE ARE ONLY FOR
C THE PURPOSE OF VALIDATION AND DEMONSTRATION
C
C THE CORRECT ANSWERS,WITH THE DATA FILE LISTED BELOW,ARE,
C TEST PROBLEMS E1 E2 BET
C 1 6871.375 1924.161 3.571
C 2 1005,364.186 2.760
C 3 51,11.764 4.335
C
SUBROUTINE OBF(VAR,F)
DIMENSION VAR(10)
C TEST PROBELM 1--ROSEN-1.DAT
F
=
0.6*VAR(1)**3+0.05*VAR(2)**3-1.5*VAR(3)**3
C TEST PROBLEM 2--ROSEN-2.DAT
F
=
VAR(1)*VAR(2)-VAR(3)
C TEST PROBLEM 3--ROSEN-3.DAT
F
=
1+8*VAR(1)-3*VAR(2)
RETURN
END
10,9,2 本章数据文件表10.25
表 10,25 本 章 数 据 文 件
有关章节 系列号 数据文件名 内容
10.3.2 10-01-01 R1-MC.DAT [例10.1] 均匀边坡例采用Monte Carlo 法
10-02-01 R2-FOSM.DAT [例10.2] 分层边坡例采用一次二阶矩法
10.4.4
10-02-02 R1-FOSM.DAT [例10.3] [例10.1]采用一次二阶矩法
10.4.5 10-03-01 R1-RS.DAT [例10.4] [例10.1]采用Rosenbleuth法
10.6 10-04-01 R2-GF.DAT [例10.3] 一次二阶矩法
R2-GR.DAT [例10.4] Rosenbleuth法G
R2-S.DAT [例10.3] 单形法
10-05-01 S-160.dat 10.7.1节 十三陵面板堆石坝例,160.剖面
10.7
10-05-02 S-240.dat 10.7.1节 十三陵面板堆石坝例,240 剖面
10-06-01 G1.dat 10.7.2节 沟后面板堆石坝例
10-06-02 G2.dat 图10.32和表10.24
10-06-03 G3.dat
10-06-04 G4.dat
10-06-05 G5.dat
10.7
10-06-06 G6.dat
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程序
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10,1 边坡稳定的风险分析
10,1,1 边坡稳定分析中的不确定因素
随着对结构应力变形和稳定分析手段的逐步完善这些分析中包含的不确定因素也暴露得更加明显工程师们逐步意识到在进行工程设计和安全评价时不仅要很好地了解各种分析判断手段而且要把握在进行这些分析过程中包含的各项不确定因素工程建设中的重大决策实际上就是对各项不确定因素造成的风险的评价
近年来风险分析成为了结构和岩土工程师日益关注的课题在岩土和边坡领域一大批著名学者都以这一题目发表了大量的重要论文1965年Casagrande以土工与地基工程中计算风险的作用为题作太沙基讲座演讲同时围绕风险分析的学术活动也十分活跃2000年国际大坝会议将风险分析在大坝安全和管理中的应用作为一个重要专题进行研究交流共收到22个国家的48篇论文2000年在墨尔本召开的世纪岩土工程会议
(GeoEng 2000) 中也提交了大量的有关岩土工程和大坝岩土环境工程中的风险分析方法的特邀报告或主题报告在此基础上各国和各学术机构也在编制有关风险分析的导则规范等
Morgenstern将岩土工程分析中包含的不确定因素分为管理因素模型因素和参数因素三大类
1,管理不确定因素(Human uncertainty)
管理的不确定因素按原文直译应为人为不确定因素指由于人们的行为不当导致的岩土工程失事最常见例子是施工质量方面的问题本章第10.7.2节将讨论青海沟后水库大坝溃决的实例这一工程在大坝设计和施工中存在诸多缺陷是导致失事的主要原因但在这些缺陷的背后隐藏着管理方面的问题有关文献李君纯陈祖煜1996详细介绍了这些非技术因素如项目管理没有归口由省水利厅领导建设单位没有从事水利工程施工经验导致防浪墙止水存在严重施工质量问题在建设过程中不恰当地将原设计的堆石面板坝改为砂砾石面板坝时值汛期管理人员疏于职守闸门启动不灵导致发现险情时无法放空水库通讯不灵导致人员没有及时疏散等上述种种在项目管理方面存在的问题最终导致了340余人死亡的重大事故上述因素在风险分析中难以直接定量评估但是所有从事风险分析的技术人员对这类不确定因素都需要有一个清醒的认识否则再好的风险分析也是脱离实际的
2,模型不确定因素(Model uncertainty)
模型的不确定因素反映了我们在设计过程中采用的分析方法在模拟实际情况方面的局
274 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
限任何一个数学模型在模拟岩土材料的特性时都存在近似性通过第5章的论述我们认识到摩尔?库仑强度准则和室内外的试验在模拟岩土材料抗剪强度特性方面存在局限性第2章和第3章介绍的极限平衡分析方法也包含有多个假定土石坝设计规范规定对瑞典法和Bishop法采用不同的允许安全系数反映了对模型所包含的误差的处理这些例子所包含的误差总体来说是较小的在边坡稳定分析领域还有一些更大的模型不确定性因素例如对降雨导致的土的饱和或非饱和孔隙水压力特征的模拟对土在渗流和抗剪强度方面各向异性的模拟对在地震动力条件下边坡稳定性的模拟等沟后大坝溃决后在残留坝体得到一个难得一见的大坝的横剖面图从而发现上坝砂砾料在洒水和震动碾压条件下会发生液化导致骨架分离形成一层细颗粒一层粗颗粒这样的结构这些细颗粒层作为相对不透水带阻止渗入坝体内的水往垂直方向渗透导致坝体浸润线抬高这是大坝溃决的主要原因详见文献李君纯陈祖煜1996在没有认识到这一问题以前人们将筑坝材料视为各自同性的均匀介质那么这样的分析就包含有较大的模型误差在岩土工程领域类似这样认识上的盲区可能还不少
模型所包含的误差不一定总是不利因素例如在边坡稳定分析领域通常采用二维分析方法所得安全系数通常较实际值偏低
3,参数不确定因素(Parameter uncertainty)
参数不确定因素是因岩土材料的极不均匀性决定的在已经确定了数学模型的基础上分析由于参数的变异特征导致边坡工程结构失效的概率这是本章要研究的重点我们称这一分析过程为可靠度分析
这一领域包括两个步骤
(1) 研究影响结构稳定性岩土材料各项参数的变异特征这一工作必须建立在对岩土材料基本特性如干密度 颗粒级配渗透系数及强度等大量试验的基础上需要研究这些试验本身包括的各种误差
(2) 计算可靠度指标和边坡工程失效概率该工作是在确定了各影响因子的变异特征的基础上进行的
综上所述如果定义由管理因素模型因素参数因素导致的系统失效概率分别为P(A)
P(M)和P(P)则整个系统的失效概率P(S)为
(10.1) )]P(1[)M(1[)]A(1[1)S( PPPP?×?×=
P(A) P(M)和P(P)之间并不独立例如由于管理上的不确定因素会直接导致参数较大的变异性因此上式只是近似公式
10,1,2 风险分析的基本原理
Casagrande (1965)指出风险作为一种用来考虑和评估工程实践中诸多不确定和无法预测因素而导致工程失事的一种手段时是所有岩土工程中先天固有的在当今的工程技术还没有发展到能准确确定这些因素时工程技术人员应清醒地意识到风险在工程实践中的先天存在性并运用安全与经济相平衡的原则对工程失事的风险进行分析计算
这一工程风险评估的思想就构成现今岩土工程风险评估的基本理论框架后来许多学第10章 边坡稳定的风险分析 275
者(Whitman,1984; Morgan,1992; Fell,1992)把这一思想继续深化并推广到评定工程安全的风险分析研究实践中但是由于公众和工程技术人员对风险分析理解上的差异相对于业已成熟的确定性分析方法风险分析方法在工程实践中的应用远没有达到成熟的地步
1,基本定义
Fell (1993)回顾了风险分析在大坝安全评估方面的应用的基础上介绍了一种用于滑坡安全的风险评估方法其中用于滑坡风险分析的主要术语可表述如下
分类(Classification)? 对滑坡和潜在滑坡的自然特性的描述
滑坡规模M (Magnitude)? 潜在滑坡体的体积大小以m
3
计
发生概率P (Probability)? 一特定的边坡在一段时间的失稳概率通常为一年
危害H (Hazard)? 对滑坡体积大小和发生概率的总体评估从一般意义来讲H
=
M×P
脆弱度V (Vulnerability)? 对滑坡发生后所能影响范围内的单一个体损失程度的描述通常为0到1之间的一个数
单一风险R
s
(Specific risk)? 等于发生概率和单一个体的脆弱度的乘积即 (R
s
=
P×V)
风险体E (Elements at risk)? 处于滑坡潜在影响范围内的人口财产经济活动以及公共服务等
整体风险Rt (Total Risk)? 可以预计到的人员伤亡财产损失经济活动或者环境受到破坏的数目
有关风险术语的定义还有很多建议(Australian Geomechanics Society,2000; Stewart,
2000)
2,风险管理
风险管理是对风险和承受者的脆弱度进行分析并作出相应对策的综合体系这里包括了对风险的评估和灾害采取的各项应对措施图10.1给出了基本流程图
图 10,1 风险管理基本流程图
276 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
3,风险分析方法
边坡失稳的发生概率可以按单一值计算也可以是所有外界诱发因素引起的破坏概率的总和单一个体的脆弱度可用式(10.2)给以评估(Morgan,et al.,1992)即
(10.2) )L()T()S( VVVV ××=
式中V(S)为空间影响的可能性滑坡体是否影响到建筑物或者正好避开建筑物V(T)为暂时影响的可能性比如在影响的一瞬间一个固定的建筑物和一个运动的车辆的风险的差别V(L)为受影响个体财产损失或者人员生命损失的可能性V为单一个体的脆弱度
边坡稳定风险分析的范围和严格程度取决于风险分析本身的目的和用途它通常是风险本身的自然特性灾害后果不确定因素的类型和它们对决策过程的影响以及风险分析实用性的一个函数岩土工程师在开始进行边坡稳定风险分析前应该和与工程有关的工程技术人员和要求对边坡稳定进行风险分析的主管部门共同探讨以期达到双方都可以理解和接受的风险分析成果另外风险分析方法通常分定性和定量分析两种
10,1,3 定性风险分析方法
定性风险分析主要用于土地规划和政策制定阶段滑坡管理分析分析的结论通常用危险性极高高中等词句表达表10.1是定性风险分析的主要描述方法
进行定性风险分析的主要手段有以下三个方面
(1) 按发生概率予以量化该工作是建立在对10.1.1节中介绍的各种不确定因素进行分析的基础上
(2) 使用失效树(Fault Tree)的推理方法可详见文献(Ho,et al.,2000)
(3) 专家系统专家评估可以和上述几种定性分析工作相结合进一步提高定性风险分析的可靠度
在定性风险分析阶段不可能作很多详细的工程地质和岩土力学特性参数的勘探和试验工作也不可能进行定量的可靠度与分析计算这一阶段使用的主要手段有以下几种
1,对历史滑坡资料进行调查
滑坡危险性较高的地区通常可以在历史记载中找到先例例如三峡库区是滑坡灾害高发区有关滑坡的书面记载可以追溯到宋朝收集了历史资料后可以按滑坡的规模触发因素和发生频率来进行滑坡风险分析这样的分析由于是建立在实际资料基础上的其成果十分可信
建立在地形地貌分析基础上的经验方法分析 2,
将边坡的高度坡度和主要构成物质以及地下水条件降雨地震等因素进行逐项量化评估然后通过综合分析给出本地区的滑坡风险性评估这一工作和滑坡历史调查结合同样可能成为有效的手段香港土木工程署详细记载了大小滑坡3000余个并邀请Fell (1992)
在整理这些资料的基础上给出对现有的边坡风险分析评估
3,对主要触发因素的风险评估
这一评估同样也是建立在对以往滑坡资料的分析基础上的例如香港土木工程署在分析了大量暴雨导致的滑坡的资料基础上给出了根据降雨评估滑坡风险的方法这一方法
第10章 边坡稳定的风险分析 277
表 10,1 定性风险分析术语表(Fell,1993)
评估指标
M
s
描述 体积(m
3
)
大小
7
6
5
4
3
2.5
2
极大
很大
中/高
中等
小
很小
极小
>5,000,000
>1,000,000和<5,000,000
>250,000和<1,000,000
>50,000和<250,000
>5,000和<50,000
>500和<5,000
500
P
s
描述 年发生概率
破坏概率
12
8
5
3
2
极高
很高
高
中
低
≈1
≈0.2
≈0.05
≈0.01
≈0.001
描述 M
s
×P
s
危害
=
大小×破坏概率
极高
很高
高
中
低
很低
≥30
≥20和<30
≥10和<20
≥7和<10
≥3和<7
<3
描述 脆弱度
脆弱度(只考虑财产损失)
很高
高
中等
低
很低
≥0.9
≥0.5和<0.9
≥0.1和<0.5
≥0.05和<0.1
<0.05
描述 估计概率
单一风险(只考虑财产损失)
很高
高
中等
低
很低
≥0.1
≥0.02和<0.1
≥0.005和<0.02
≥0.001和<0.005
≥0.0001和<0.001
根据1小时和24小时降雨强度结合所评估滑坡以往发生频繁程度进行风险性分析类似的工作可以用于地震滑坡危险性分析
下面以一实例说明风险定性分析的过程图10.2给出澳大利亚纽卡斯尔一滑坡的平面图根据资料记录和经验判断该边坡失稳的发生概率介于0.04～0.1之间有迹象表明边坡失稳后滑坡体会在影响范围内缓慢滑移A.1.1区域但有可能在A.1.2区域陡坡以下和
A3区域加速滑移如果考虑滑坡影响范围内的A B C三个建筑物并分别对边坡的滑体大小失稳发生概率脆弱度危害大小以及单一风险进行定性分析其成果列于表10.2
278 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
10,1,4 定量风险分析法
定量风险分析是建立在风险概率和以人员伤亡和财产为定量指标基础上的一个综合决策系统
(1) Morgan (1992)用以下的条件概率计算公式来评价一个独立个体的风险
(10.3) )T/L()S/T()H/S()H()IN( VPPPR ×××=
式中R(IN)为一个独立个体发生伤亡的年频率P(H)为灾害(这里指滑坡)的年发生频率
P(S/H)为灾害的空间破坏频率(例如滑坡对一定距离的建筑物的影响) P(T/S)为考虑时间效应影响的概率V(L/T)为个体的脆弱程度
图 10,2 澳大利亚纽卡斯尔一滑坡平面位置图
表 10,2 某滑坡单一风险分析
脆弱度 单一风险 风险
个体
滑坡
大小
发生
概率
危害
程度 V
a
V
b
V
c
V
L
V
P
人身财产
A 大 0.05 很高 1.0 0.05 1.0 0.05 1.0 0.0025
B 大 0.05 很高 0.5 0.3 0.9 0.15 0.45 0.0075
C 大 0.05 很高 0.5 0.01 0.05 0.005 0.025 0.00025
注 Va为单一个体受滑坡影响的概率建筑物B与C 只有在泥石流发生时才受影响V
b
为在建筑物受到影响
时有一人致死的概率V
c
为在建筑物受到影响时单一风险个体价值的比率V
L
为人员伤亡的脆弱度
( = V
a
×V
b
) V
P
为财产损失的脆弱度( = V
a
×V
c
)
(2) 对于财产的损失评估公式为
第10章 边坡稳定的风险分析 279
(10.4) EPPP ×××= )S/P()H/S()H()R(
式中P(R)为 以货币为单位的每年财产的损失相应个体是长久存在的还是临时的此值就有明显的不同V(P/S)为建筑物滑坡灾害的脆弱程度E为以货币为单位的损失例如该财产目前的价值其余变量定义同式(10.3)
对于滑坡体影响范围内风险个体的脆弱度通常可在历史记录和工程技术人员判断的基础上进行评估例如在高陡边坡坡脚处的建筑物就比远离坡脚处的建筑物具有较高的脆弱度即建筑物整体的破坏的概率高处于高速度滑坡区影响范围内的建筑物就比位于速度低滑坡区的同一建筑物的脆弱度高
定量风险分析方法能比较全面和定量地分析滑坡问题的失稳概率以及相应的灾害后果能直接面对和处理滑坡问题的风险评估定量风险分析方法通常有以下几个步骤
(1) 建立一滑坡灾害模型该模型尽可能包含滑坡区的地质条件各种可能诱发滑坡的内在和外在因素以及滑坡区周围的工厂居民区交通设施等
(2) 列出所有可能的边坡破坏模式和计算相应的破坏概率这是定量分析的一个重要内容通常称可靠度分析将在本章其它节中进行详细的讨论
(3) 建立滑坡后果模型评估特定滑坡破坏模式下的灾害后果
(4) 计算风险个体的单一风险和滑坡影响范围内的整体风险
10,1,5 大坝和边坡的允许风险
制定一个合适的允许风险程度是风险管理的一个重要组成部分通常用以下两种指标规定大坝和边坡的允许风险
1,允许风险
允许风险通常以每年每一单独生命被摧毁的概率来描述例如假定我国人口以1.2×10
9
计每年因滑坡泥石流死亡人数为1200人则以年计的风险为1200÷(1.2×10
9
)
=
10
-6
在风险分析领域还需要区分单独生命是主动的还是被动的风险承受者例如对登山者主动吸烟者这样的主动风险承担者设定其允许风险时自然要比大坝下游的居民被动吸烟者等被动风险承担者要高得多Reid (1989)介绍了英国CIRA (Construction Industry and
Research Association)在1977年规定的建筑物以年计的允许风险社会指数见表10.3
表 10,3 英国CIRA规定的以年计的允许风险社会指数
建筑物类型 大坝人群聚居处 办公室商业工业区 桥梁 塔近海结构
K
s
0.005 0.05 0.5 5
Fell (1993)在英国CIRA 规定的建筑物以年计的允许风险社会指数的基础上提出了各种行业允许风险的确定方法如下式
r
s
N
K
fP
4
10
)(
×
= (10.5)
式中K
s
为社会指数见表10.3 N
r
为受影响的人数
280 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
表10.4摘录了Reid (1989)对各类主动和被动风险承受者建议的允许风险
表 10,4 各种行业对生命伤害的风险统计(Reid,1989)
风险种类 单独个体以年计死亡的概率(×10
-6
)
桥梁破坏
结构破坏桥墩(UK) 0.14
桥梁火灾 4
自然灾害(US)
暴风雨 0.4
龙卷风 0.4
雷电 0.5
地震 2
一般风险
火车旅行 4
电击 6
飞机旅行 9
水上旅行 9
中毒 20
溺水 30
火灾 40
落石 90
公路旅行 300
职业风险
制衣业 5
汽车制造业 15
化工业 85
造船业 105
农业 110
建筑业 150
铁道 180
煤矿 210
采石 295
采矿 750
近海石油 1,650
深海捕鱼 2,800
运动风险
洞穴探险 45
滑翔 400
潜水 420
赛艇 800
高空滑翔 1,500
跳伞 1,900
所有的原因
整体 12,000
30岁女性 600
30岁男性 1,000
60岁女性 10,000
60岁男性 20,000
第10章 边坡稳定的风险分析 281
Fell在分析了各种行业风险的基础上认为对于被动风险承受者以年计允许风险应小于10
6
最大也不得超过10
5
图10.3为南非荷兰和澳大利亚对大坝允许风险的规定(Kreuzer,2000)
Ο
从中可以看到允许的风险程度是和一个国家的经济发展程度以及人口密度等情况密切相关的例如在图
10.3中南非和荷兰均以1000人作为横坐标N最大的度量而澳大利亚则取10000人在我国则横坐标至少要外延至10万人
对于滑坡灾害澳大利亚岩土力学学会和香港政府分别建议如表10.5和图10.4所示的允许风险(Australian Geotechnics Society,2000; Ho,et al.,2000)
图 10,3 一些国家对大坝允许风险的规定
a南非b荷兰c澳大利亚N为失效个体的数量
Ο
图10.3(a)原文纵坐标似有误已根据作者理解改正
282 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
图 10,4 香港政府对边坡允许风险的规定
(a) 二层次评价方法(b) 三层次评价方法
表 10,5 澳大利亚岩土力学学会建议的以年计的允许风险
情况 人群属性 建议的允许风险
处于高危地区的人群 10
-4
已建边坡
一般人群 10
-5
处于高危地区的人群 10
-5
新建边坡
一般人群 10
-6
第10章 边坡稳定的风险分析 283
2,允许可靠度指标
在进行定量风险分析时通常可以得到功能函数的可靠度指标β详见10.2节
假设功能函数为正态分布则β可以和失效概率P
f
建立相关的关系如表10.6所示我国可靠度设计规范对各种建筑物的允许可靠度指标作出了规定
表 10,6 可靠度指标β和失效概率P
f
的关系
失效概率P
f
0.5 0.25 0.1 0.05 0.01 0.001 0.0001 0.00001
可靠度指标β
0 0.67 1.28 1.65 2.33 3.1 3.72 4.25
我国水利水电工程结构可靠度设计统一标准规定持久状态结构的允许β
值按表10.7 所示表中第一类破坏指非突发性破坏破坏前能见到明显征兆破坏过程缓慢第二类破坏指突发性破坏破坏前无明显征兆结构一旦发生事故难于补救或修复规范同时规定了建筑物的设计基准期这样允许可靠度指标也可以与以年计的允许风险建立关系
表 10,7 水工规范规定的持久结构承载能力允许可靠度设计指标β
结构安全级别 级 级 级
一类破坏3.7 3.2 2.7
二类破坏 4.2 3.7 3.2
依据表10.7 I级大坝发生坝坡失稳那样的二类破坏允许β
值为4.2从表10.6可查得相应的风险为3.1×10
5
按规范规定该大坝设计基准期为100年如果大坝本身的寿命为500
年则以年计的失效概率为6.2×10
6
将表10.5中的数值和这一数值相比可知我国一级大坝的允许风险率比澳大利亚新建边坡处于高危地区相当
10,1,6 小结
风险分析和风险管理是近几年来在边坡和大坝工程领域兴起的一门新兴学科分支它的适用性和可操作性还有待于在实践中进一步验证上面几节着重描述了滑坡风险分析的一些基本概念简要介绍了边坡风险分析实践的两种方法在以下各节将暂时离开这一带有战略意义的课题转入一个对边坡稳定分析参数不确定因素进行定量分析的领域这一领域相对来说更易于用近代可靠度分析理论进行定量分析同时这也是整个边坡体系所包含的不确定因素中十分重要的一个方面自然这只是一个带有战术意义的课题也就是说获得了由于影响安全系数的诸多参数强度指标孔隙水压力等的变异特征导致的风险率并不意味着就获得了整个边坡体系的风险性同时还要研究由于管理和分析模型方面带来的风险最终按式(10.1)确定整个体系的风险
284 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
10,2 可靠度分析基础
10,2,1 引言
为了对可靠度分析的内容和意义有一个简明的了解首先来看Duncan (2000)教授在著作中举的一个例子该例子是对一个挡土墙抗滑稳定安全系数进行可靠度分析见图10.5
对于图10.5所示挡土墙计算其抗滑稳定安全系数的公式如下
E
WW
F
ss
δtan)(
21
+
= (10.6)
式中W
1
,W
2
分别为墙和底板上回填土的重量 为墙壁和砂之间的摩擦角E为墙踵以 δ
图 10,5 挡土墙抗滑稳定可靠度分析示例(Duncan,2000)
(a) 计算简图(b) 失效概率
第10章 边坡稳定的风险分析 285
上的土压力引入等效液体容重)
2
45(tan
2
φ
γ
′
=
o
ef
γ则土压力计算公式为
2
2
1
HE
ef
γ= (10.7)
Duncan使用表10.8这样一个简单的分析步骤计算安全系数的标准差和变异系数本例中F的均值为1.50这个值被称为最大似然的安全系数F
MLV
在了解γ
ef
δ和γ
bf
的均值和标准差的情况下可以进行表10.8所示的一系列计算最后获得安全系数F的变异系数V
F
为
17%根据F的均值和变异系数在假定安全系数按对数正态分布的条件下查阅表10.9
可得知安全系数的失效概率P
F
为1%
表 10,8 挡土墙的Taylor级数展开法可靠度分析
*
变量 分析指标 数值 安全系数?F
最大似然值 +σ 45 pcf F
+
=
1.33
等效液体容重 γ
ef
最小似然值 -σ 35 pcf F
=
1.71
-0.38
最大似然值 +σ 0.55 pcf F
+
=
1.65
tanδ
最小似然值 -σ 0.45 pcf F
=
1.35
0.30
最大似然值 +σ 127 pcf F
+
=
1.56
回填料容重 γ
bf
最小似然值 -σ 113 pcf F
=
1.44
0.12
最大似然值 +σ 152 pcf F
+
=
1.50
混凝土容重 γ
c
最小似然值 -σ 148 pcf F
=
1.49
0.01
注 1 安全系数的标准差σ
f
=[(0.38/2)2+(0.30/2)2+(0.12/2)2]1/2=0.25
2 1pcf =0.157 kN/m
3
3 安全系数的变异系数V
F
= 标准差/均值 = 0.25/1.50 =17%
* 保留原有的英制单位1英尺= 0.305m 1磅= 4.448N
观察这一分析步骤可以发现在确定性模型分析中只须通过安全系数来评价边坡的安全度而可靠度分析则在计算安全系数均值的同时还要计算安全系数的标准差或变异系数在假定安全系数符合一定概率模型的前提下得到结构失稳即F<1概率这一计算是建立在对影响安全系数的各个因子的均值和标准差的定量分析基础上的
可靠度分析的好处是对影响安全系数的每个影响因子均根据各自包含的不确定性予以适当考虑例如如果认为这一挡土结构不能满足对安全度的要求需要采用一定的加固措施设采用加筋土或排水这两种措施都能使安全系数提高到1.8那么传统的确定性模型认为这两种措施的作用是同等的但是引入可靠度分析后就会发现采用加筋土这样的机械措施其保证率是很大的因为它可以从增大安全系数的均值和减少安全系数的变异系数两个方面增加结构的安全度而排水涉及到多种不确定因素可靠性较差两者的变异系数有很大的差别因此使用可靠度方法来评价这两种措施不会得出其对提高挡土墙的抗滑稳定性作用是同等的这样一个结论在边坡治理时尽管布置了排水措施人们往往仍不大放心对重要的工程还要增设一些诸如抗滑桩锚索那样的措施这种心理状态可以用可靠度概念作出理论解释在施加抗滑桩和锚索时经常发现这些加固措施在提高边坡的安全系数的绝对值方面起的作用不是很大的即便提高5%也要付出极大的代价表 10,9 根据安全系数的均值和变异系数确定结构的失效概率单位%
V
F
F
2 4 6 8 10 12 14 16 20 25 30 40 50 60 80
1.05 0.8 12 22 28 33 36 39 41 44 47 49 53 55 58 61
1.10
1.0E-4 0.9 6 12 18 23 27 30 35 40 43 48 51 54 59
1.15 3.1E-10 0.03 0.7 4 9 13 18 21 27 33 37 43 48 51 56
1.16 1.9E-11 0.01 0.3 3 8 12 16 20 26 32 36 42 47 50 56
1.18 6.9E-14 1.9E-3 0.13 2 5 9 13 17 23 29 34 41 45 49 55
1.20 2.4E-16 2.9E-4 0.01 1.2 4 7 11 14 21 27 32 39 44 48 54
1.25 3.4E-22 1.5E-6 1.1E-2 0.3 1.4 4 6 9 15 22 27 35 41 45 51
1.30 1.8E-27 4.8E-9 7.0E-4 0.06 0.50 1.6 3 6 11 17 23 31 37 42 49
1.35 3.6E-32 1.2E-11 3.4E-5 0.01 0.20 0.7 1.9 4 8 14 19 28 34 40 47
1.40 2.6E-36 2.9E-14 1.3E-6 1.5E-3 0.04 0.3 1.0 2 5 11 16 25 32 37 45
1.50 2.8E-43 2.8E-19 1.5E-9 2.5E-5 3.0E-3 0.04 0.2 0.7 3 6 11 19 27 32 41
1.60 0.00 8.0E-24 1.4E-12 3.1E-7 1.6E-4 0.01 0.05 0.2 1.1 4 7 15 22 28 38
1.70 0.00 7.6E-28 1.7E-15 3.3E-9 7.4E-6 6.1E-4 0.01 0.06 0.5 2 5 12 19 25 34
1.80 0.00 2.1E-31 2.8E-18 3.5E-11 3.1E-7 6.2E-5 1.7E-3 0.01 0.2 1.2 3 9 16 22 31
1.90 0.00 1.4E-34 7.1E-21 4.1E-13 1.2E-8 6.0E-6 2.9E-4 3.8E-3 0.08 0.65 2 7 13 19 29
2.00 0.00 2.1E-37 2.9E-23 5.7E-15 5.2E-10 5.7E-7 4.8E-5 9.8E-4 0.03 0.36 1.3 5 11 17 26
2.20 0.00 3.2E-42 1.6E-27 1.9E-18 1.4E-12 5.1E-9 1.3E-6 5.5E-5 0.01 0.10 0.56 1.3 8 13 22
2.40 0.00 0.00 3.7E-31 1.5E-21 3.1E-15 5.1E-11 3.5E-8 3.1E-6 7.8E-4 0.03 0.23 1.9 5 10 19
2.60 0.00 0.00 2.7E-34 2.5E-24 1.4E-17 6.4E-13 1.0E-9 1.9E-7 1.2E-4 0.01 0.09 1.1 4 7 16
2.80 0.00 0.00 5.0E-37 8.2E-27 1.0E-19 1.0E-14 3.5E-11 1.2E-8 1.8E-5 0.00 0.04 0.66 3 6 13
3.00 0.00 0.00 1.9E-39 5.0E-29 1.1E-21 2.1E-16 1.4E-12 8.0E-10 2.8E-6 0.00 0.02 0.39 1.8 4 11
注 1 V
F
为安全系数的变异系数2 F为均值安全系数3 P
F
为结构失效概率以%计表中3.7E-31理解为(3.7 ×10
-31
)% 4安全系数为对数正态分布
第10章 边坡稳定的风险分析 287
但这些措施可大幅度地增大可靠度指标减少边坡失效的风险因此如果采用风险分析那么这些机械加固措施的作用或许可以得到更加合理的评价
本节介绍的计算安全系数的变异系数和失效概率的方法是一种简化的处理当问题是非线性时还需要更加符合实际的数学模型和分析方法本章以下各节就是讨论这一可靠度分析理论的数值分析方法
10,2,2 可靠度分析的基本原理
1,边坡的失效概率
广义地讲对任何一个结构的安全性分析包括了研究其资源(Supply)和需要
(Demand)之间的关系如果分别以X和Y来代表这两个因素那么当X>Y时结构处于安全状态当X<Y时则结构处于失稳状态这一关系可用式(10.8)表示当X = Y时该方程称为极限状态方程所有处于极限状态的自变量组合构成了该问题的状态边界面
(10.8)0=?= YXM
对于一均质边坡作用于滑体上的抗力和作用力分别可用X和Y来表示由于边坡材料参数和作用荷载的不确定性X和Y 可以假设为随机变量其相应的概率密度函数分布形式如图10.6所示当抗力X小于作用力Y时边坡就会破坏或者失效边坡失效的可能性或者概率P
F
可用X和Y 的概率密度函数和相重叠部分来代表)(Xf
X
)(Yf
Y
图 10,6 抗力X和作用力Y的概率密度函数
从图10.6可以看出失效概率P
F
通常取决于以下两个方面
(1) X和Y概率密度分布函数的相对位置)(Xf
X
)(Yf
Y
位置越远重叠越少失效概率P
F
越小反之则失效概率P
F
越大两者相对位置通常用X Y的均值的比值μ
X
/μ
Y
也就是安全系数或者安全裕度(μ
X
μ
Y
)来衡量
(2) X和Y概率密度函数的分散度)(Xf
X
和分布越分散)(Yf
Y
重叠越多失效概率
P
F
越大图10.6中虚线代表的曲线)(Xf
X
和的分散度)(Yf
Y
通常用X和的Y标准差
σ
X
和σ
Y
来描述
简而言之失效概率与μ
X
,μ
Y
,σ
X
和σ
Y
有关即
288 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
),,/(
YXYXF
fP σσμμ∝
2,可靠度指标的定义及其几何解释
为表述方便假设X Y服从,的正态分布),(
XX
N σμ ),(
YY
N σμ且统计上相互独立则极限状态方程的概率密度分布函数同样服从的正态分布YXM?= ),(
MM
σμN其中
(10.9)
YXM
μμμ?=
(10.10)
222
YXM
σσσ+=
对于一个服从正态分布N(μ
M
,σ
M
)的状态方程研究的目标是确定M<0的概率即图10.6
所示的重叠区的面积显然有
(10.11)
∫
∞?
=<?=>
0
)()0( dMMNYXMPP
F
不难证明这一积分可以唯一地表达为
M
M
σ
μ
的函数即
)(1)0(
M
M
F
YXMPP
σ
μ
Φ?=<?== (10.12)
可靠性理论称该数值为可靠度指标用β表示即
M
M
σ
μ
β= (10.13)
有了可靠度指标后即可通过表10.6确定结构的失效概率
为进一步阐述可靠度指标β的几何意义引入标准化变量
X
X
X
X
σ
μ?
=′ (10.14)
Y
Y
Y
Y
σ
μ?
=′ (10.15)
把式(10.14)和式(10.15)代入极限状态方程即式(10.8)得
(10.16)
YXYX
YXM μμσσ+′?′=?
在图10.7所示的标准化变量空间中安全状态和失效状态被状态边界面M
=
0分开从图中所示的几何关系可知
X
YX
a
σ
μμ?
= (10.17)
Y
YX
b
σ
μμ?
= (10.18)
22
YX
YX
YX
c σσ
σσ
μμ
+
= (10.19)
因此边坡系统的安全程度或可靠度可用原点到极限状态线的最短距离d来衡量根据几第10章 边坡稳定的风险分析 289
何知识可知
β
σ
μ
σσ
μμ
==
+
==
M
M
YX
YX
c
ab
d
22
(10.20)
通过式(10.20)以及可靠度指标β的定义可以看出可以用标准化变量空间中原点到极限状态线的最短距离来衡量
β
图 10,7 标准化变量空间上的极限状态面
在上述讨论中状态方程被假定为具有两个相互独立但仍服从正态分布的随机变量的线性函数当线性安全度方程所包含的随机变量的个数增加同样服从正态分布且相互独立时可靠度指标β的计算可直接由式(10.20)从二维推广到多维而当随机变量不服从正态分布或者相互关联时可以通过某种方式把相应的随机变量转化为服从正态分布且相互独立从而求得可靠度指标β
(Ang and Tang,1984)上面对线性安全度方程功能函数可靠度指标的求解思路将为求解广泛存在于边坡问题中的非线性功能函数的可靠度指标提供了坚实的基础
3,功能函数的定义及其讨论
(1) 功能函数的定义结构可靠度通常是指在一段时间内一定荷载条件作用下完成预定功能或系统运行正常的一种度量在可靠度分析中通常定义功能函数为
(10.21) ),,,()(
21 n
xxxgg L=X
式中),,,(
21 n
xxx L=X为一向量x
i
(i
=
1,2,…,n)为影响边坡系统可靠度的n个变量
)(Xg反映了结构的运行性能或者状态当>0时)(Xg边坡系统处于安全状态当
<0时)(Xg结构处于破坏或失效状态而)X(g
=
0表示系统达到极限运行状态
通常)(Xg
=
0称为结构的极限状态方程
如果功能函数中随机变量x
i
(i
=
1,2,…,n)的联合概率密度函数为),,,(
21,,
1
nxx
xxxf
n
L
L
则结构处于安全状态( >0)的概率为 )(Xg
(10.22)
∫∫
>
=
0)(
2121,,,
),,,(
21
Xg
nnxxxs
dxdxdxxxxfP
n
LLL
L
290 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
同样处于破坏状态( <0)的失效概率P)(Xg
F
可以表示为
(10.23)
∫∫
<
=
0)(
2121,,,
),,,(
21
Xg
nnxxxF
dxdxdxxxxfP
n
LLL
L
由式(10.22)和式(10.23)可见无论是P
s
还是P
F
都可以通过数值积分的方法得到当功能函数是线性)(Xg所包含的随机变量相互独立且服从正态分布时可以用10.2.2节中介绍的方法计算可靠度指标β及相应的失效概率P
F
在随机变量的联合概率函数不易得到或者功能函数是非线性时)(Xg可以用下面将要介绍的一次二阶矩法(FOSM)蒙特卡洛法(Monte Carlo Method)和Rosenbleuth法来计算边坡问题的可靠度指标β及相应的失效概率P
F
作为向可靠度分析过渡的一个措施在建筑和水电行业的一些规范中规定了分项系数极限状态设计的原则此时分别将式(10.8)中的资源和需求用抗力R和作用S来代表并根据结构的重要性和参数的变异特性加入了分项系数例如重力坝设计规范中的公式为
),(
1
),,(
1
0 K
m
k
d
KKQKG
f
RQGS α
γγ
αγγψ ≤ (10.24)
式中各项公式意义可参见规范原文
(2) 边坡稳定分析中的功能函数在边坡稳定领域进行可靠度分析时发现在第2章和第3章介绍的各种计算安全系数的方法都无法变成式(10.8)或式(10.24)的形式在稳定分析中某些物理量如材料的重量既可以视为作用但也是产生抗力摩擦力的主要因素因此在将已有边坡稳定分析和可靠度分析接轨的过程中需要作适当的处理下面是现有文献中可以看到的两种作法
(a) 在已有的安全系数基础上定义功能函数将极限状态改为(Li and Lumb,1987;
Lowe,et,Al,1998)如下两式即
(10.25)
01),,,(
21
=?
n
xxxF L
(10.26) 0),,,(ln
21
=
n
xxxF L
式(10.25)和式(10.26)中安全系数F为随机变量的函数),,2,1( nix
i
L= Li和Lumb (1987)
指出可以有各种不同的方法定义边坡稳定分析的功能函数F是通过不同的方法获得的安全系数如简化毕肖普法Spencer法Morgenstern?Price方法等
相应的可靠度指标定义(Chowdhurg,1984; Tabba,1984; Fell,et,al,1988)为
F
F
σ
μ
β
1?
= (10.27)
式中μ
F
和σ
F
为安全系数F的均值和标准差
使用这一处理方案第2章和第3章介绍的计算安全系数的各种方法均不需要作任何改动即可进行可靠度分析
第10章 边坡稳定的风险分析 291
(b) 套改方案这一方案要求将现有的有关结构和稳定分析的方法按式(10.24)予以改造一些文献中曾将第3章介绍的瑞典法和毕肖普法中分子和分母两项改为相减的形式陈祖煜张广文1994在重力坝设计规范中出现了一个从未见诸于文献的适应于式(10.24)的双折线滑面深层抗滑稳定分析公式水工建筑物抗震规范没有改造现有的毕肖普法其条文说明在论述土石坝和静力法边坡稳定分析时提供了按毕肖普法计算获得的安全系数和结构系数γ
d
相关联的表但是这张表是出现在条文说明中一般并无法律约束性这一以安全系数为基础的方法出现在该规范中仍然是有条件的以上种种作法的一个共同特点是有意无意地阻止在规范正文和附录中出现安全系数这四个字可靠度和分项系数极限状态分析方法是作为传统的安全系数的对立面提出的因此与安全系数相关的各种分析方法也必须推倒重来
笔者曾著文讨论了按式(10.24)强行修改稳定分析的传统方法存在的种种问题陈祖煜张广文1994陈祖煜陈立宏2002文中指出现行的有关安全系数定义和相应的处理方法是几十年来人们在长期实践中积累而形成被普遍接受的作法在边坡稳定分析中的一些因素如重力地震惯性力它们既是作用又是抗力很难将其分开同时如式(10.24)
那样带有量纲的比较方案难以在参数敏感性和优化设计中应用一个边坡的抗力比作用大
10万吨这样的结论不会给人们关于其安全度有多大的定量概念而安全系数为1.5这一命题所描述的安全度却是一个客观性指标可以作为衡量所有边坡稳定性的依据
上述作法(b)反映了有关人员对边坡稳定分析领域中关于安全系数概念的误解近代岩土力学对安全系数定义已经不是早期那个概括了诸多不确定因素的大老K了安全系数F是这样一个数值它使设计参数中的强度指标c和f缩减为c/F和f/F从而使结构达到极限平衡状态
其实上述作法(a)在西方有关边坡稳定可靠度分析中文献中早已成为普遍接受广泛采用的方案10.2.1节介绍的挡土墙抗滑稳定的内容便是一例子在这个例子中可以发现传统的挡土墙稳定分析方法一点都不需要修改安全系数还是照算在这篇论文的结论中Duncan写道失效概率不能看成安全系数的替代品而是一种补充同时计算安全系数和失效概率比单独计算任何一个更好虽然我们还不能准确地计算安全系数和失效概率但是两者互补可以大大提高成果的精度
20世纪90年代初期美国科学院下属的美国国家科学研究委员会(National Research
Council 1995)组成了一个从事可靠度和传统方法的专家人数相同的的班子对可靠度方法在岩土工程中的应用和存在问题进行全面的研究此班子名为岩土工程减灾可靠度方法研究委员会研究班子由这两个领域的著名专家Wilson Tang和 Duncan领导1995年该委员会提出了岩土工程中的可靠度方法的研究报告(National Research Council,1995)这个报告的结论的第一段内容如下对于可靠度方法在岩土工程中作用的问题委员会的主要发现是可靠度方法如果不是把它作为现有传统方法的替代物的话确实可以为分析岩土工程中包含的不确定性提供系统的定量的途径在工程设计和决策中用这一方法来定量地驾驭和分析这些不确实因素尤为有效
另外还注意到这一研究报告对安全系数和可靠度分析之间的关系写下以下一段文字
292 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
有时用抗力/作用这样的简单的表达式来定义安全系数不一定有明确的概念例如在边坡稳定分析中位于坡趾的土的重量可以作为一个抵抗土体主要部分的滑动力矩的平衡力量这一贡献既不是附加的抗力也不是减少的作用力由于对这些贡献的处理方法不同用前述的简化方法计算可靠度指标时会出现一些反常现象为了解决这一问题在岩土工程系统中可以引入对安全系数具有一般意义的定义安全系数可以表达为以下一个广义的功能函数
),,(
21 m
xxxgF L=
式中x
i
为结构自变量
事实上这一公式具有更为一般的意义因为抗力通常是土的特性和几何特性的函数而作用力同样又是这样一些变量加上其它一些变量
综上所述作者认为在建筑物抗滑稳定和滑坡分析中已经有了一套成熟的建立在安全系数基础上的可靠度分析方法因此进入可靠度和风险分析领域无需引入式(10.24)
这样一个过程
10,3 蒙特卡洛法 (Monte Carlo Method)
10,3,1 基本原理
蒙特卡洛法又称统计试验法或随机抽样技巧法它适用于随机变量的概率密度分布形式已知或符合假定的情况在目前可靠度计算中是一种相对精确的方法随着计算机技术的不断发展蒙特卡洛法在工程中的应用将越来越广
蒙特卡洛法是从概率的角度出发来求解失效概率的首先对影响可靠度的随机变量进行大量随机抽样然后将这些抽样值逐个代入功能函数累计功能函数值小于零的个数由此确定失效频率根据定义某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算因此如果抽样次数达到一定值时得到的失效频率将逼近可靠度分析的失效概率但是应用蒙特卡洛法抽样随机性的可靠性和样本数目的大小都是影响该失效概率精度的主要因素
10,3,2 随机抽样过程
1,随机数的产生方法
抽样的随机性是通过产生随机数的方法来完成这通常要分两步进行首先产生在开区间(0,1)上的均匀分布随机数然后在此基础上变换成给定分布的随机数
产生随机数的方法一般是利用随机数表物理方法和数学方法其中数学方法以其速度快计算简单和可重复性等优点而被人们广泛地使用随着对随机数的不断研究和改进人们已提出了各种数学方法例如取中法加同余法乘同余法混合同余法和组合同余法上述方法中乘同余法更具有统计性质优良周期长等特点下面简要介绍一下该方法的计算过程
(1) 选择适当的参数将参数a b c和初始值x
0
代入公式
(10.28) ))(mod(
1
cbaxx
ii
+=
+
式中x a b c均为正整数
第10章 边坡稳定的风险分析 293
式(10.28)表示以c为模数的同余式即(ax
i
+b)除以c后得到的余数记为x
i+1
(2) 对x
i+1
进行换算将x
i+1
除以c后即可得标准化的随机数u
i+1
即
(10.29)cxu
ii
/
11 ++
=
将x
i+1
作为初值重复步骤(1)和(2)得到随机数序列{u}
目前可靠度计算中一般常用正态分布和对数正态分布因此下面着重介绍这二种分布函数随机数的产生
(3) 正态分布的处理由于这种分布应用极广因此对于这种变量的模拟已发展了很多方法其中坐标变换法产生随机数的速度较快精度较高
设随机数u
i
和u
i+1
是(0,1)区间中的两个均匀随机数则可用下列变换得到标准正态分布
N(0,1)的两个随机数和
x
*
i
x
*
1i+
(10.30)
=
=
++
+
)2sin()ln2(
)2cos()ln2(
1
2/1*
1
1
2/1*
iii
iii
uux
uux
π
π
如果随机变量X服从一般正态分布N(m
x
,σ
x
)则其随机数x
i
和x
i+1
算式变成
(10.31)
+=
+=
++ xxii
xxii
mxx
mxx
σ
σ
*
11
*
式(10.31)中随机数成对产生它们不仅是互相独立的而且服从一般正态分布
(4) 对数正态分布的处理对数正态分布变量的随机数可以由正态分布随机数转化而来假设随机变量X服从对数正态分布则随机变量Y
=
lnX服从正态分布Y的标准差和变异系数可以由X的标准差和变异系数求得参见10.6.3节然后根据上面介绍的方法求得Y的随机数y则X的随机数为 x
i
=
exp(y
i
)
(5) 样本数目的大小抽样样本数目N的大小是影响失效概率计算精度的重要因素
Bennet和Ang (1983)建议用95%的置信度以保证用蒙特卡罗法解题的允许误差ε
(10.32)
2/1
)]/()1(2[
FF
PNP=ε
由式(10.32)可见样本数目N越大误差ε越小因此要达到一定的精度N必须取得足够大为简便起见建议
(10.33)
F
PN /100≥
式中
F
P为预先估计的失效概率
由于一般是一个很小的数
F
P这就要求计算次数很多例如工程结构的失效概率一般在0.1%以下因此要求计算次数达十万次以上这对计算方法就提出了新的要求为此目前正在研究如何在计算次数不太多的情况下得到满足精度要求的值的方法
F
P
2,解释Monte Carlo法的算例
[例10.1] 均匀土坡算例
首先讨论一个具有固定圆弧滑裂面的均质土坡的例子参见11.4节中ACADS 例题
1(a)该边坡及圆弧滑裂面的几何尺寸如图10.8所示
294 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
在可靠度分析中滑坡体材料的强度参数粘聚力c和摩擦系数f tanφ按随机变量来处理并假定c,f统计上相互独立且分别服从N(μ
c
,σ
c
)和N(μ
f
,σ
f
)的正态分布其中μ
c
= 3.0 kPa
f
= 0.356 σ
c
= 0.3 kPa σ
f
= 0.03另外滑坡体材料容重γ
=
20.0 kN/m
3
μ
对c和f进行500次模拟所得安全系数的直方图如图10.9示根据此直方图获得安全系数的均值和标准差分别为1.106和0.084,β
=1.256
图 10,8 均匀土坡计算实例几何尺寸
图 10,9 均匀土坡计算结果直方图Monte Carlo法
10,4 一次二阶矩法
10,4,1 基本原理
通常情况下由于边坡系统存在着大量的不确定性因素包含在功能函数中的随机变量的概率分布形式很难确定随机变量的一阶矩均值和二阶矩方差比较容易获得一次二阶矩法(FOSM)就是在这种背景下提出的此法只根据随机变量均值和标准差的数学模型去求解可靠度
该方法将功能函数在某点用Taylor级数展开),,,()(
21 n
xxxgg L=X ),,,(
21
=
n
xxx L
*
X
第10章 边坡稳定的风险分析 295
使之线性化然后计算功能函数在点 的均值和标准差),,,(
21
=
n
xxx L
*
X然后求解可靠度因此称为一次二阶矩法
),,2,1( ni
i
L=
i
i
x
xi
i
x
z
σ
μ?
=
首先我们来研究随机变量相互独立的情况
对于一组相互独立的随机变量x引入标准变量
i
z
(10.34)
式中
i
x
μ
i
x
σ分别为的均值和标准差
i
x
把功能函数在某点 用Taylor级数展开),,,()(
21 n
xxxgg L=X ),,,(
21
=
n
xxx L
*
X得
LL +
+
+=
∑∑
==
n
i
i
ii
n
i
i
iin
x
gxx
x
g
xxxxxgg
1
2
22*
1
***
2
*
1
|
2
)(
|)(),,,()(
**
XX
X (10.35)
略去二阶小量得
*
X
X |)(),,,()(
1
***
2
*
1
∑
=
+=
n
i
i
iin
x
g
xxxxxgg L (10.36)
式中
*
X
|
i
x
g
为 在点对x),,,()(
21 n
xxxgg L=X ),,,(
21 n
xxx L=
*
X
i
一阶偏导数值
注意到为破坏面或者极限状态函数上的一点),,,(
21 n
xxx L=
*
X因此
(10.37) 0),,,(
**
2
*
1
=
n
xxxg L
把式(10.37) 代入(10.36)中得
*
X
X |)()(
1
*
∑
=
=
n
i
i
ii
x
g
xxg (10.38)
在结构可靠度分析中对功能函数g往往采用线性化后的式(10.38)而不直接用原来的公式原因是线性化后的g无论求解均值或方差都容易得多
由式(10.34)得
(10.39)
ii
xxii
zx μσ+=
同样
ixi
i
ii
z
g
x
z
z
g
x
g
i
=
=
σ
1
(10.40)
如果随机变量的均值和方差σ已知且服从正态分布
),,2,1( nix
i
L= ),,2,1( ni
i
x
L=μ ),,2,1( ni
i
x
L=
把式(10.39)和式(10.40)代入式(10.38)得
∑
=
=
n
i i
ii
z
g
zzg
1
*
*
|)()(
Z
X (10.41)
g(X)的均值为
296 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
∑
=
=
n
i
i
ig
z
g
z
1
*
|
*
Z
μ (10.42)
g(X)的标准差σ
g
为
∑
=
=
n
i
i
g
z
g
1
2
)|(
*
Z
σ (10.43)
由此可见可靠度指标β为
∑
∑
=
=
==
n
i
i
n
i
i
i
g
g
z
g
z
g
z
1
2
1
*
)|(
|
*
*
Z
Z
σ
μ
β (10.44)
定义
(10.45)
T
n
zzz ),,,(
**
2
*
1
L=
*
Z
T
z
n
z
2
z
1
n21
z
g
z
g
z
g
)|,,|,|(
***
= L
*
G (10.46)
则式(10.44)可表示为
2/1
)(
**
**
GG
ZG
T
T
=β (10.47)
对式(10.47)进行向量变换后得
2/1*
)(
*
*
*
GG
G
Z
T
β?
= (10.48)
由式(10.48)可知
T
n
zzz ),,,(
**
2
*
1
L=
*
Z的各个分量可以表示为
(10.49) ),,2,1(
**
niz
ii
L=?=βα
其中
∑
=
=
n
i
i
i
i
z
g
z
g
1
2
*
)|(
|
*
*
Z
Z
α (10.50)
式中
*
i
α为在Z 空间中破坏面在点处的方向导数
T
n
zzz ),,,(
**
2
*
1
L=
*
Z
同样在Z 空间中功能函数可以表示为
(10.51) 0)( =Zg
综上所述计算可靠度指标β的步骤可具体化为寻找在状态边界面式(10.51)上的一个点
Z该点满足式(10.48)和式(10.49)而该两式中包含的β是通过式(10.44)确定的
第10章 边坡稳定的风险分析 297
由前述可知在标准变量空间中可靠度指标β同时也是可能破坏点Z
*
到原点的最大距离所以上述结论也可以通过下述条件极值问题求得即
在g
=
0的条件下求
22
12 n
dzz z=+++L
2
的最小值
10,4,2 随机变量统计相关情况
可靠度分析中对随机变量是统计相关情况),,2,1( niz
i
L=通常把这些变量转换为一组统计上相互独立的标准化变量),,2,1( niy
i
L=它们之间的相关系数以协方差矩阵表示为
(10.52)
=
1
1
1
21
221
112
L
L
L
L
nn
n
n
ρρ
ρρ
ρρ
Z
C
通过这一处理不相关变量Y可以通过正交变换得到
T
n
yyy ),,(
21
L=其公式为
(10.53)ZTY
T
=
式中T为正交矩阵
正交矩阵T的列向量为矩阵C
Z
的特征矢量具体表述为
(10.54)
==
n
T
λ
λ
λ
λ
L
L
L
L
00
00
00
2
1
TCT
Z
式中),,2,1( ni
i
L=λ为矩阵C
Z
的特征值
另外通过正交变换得到的相互独立的变量Y的协方差矩阵为
T
n
yyy ),,(
21
L=
(10.55)
λ=
==
==
TCTTZZET
TZZTEYYEC
Z
TTT
TTT
Y
)(
)()(
通过式(10.53)的正交变换计算含有统计相关随机变量功能函数的可靠度指标β变为
[]
2/1
)()(
)(
*
*
*
Z
*
Z
Z
*
*
Z
*
GCG
ZG
T
T
=β (10.56)
其中
T
n
z
g
z
g
z
g
)|,,|,|()(
21
****
ZZZZ
*
G
= L (10.57)
注意式(10.53)则
T
Y
n
YYY
*
y
g
y
g
y
g
G
**
)|,,|,|()(
**
= L
21
可通过计算求得计算公式为
(10.58)
**
Y
*
Z
*
GTG )()( =
298 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
把式(10.53)和式(10.58)代入式(10.56)并注意到T为正交矩阵有T IT
T
=可得
2/12/1
])()[(
)(
])()[(
)(
**
*
**
*
Y
*
Y
*T
*
Y
*T
Y
*
Z
T
Y
*T
*T
Y
*T
GG
YG
GTCTG
TYTG
λ
β
=
= (10.59)
由式(10.59)可得到破坏面上破坏点Y ),,,(
21 n
yyy L=
*
其值为
2/1
])()[(
)(
**
*
Y
*
Y
*T
Y
*
*
GG
G
Y
λ
βλ?
= (10.60)
由式(10.60)可知),,,(
21 n
yyy L=
*
Y的各个分量为
βλα
iiYi
y
**
= (10.61)
其中
∑
=
=
n
i
i
i
i
i
iY
y
g
y
g
1
2
*
)|(
)|(
*
*
Y
Y
λ
λ
α (10.62)
式中
*
iY
α为Y 空间中破坏面在点Y处的方向导数沿轴的分量),,,(
21 n
yyy L=
*
i
y
另外在Y空间功能函数变为
(10.63)0)( =Yg
10,4,3 数值分析方法
根据以上论述可靠度分析计算中的一次二阶矩法可用数值分析的方法得到其具体算法表述如下(Ang and Tang,1984)
(1) 定义),,,()(
21 n
xxxgg L=X假定初始的破坏点),,2,1(
*
nix
i
L=由式(10.34)计算折减变量),,2,1(
*
niz
i
L=如果随机变量统计相关),,2,1(
*
nix
i
L=由式(10.53)得到不相关的随机变量),,2,1(
*
niy
i
L=
(2) 计算点处的),,2,1(
*
niz
i
L=
*
Z
|
i
z
g
及α值
*
i
如果随机变量统计相关),,2,1(
*
nix
i
L=
则需计算处的),,2,1 nL(
*
iy
i
=
*
Y
|
i
y
g
及α值
*
iY
(3) 由式(10.49)得到或者由式(10.61)得到),,2,1(
*
niz
i
L= ),,2,1(
*
niy
i
L=
(4) 将代入式(10.44)或者将代入式(10.59)求解β),,2,1(
*
niz
i
L= ),,2,1(
*
niy
i
L=
(5) 用第4步求得的β值再通过式(10.49)和式(10.61)分别重新计算或者值
),,2,1(
*
niz
i
L=
),,2,1(
*
niy
i
L=
(6) 重复第2至第5步直至收敛
第10章 边坡稳定的风险分析 299
这种算法具有试凑的特点但并不是总能保证收敛以边坡稳定性分析为例如果采用简化的毕肖普法或者Morgenstern?Price方法计算的第一步是要寻找状态边界面上的一组随机变量即粘聚力摩擦角和孔压系数的组合其抗滑稳定安全系数为1.0这一过程类似边坡工程中的反演分析本身必须经过一系列迭代而计算每一个滑面的可靠度指标β
则是第二个层次的迭代如果寻找相应最小可靠度指标β
的临界滑裂面则又需增加第三层次的迭代为了改进上述常规算法安全系数的收敛性问题以及提高一次二阶矩法的实用性作者结合边坡稳定分析的具体情况提出一个改进的算法在10.4.4节中详细介绍
10,4,4 改进FOSM方法
1,基本原理及计算步骤
对于随机变量在统计上是彼此相关的还是相互独立的),,2,1(
*
nix
i
L=改进方法的表述在概念上是一致的为表述清楚我们假定随机变量已按10.4.2节变成统计独立的情况
实际在常规算法第(1)步中初始值使得功能函数有一非零的d值),,2,1(
*
niy
i
L= )(Yg
(10.64) dyyygg
n
== ),,,()(
**
2
*
1
LY
对于下一次迭代
*
i
y?改进FOSM方法认为将位于破坏面上
**
ii
yy?+即
(10.65) 0),,,(
***
2
*
2
*
1
*
1
=?+?+?+
nn
yyyyyyg L
将式(10.65)左边在点展成Taylor级数),,2,1(
*
niy
i
L=并忽略?二阶以上高阶小量得
*
i
y
0|),,,(
1
***
2
*
1
=?
+
∑
=
n
i
i
i
n
y
y
g
yyyg
*
Y
L (10.66)
将式(10.66)减去式(10.64)得到
dy
y
g
n
i
i
i
=?
∑
=1
*
|
*
Y
(10.67)
由式(10.61)可得
),,2,1()()(
****
niyy
iiYiYii
L=?+?+=?βλαα (10.68)
在式(10.68)中忽略后得到
*
iy
α?
),,2,1()(
***
niyy
iiYii
L=?+= ββλα (10.69)
将(10.69)式代入(10.67)式中得到?β
∑
∑
=
=
+?
=?
n
i
i
iiY
n
i
i
iiiY
y
g
y
g
yd
1
*
1
**
]|[
]|)[(
*
*
Y
Y
λα
βλα
β (10.70)
根据以上公式推导改进FOSM方法具体包含以下步骤
300 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(1) 定义),,,()(
21 n
xxxgg L=X假定初始的破坏点),,2,1(
*
nix
i
L=由式(10.34)计算折减变量),,2,1(
*
niz
i
L=如果随机变量统计相关),,2,1(
*
nix
i
L=由式(10.53)得到不相关的随机变量),,2,1(
*
niy
i
L=并确定β值的初始迭代值
(2) 将代入(10.64)得到d),,2,1(
*
niy
i
L=
(3) 计算点处的),,2,1(
*
niz
i
L=
*
Z
|
i
z
g
及α
i
值如果随机变量统计相关),,,(
*
n21ix
i
L=
则需计算处的),,2,1 nL(
*
iy
i
=
*
Y
|
i
y
g
及α值
*
iY
(4) 由式(10.70)得到?β把β+?β作为β的下一次迭代值
(5) 利用第4步求得的β值再通过式(10.49)和式(10.61)分别重新计算或者值
),,2,1(
*
niz
i
L=
),,2,1(
*
niy
i
L=作为下步迭代的初始值
(6) 重复第2步到第5步直到满足以下的收敛准则
(10.71)
β
εβ<?
(10.72)
d
d ε<
式中ε
β
和ε
d
为允许误差
注意到在上述推导过程中忽略了式(10.68)中的项
*
iY
α?这一简化使问题求解简单而且仅仅构成操作误差不会影响最终收敛结果
作者在开发边坡稳定可靠度分析程序时对本节介绍的算法进行了实际考核发现其收敛性极佳现以下面一个例子来说明
2,解释改进的FOMS 法的算例1
[例10.2] 固定圆弧滑裂面算例
该算例为一具有固定圆弧滑裂面土坡的例子参见11.4节中ACADS 例题1(c)该边坡共包含层土层边坡剖面如图10.10所示
图 10,10 解释FOMS法计算过程算例
在可靠度分析中将第一层土的粘聚力作为确定性变量摩擦系数f(或内摩擦角φ)作为随机变量而第二三层土的和f全部作为随机变量且第二三层土的和f统计相关各土层材料的物理强度参数以及随机变量的有关参数详见表10.10
表 10,10 随机变量和材料的物理参数表[例10.2]
第10章 边坡稳定的风险分析 301
粘聚力c (kPa) 摩擦系数f = tanφ
土层编号
均值 标准差 均值 标准差
相关系数
容重γ
(kN/m
3
)
1 0 0 0.781 0.1 0 19.5
2 5.3 0.7 0.424 0.05 0.1 19.5
3 7.2 0.2 0.364 0.05 0.3 19.5
根据表10.10可知反映相关系数的矩阵为
(10.73)
=
13000
30100
00110
00101
.
.
.
.
Z
C
采用线性代数方法可得式(10.53)中的T为
(10.74)
=
70700000
70700000
07070000
07070070700
000100
,
,
,
,,
,
T
C
z
的特征值为
(10.75) ) 1.140 1.049,1.0,0.949,(0.836,)( =λ
这样相应任意一套自变量向量X的Y向量即可通过式(10.53)求得在可靠度分析中首先考虑一固定圆弧滑裂面的情况在利用改进FOSM法分析圆弧滑面的边坡稳定性过程中随机变量c和 f
=
tanφ及孔隙水压力系数r
u
的初始迭代值通过下面两个步骤来选取
1) 用c和 f的均值求出相应的安全系数F
2) 在安全系数F与1差值较大情况下将c/F f/F分别作为c f的初始迭代值
经验表明安全系数F与c和f近似呈线性关系调整后的初始值给出的F等于1因此使迭代从破坏面附近开始最终很快逼近收敛解其计算迭代过程及结果见表10.11
作为迭代的第一步将表10.10所示的各参数的均值输入程序获得相应的安全系数为
1.542于是将各土层的f和c除1.542获得一个处于状态边界面即F=1的自变量向量即表10.11第4列中的参数(0.506,3.437,…,0.236)相应第一次迭代这一特定迭代步d
=
0相应的Y向量即为表10.11第5列所列值根据可靠度指标β为原点和状态边界面的垂直距离的定义我们得到的第一个β的近似值
79.13...
22
2
2
10
=+++=
n
yyyβ
在该点上的数值列于表10.11第7 列这样就有条件通过(10.62)确定α
iY
值通过式
(10.70)确定?β其值为?8.786因此经过第一次迭代后获得了一个新的β即
003.5786.878.13
1
=?=β
302 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
表 10,11 采用改进FOSM法计算过程及计算结果[例10.2]
迭代次数
土层
编号
随 机
变量X
Y?g/?y?y β?β d
1 f 0.506 7.138 4.399 -8.563
c 3.437 -0.221 4.895 -1.817
2
f 0.275 -2.744 1.775 1.924
c 4.669 -3.985 6.492 0.682
1
3
f 0.236 -10.758 4.992 7.757
β
0
=13.79
β
1
=5.003
-8.786 d
0
=0.000
1 f 0.699 -1.424 4.447 0.023
c 4.674 -2.038 5.068 -0.015
2
f 0.235 -0.820 1.450 0.167
c 6.977 -3.303 6.701 -0.015
2
3
f 0.208 -3.001 5.045 0.049
β
1
=5.003
β
2
=4.963
-4.02×10
-2
d
1
=-4.1×10
-3
1 f 0.716 -1.401 4.449 1.50×10
-3
c 4.674 -2.053 5.082 -2.46×10
-3
2
f 0.234 -0.065 1.431 9.48×10
-3
c 6.981 -3.319 6.718 -3.19×10
-3
3
3
f 0.210 -2.952 5.047 3.08×10
-3
β
3
=β
m
=4.963 -1.76×10
-4
d
2
=-1.8×10
-5
现在进入第二次迭代使用式(10.49)和式(10.61)获得一套新的自变量如表10.11第
2次迭代的第4列即Z
=
(0.699,4.674,…,0.208)
T
使用这一套参数获得的安全系数是0.9958
也就是说经过第一步迭代更新后的自变量已偏离状态边界面式(10.64)中的d为?4.1×10
3
重复这一套迭代步骤第二次迭代获得的?β
=
4.02×10
2
β
2
为4.963当迭代进入第3步时
d即收敛到?1.8×10
5
最终获得的β值为4.963
3,解释FOMS 法的算例2
[例10.3] 用FOSM法计算[例10.1]
用改进的FOSM法对[例10.1]重新进行计算对应c f的均值得到的安全系数为1.107
经过二次迭代该非线性问题即收敛迭代终止时?β从?0.22变为?2.817632 10
6
d从
4.988变为?2.38 10
7
并且两个?y都小于10
5
可靠度指标β由1.495收敛为1.277
10,4,5 Rosenbleuth方法
1,基本原理
上述介绍的可靠度指标计算方法中Monte Carlo法包含了数目极大的随机采样FOSM
法则需要通过多次迭代求解因此这两种方法在实际工程应用中均比较因难Rosenbleuth
于1975年提出通过点估计的方式来计算岩土工程中的可靠度指标β后来许多学者和研究人员(Chowdhury,1984; Li,1992)都讨论了这一方法在岩土工程问题中的应用作者在边坡稳定分析领域实际应用此法时发现这一十分简单的计算方法所得到的可靠度指标与前述两个方法惊人地吻合因此该方法可成为一种实用的可靠度指标计算方法
Rosenbleuth法要求在某几个点上估计功能函数的值根据这些数据即可通过简单的计算公式确定可靠度指标这些点是根据一定的原则由随机变量的均值以及标准差生成的
下面以包含三个随机变量的功能函数为例说明Rosenbleuth法的计算过程
定义功能函数为g(x
1
,x
2
,x
3
)则它的一二阶矩阵E(g)和E(g
2
)的计算公式为
第10章 边坡稳定的风险分析 303
(10.76) L+++≈
+?++?+?++?++++++++
gPgPgPgE )(
(10.77) L+++≈
+?++?+?++?++++++++
2222
)( gPgPgPgE
式中g为随机变量x
1
x
2
x
3
的目标函数功能函数
式(10.76)和式(10.77)的右边分别包含了8项g和P的下标及正负号分别定义为
(10.78) ),,(
332211
xxxxxx
gg σμσμσμ++=
+++
+
+
(10.79) ),,(
332211
xxxxxx
gg σμσμσ ++=
++
(10.80) ),,(
332211
xxxxxx
gg σμσμσμ?+=
+?+
(10.81) 8/)1(
312312
ρρρ+++=
+++
P
(10.82) 8/)1(
312312
ρρρ?++=
++
P
(10.83) 8/)1(
312312
ρρρ+?+=
+?+
P
式中
ij
为随机变量x
i
与x
j
的相关系数 ρ
根据式(10.76)和式(10.77) Rosenbleuth法的可靠度指标β计算公式为
22
)()(
)(
gEgE
gE
=β (10.84)
2,符号集的结构
式(10.76)和式(10.77)中P和g的下标符号集可以从下面矩阵A中获得即
+
+?
++?
+
+?+
++
+++
= A (10.85)
矩阵A中第1列代表式(10.76)和式(10.77)中右边第一项的下标符号如此类推式(10.76)
和式(10.77)右边第n项由列阵A中第n列来表示通常矩阵A是一行接一行地生成第一行包括两组符号组第一组称为正号组有四个+号第二组称为负号组含有四个?
号第二行含有四组符号组每组符号数目减少为2正负符号组交替出现
一般情况下在式(10.76)和式(10.77)的右边分别有2
n
项其中n为功能函数包含的随机变量的个数每一项均含一个g和P值带+号和?号下标的g的n个自变量分别取值为( i
xixi
i σμ+sign?
=
1,2,,n)其中signi代表第i个自变量所取的符号值如果g的下标中第i个为+则为反之为?1
带有+和?的P计算公式为
n
n
j
jj
jj
P
2
])(sign)1(sign0.1[
1
1,
∑
=
+
++
=
ρξ
(10.86)
式中当j+1=n+1时j+1被1代替定义为当n
=2 ξ
=0.5当n
≠2 ξ
=1 ξ
一般情况下对于具有n个变量的功能函数P和g的下标符号集可用矩阵B表示为
304 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
+?+
++
+?+
++
++
+
+++
+?+
+++
+++
=
..,
..,
..,
......
......
...,..
...,..
......
...
...
其结构形式可以用下面的表10.12的形式来描述
表 10,12 Rosenbleuth法变量符号排列矩阵
行 符号组 符号组数
1 2
n-1
个+ 号 2
n-1
个-号 2
1
2 2
n-2
个+ 号 2
n-2
个- 号 2
n-2
个+ 号 2
n-2
个-号 2
2
n + - + -,…....,2
n
3,由二进制整形数表达的结构
Rosenbleuth方法的计算过程虽然十分简单但生成如表10.12所示规则的符号系统并非易事这一套符号集的矩阵B必须在执行Rosenbleuth方法之前生成在计算未结束时存放矩阵B的数组就不能消去如果功能函数包含的随机变量的数目n较大则需要很大的内存空间来存贮该矩阵例如当n 15时则需要容量为2
15
×15/2的内存从而使计算效率降低如果矩阵B也能按列生成则每个g和P可以同时进行计算那么内存里的信息以后不再使用即可以删除在开发STAB95程序过程中作者的合作者闫继军发现利用计算机提供的整形数的二进制表达功能按列生成矩阵B的问题就很容易得到解决
重新考察矩阵B各列如果+代表0?代表1那么矩阵第一列代表整形数0
的二进制表达第二列代表整形数1的二进制表达以此类推因此这2
n
列只不过意味着生成整形数0,1,2,3,2
n
1的二进制形式大多数计算机编译器提供了用二进制表达整形数的函数在Fortran语言中的内部函数BTEST(I,J)就能揭示出整型数i第j个字节是0还是
1运用此函数就可以编写一个服务于Rosenbleuth方法的短小的子程序见附录下面用一个实例说明
4,解释Rosenbleuth法的算例
[例10.4] 采用Rosenbleuth法计算[例10.1]
对于[例10.1]采用Rosenbleuth法计算其可靠度指标表10.13给出了Rosenbleuth法的计算过程其中第二列给出了按照上述方法产生的符号矩阵得到的强度参数第三列给出了相应的安全系数对于只有两个随机变量的情况Rosenbleuth法只需4次采样就可计算得到相应的可靠度指标值
表10.14汇总了利用蒙特卡洛法改进的FOSM法及Rosenbleuth法对同一例题即[例
10.1] [例10.3]和[例10.4]进行计算的结果可以发现这三种方法得到的的可靠度指标非常接近
第10章 边坡稳定的风险分析 305
表 10,13 包含两变量的Rosenbleuth法计算过程[例10.4]
计算次数
c
=μ
c
±σ
c
f
=μ
f
±σ
f
安全系数F P
i
g
i
P
i
g
i
2
计算结果
i
=
1
c
=μ
c
+σ
c
=3.3
f
=μ
f
+σ
f
=0.386
1.2018 0.3000 0.3611
i
=
2
c
=μ
c
+σ
c
=3.3
f
=μ
f
-σ
f
=0.326
1.0369 0.2592 0.2688
i
=
3
c
=μ
c
-σ
c
=2.7
f
=μ
f
+σ
f
=0.386
1.1763 0.2940 0.3459
i
=
4
c
=μ
c
-σ
c
=2.7
f
=μ
f
-σ
f
=0.326
1.0113 0.2528 0.2557
F
=
1.10264
E(F)
=
1.106
E(F
2
)
=
1.232
E(F
2
)-E
2
(F)=
6.97×10
-3
β
=
1.277
注 功能函数g
=F?1
表 10,14 不同方法对[例10.1]进行可靠性分析的结果
方法 可靠指标
Monte Carlo μ
F
=1.106 σ
F
=0.084 β
=1.256
FOSM β
=1.277
Rosenbleuth μ
F
=1.107 σ
F
=0.083 β
=1.277
10,5 自动搜索最小β
值
10,5,1 搜索最小可靠度指标β
的方法
与确定性方法中所用的分析过程类似边坡稳定可靠度分析通常包括以下两个步骤
(Tabba,1984; Hassan,et al.,1999)
1) 对于一指定滑面求β;
2) 在所有可能的滑面中用最优化方法寻找一个所谓临界滑面其β为最小值β
m
一些研究者将由确定性模型获得的临界滑裂面相应的可靠度指标作为边坡最小可靠度指标作者曾就此问题作过讨论指出两者不可能获得相同的结论可靠度分析的目的是找到失效概率最大的滑裂面以及相应的β
值
在实际使用中发现第4章介绍的计算最小安全系数的各种最优化方法全部可以用来计算最小可靠度指标唯一需要改动的是目标函数此时不再是F而是β
10,5,2 自动搜索最小β 值算例
[例10.5] 对[例10.2]自动搜索最小β
值
该算例进行临界圆弧滑裂面搜索设圆弧滑面都具有同样的深度D
s
=25m改变圆心坐标(x
c
,y
c
)对β值进行优化图10.11比较了二维情况下的β
等值线图x y轴分别代表x
c
y
c
由图10.11可以发现改进FOSM法和Rosenbleuth法给出的β等值线图在形状和位置上十分接近这表明无论是改进FOSM法还是Rosenbleuth法都能合理和准确地得到边坡稳定的最小可靠度指标在计算中还发现在用最优化方法搜索边坡临界滑面的过程中以最小可靠度指标为目标函数的搜索方法与以最小安全系数为为目标函数的搜索方法一样是切实可行的
306 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
图 10,11 可靠度指标的等值线图[例10.5]
注 虚线为Rosenblueth法实线为改进FOSM法
10,6 岩土材料的变异特征和统计参数
10,6,1 数理统计的方法
岩土材料的物理力学特性指标存在着变异特征在大量的采样和试验基础上可以应用数理统计的方法确定其概型和均值方差有关方法在很多的教科书中均有介绍
1,矩法
采用矩法对三轴和直剪资料分别整理也就是说对n组c和f
=
tanφ或φ 的成果分别按下式计算其均值和标准值
∑
=
n
ix
x
n
1
1
μ (10.87)
∑
=
n
xix
x
n
1
2
)(
1
1
μσ (10.88)
第10章 边坡稳定的风险分析 307
式中x为c或tanφ
建筑地基基础设计规范规定样本数量n的修正系数的计算公式为
x
nn
ηψ
+?
=
2
678.4740.1
1 (10.89)
式中
x
为随机变量x的变异系数即η
xxx
μσ /= η
修正后的μ
x
为
(10.90) x
x
ψμ =′
2,一次线性回归
在边坡稳定分析中材料的强度指标c和f
=
tanφ是最重要的参数根据试验数据确定c
和f的均值方差以及协方差的是最基本的途径但是如果将一种土的若干组(设组数为m)
试验的c和f直接进行统计导致的误差可能比较大因为对每一组土样的若干个法向应力级(设分n级相应的剪应力进行线性回归获得c和f时本身包含一个层次的误差对m
组c和f进行线性回归获得其均值和方差时再出现一个新的层次的误差通常对一种土不可能进行很多组试验即m值较小较难获得真正具有统计意义的成果
将各组试验的点放在同一个坐标系中进行线性回归的方法如第5章中的图5.5所示显然要好得多将m个试样的成果放在一起总共可以有m×n个数据点不仅解决了试验样本的数量问题而且消除了每组试验获得的c和f本身包含的误差
图10.12为小浪底水利工程72组上坝心墙料数据进行线性回归的成果图10.13是陕西省关中平原灌区6个高度超过10m的均质坝坝料线性回归成果这两个实例说明只要进行系统的三轴试验都有条件进行线性回归能够得到符合实际情况的可靠度指标的均值当强度试验采用直剪试验时统计分析的横坐标为法向应力σ纵坐标为抗剪强度τ如果采用三轴试验则需要在假定一个φ的基础上将三轴资料换算成与小主应力夹角为45°+φ
/2面上的σ和τ另一种方案是纵横坐标为p
=
(σ
1
+σ
3
)/2和q
=
(σ
1
σ
3
)/2如第5章图5.5示
图 10,12 小浪底上坝土料统计参数线性回归成果
308 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
图 10,13 陕西省关中平原灌区坝料统计参数线性回归成果
(a) 王家崖(b) 石堡川(c) 信邑沟(d) 泔河(e) 大北沟(f) 桃曲坡
上述两种方案在确定性模型中是适用的但是问题涉及到统计分析领域时那就存在纵横坐标这两个变量本身是相关的这一问题
为了克服这一理论缺陷Lumb(1966,1970)建议将σ
1
和σ
3
作为纵横坐标由于σ
1
和σ
3
与c和φ存在以下关系即
(10.91) )2/4/(tan)2/4/tan(2
2
31
φπσφπσ +++= c
第10章 边坡稳定的风险分析 309
如果通过线性回归获得了σ
1
和σ
3
坐标系上的截距A和斜率B则可通过下面两式获得c
和φ值即
(10.92) )2/4/tan(2 φπ += cA
(10.93))2/4/(tan
2
φπ +=B
对于n组(x
i
y
i
)的试验数据采用一次线性回归回归方程为
(10.94)
iii
eBxAy ++=
式中e
i
为一个均值为零标准差为s
0
的正态随机变量
A和B的系数可由下式决定即
(10.95)
mm
BxyA?=
22
mi
mmii
nxx
ynxyx
B
∑
∑
= (10.96)
式中x
m
和y
m
为x
i
和y
i
的均值
s
0
和A,B的标准差s
A
s
B
为
2
)(
22
2
0
∑∑
=
n
ynxyxBnyy
s
mmiimi
(10.97)
∑
+=
22
22
02
1
mi
m
A
nxx
x
n
S
s (10.98)
22
2
02
mi
B
nxx
S
s
∑
= (10.99)
这里假定A和B为独立的变量因此协方差s
AB
为零
如果x
i
,y
i
分别代表直剪试验中的σ和τ那么A和B分别是c和f如果x
i
和y
i
为σ
3
和
σ
1
那么需要通过式(10.92)和式(10.93)来转化成c和f下面根据这一实际需要介绍一个很有用的转化公式(Lumb,1970)
设),( yxfz =那么在知道x和y的均值x
m
和y
m
以及方差s
x
2
,s
y
2
,s
xy
情况下z的均值和标准差可按下式确定即
三次高阶量+
+
+
+=
2
2
2
2
2
2
2
2
1
),(
x
f
s
x
f
s
yx
f
syxfz
yxxymmm
(10.100)
三次高阶量+
+
+
=
y
f
y
f
s
y
f
s
x
f
ss
yxz xy
2
2
2
2
22
(10.101)
式中方括弧项代表括号内的变量在(x
m,
y
m
)处的数值
根据这一方法来确定A,B和c,f之间的统计参数的变化可按下面步骤确定
1) 根据式(10.93) f的均值为
310 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
)2/tanarc2tan( π?= Bf
m
(10.102)
2) 根据式(10.96)和式(10.99)略去高阶小量f的标准差为
2
22
22
)1(
)1(
BB
f
ss
m
Bf
+
+
=
(10.103)
3) 根据式(10.95)和式(10.98) c的均值和标准差分别为
B
A
c
m
2
= (10.104)
)
4
(
2
2
2
2
22
B
s
A
s
cs
BA
mc
= (10.105)
利用上述一次线性回归确定统计参数变异特性的方法目前使用还不广泛尚存在一些问题需通过进一步的探讨予以解决同时由于x
i
数值较小时相应的试验值y
i
偏离回归方程的绝对值较x
i
较大时的相应值小故Lumb (1970)还提出了一个对试验值进行加权处理的方案详见原文
10,6,2 确定材料变异特性指标的经验方法
根据岩土材料试验资料整理统计参数经常受到以下因素的制约
(1) 土工试验的组数特别是有关抗剪强度渗透系数之类的试验通常不可能太多从统计意义来说样本数量远不能满足要求
(2) 复杂的土工试验本身包含有误差例如在第章 中讨论了影响三轴和直剪试验成果的诸多因素(这里还没有包括试样扰动这一重要的因素)因此直接使用这些试验成果往往会获得不完全反映实际情况的较大的变异系数
因此在确定材料变异特性时引入一些其它的分析方法通过综合分析最终确定统计参数是十分有益的下面介绍两种方法
1,3σ法则
这一经验法则首先由Dai和Wang (1992)提出他们注意到对于一个具有正态分布的参数99.73%的数据落于(μ?3σ μ+3σ)区间因此可以理解μ?3σ和μ+3σ分别为该参数的最大可能值(HCV)和最小可能值(LCV)反过来说如果没有足够的试验数据来进行某一参数的变异特性的数理统计分析那么可以根据经验首先确定该参数最小和最大可能值然后根据下式确定该参数的标准差即
6
LCVHCV?
=σ (10.106)
使用这一法则有可能在数据较少时根据经验来确定标准差同时在通过其它途径确定了标准差后这一法则也可作为判别成果合理性的一个依据
图10.14为使用图解法进行现场不排水剪试验成果用3σ法则整理的例子首先画出代表平均值的直线曲线然而再画出相应最大可能和最小可能数值的曲线注意个别点落在此两线外这些点被认为是错误的数据
第10章 边坡稳定的风险分析 311
图 10,14 图解法进行现场不排水剪试验成果用3σ法则整理的例子
表10.15和表10.16为根据经验总结的各项土工参数的变异特征
表 10,15 常用土工指标变异系数参考值(Duncan,2000)
属性或现场试验数据 变异系数V % 数据来源
容重γ 3–7 Harr (1984),Kulhawy (1992)
浮容重γ
b
0–10 Lacasse & Nadim (1997),Ducan (2000)*
有效应力摩擦角φ′ 2–13 Harr (1984),Kulhawy (1992)
不排水剪切强度S
u
13–40 Harr (1984),Kulhawy (1992),Lacasse &
Nadim (1997),Ducan (2000)*
不排水强度比S
u
/σ
v
′
5–15 Lacasse & Nadim (1997),Ducan (2000)*
压缩指数C
c
10–37 Lacasse & Nadim (1997) Ducan (2000)*
先期固结压力P
p
10–35 Lacasse & Nadim (1997) Ducan (2000)*
饱和粘土的渗透系数k 68–90 Harr (1984),Ducan (2000)*
部分饱和粘土的渗透系数k 130–240 Harr (1984),Benson et al,(1999)
固结系数c
v
33–68 Duncan (2000)*
标贯试验击数N 15–45 Harr(1984),Kulhawy (1992)
电子触探试验q
c
5–15 Kulhawy (1992)
机械触探试验q
c
15–37 Harr (1984),Kulhawy (1992)
膨胀试验端阻力q
DMT
5–15 Kulhawy (1992)
十字板剪切试验不排水强度S
v
10–20 Kulhawy (1992)
* 参考文献见Duncan (2000) 原文
312 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
表 10,16 从诸文献中总结的土的各种特性指标的变异系数COV (Chowdhury,1982)
材料 特性指标 COV(%) 材料 特性指标 COV(%)
液限 5.9 砂粘土 Log(C
c
) 34.2
塑限 4± 粉细砂 F 13.8
粘粒含量 11.4 f 14.8
比重 0.5± c 31.6
粘土
干密度 26.4
淤泥
c 25.9
粘聚力DS 94.8 松渥太华砂 φ 14
页岩粘土
摩擦系数直剪 45.6 密渥太华砂 φ 12.5
c,DS 103.3
粘性冰碛土
f,DS 17.7
C三轴 13.5
淤泥(不饱和)
c
φ
S
U
51
22
19
F三轴 1.6
C CU 19.9
F CU 9.8
淤泥饱和
c
φ
s
55
29
20
C UU 18.8 淤泥 c 64
不扰动”土
F UU 22.3
C三轴
UU
15
C D 24.0
CH
φ,UU 56
F D 2.1 c,UU 22
C CD 26.9
CL
φ,UU 19
F CD 6.8 c,UU 71
c UU 25.5
ML
φ,UU 12
填筑土
f UU 5.4 c,DS 63
14.8
CH
φ,DS 10.4
14.7 CL c,DS 3
31.0 ML c,DS 2.5
19.8 吸力 24.2
多种冰碛土 UU
29.0
路基
吸力 23.2
e
0
21.6 LL 6.37
粉砂
n 89.4
16个粘土
平均值 PL 9.55
e
0
29 CBR 17.4
砂砾
n 16 密度 3.9
n 9.8 PI 75.0
粗砂
e
0
16
路基粗粒土
S
U
36.8
n 10
中砂
e
0
17.5
细砂 e
0
13.3
海洋粘土 c
18.4
伦敦粘土 c 16.2
塑性粘土
细砂
砂砾
粗砂
压缩比
f
f
f
17%~38%
5~13
5
8~14
2,用基本力学参数相关所研究的变量
在土工试验中颗分曲线塑限液限塑性指数和孔隙率这些参数可以大量取样同时这些试验受到的外界干扰因素较少数据本身的可信度较高因此使用这些参数研究相关渗透系数强度指标这样一些样本数量较少试验本身包含误差因素大的参数不失为一种有效的辅助手段现将作者在研究沟后水库大坝时所作的一些工作介绍如下
第10章 边坡稳定的风险分析 313
(1) 对砂砾石的渗透系数的相关分析填筑砂砾石的渗透系数是一个随机变量它和砂砾石的颗粒级配和压实度有关刘杰(1994)曾详细讨论确定渗透系数K的各种经验公式提出以下经验公式即
(10.107)
2
20
3
10
234 dnK =
式中K为渗透系数单位以以cm/s计K的下标为相应的温度n为坝体材料的孔隙率
d
20
为在粒径级配累级曲线中占总土质量20%的最大颗粒的粒径单位以cm计
根据刘杰的研究对沟后土样中国水利水电科学研究院给出了很好的拟合结果根据施工档案得到现场核子密度计测定的坝体填筑料干容重的613个数据将干容重换算成孔隙率同时还查到45条颗分曲线和12个垮坝后现场取样试验资料根据这57组数据获得沟后坝砂砾料孔隙率n和统计指标d
20
的直方图见图10.15和图10.16其统计特征值如表
10.17所示采用蒙特卡洛法可通过式(10.107)获得如图10.17所示渗透系数的直方图拟合的结果渗透系数为对数正态分布均值和标准差分别为1.31×10
2
cm/s和3.39×10
2
cm/s
根据此直方图可绘出渗透系数小于某一值的概率图如图10.18从中可以发现渗透系数小于0.1×10
2
cm/s 0.5×10
2
cm/s和1×10
2
cm/s的概率分别为15% 49%和65%
图 10,15 沟后坝砂砾料孔隙率的直方图
(2) 对砂砾石的内摩擦角的相关分析和渗透系数取值一样有关坝料强度指标的样本是十分有限的确定抗剪强度指标变异特征的一个有用的途径也是借助经验公式对于粗颗粒土可以通过坝料的压实密度和颗粒级配进行间接判断
最上武雄(1968)提出了确定无凝聚性土内摩擦角的经验公式为
e
m
=′φtan (10.108)
式中e为孔隙比m为与土料的不均匀系数η有关的经验系数二者之间关系为
314 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(10.109) ηlogBAm?=
中国水利水电科学研究院曾对沟后材料进行三轴试验其成果如图10.19示
图 10,16 沟后坝砂砾料粒径的直方图
图 10,17 沟后坝砂砾料渗透系数的直方图
表 10,17 沟后大坝坝料主要物理性指标的统计成果
概型 均值 标准差
孔隙率n 正态 0.161 0.009
孔隙比e 正态 0.191 0.012
有效粒径d
20
(mm) 对数正态 0.89 0.70
不均匀系数η 对数正态 74.22 47.19
第10章 边坡稳定的风险分析 315
图 10,18 沟后坝砂砾料渗透系数小于某一值的概率
图 10,19 中国水利水电科学研究院对沟后坝砂砾料作三轴试验成果
(a) 上限级配 (b) 平均级配
316 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
分别对清华大学和中国水利水电科学研究院试验成果进行线性回归得
(10.110) ηlog16.0586.0?=m
(10.111) ηlog10.0357.0?=m
表10.18和表10.19为回归的结果
同样对施工质检和垮坝后的颗分资料进行统计分析获得坝料孔隙比e和不均匀系数的特征值η见表10.18和表10.19统计结果如图10.20和图10.21所示在确定强度参数时使用表10.17提供的孔隙e和不均匀系数η的统计特征值进行10×2000次蒙特卡洛模拟可得f值概型为对数正态如图10.22 tanφ的均值和标准差分别为0.933和0.16如果将其转换为成等效正态分布则分别为0.933和0.12
表 10,18 清华大学土工试验成果拟合参数m
区号 孔隙比e 不均匀系数η 内摩擦角φ ′ 摩擦系数tanφ ′ m
0.347 60 39.18 0.815 0.3048
0.374 74.5 37.07 0.7554 0.2825
0.374 87.5 36.59 0.7423 0.2776
表 10,19 中国水利水电科学研究院土工试验成果拟合参数m
级配 干密度(g/cm
3
) 孔隙比 不均匀系数η 内摩擦角φ′ m
平均级配 2.23 0.206 120 41.0 0.219
上限级配 2.16 0.251 27.5 37.1 0.1557
图 10,20 沟后坝砂砾料孔隙比e的直方图
第10章 边坡稳定的风险分析 317
图 10,21 沟后坝砂砾料不均匀系数η的直方图
图 10,22 内摩擦系数f值分布直方图
10,6,3 关于概率密度函数截尾的讨论
近代可靠度分析的主要方法都是以参数为正态分布这一基础发展起来的这意味着这些参数有可能是负值这和相当一部分参数的物理含义不符这一问题在岩土工程参数中有关粘聚力c的分析中表现尤为突出c值的变异系数大于(30~40)%是经常可能发生的这就导致c值存在较大的可能为负值在实际应用可靠度理论分析边坡的风险时计算所得的可靠度指标往往较低这一偏低的数值一方面是c值固有的较大的变异特征有关另一方面也
318 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
和计算分析中隐含允许c为负值这一事实有关边坡稳定安全系数F这一目标函数同样也有这一问题F不仅不能为负值而且还要以F =
1而不是功能函数小于零来衡量结构的失效状态
为了解决这一问题吴世伟(1990)讨论了对呈正态的参数进行截尾的方法另外一个可能的方案是按对数正态来整理这些参数此时其取值在范围在(0,∞)之间同时F =
1与
lnF=
0相对应衡量边坡失稳的标准和功能函数小于零的传统作法可以接轨作者的经验表明粘聚力的标准差过大对其进行可靠度分析已失去意义不如干脆令c=
0在大坝稳定复核中常有一种对材料作纯摩处理的方案即是一例
在确定性模型的分析计算时输入的强度参数通常为小值平均(参见土石坝设计规范的规定)按3σ准则小值平均可以理解为(μ
c
σ
c
),其中μ
c
和σ
c
分别是为c的均值和标准差因此如果通过数理统计获得的c值的均值使(μ
c
σ
c
)小于零时建议将c值取为零不再按随机变量处理现讨论使用对数正态概率分布时的处理方式
对于符合对数正态分布的参数F令y符合正态分布并有
(10.112)Fy ln=
或
(10.113)
y
eF =
则F可转化为标准正态分布函数
F和y的均值和标准差存在以下转化关系即
)1ln(
2
Fy
V+=σ (10.114)
+
=
2
1
ln
F
F
y
V
μ
μ
(10.115)
式中
y
和σ
y
分别为y的均值和标准差 μ
根据以上两式得变异系数为
F
F
F
V
μ
σ
=
(10.116)
由于y小于零和F小于1是等价的因此可靠度指标既反映了反映了y<0
的概率
yy
σμβ /=
也反映了F<1的概率对于正态分布的变量y β同样可以用μ
F
和σ
F
来表达
对于对数正态分布的变量F为Duncan,2000 β
)1ln(
)
1
ln(
2
2
F
F
F
V
V
+
+
=
μ
β (10.117)
根据这一认识表10.6和表10.9 就可以产生对应的关系例如相应10.2.1节的例题对于μ
F
=
1.50 V
F
=
17%的情况查阅表10.9可知F>1的概率为99%这一数值可通过以下计算公式获得即
第10章 边坡稳定的风险分析 319
169.0)17.01ln(
2
=+=
y
σ (10.118)
391.0
17.01
5.1
ln
2
=
+
=
y
μ (10.119)
314.2
169.0
391.0
==β (10.120)
查表10.6可以获得y<0或F<1的概率为99%
10,7 工程实际应用实例
10,7,1 十三陵抽水蓄能电站上池面板坝
1,问题的提出
十三陵抽水蓄能电站上池面板堆石坝位于北京西北部地区坝轴线位于山脊上因此坝址处地形变化较大坝轴线处坝高57m下游坝脚处坝高118m坝体上游设计坡比为1:1.5
下游坡比为1:1.75根据设计要求新鲜的安山岩堆石料填筑在480m高程以下以便充分排水池盆开挖的劣质料填筑于下游区480m高程以上图10.23给出了坝体0+240和0+160
两个地质断面的剖面图
图 10,23 十三陵抽水蓄能电站大坝典型剖面图
320 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
根据初步设计坝体的大部分填筑料将由开挖池盆获得可是在池盆开挖后发现池盆岩体风化程度较强细粒含量偏高能否应用池盆风化料作为坝体填筑料成为工程技术人员关注的问题因此在常规确定性模拟基础上又进行了可靠度分析
2,抗剪强度参数
首先汇总设计和施工阶段有关池盆风化料室内和现场的实验资料其结果见表10.20
然后采用矩法和线性回归两种方法来确定坝体填筑料的抗剪强度参数其结果见表10.21
在评估下游坝坡是否稳定的可靠度分析中发现采用两种方法得出的粘聚力c的标准差都比较大为此按10.3节讨论意见将粘聚力作为定量c
=0来处理同时还以粘聚力c
=10kPa
摩擦系数f
=
tanφ服从正态分布作为辅助方案进行可靠性分析其均值和标准差分别为0.85
和0.15由于本例题只涉及一个随机变量f 因此属于随机变量不相关的问题
表 10,20 十三陵坝料抗剪强度参数汇总表
线性指标 干密度
(g/cm
3
)
非线性指标
三轴试验 直剪试验 三轴试验
试验
单位
试验
编号
直剪 三轴 φ
,(°)?φ
,(°) c
,( kPa) φ
,(°) c
,( kPa)?φ
,(°)
TJ8 2.18 2.00 44.5 6.5 40.0 46.7 26.0 41.4
TJ10 1.95 2.05 100.0 39.5 20.0 39.1
TJ23 1.99 195.0 47.1
北京院
1989.9
PD115 2.05 2.00 47.0 10.0 68.0 42.9 20.0 39.1
1a 2.07 45.6 6.8 60.0 39.2 中国水利水电科学研究院
1992.4
1b 2.00 38.4 0 50.0 38.4
B1-1 2.04 325.0 41.0
C1-1 2.08 2.06 44.1 7.7 102.0 40.6 18.0 38.1
C2-1 2.02 75.0 32.6
C2-2 2.06 2.12 41.7 6.11 90.0 38.7 17.2 35.8
C2-4 2.03 2.07 48.0 12.2 119.6 38.0 40.3 36.2
C2-3 2.06 250.0 39.6
二场 2.05 2.05 47.6 6.0 237.0 42.7 25.5 40.4
北京院
1992.5
IB 2.05 2.10 46.5 8.9 80.0 38.7 35.2 38.1
北京院
1992.10
Ι区料 2.08 48.8 16.2 34.4 34.0
中国水利水电科学研究院
1993.8
I区料 2.09 43.7 6.0 55.0 36.0
表 10,21 两种方法获得的统计参数表
c (kPa) f
=
tanφ
方法 试验
μ σ μ σ
ρ
三轴 33.5 15.3 0.783 0.059 -0.17
矩法
直剪 140 89.3 0.833 0.12 0.13
三轴 41.8 29.8 0.733 0.033 -0.907
线性回归法
直剪 188.9 49.8 0.800 0.182 -0.913
第10章 边坡稳定的风险分析 321
3,边坡稳定的可靠度分析
应用一次二阶矩法对坝体0+160和0+240两个地质断面进行可靠度分析计算其最小可靠度指标β分别为4.10和3.76相应的失效概率分别为3.0×10
5
和1.0×10
4
相对于0+160
和0+240断面的临界滑裂面分别示于图10.24(a)和图10.24(b)
图 10,24 十三陵上池面板坝典型边坡可靠度分析成果
(a) 0+160断面(b) 0+240断面
10,7,2 沟后水库砂砾石面板坝
1,沟后水库大坝失事
1993年8月27日位于青海省共和县的沟后水库大坝发生溃决造成死亡288人失踪44人直接经济损失达1.53亿元的重大灾难图10.25为该坝一典型剖面图其最大坝高71m坝顶高程3281m总库容330万m
3
正常高水位为3278m防浪墙呈L形与面板之间仅设一道橡胶止水其底板高程为3277.5m低于其正常库水位3280m
经多家科研单位和大学对溃坝失稳机理的深入探讨和研究李君纯陈祖煜1996
总结出大坝失事的主要诱发因素是
1) 砂砾石坝顶防浪墙与面板交接处的止水失效
2) 使用振动碾洒水碾压砂砾石时坝体砂砾石产生严重分层致使水平的渗透系数远大于垂直的渗透系数
3) 当库区水位超过防浪墙与面板交接处后水流入坝体由于砂砾石料颗粒偏细渗透系数较小导致坝体排水失效浸润线抬高如果此时坝体的抗剪强度不足以使下游坝坡的抗滑稳定安全系数大于1就有可能发生滑坡
失事后见到的一个明显的事实是残留坝体全部饱和水从坝内流出持续一个多星期
322 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
对于大坝溃决原因大部分学者认为管涌和坝体下游滑坡是导致坝失稳的两个因素刘杰
1995陈祖煜赵毓芝1995不管以那一个原因为主大坝失事都与高浸润线有关
图 10,25 沟后水库大坝典型剖面图单位m
1?防浪墙2?正常蓄水位3?钢筋混凝土面板4?死水位5?任意料6?粘土防渗墙
7?干砌石护坡8?河床砂砾石9?花岗闪长岩10?坝轴线
2,确定性模型分析
(1) 渗流分析渗流分析是在一个重要的背景下进行的即水库在此季节的入库流量只有0.6m
3
/s也就是说一旦渗入坝内的流量超过了0.6m
3
/s水库水位就会下降不再超过防浪墙与面板交接处入渗现象会暂时停止因此如果坝体的渗透系数足够大能够容纳
0.6m
3
/s的入渗量就不会出现全部饱和这一现象的渗流分析就是要定量地了解坝体的渗透系数小到何值就无法容纳0.6m
3
/s这一渗透流量
在入渗过程中水从某几个部位集中渗入渗流场的上游边界条件是比较难以确定的在坝体全部被水充填后就基本上可以用以下两种情况模拟
1) 假定上游面板防渗全部失效在上游坝坡面作用一个静水压力
2) 假定上游坝面均匀地分布一个入渗流量
如前所述砂砾石坝料在填筑中有较严重的分离现象因此坝体渗透系数的各向异性是一个不可忽视的因素分析计算采用坝体渗透系数K各向同性及各向异性两种情况平均渗透系数可由下式确定为
yx
KKK = (10.121)
式中K为平均渗透系数K
x
为水平方向渗透系数K
y
为垂直方向渗透系数
在所有复核工况中坝基材料渗透系数K
1
均按各向同性处理即K
1x
=
K
2y
=
0.668cm/s
下面着重介绍将上游面作为孔压边界条件这一工况的计算结果其它计算内容可参见文献陈祖煜赵毓芝1995本次计算根据坝身材料渗透系数的不同又分为四种情况
(a) 坝身材料渗透系数K
2
各向同性即K
2x
=K
2y
=0.01cm/s
计算得到的浸润线逸出高程为3236.57m见图10.26实线单宽渗透流量
q=4.24×10
3
m
3
/s大坝等效渗流宽度大致为170m故总渗透量Q
=0.72m
3
/s
第10章 边坡稳定的风险分析 323
(b) 坝身材料K
2x
增大1倍K
2y
缩小1倍即K
2x
= 0.02cm/s K
2y
= 0.005cm/s K
2x
/K
2y
=4
此时坝身平均渗透系数K
2
= 0.01cm/s保持原值
计算得到的浸润线逸出高程为3262.92m见图10.26虚线可见有明显抬高较各向同性情况抬高26.35m单宽渗透流量q=5.32×10
3m
3
/s
可见水平渗透系数加大垂直向渗透系数减小会使浸润线有显著的提高这对坝体稳定是不利的
(c) 坝身材料K
2x
K
2y
均较原设计值缩小10倍即K
2x
=K
2y
=0.001cm/s
计算得到的浸润线逸出高程为3227.47m见图10.27实线单宽渗透流量q=
2.72×10
3
m
3
/s按大坝宽主度170m计总渗透量Q
=
0.46m
3
/s较K
2
=
0.01cm/s 时Q减少了0.26m
3
/s
(d) 坝身材料K
2x
增大1倍K
2y
缩小1倍即K
2x
= 0.002cm/s K
2y
= 0.0005cm/s K
2x
/K
2y
=4
此时坝身平均渗透系数K
2
= 0.001cm/s保持原值其计算结果见图10.27虚线
根据计算可知坝身材料渗透系数各向异性导致浸润线有显著的提高这是控制坝体稳定的一个重要因素
图 10,26 稳定渗流分析等势线图上游水位3277m
实线K
2x
=K
2y
=0.01cm/s虚线坝区K
2
各向异性K
2x
/ K
2y
= 4
图 10,27 稳定渗流分析等势线图上游水位3277m
实线K
2x
=K
2y
=0.001cm/s; 虚线坝区K2各向异性K
2x
/ K
2y
= 4
324 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
根据上述计算结果可以绘制单宽渗流量q和导致坝体不能自由排水的临界渗透系数
K
cr
之间的关系曲线如图10.28所示K
cr
的定义是导致单宽渗透流量达到q值时相应的渗透系数如对于上述情况(a)在各向同性情况下相应单宽渗透流量q
=
4.24×10
3
m
3
/s的K
cr
为0.01cm/s由于每一种工况均相应一个下游坝坡出逸高程因而也可绘制单宽渗流量q和失去自由排水能力时的出逸高程之间的关系曲线如图10.29所示
图 10,28 单宽渗流量q和临界渗透系数K
cr
之间的关系曲线
图 10,29 单宽渗流量q和逸出高程H
cr
之间的关系曲线
第10章 边坡稳定的风险分析 325
(2) 坝坡稳定分析对沟后坝的筑坝材料中国水利水电科学研究院和清华大学分别进行了三轴排水试验其试验成果见表10.22在本次分析计算中选用c′
=20kPa
=39° φ′
采用毕肖普简化方法主要计算成果如图10.30主要结论如下
情况 1相应前述渗流情况(a)按图10.26实线所示浸润线位置安全系数为1.132
情况 2相应前述渗流情况(b)按图10.26虚线所示浸润线位置安全系数为0.817
情况 3,相应前述渗流分析情况(c)获得的安全系数为0.773
图 10,30 下游坝坡圆弧稳定分析成果
(a) 情况 1 (b) 情况 2 (c) 情况 3
表 10,22 沟后上坝砂砾料的抗剪强度参数
试验单位 土料 c′
(kPa) φ′
(°)
区 13.29 39.10
区 10.47 37.07 清华大学
区 5.09 36.59
平均级配 0 41.0°
中国水利水电科学研究院
上限级配 0 37.1°
注 中国水利水电科学研究院的试验指标按c=0时整理相应φ′
为σ
3
=0.4MPa时的有效内摩擦角
326 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
根据上述确定性模型计算结果可得到以下结论
(a) 稳定分析成果表明相应最高库水位3277.00m当筑坝材料的平均渗透系数为
0.01cm/s时坝基渗透系数为0.0688cm/s坝体的最大渗透流量为0.7m
3
/s左右当从坝顶伸缩缝和各个有缺陷部分入渗的流量接近和超过此值时坝体将失去自由排水能力在坝体内将形成浸润线以前人们普遍认为当渗透系数达0.01cm/s数量级时则筑坝材料即认为中等或强透水现在看来从坝体自由排水的要求看10
2
的数量级仍嫌不足因为从已建的面板坝的实际运用情况看对于一个中等高度的面板坝坝高40～70m,漏水量超过
0.5~1.0m
3
/s入渗宽度170m这样的数量级是可能的
(b) 筑坝材料在填筑时分离造成的各向异性特征对浸润线位置影响极大本文的算例K
x
仅为K
y
的4倍已使浸润线位置较各向同性的材料提高了26m之多
(c) 从确定型分析可以看到当砂砾石面板坝的渗漏量达到某一临界值Q
cr
后坝内形成浸润线如果此时坝体的抗剪强度不足以使下游坝坡的抗滑稳定安全系数超过1就有可能发生滑坡而Q
cr
的数值则是直接与筑坝砂砾石的渗透系数有关以沟后大坝为例如坝体渗透系数为10
2
cm/s根据渗流计算可以大致确定Q
cr
值约为0.7m
3
/s这和大坝失事时推算的实际入渗量(约0.6m
3
/s)接近
(d) 如果考虑渗透系数各向异性的特点则下游坝坡稳定安全系数远小于1
3,可靠度分析步骤
(1) 坝坡稳定可靠度分析的提法对于沟后砂砾石面板坝在上游坝坡止水失效发生漏水时坝坡稳定可靠度分析的提法包括
1) 事件Q? 当坝体上游入渗单宽流量达到某一值q后下游坝坡失稳该事
件发生的概率为P
f
(Q)
2) 事件A? 当大坝单宽入渗流量达到某一值q后坝体自由排水能力失效坝体内形成浸润线此时出逸高度为H
cr
3) 事件B? 下游坝坡失稳
4) 事件B/A? 在坝体内浸润线已形成的条件下发生坝坡失稳
根据以上定义事件Q可定义为事件A B同时发生即当大坝单宽入渗流量为q时大坝下游坝坡失稳根据概率论原理有
(10.122) )A/B()A()AB()Q(
ffff
PPPP?==
因此需要用可靠度分析方法确定P
f
(A)和P
f
(B/A)的值
(2) 求解坝体失去自由排水能力事件A的概率P
f
(A)通常发生在砂砾石坝体的渗流通常与入渗的单宽流量q坝体材料的渗透系数以及变异性有关当单宽入渗流量q时坝体失去自由排水能力形成浸润线的极限功能函数可表述为
(10.123)
crcr
KdnKdng?=
2
20
3
20
234),,(
如前所述第10.6.2节对于沟后坝料渗透系数小于0.001cm/s 0.005cm/s和0.01cm/s
的概率分别为15% 49%和65%
第10章 边坡稳定的风险分析 327
(3) 求解相应于某一浸润线出逸高程H
cr
下游坝坡稳定的失效率P
f
(B/A)在进行边坡稳定分析时需要确定强度指标的统计参数在应用第10.6.2节介绍的确定强度指标的经验公式时还根据实际情况作了经验修正在垮坝后残留坝体中出现了高40~60m不等的基本直立的边坡这一事实说明沟后料可能较试验值稍高如果将一个高32m坡度80°的边坡进行反演分析tanφ′
取0.933相应c′
值为80kPa因此在进行坝坡稳定可靠度分析时最终选定的强度指标参数是粘聚力c′
=20kPa确定性指标摩擦系数f′
=tanφ′正态分布
f
=0.933 σ
f
=0.12计算结果见图10.31 μ
图 10,31 逸出高程H
cr
和失效概率P
f
的关系
本例采用一次二阶矩法依次对浸润线出逸高程H
cr
进行可靠度分析计算计算结果见表10.23相应临界滑裂面及最小可靠度指标见图10.32
表 10,23 相应不同浸润线出逸高程的最小可靠度指标
浸润线出逸高程(m) 相应图10.33的图号 β
m
P
f
(B/A)
无浸润线 (a) 3.932 4.0×10
-5
3231.0 (b) 2.304 1.06×10
-2
3236.6 (c) 1.935 2.65×10
-2
3239.9 (d) 1.684 4.61×10
-2
3243.1 (e) 1.428 7.0×10
-2
3246.4 (f) 0.694 0.24
(4) 求解下游坝坡的失效概率按下列步骤计算某一入渗流量q值的P
f
(Q)值
1) 给出一入渗单宽流量q和沿水平方向和垂直方向的渗透系数的比值K
2x
/ K
2y
2) 相应该入渗单宽流量q根据图10.28和图10.29计算临界渗透系数K
cr
和逸出高程
H
cr
3) 相应此K
cr
值在图10.18中查得坝体失去自由排水能力的概率P
f
(A);
4) 根据相应q值的出逸高度H
cr
值计算下游坝坡的最小可靠度指标β
m
和相应的失效概率P
f
(B/A)
328 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
5) 按式(10.122)计算P
f
(Q)值
表10.24汇总了相应于不同q值的失效概率值P
f
(Q)从中可以得出在各向同性的情况下当入渗单宽流量为q
=
2.5×10
3
m
3
/s时坝坡尚保持原有干坡时的失效概率当入渗单宽流量q大于5.7×10
3
m
3
/s时失效概率P
f
(Q)急剧增至于100%
当ξ
=4和ξ
=10时在相同单宽入渗流量的前提下其失效概率较ξ
=1增大许多
图 10,32 不同浸润线出逸高程的临界滑裂面及相应最小可靠度指标(相应表10.23)
表 10,24 不同入渗单宽流量情况下的下游坝坡的失效概率P
f
(Q)
各向异性
入渗单宽流量
(10
-3
m
3
/s)
出逸高程
(m)
临界渗透系数K
cr
(10
-3
cm/s)
P
f
(A) P
f
(B/A) P
f
(Q)
2.5 3228 8.0 0.17 0.003 0.00051
4.0 3234 10.0 0.65 0.02 0.0013K
2x
/K
2y
=1
5.7 3247 20.0 0.99 0.99 0.99
2.5 3258 1.0 0.15 0.99 0.15
K
2x
/K
2y
=4
4.0 3260 5.0 0.48 0.99 0.48
2.5 3275 2.0 0.28 0.99 0.28
K
2x
/K
2y
=10
4.0 3275 3.0 0.36 0.99 0.36
第10章 边坡稳定的风险分析 329
10,8 讨论和结论
10,8,1 边坡的安全系数和失效风险
本章表10.6和式(10.27)在传统方法的安全系数和可靠度指标和失效风险之间架起了一座桥梁显然这是一个分析手段的重大进步在工程设计中一旦计算出了边坡的安全系数如果同时也能合理地分析安全系数的变异系数那么就可以知道该边坡的失效概率类似“安全系数从1.20增加到1.25这样论述是比较抽象的而风险从10
2
减少到10
5
这样的结论所提供的信息却是明白无误至少保险公司更为乐意接受后者
在使用式(10.27)计算β值时需要注意的一个问题是通常按规范要求计算的安全系数并不是其均值因此不能直接把它直接代到式(10.27)中计算可靠度指标
大部分规范在规定安全系数的允许值时同时也规定了计算安全系数所输入的强度指标的取值标准在土石坝规范中规定了强度指标应取试验值的小值平均在水利水电工程地质勘测规范中也规定了取试验值分布曲线中0.2的分位数的强度为设计指标这一强度指标的设计采用值也可大致取为强度指标的均值减一倍的标准差
因此按规范规定的方法计算获得的安全系数大致也应为其小值平均值或者说应为安全系数的均值减去它的一倍标准差现在不妨来作下面一个试算以了解我国土石坝设计规范规定一级坝在正常运用工况下允许安全系数F
a
为1.5意味多大的失效风险
根据对大量上坝土料强度指标试验成果的统计分析对一级坝将c和f的变异系数定为
0.1是基本可行的参见图10.12因此也可将一级坝安全系数的变异系数假定为V
F
=
0.1
如上所述规范规定安全系数的允许值F
a
为安全系数的小值平均安全系数的均值可近似取为小值平均加一倍的标准差故有
FFaFaF
VFF μσμ +=+=
不难得到在F
a
=
1.5 V
F
=
0.1的情况下μ
F
=
1.67,故有
01.4
167.0
167.11
=
=
=
F
F
σ
μ
β
这一数值和表10.7 所示我国水利水电工程结构可靠度设计统一标准对I级建筑物二类破坏规定的允许β值4.2是接近的相应的失效概率为3.1×10
5
统一标准还规定I
级建筑物的设计基准年是100年假定一级坝的寿命为500年因此以年计的失效概率为
0.62×10
5
可以将这个数字和第10.1.5节所介绍的各种允许风险标准作一比较
10,8,2 风险分析存在的问题和应用前景
在传统的确定性模型边坡稳定分析中获得的是衡量安全度的一个指标即安全系数F
在可靠度分析中可以获得是两个指标即安全系数的均值μ
F
和标准差σ
F
据此获得边坡的可靠度指标和失效概率可靠度分析从目标函数最可能数值和变异系数两个方面把握结构的安全度对结构失效概率是通过研究每一个影响因素的变异特征获得的其分析成果自然要比确定性模型更加合理
但是为了实现这一分析过程工程师需要付出代价在输入每一种材料的岩土力学的
330 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
指标时也要输入两个值即均值和标准差从严格意义上讲还要加上概型这一项岩土力学的一些特征指标如c和f其确定过程中本来就带有很多经验成分在一些重大工程中确定某一种材料的c和f的均值对决策者来说已是不小的负担要他们再为其决定相应的标准差就更加勉为其难了但是如果不能科学地确定如c和f的标准差相应的可靠度计算难免会成为一种数学游戏正是在确定参数统计特性方面的困难使可靠度分析在边坡工程中的推广遇到了重大的障碍
但是从本章对10.6节介绍的方法和相应的工程应用情况中可以看出如果恰当地应用风险分析的概念和方法大量地采取诸如干容重颗分这样一些基本特性试验成果同时借鉴以往工程的经验综合考虑3σ法则合理地确定参数的变异特性是可能的通过可靠度分析可以使工程设计建立在更为科学的论证基础上如果说可靠度分析方法成为一种成熟实用的方法进入规范还有一段很长的路要走那么它作为安全系数方法的一种补充定量地分析判断工程设计中包含的不确定因素是具有广泛的应用前景的同时在制定规范时它也可以为合理地规定一些重要的系数提供科学的分析依据
在推广可靠度分析中遇到的困难不应成为否定这一方法的理由而应成为激励岩土工程师在实践中进一步完善这一方法的动力
10,9 本章附录
10,9,1 进行Rosenbleuth法计算的源程序
1,说明
本程序实现10.5.3节介绍的Rosenbleuth法符号编码方法功能函数与程序OBF()由用户自已提供本节第3部分提供了三个测试题其目标函数分别为
3
3
3
2
3
1
5.105.06.0 xxxy?+=
321
xxxy?=
21
381 xxy?+=
答案已在注释行中列出
2,源程序
SUBROUTINE ROTH(BET)
C 参照第10章中介绍的Rosenbleuth 法编写的FORTRAN源程序编者闫继军陈祖煜
C 变量属性受隐性规则控制
C KMAX随机变量的个数
C IM符号矩阵中的总列数
C IS()用来存放符号矩阵中第I列的符号值
IM
=
2**KMAX
A
=
FLOAT(IM)
C 给功能函数一二阶矩E(g)和E(g
2
)赋初值
E1
=
0,
E2
=
0,
DO I
=
1,IM
C 计算符号矩阵中第I列的符号值(或I-1整形数的二进制表达式)
CALL FLAG(IS,KMAX,I)
第10章 边坡稳定的风险分析 331
P
=
1.0
PK
=
1,!Ceta
IF(KMAX.EQ.2)PK
=
0.5 !Ceta
DO K
=
1,KMAX
C 通过第k个随机变量的均值和标准差求可靠度分析中的随机变量值
RPA(K)
=
RM1(K)+IS(K)*RD1(K)
KI
=
K+1
IF(KI.GT.KMAX)KI
=
1
P
=
P+IS(K)*IS(KI)*R11(K,KI)*PK
END DO
C 计算Rosenbleuth 法中的P
+…
值
P
=
P/A
C 把随机变量转换为岩土材料的粘聚力摩擦系数和孔隙水压力系数
DO IQ
=
1,N
DO IY
=
1,KMAX
IF(MLA(IQ).NE.NSOIL(IY))CYCLE
MJ
=
NPARA(IY)
IF(MJ.EQ.1)C(IQ)
=
RPA(IY)
IF(MJ.EQ.2)F(IQ)
=
RPA(IY)
IF(MJ.EQ.3)RU(IQ)
=
RPA(IY)
KKK
=
KKK+1
ENDDO
ENDDO
C 计算功能函数值
CALL FS1(FOS)
C 功能函数一阶矩E(g)
E1
=
E1+FOS*P
C 功能函数二阶矩E(g
2
)
E2
=
E2+FOS*FOS*P
END DO
E2
=
E2-E1*E1
C 可靠度指标β
BET
=
(E1-1)/SQRT(E2)
RETURN
END
SUBROUTINE FLAG(IS,N,II)
C 利用FORTRAN语言中提供的BTEST(I,J)函数得到整形数I第J字节是0或者1
C 我们约定0代表+ 1代表-变量属性受隐性规则控制
C 符号矩阵中第II列
II
=
II-1
J
=
0
DO WHILE(J.LE.N-1) N随机变量的个数
IF(BTEST(I,JJ)THEN
IS(N-J)
=
-1
ELSE
IS(N-J)
=
+1
ENDIF
J = J+1
ENDDO
RETURN
END
3,测试题
C
C SUBROUTINE OBF OBTAINS THE VALUE OF PERFORMANCE FUNCTION F
C WITH THE INPUT OF VARIABLES VAR ()
332 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
C TO WRITE OBF FOR A PARTICULAR PROBLEM IS THE RESPONSIBILY OF
C USERS,THE CODES CONTAINED IN THIS SUBROUTINE ARE ONLY FOR
C THE PURPOSE OF VALIDATION AND DEMONSTRATION
C
C THE CORRECT ANSWERS,WITH THE DATA FILE LISTED BELOW,ARE,
C TEST PROBLEMS E1 E2 BET
C 1 6871.375 1924.161 3.571
C 2 1005,364.186 2.760
C 3 51,11.764 4.335
C
SUBROUTINE OBF(VAR,F)
DIMENSION VAR(10)
C TEST PROBELM 1--ROSEN-1.DAT
F
=
0.6*VAR(1)**3+0.05*VAR(2)**3-1.5*VAR(3)**3
C TEST PROBLEM 2--ROSEN-2.DAT
F
=
VAR(1)*VAR(2)-VAR(3)
C TEST PROBLEM 3--ROSEN-3.DAT
F
=
1+8*VAR(1)-3*VAR(2)
RETURN
END
10,9,2 本章数据文件表10.25
表 10,25 本 章 数 据 文 件
有关章节 系列号 数据文件名 内容
10.3.2 10-01-01 R1-MC.DAT [例10.1] 均匀边坡例采用Monte Carlo 法
10-02-01 R2-FOSM.DAT [例10.2] 分层边坡例采用一次二阶矩法
10.4.4
10-02-02 R1-FOSM.DAT [例10.3] [例10.1]采用一次二阶矩法
10.4.5 10-03-01 R1-RS.DAT [例10.4] [例10.1]采用Rosenbleuth法
10.6 10-04-01 R2-GF.DAT [例10.3] 一次二阶矩法
R2-GR.DAT [例10.4] Rosenbleuth法G
R2-S.DAT [例10.3] 单形法
10-05-01 S-160.dat 10.7.1节 十三陵面板堆石坝例,160.剖面
10.7
10-05-02 S-240.dat 10.7.1节 十三陵面板堆石坝例,240 剖面
10-06-01 G1.dat 10.7.2节 沟后面板堆石坝例
10-06-02 G2.dat 图10.32和表10.24
10-06-03 G3.dat
10-06-04 G4.dat
10-06-05 G5.dat
10.7
10-06-06 G6.dat
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