第2章 边坡稳定分析的通用条分法
2,1 边坡稳定分析极限平衡法的基本原理
2,1,1 基本原则
建立在极限平衡原理基础上的边坡稳定分析方法包含有以下几条基本原则
1,关于安全系数的定义
土坡沿着某一滑裂面滑动的安全系数F是这样定义的将土的抗剪强度指标降低为c'/F
和tanφ'/F则土体沿着此滑裂面处处达到极限平衡即
(2.1)
ene
c φστ ′?′+′= tan
F
c
c
e
′
=′ (2.2)
F
e
φ
φ
′
=′
tan
tan (2.3)
上述将强度指标的储备作为安全系数定义的方法是经过多年的实践被工程界广泛承认的一种作法采用这一定义在数值计算方面会增加一些迭代收敛方面的问题
摩尔?库仑强度准则 2,
设想土体的一部分沿着某一滑裂面滑动在这个滑裂面上土体处处达到极限平衡即正应力σn' 和剪应力 τ 满足摩尔?库伦强度准则设土条底的法向力和切向力分别为N和T
则有
(2.4)
ee
xuNxcT φαα ′?+′= tan)sec(sec
式中α为土条底倾角tanα
=
dy/dx u为孔隙水压力通常定义孔隙水压力系数
xW
u
r
u
d/d
= (2.5)
3,静力平衡条件
将滑动土体分成若干土条图2.1每个土条和整个滑动土体都要满足力和力矩平衡条件在静力平衡方程组中未知数的数目超过了方程式的数目解决这一静不定问题的办法是对多余未知数作假定使剩下的未知数和方程数目相等从而解出安全系数的值
2,1,2 合理性要求
上述对多余未知数进行假定的具体方案可以是多种多样的但是也并不是完全任意的它必须使获得的解符合土和岩石的力学特性目前被普遍接受的合理性条件是Morgenstern
& Price,1967年Janbu,1973年
24 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
图 2,1 边坡稳定的条分法
(a) 滑坡体(b) 侧向力假定1 (c) 侧向力假定2
(1) 沿着划分的土条两侧垂直面上的剪应力不能超过在这个面上所能发挥的抗剪能力参见图2.2即
F
X
zycE
F
avav
v
>
′+′′
=
)](tan[ φ
(2.6)
图 2,2 作用在土条上的力
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 25
或
1
)](tan[
>
′+′′
=
X
zycE
F
aveave
ve
φ
(2.7)
上二式中F
v
为沿着土条垂直面的安全系数F
ve
为使用经过按式(2.2)和式(2.3)缩减后垂直面的安全系数E'为作用在土条垂直面的法向有效压力X为作用在土条垂直面的剪力
tanφ'
av
为土条垂直面的有效平均摩擦系数c'
av
为土条垂直面的有效平均粘聚力tanφ'
ave
为
tanφ'
av
被F值除后的值c'
ave
为 c'
av
被F值除后的值y为滑裂面的纵坐标值z为土坡表面的纵坐标值
(2) 为保证在土条接触面上不产生拉力作用在土条上的有效力的合力作用点不应落在土条垂直面的外面参考图2.2
(2.8) 10 <′<
c
A
zy
zy
A
t
c
′
=′ (2.9)
式中y′
t
为作用在土条垂直面上的有效法向力的作用点的纵坐标值
2,2 静力平衡方程的普遍形式及其解
2,2,1 作用在土条上的力
设想某一边坡的滑动土体沿滑裂面y = y(x)下滑见图2.2此时根据安全系数的定义土体和滑裂面上的抗剪强度指标均已缩减为c'
e
tanφ'
e
在滑动土体中切出一垂直土条分析作用在其上的力计有
1) 土条重量?W浸润线上为天然容重浸润线下为饱和容重
2) 坡表面垂直荷重q?x
3) 地震力水平地震力?Q =η?W其作用点与土条底距离为h
e
4) 作用在土条垂直边上的总作用力G即土骨架间的法向有效作用力和水压力之和它与水平线的夹角为β其作用点的纵坐标值为y
t
2,2,2 静力平衡微分方程及其解
对土条建立x和y方向的静力平衡方程
(2.10) 0)cos(cos?sin? =?+?αα GQTN β
(2.11) 0)sin(?)(sin?cos? =?++βαα GxqWTN
将式(2.4)代入式(2.10)式(2.11)消去?N令?x 0得到静力平衡的微分方程
)(
d
d
)sin(
d
d
)cos( xpG
xx
G
ee
=+?′?+?′
β
βαφβαφ (2.12)
26 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
)cos(
d
d
cossec
sinsec
d
d
)sin()
d
d
()(
αφηφα
φααφ
′?′′+
′′+=
eee
eue
x
W
c
x
W
rq
x
W
xp
(2.13)
同时将作用在土条上的力对土条底中点取矩建立力矩平衡方程
0
d
d
sin)?
2
1
(cos
]?
2
1
)?()?)[(?cos()?(
=?++
+?+++
et
tt
h
x
W
xGyyyG
yyyyyGG
ηββ
ββ
(2.14)
其中h
e
为水平地震力作用点距条底的垂直距离当?x 0时可得
et
h
x
W
Gy
x
G
x
yG
d
d
)cos(
d
d
)cos(
d
d
sin ηββ +?= + (2.15)
式(2.12)也可通过将作用在条块上的力投影图2.2中线AA' 方向获得AA' 与土条底切线方向夹角为φ'
e
土条底的法向力N′与由其贡献的切向抗力N' tanφ'
e
的合力因与AA' 垂直故不出现
2,2,3 静力平衡方程的解
微分方程组式(2.12)和式(2.15)的边界条件是
(2.16) 0)( =aG
(2.17)0)( =bG
(2.18))()( ayay
t
=
(2.19) )()( byby
t
=
式中a和b为滑体左右端点的x坐标
式(2.12)是一个一阶非线性常微分方程它的积分形式是
(2.20)
+?′?=
∫
x
a
e
aGspxsxG
1
)(d)()()()sec()( ζζζβαφ
+?′?+?′=
∫
x
a
ee
xs
d
d
d
)tan(exp)sec()( ζ
ζ
β
βαφβαφ (2.21)
式(2.15)的积分形式是
[
∫∫
+=?
x
a
x
a
x
ate
yyGxh
x
W
xG
)(cosd
d
d
d)tancos(sin βηαββ ] (2.22)
令x = b并使用式(2.16)至式(2.19)的边界条件应用分部积分法式(2.20)和式(2.22)
可化为
(2.23)
∫
=
b
a
xxsxp
0d)()(
(2.24)
∫
=?
b
a
e
Mxxtxsxp
0d)()()(
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 27
∫∫
+?′?=
x
aa
e
xt
d]d
d
d
)[tan(exp)tancos(sin)(
ξ
ξζ
ζ
β
βαφαββ (2.25)
∫
=
b
a
ee
xh
x
W
M
d
d
d
η (2.26)
在获得式(2.24)时应用了式(2.23)和下面的关系式
∫
∫∫ ∫∫∫
=
+
=?=?
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
aa
xxtxsxp
xxtxsxpspttspxG
d)()()(
d)()()(d)()(dd)()(d)tancos(sin
ξξ
ζζζζζζαββ
(2.27)
注意式(2.27)右侧第一项由式(2.23)可知为零式(2.23)和式(2.24)分别反映滑动土体力和力矩平衡要求这两个方程中包含一个未知数即安全系数F它隐含在φ′
e
中和c'
e
中[式(2.2)
和式(2.3)]另外还包含一个变量β
(x) Morgenstern和Price 假定其符合某一分布形状 留下一个待定常数λ和F一起求解即假定
(2.28))(tan xfλβ =
f
(x)一旦确定稳定分析就具体化为求解联立方程式(2.23)和式(2.24)中包含的两个未知数F和λ的问题
对式(2.15)积分可获得使用式(2.9)需知的yt的计算公式
a
x
a
x
a
e
t
y
G
xh
x
w
xG
y +
=
∫∫
β
ηαββ
cos
d
d
d
d)tancos(sin
(2.29)
f
(x)可假定为1即假定各土条的β
(x)为一常数也可假定为其它函数每一组解都要通过式(2.5)和式(2.7)的合理性要求检验
在大部分的计算中我们令f
(x)=常数=1如图2.1(b)示这种特例称Spencer法在
STAB程序中提供给用户的默认的功能也是这一处理方式因为大量的计算实例说明f
(x)
的形状对安全系数F值的影响并不大
但是在一些特殊条件下使用Spencer法可能导致较大的误差从严格的理论意义上讲为了保证在x = a 和 x = b处剪应力成对原理不被破坏要求β
(x)在该两端为指定值因此假定
(2.30) )()(tan
0
xfxf λβ +=
f
0
(x)在x = a 和 x = b处为指定值 f (x)在x = a 和 x = b处为零 如图2.1(c)所示使用这一规定可以进一步限制对未知函数β
(x)作假定的随意性将在2.5.2节中详细讨论这一问题
2,3 静力平衡方程的数值解
2,3,1 Newton?Raphson 迭代法
通常采用Newton?Raphson迭代法求解下列静力平衡方程中的F和λ
28 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(2.31)
∫
==
b
a
n
xxsxpFG
0d)()(),( λ
(2.32)
∫
=?=
b
a
en
MxxtxsxpFM
0d)()()(),( λ
先假定一组F1和λ1代入式(2.31)式(2.32)下一个更为接近其解F* λ*的数值F2
2通过下式求得( i=1) λ
λλ
λλ
=?=
+
nnnn
n
n
n
n
iii
M
F
G
F
MG
G
M
M
G
FFF
1
(2.33)
λλ
λλλ
+
=?=
+
nnnn
n
n
n
n
iii
M
F
G
F
MG
F
G
M
F
M
G
1
(2.34)
重复上述步骤直至下列收敛标准得到满足
(2.35) ε<
i
F?
(2.36)ελ<
i
在STAB程序中ε 值设为10
4
本程序开发以来的实际使用情况证明程序对绝大多数问题均能迅速地收敛到这一精度参见[例2.1]
在文献中经常可以看到将式(2.33)和式(2.34)的二维迭代过程转化为一维的作法(Spencer,
1973; Fredlund,1984),如图2.3所示
图 2,3 Spencer法求解示意图
固定某一λ值给出F
=
F
G
(λ)和F
=
F
M
(λ)曲线再采用数值分析的方法寻找该两条曲线的交点解得F和λ F
G
(λ)和F
M
(λ)分别是在该λ值时通过解式(2.33)和式(2.34)获得的F需要对式(2.31)和式(2.32)分别使用仅包含一个自变量进行迭代获得F
G
(λ)和F
M
(λ)
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 29
采用上述作法反映了编程人员刻意回避包含两个未知数的非线性方程迭代的心理事实上作者使用这一算法的二十余年的经验表明使用二维Newton?Raphson迭代其收敛速度极快这一点将在后面[例2.1]和[例2.2]的迭代过程中看到使用如图2.3所示的迭代方法非但使计算过程变得繁琐而且降低了计算精度可以想像这样的作法使计算精度保持在10
3
水平将是十分困难的对于一个滑裂面的安全系数问题工程实际也许并不在乎小数点第三位的精度但是当问题进入第4章所论述搜索最小安全系数领域时小数点第二位的精度就远远不够了因此可以说本章介绍的边坡稳定分析的通用条分法在其数值计算收敛特性方面具有其突出的优点
2,3,2 计算导数的公式
用式(2.25)式(2.26)求解需要确定FGGFMM
nnnn
/,/,/ / λλ的数值计算这些导数的公式见式(2.37)～式(2.40)推导过程可参见本章附录(第2.6.2节)
x
F
xkxsxp
F
G
b
a
x
a
e
e
n
dd
d
d
d
d
)(sec)()()(
2
∫∫
′
+?′=
ξ
ξ
βφ
βαφ
(2.37)
∫∫
′
+?′=
x
a
e
e
b
a
n
x
F
txtxkxsxp
F
M
2
d]d
d
d
d
d
)(sec)()()[()( ξ
ξ
βφ
βαφ
(2.38)
xDxsxp
G
b
a
i
x
a
e
n
dd
d
d
d
d
)(sec)()(
2
∫∫
+?+?′=
ξ
ξ
α
λ
β
βαφ
λ
(2.39)
x
Dtxsxp
M
x
a
a eee
b
a
ti
x
a
e
n
dd
d
d
d
d
d
)tan(exp)sec(seccos
d
d
d
d
d
)(sec)()(
2
∫
+?′+?′′
+
+?+?′=
∫
∫∫
ξ
λ
β
ζ
ζ
β
βαφβαφαφ
ξ
ξ
α
λ
β
βαφ
λ
ξ
(2.40)
r
l
s
i
iei
ax
ei
D
∑
=
=
+?′?
+?′=
1
d
d
)tan(
d
d
)tan(
λ
β
βαφ
λ
β
βαφ
(2.41)
r
l
s
i
ieiiti
tD
∑
=
+?′?=
1
d
d
)tan(
λ
β
βαφ
(2.42)
其中D
i
和D
ti
是考虑到滑面上α和φ′
e
可能出现的突变点而增加的附加值符号[表示在该点相应数值在突变点右侧和左侧的差值
r
l
]
k(x)的定义见第2.6.2节式(2.140)
2,3,3 数值分析的步骤
选择一个接近最终解λ* F*的迭代初值λ1和F1对于保证数值计算收敛有着十分重要的意义这里建议的方法经过大量实践计算的检验证明十分有效
初值F1的估算 1,
对F1的估算的基本指导思想是首先使用将在第3章介绍的稳定分析简化方法确定一个安全系数的初值再代入式(2.31)和式(2.32)进行迭代求解在STAB程序中采用了以下步
30 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
骤
(1) 首先使用将在第3章3.6.2节介绍的简化法1计算安全系数这个方法适用于任意形状滑裂面并不需迭代求解因此是一个比较理想的计算安全系数初值的方法
(2) 计算陆军工程师团法的安全系数这一步骤也可以省略
(3) 使用上述步骤获得的安全系数作为初值F
1
进行通用条分法的计算
初值λ
1
的估算 2,
假定tanβ的平均值和tanα 的平均值相同即
(2.43)
∫∫
=
b
a
b
a
xx
dtandtan αβ
将式(2.28)或式(2.30)代入式(2.43)即可得到一个λ值作为初值λ
1
本节介绍计算式(2.31)式(2.32)和相应的导数公式式(2.37)～式(2.42)的过程比较繁复但是如果编制成计算机程序则可快速求得解答在本书11章中我们将详细介绍实现这一计算过程的源程序这一程序在过去的二十余年中通过无数工程实例检验有了这一程序使用通用条分法将不再是一个困难的事情新加坡Low (1998)曾使用MicroSoft Excell 电子表格进行上述计算
[例2.1] 紫坪铺库区左岸堆积体的稳定分析
紫坪铺水库左岸距坝618m处存在一个顺坡长300～870m的不稳定堆积体初步估计方量为2500～3000m
3
经钻孔分析堆积体与基岩接触面存在有厚0.5～15cm的连接平直的软滑带即图2.4中的ABCDEF使用本文的通用条分法计算堆积体沿此滑面滑动并从围堰
G点滑出堆积体的强度指标为c′
=
20 kPa φ ′
=
31°软滑带的指标为c′
=
10 kPa φ ′
=
16°
使用将在第3章介绍的简化法1所得安全系数为1.239随后采用工程师团法所得安全系数为1.225应用式(2.43) 解得的λ1为0.293计算迭代过程如表2.1
图 2,4 紫坪铺库区左岸堆积体的稳定分析
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 31
表 2,1 例2.1数值迭代过程
迭代步 G
n
(kN) M
n
(9.8 kN?m) F λ
1 -0.570101E+03 0.341694E+06 0.122454E+01 0.293377E+00
2 0.549303E+02 -0.212623E+05 0.119380E+01 0.252562E+00
3 -0.161491E+01 0.751152E+02 0.119598E+01 0.254412E+00
4 -0.193615E-01 0.103906E+01 0.119594E+01 0.254435E+00
最终得λ = 0.254435 F =1.195939从表2.1可见应用通用条分法迭代过程非常迅速稳定通过四次迭代不平衡的力和力矩G
n
和M
n
分别从?0.570101×10
3
×9.8 kN和0.341694
×10
6
×9.8 kN?m收敛到?0.193615×10
1
×9.8 kN和 0.103906×10
1
×9.8 kN?m
[例2.2] 澳大利亚ACAD公布的标准考题EX1
图2.5示所示一个典型的土坡稳定分析例题在以后的章节中还将多次引用详见11.4
节光滑曲线滑裂面由A B C D E五个点用样条函数联成事实上这是一个近似圆弧的曲线计算迭代过程见表2.2
表 2,2 例2.2数值迭代过程
迭代步 G
n
(9.8kN) M
n
(9.8kN?m) F λ
1?0.243723E+03 0.101975E+04 0.240000E+01 0.464641E+00
2 0.507991E+03 0.429016E+04 0.110318E+01 0.117622E+01
3 0.178628E+03 0.171667E+04 0.127896E+01 0.930531E+00
4 0.440980E+02 0.525262E+03 0.136979E+01 0.618465E+00
5 0.515473E+01 0.857181E+02 0.138486E+01 0.420363E+00
6 0.120580E+00 0.221638E+01 0.138273E+01 0.377980E+00
7 0.395831E?03?.315285E?02 0.138264E+01 0.376847E+00
图 2,5 澳大利亚ACAD考核题
在本例中故意将F的初值(F
1
=
2.40)设得远离其真值(F
=
1.382)从表2.2所示的迭代过程可以看到安全系数的初值为2.40此时不平衡的力和力矩分别为?2.44×10
2
和1.02×10
3
迭代至第7步即减少为3.96×10
4
和?3.15×10
3
安全系数解答为F
=
1.383
32 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
2,4 与条分法有关的一些基本问题的讨论
2,4,1 作用在微小长度上垂直应力合力作用点位置的讨论
在本章建立力矩平衡方程式(2.14)的推导中我们曾假定土条底法向应力的合力的作用点处于条底的中点在一些文献中曾经把这一合力的作用点的位置也作为一个未知量这一节我们将说明将作用点位置放在中点导致的误差相对力矩平衡公式中的其它量是一个高阶小量在土条的宽度?x足够小的时候这一作法引入的误差可以忽略不计也就是说在这一问题上通用条分法的理论基础是严格的
图 2,6 作用在微小长度上的垂直应力
作用在一个微小长度?x上连续分布的垂直应力σ (x)的合力P由下式决定参见图2.6
∫
=
x
xxP
0
d)(σ (2.44)
P的作用点距原点位置为
∫
∫
=
x
x
xx
xxx
a
0
0
d)(
d)(
σ
σ
(2.45)
定义N的作用点的相对距离为
x
a
=ζ (2.46)
将σ(x)在σ(0)处按泰勒级数展开将式(2.45)代入式(2.46)后可得
L
L
+++
+++
=
432
432
)0(
6
1
)0(
2
1
)0(
)0(
8
1
)0(
3
1
)0(
2
1
x''x'x
x''x'x
σ?σ?σ
σ?σ?σ
ζ (2.47)
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 33
不难证明在?x→0时有
≠=
≠
=
0)0(,0)0(
3
2
0)0(
2
1
'σσ
σ
ζ
但如果如果
(2.48)
因此除端部条块有可能σ (0)
=
0外均可认为
2
1
=ζ (2.49)
2,4,2 关于研究对象的讨论
在进行边坡稳定分析时首先需要解决一个研究对象问题即当分析一个土体或土条的力学平衡时是把土和水的混合体当作研究对象还是把土骨架作为分析对象近代土力学的回答是可以把土骨架作为分析对象也可以把包括水在内的浸水土体作为研究对象许多学者Taylor 1948中濑敏男1972曾指出两种方法本质上是一致的如果计算的各环节处理一样的话两种方法应得到相同的安全系数解围绕这个问题岩土工程学报在
1983年曾作过一次讨论现将作者本人参加这场讨论发表的意见叙述如下陈祖煜1983
如果把浸水土体当作研究对象那么水和骨架之间的作用力是内力滑动土体的静力平衡方程式可以写成
(2.50) 0=+′++ UGWW
ba
式中W
a
为土体水上部分自重W
b
为土体水下部分的饱和重U为滑动土体边界上受到的全部水压力的合力G′为滑动土体边界上受到的全部骨架间有效作用力的合力
如果把骨架当作研究对象水对骨架的作用是外力这个外力包括浮力和渗透力两部分于是滑动土体的静力平衡方程式可以写成
(2.51) 0=′++′+ GDWW
a b
式中W′
b
为水下部分浮重D为土体所受渗透力的合力
根据定义
(2.52)
wb
WWW
b
=′
式中W
w
为与土体水下部分同体积的水重
渗透力D可通过积分求得
(2.53)
∫
=
V
vddD
式中d为单位土体所受的渗透力可以通过熟知的渗透力的微分表达式求得
(2.54)?γ gradd
w
=
h
u
w
+=
γ
(2.55)
式中γ
w
为水的容重? 为势函数grad? 为水力梯度h为位置水头
34 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
根据土力学的原理饱和土体骨架所受渗透力的合力等于该土体边界上水压力的合力加上与该土体同体积的水重使用场论中的散度定理即可证明
(2.56)
∫∫
+=?==
V
ww
V
vv
dgrad d WUdD?γ
将式(2.56)代入式(2.51)即可得式(2.50)这说明两种方法的数学表达式是一致的
再通过下面一个例子说明两种处理方法的等效性(Taylor 1948)如图2.7所示的无限长均匀斜坡饱和土体置于不透水地基上在土坡内切出一个矩形条块由于这是一个均质无限边坡作用于条块左侧和右侧的力应相等即该条块侧面的法向力E有效法向力E′和剪切力X 的增量?E?E′?X均应为零
图 2,7 说明研究对象的两种处理方案等效性的例子
现用两种不同的处理方法计算其安全系数
(1) 将土骨架作为研究对象那么土骨架承受的外力有
1) bh
b
γ=浮力
2) Jbh
w
γ=渗透力
其中J为渗透坡降γ
b
和 γ
w
分别为土体的浮容重和水容重在本例显然有
(2.57)αsin=J
故渗透力αγ sin
w
bh=
如前所述由于本例是个无限均质边坡故土条侧面的条间法向作用力有
(2.58) 0?,0? ==′ XE
因此有
αγγ
φαγ
sin)(
tancos
bh
bcbh
F
bw
b
+
′+′
= (2.59)
(2) 将水土混合体作为研究对象此时作用于土条的外力有
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 35
1) 土条自重 bhW
bw
)( γγ +=
2) 条间作用力E应平行于边坡并有?E = 0 X
=
0
由于等势线垂直于坡面和滑面作用于条底的孔隙水压力U按下式确定
(2.60) αγ cosbhU
w
=
故条底有效作用力为N’
(2.61) αγα coscos bhUWN
b
=?=′
安全系数为
α
φ
sin
tan
W
bcN
F
′+′′
= (2.62)
不难发现式(2.62)和式(2.59)是一样的说明如果研究这一个土体的整体稳定性两种处理方案可获得相同的安全系数
但是由于边坡稳定分析本质上是一个超静定问题在大多数情况下我们需要引入对土条侧向力的假定方可求解安全系数那么如果假定对象不一样结果仍会不一样在上面的推导中对β的假定是指土条间的总作用力G而不是土条骨架间的有效作用力G′ 如果将土骨架作为研究对象那么就要对G′
的倾角 β′ 作假定了因此两种处理方法尽管具有相同的力学背景但由于处理细节不完全一致其结果仍会有微小的差别
显然计算边界力比计算渗透力要方便得多既然两种处理方法在本质上是一致的习惯上大多数人都将浸水土体作为研究对象此时水对土的作用力即浮力和渗透力将视为内力不再考虑本章和下一章中介绍的稳定分析的各种方法的推导均是就这种处理方法而言的在STAB程序中我们也是采用这种方法也就是说在使用程序时要求用户输入的是土的实际重量和孔隙水压力并不要求输入浮重量和渗透力
2,4,3 对坡外水体的处理
在建立上述通用条分法时我们没有考虑坡外有水的情况Bromhead等(1999)曾讨论过此问题
对图2.8(a)所示坡外有水的情况此时通常采用下面三种处理方案
方案1将滑裂面延长与坡外水位交于P如图2.8(a) 所示研究包括坡外水体在内的滑坡体ADEPCGB的抗滑稳定此时水可看成是强度指标为零的一种特殊材料静力平衡方程为
(2.63) 0=+′+ UGW
式中UGW ′分别为土重包括水重作用在滑面上的有效作用力和孔隙水压力
方案2将坡外水位延长至与滑裂面ABC交于G图2.8(a)设想水面PEG与滑裂面
GCP包成一个水体重W
w
见图2.8(b)沿滑面GCP按静水压u
s
分布的水压力为U
s
则
(2.64)0=+
w
WU
s
(2.65)zu
ws
γ=
36 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
式中γ
w
为水容重z为滑面上任一点与坡外水位的垂直距离
现在将U
s
和W
w
在整个力系中扣除这样并不影响静力平衡即将式(2.63)和式(2.64)
相减
(2.66) 0)()( =?+′+?+
swba
UUGWWW
坡外水体部分其重量本身等于W
w
如图2.8(b)所示通过坡外那块水体的滑面PC的水压力又恰好为静水压力U
s
故对于坡外水体那部分式(2.66)中各项均为零问题被置换成一个坡外无水的情况即图2.8(c)坡内的土重分成两部分坡外水位以上部分用W
a
表示在置换前后保持不变坡外水位以下部分用Wb表示,置换成实际重减同体积水重
(W
b
W
w
)
因此当坡外有水时可以将它看成一个无水的情况只需将水位延伸至与滑弧面相交后作以下两个处理
1) 水位延长线以下的土体由实际重W置换成实际重减同体积水重(W
b
W
w
)如果土体是饱和的这一数值就是浮重
2) 水位延长线高程以下的滑面即图2.8(c)中的GC的孔隙水压u被置换成超孔隙水压
u
e
(2.67) zuuuu
wse
γ?=?=
图 2,8 坡外水位处理的三种方案
(a)第一种方案(b)水体的静力平衡(c)第二种方案 (d)第三种方案
我国土石坝设计规范规定要应用第二种方案即置换法进行稳定分析因此在以后的叙述中一般总是就坡外无水土条重和孔压经过置换的情况而言
使用这一处理 还需要注意的一个重要问题是必须将坡外水位延伸到与滑裂面相交第2章 边坡稳定分析的通用条分法 37
将这条线以下所围的土体的重量都减掉同体积的水重把这条线以下滑裂面上的孔压都扣掉一个静水压力γ
w
如图2.9所示的几种情况阴影所示的土区的重量和滑裂面上的孔压即便并不存在水和孔隙水压也要作同样的处理尽管有时会造成负的孔压甚至负的重量不这样处理总体的力的平衡就会被破坏通过手算或自编程序进行边坡稳定分析的工程师都要注意这是极易犯错误的地方
图 2,9 使用等效置换的几个特例
在STAB程序中坡外水位的等效置换是自动实现的对用户来说需要正确地输入坡外水位的坐标值和浸润线的信息至于上述的等效置换的种种处理方法程序均自动进行无须用户操心
方案3将坡外水压力直接加在坡面上如图2.8(d)所示这个方案从理论上看没有什么缺陷大概是因为操作起来比较麻烦故未见广泛应用
和2.4.2节讨论的情况类似由于边坡稳定分析本质上是一个超静定问题在建立对整个滑坡体静力平衡的同时还要对每个土条的静力平衡进行分析而在此时将引入对土条侧向力倾角的假定上述不同的方案包含的对侧向力的假定不同故不可能得到完全相同的结果例如对于第二种方案彻底的等效置换应该对每个土条进行也就是说不仅土条底的孔隙水压被置换成了超孔隙水压力侧向力G的总作用力也应置换成有效作用力G′
加上超孔隙水压力U
e
用G′
e
来代表这个力那么在通用条分法和下面第3章要介绍的各种简化方法中如采用第二种等效置换方案土条侧向力的数值和倾角就是G′
e
和β′
e
因此这种等效置换与不作置换由于包含的对侧向力的假定不同一般仍不会得到完全相同的结
38 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
果进一步深入分析可以得到以下的认识在这里我们暂且将在第三章介绍的各种简化方法一并予以讨论
毕肖普法假定土条侧向力为水平方向每个土条在使用1 2方案时假定侧向的总应力为水平方向等效置换后假定侧向有效作用力加超孔隙水压力后为水平方向这一变化完全不影响将在第三章介绍的从式(3.5)至式(3.6)的推导因此采用此3种方案进行毕肖普法运算从理论上讲应得到完全一致的结果
所有其它方法都不可能对坡外水位的上述三种处理方法得到完全一致的结果至少对于由坡外水体组成的条块这些方法固有的对土条侧向力的假定会与水压力对侧向力的要求
β
=
0发生矛盾在应用通用条分法时则要求对f(x)和f
0
(x)作出特殊的处理保证按式(2.30)
计算获得的β(x)在水体部分为零我国规范规定采用等效置换方法其有效性取决于对大量实例运算结果的分析和判断为此我们通过两个例题来研究不同坡外水位处理方法获得的成果的差别
[例2,3] 比较使用毕肖普简化法采用第1和第2种方案的差别
图2.10(a)示铁山水库大坝上游坝坡的稳定分析对所示圆弧滑裂面进行毕肖普法计算如果按第2方案即对坡外水体进行等效置换安全系数为2.535数据文件名CPT9?1如果滑裂面延长到库水位如图2.10(b)所示则安全系数为2.538数据文件名CPT9本例说明对毕肖普法第1 2种方案可获得相同的结果
图 2,10 比较毕肖普法采用各对坡外水位处理方案的计算成果铁山水库例
(a) 第二种处理方案(b) 第一种处理方案
[例2.4] 三峡3坝段抗滑稳定
本例比较对坡外水位不同的处理方案的结果图2.11示三峡大坝三坝段断面在大坝基础内存在中缓倾角节理面假定大坝沿AB面下滑并在C点滑出此时使用STAB程序进行计算上游库区把水体按一种材料处理大坝承受的水压力按充水的拉力缝处理参见2.4.4节即在AD面上施加一个水压力如图2.11所示计算所得的安全系数为3.257
本例也可以将库水按照一种材料来处理其容重为零c φ为零滑裂面如图2.12中
ABCD所示但是在使用通用条分法时 应保证在AB段的 β 值为零在式(2.30)中可这样来设定f(x)和 f
o
(x)令该两函数在AB段均为0计算所得的安全系数为3.233
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 39
由于本例分析下游边坡涉及的坡外水位均指对下游水位现有我们再来考察第一和第三种处理方案计算成果的差异图2.13(a)示将坡外水视为一种土体的处理滑面BC通过下游水体数据文件CPT2?3图2.13(b)示将坡面CA和AB作用静水压力的做法数据文件CPT2?4表2.3示不同的处理方法获得的安全系数可见几种处理方案的结果十分接近
图 2,11 [例2.4] 库水按拉力缝处理下游水位第2种方案
图 2,12 [例2.4] 库水按照一种材料处理下游水位第2种方案
图 2,13 [例2.4] 库水按拉力缝处理
(a) 下游水位采用第一种方案滑裂面BC部分通过坡外水体F
=
3.302
(b) 下游水位采用第三种方案坡面AC AB部分作用静水压力F
=
3.395
本例采用第1章介绍的通用条分法为了保证滑裂面通过水库和下游水体的那两个部分
40 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
土条的侧向力的β
=
0需对fo(x)和f(x)在相应的这些部分作专门的处理可参阅相应的数据文件
使用上述三种方案应用STAB程序进行计算需要对滑裂面通过水体部分的强度指标浸润线和f(x)的输入作专门的不同处理只有掌握了第12章介绍的STAB程序的各种常规和特殊处理技能方能获得正确的解答
表 2,3 三峡大坝3坝段深层抗滑稳定计算采用不同处理方案计算成果
处 理 原 则 安全系数 数据
情况 图号
上游 下游 F 文件
1 2.11 库水按拉力缝处理 方案2 3.257 CPT2?1
2 2.12 滑面通过库水位 方案2 3.233 CPT2?2
3 2.13 (a) 同情况1 方案1 3.302 CPT2?3
4 2.13 (b) 同情况1 方案3 3.395 CPT2?4
2,4,4 关于滑面顶部设拉力缝的必要性
一些学者很早就认识到按照极限平衡的理论体系获得的解如果c值较大时在靠近滑面顶部的土条按式(2.20)将给出数值为负的条间力G按式(2.10)和式(2.11)计算滑面上的法向力N′也可能得到负值这一现象不仅不合理而且有时会导致数值计算不收敛的问题Terzaghi (1942)讨论了在滑面顶部设拉力缝的必要性并推导了计算拉力缝高度h
t
的公式即
)
2
45tan(
2
e
t
c
h
φ
γ
′
+
′
=
o
(2.68)
式中γ 为土的容重
在通用条分法的理论框架内我们可以用以下简捷的推导获得这一公式首先认定在滑面顶部滑面与水平线的夹角α为
24
e
φ′
+
π
将α代入式(2.12)右侧左侧G为零并令0
d
d
=
x
G
此时
t
h
x
W
γ=
d
d
得到
)
24
cos()
24
sin(
cos
ee
e
t
c
h
φφ
γ
φ
′
+
π
′
π
′′
= (2.69)
由于
)
24
cos()
24
sin(2)
2
sin(cos
ee
ee
φφ
φφ
′
π
′
π
=′?
π
=′ (2.70)
代入式(2.69)可得式(2.68)从以上推导可知式(2.68)是建立在以下假定基础上的
1) 在拉力缝处不仅G为零
x
G
d
d
亦为零
2) 在拉力缝处滑裂面与水平面夹角为)
24
(
e
φ′
+
π
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 41
上述两个假定不属于我们建立的边坡稳定通用条分法的理论体系因此式(2.68)仍属
近似
在稳定分析中也可以采用另一种确定拉力缝高度的方法假定某一较小的拉力缝高度
h
t
采用常规的方法进行稳定分析然后根据式(2.20)计算在顶部的侧向力G值在h
t
较小时G(a)将为负值不断增加h
t
的数值反复计算直至G(a)从小于零过渡到等于零相应此时的h
t
可以认为是所求的拉力缝高度但是这样的计算过于繁复因此采用式(2.68)
应该是一个可以接受的近似方法
2,5 关于通用条分法理论问题的讨论
2,5,1 Morgenstern?Price法
通用条分法最早由Morgenstern和Price(1965)提出原作者将土条侧面的总水平推力E
和切向力X分别用以替代式(2.10)和式(2.11)中的Gcosβ 和Gsinβ同样消去N′后令?x
0得到静力平衡的微分方程
[][]
)tantan1(
d
d
tansec)tan)(tan
d
d
d
d
(sec
tantan
d
d
tantan1
d
d
22
αφφααφα
αφαφ
eeee
ee
x
Q
u
x
V
x
W
c
x
X
x
E
′+?′′?+′=
′+′+?
(2.71)
力矩平衡方程为
et
h
x
W
Ey
xx
E
yX
d
d
)(
d
d
d
d
η++?= (2.72)
在求解过程中对每个土条的几何物理参数进行线性化
对底滑面
(2.73) BAxy +=
对土条重量
qxp
x
W
′+′=
d
d
(2.74)
对土条水平荷载
oo
qxp
x
Q
+=
d
d
(2.75)
对土条垂直荷载
oo
qxp
x
V
q ′+′=?
d
d
(2.76)
对式(2.29)侧向力假定函数
(2.77)mkxxf +=)(
42 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
则式(2.72)可化为
PNxKE
x
E
LKx +=++
d
d
)( (2.78)
(2.79) (AkK
e
′= φλ tan )
[ ] )(tan)tan1(tan)1(tan
2
ApApArApN
eoeoeue
′′+′+?′+′′= φφφφ (2.80)
(2.81) () )tan1(tan
ee
AAmL φφλ ′+′=
[ ] )(tan)tan1(tan)1(tan)1(
22
AqAqArAqAcP
eoeoeuee
′′+′+?′+′′++′= φφφφ (2.82)
在线性化基础上对方程式(2.78)在x
i
到区间内进行积分
ii
xx?+可以求得
)?
2
(
1
2
1
xP
xN
LE
xKL
E
ii
++
+
=
+
(2.83)
从坡顶第一个界面开始0=
0
E从上到下逐条求出法向条间力E
i
对最后一土条必须满足条件
(2.84) 0),( =λFE
n
对微分方程式(2.72)积分考虑到E(a) =
E(b)
=
0可得
∫∫
==
b
a
e
b
a
n
xh
x
Q
x
x
y
EXFM
0d
d
d
d)
d
d
(),( λ (2.85)
同样,采用Newton?Raphson 法对包含于式(2.84)和式(2.85)中的F和λ进行迭代求解
2,5,2 土条侧向力须满足的边值条件
在求解滑动土体的力和力矩平衡方程式时为了使问题变得静定可解我们引入了对
tanβ的假定即式(2.29)本节论证的问题是tanβ值在滑动土体两端即x
=
a和x
=
b处是确定的不能随意假定否则将违背剪应力成对的原理这一命题是作者和Morgenstern(1983)
首先提出的
首先考察一个处于滑面下部逸出点的端部的土条B见图2.14(a)这是一个特殊的土条它具有三角形形状土条在此尖灭为一个单元在这个土单元的垂直面CD上有
x
xy
bx
b
E
X
σ
τ
β ==
→
limtan (2.86)
式中β
b
为β (x)在端部的值τ
xy
和σ
x
分别为作用在边条块BCD的垂直面CD上的剪应力和垂直应力
式(2.86)说明如果端点的应力状态是确定的则β在端点处的值也是确定的就图2.14
中的B点的情况而言τ
xy
的值是零在σ
x
不等于零的时候β
b
的值就是零换句话说如果β(x)的值在端点被假定为非零的话在端部剪应力成对的原理将受到破坏
现在我们来提出一个具有一般意义的情况设右端部A土条坡面倾角为γ并在坡面作用一垂直荷载q参见图2.14(b)该土单元在AB面上的应力状态是确定的分别为
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 43
(2.87) γσ
2
cosq
s
=
(2.88)γγτ cossinq
s
=
图 2,14 土条侧向力须满足的边值条件示意图
(a) 上下端点土条(b)上端点的应力状态(c) 上端点的应力的应力圆
同时还要求代表该单元应力状态的应力圆与摩尔库伦强度包线相切那么这个应力圆就被唯一的确定了图2.14(c)为反映该单元应力状态的摩尔圆作用在单元上任何一个面上的应力状态都可以方便地在摩尔圆中找到当单元的小主应力方向和摩尔圆的轴平行时从摩尔圆的小主应力点B引一条与该面平行的割线其与摩尔圆的交点代表了该面的应力状态例如图2.14(b) AB面上的应力状态(σ
s
,τ
s
)是由图2.14(c)中的A点代表的注意两图中的AB互相平行单元的垂直面BC的应力状态(σ
x
,τ
xy
)是由E点代表的由于图2.14 (b)中
BC和BA两个面之间的夹角是90°?γ因此图2.14 (c)中∠ABE′
=
∠AA′O
=
90°?γ这就决定了在BC面上
γ
σ
τ
β tantan?==
xy
xy
a
(2.89)
这样就获得了一个重要结论端部土条侧向力必须与端部边坡表面平行通过进一步的理论分析可知对土条侧向力的边界条件应作出如下限制
命题1 当土条的宽度足够小时端点土条侧向作用力的合力平行于该土条顶面即
(2.90)
aa
γβ =
命题2 当土条的宽度足够小时端点土条的侧向作用力的作用位置确定原则为
c
A′
44 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(2.91)
B 3/1
A 2/1
对于情况对于情况
=′
=′
c
c
A
A
定义情况A为在端部粘聚力c′
≠
0或垂直表面荷载q
≠
0情况B为在端部c′
=
0同时q
=
0并且滑裂面不与边坡表面相切即
(2.92)0)()( ≠′?′ azay
根据本论点确定在边界x
=
a的数值后
c
A′再使用式(2.29)即可算得每一个土条的
y
t
值
上述两论点的理论证明见本章附录2.6.1节
固定土条侧向力在端部的值可以限制对β
假定的任意性具有一定的理论和实用意义为了使对tanβ的假定符合本节提出的限制提出了式(2.30)这样一个具有普遍意义的假定函数
从实用角度可以对式(2.30)中的f
o
(x)和f(x)取下面两种假定它分别代表了方法严格程度的两个水平
(1) 土条侧向力实用假定1取f
o
(x) =
0 f (x)
=
1这就是常用的Spencer法参见图2.1(b)
(2) 土条侧向力实用假定2取f
o
(x)在(a b)区间内为直线其值在x
=
a b时按式(2.35)
确定f (x)为正弦曲线参见图2.1(c)
STAB程序默认地功能是实用假定1此时OP1(3) 0当OP1(3)不为零时输入其它侧向力假定ISPE
2时自动实现土条侧向力实用假定2 ISPE
0时由用户指定f
o
(x)
和f (x)详见12.2.4节以及第12章的例题EX25 EX27 EX29
虽然作者和Morgenstern提出这一命题但是在大多数情况下大家还都是应用Spencer
法即取f
0
(x)
=
0 f (x)
=
1关于端部条块β值的限制恐怕主要在于它的理论意义实践也证明对计算成果的精度的影响并不大但是在某些情况下简单地采用Spencer法将导致误差和数值分析不收敛的问题下面2个例子是作者在实际工作中遇到的同时在使用通用条分法进行土压力计算时第8章也需对端部条块β值作出限制
[例2.5] 重力坝抗滑稳定例
图2.15是水利部上海勘测设计院在进行宜兴抽水蓄能电站重力坝方案时事先设计的一个例题使用STAB程序计算时利用坡顶设拉力缝并充水的功能模拟重力坝承受的水压力对这样一个简单的混凝土大坝抗滑稳定问题在设定的推力和滑面上的强度指标条件下安全系数完全可以用简单的力学平衡求得此例φ和c分别取38.66°和35×9.8 kN/m
2
混凝土容重取2.5×9.8 kN /m
3
无扬压力可得F
=
1.867可是采用STAB程序的Spencer法安全系数却是F
=
2.585
出现这一问题的原因就在于对于A点对水压力的倾角的假定上面显然在A点β 应为零而采用Spencer法即土条侧向力应用假定(1)图2.15中矩形分布图形则土条间作用力的倾角包括A点均为一非零的值这样就在端部β出现了突变点就好象水压力也是以一个倾斜的β角作用在坝面上这一问题导致了安全系数严重地偏离正确值如果第2章 边坡稳定分析的通用条分法 45
我们采用土条侧向力应用假定(2)参见图2.15中下方所示三角形图形令 f
0
(x)在A点为零获得了F
=
1.868与理论值完全一致
实际上Spencer (1973)本人已经注意到了他的方法在处理拉力缝充水情况时这一问题在他的进一步的研究中提出了一个类似于Morgenstern?Price法的对侧向力的假定以实现β值在拉力缝处为零这一条件
在STAB程序中当坡顶设拉力缝并充水时程序将自动处理使土条侧向力应用假定
(2)
图 2,15 [例2.5] 混凝土坝抗滑稳定题例 图 2,16 [例2.6] 圆弧滑动题例
[例2,6] 圆弧滑动例
图2.16示一圆弧滑裂面φ
=
0的情况显然对于这样一个简单的情况如对圆弧中心取矩任何一个包含力矩平衡条件的稳定分析方法均应给出相同的结果即F
=
1.101令人惊讶的是采用土条侧向力1即Spencer法居然无法得到收敛的解答作者不仅尝试了本人编著的STAB程序同时也使用另一商用程序均无结果
试按图2.3 所示的思路构筑了F
G
(β)和F
M
(β)图如图2.17(a)所示可见在β的合理取值范围内(?5°~25°)两条曲线无论如何也交不上为此我们改用了图 2.1(b)所示对侧向力的第2假定此时根据本节介绍的对侧向力倾角边值条件的讨论在滑面两端的β值均应与坡面倾角相同即取f
0
(x)在两端的数值为0.5这样使用通用条分法即可顺利地收敛到F
=
1.101这一数值图2.17示迭代收敛后β值的分布本例再一次说明对侧向力倾角β在两端取合理数值在有的情况下是必要的
46 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
图 2,17 [例2.6] 安全系数的计算过程
(a) M(F,λ)和G(F,λ)图(b) 采用侧向力的第2种假定得到的β值分布
2,5,3 土条侧向力假定对计算结果的影响
边坡稳定的极限平衡法认为对多余未知数tanβ引入的不同假定如果相应的解满足
2.1节引入的合理性条件即式(2.7)和式(2.8)那么其安全系数各自都相差不大如果说我们还没有条件对这一论点给出严格的理论证明那么能不能设法将所有安全系数合理解的集合找到检查该集合中的最大值和最小值是否果然相差不大Chen & Morgenstern (1983)介绍的一个确定F值最大值和最小值的近似方法就是基于这样的想法提出的当然关于这方面的工作只是一种理论研究在实际应用时有了本节研究的结论就不必重复这一繁琐的工作一般情况下使用上节提出的关于侧向力的两个实用假定即可
假定已经找到满足式(2.23)和式(2.24)的一组解F*和β*(x)
(2.93)
∫
==
b
a
n
xFsFpG
0d*)*,(*)*,( ββ
(2.94)
∫
=?=
b
a
en
MxFtFsFpM
0d*)*,(*)*,(*)*,( βββ
如果邻近F*+?F β*+?β也满足式(2.93)式(2.94)则
0
d*)*,(*)*,(d)?*,?*()?*,?*(?
=
++++=
∫
b
a
b
a
n
xFsFpxFFsFFpG ββββββ
∫
(2.95)
∫
∫
=?
+?+?+?+?+?+=?
b
a
b
a
n
xFtFsFp
xFFtFFsFFpM
0d*)*,(*)*,(*)*,(
d)*,*()*,*()*,*(
βββ
ββββββ
(2.96)
如果取
(2.97) )( xεξβ =
ε是一个微小量使?β相对于β足够小ξ(x)为假定的一个?β
的分布
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 47
通过变分运算可得
(2.98) 0)?,?( =++= εε FoKFKG
gagfn
(2.99) 0)?,?( =++= εε FoKFKM
mamfn
其中的计算公式和推导详见2.6.2节
gagf
KK,
mamf
KK,,
)?,?( εFo代表一个比高阶的小量ε和F忽略此小量式(2.98)和式(2.99)变为
(2.100) 0?))(*,*,(?*)*,( =+ εξββ xFKFFK
gagf
(2.101) 0?))(*,*,(?*)*,( =+ εξββ xFKFFK
mamf
只有在下式成立时ε和F才有非零解
0
))(*,*,(*)*,(
))(*,*,(*)*,(
=
xFKFK
xFKFK
mamf
gagf
ξββ
ξββ
(2.102)
一旦找到了一个满足式(2.102)的ξ(x)?F即可算得
ε
β
ξβ
*)*,(
))(*,*,(
FK
xFK
F
gf
ga
= (2.103)
由此可见要在已知解F* β*基础上求得邻近的一组新的解F*+?F )(?* xεξβ +选择的ξ(x)不是任意的必须使式(2.102)成立可以按下式构造一个ξ(x)
(2,104) )()()(
21
xxmx ξξξ +=
)()(
21
xx ξξ和为任意函数它们之间线性无关即没有常数C
1
和C
2
可以使下式成立
(2.105)
2112
)()( CxCx += ξξ
一旦设定后)()(
21
xx ξξ和将式(2.104)代入式(2.100) 和式(2.101)即可求得
[] []
[] [])(*,*,*)*,()(*,*,*)*,(
)(*,*,*)*,()(*,*,
11
22
xFKFKxFKFK
xFKFKxFKK
m
gamfmagf
gamfmagf
ξββξββ
ξββξβ
= (2.106)
于是就获得了ξ(x)我们这样来选择)()(
21
xx ξξ和它使β
(x)的峰值沿某一方向移动直至合理性条件不再成立例如可以使用下面两组)()
2
xx ξ和(
1
ξ
第一组分别为椭圆和抛物线)()(
21
xx ξξ和图2.18中的曲线1和2如果?ε取正值则ξ(x)就有可能使?β在区间的中间部分为正值两边为负值换句话说它将使β (x)的值在中间部分增加两边减少反之如果?ε为负β
(x)的中间部分减少两边增加
第二组为三次曲线)()(
21
xx ξξ和图2.18中的曲线3和4其峰值分别在左侧和右侧当?ε为正时有可能获得一个在区间左半部为正右半部为负的?β换句话说它将使β
(x)
的峰值左移当?ε为负时β
(x)的峰值右移
由于β
(x)包含有F
ve
这个合理性要求指标的特性β
(x)的峰值的移动将最终使F
ve
的值达到边界越过此边界F
ve
越过了1合理性要求不再满足
此外从式(2.29)还可以看出在区间(a x)之间β
(x)的平均值如果增加y
t
在x的值
48 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
就有可能增加A′
c
值则减少作为合理性要求的另一指标A′
c
的值就有可能发生本质的变化如果采用曲线3和4)()(
21
xx ξξ和就有可能实现β
(x)的平均值在区间(a x)之间增加这一目的
这样通过选择恰当的)()(
21
xx ξξ和就有可能变化F
ve
和A′
c
而最终找到受合理性要求控制的边界
图 2,18 两种建议曲线
下面通过两个例子来说明这个过程具体材料参数参见文献(Chen & Morgenstern,
1983)
[例2,7] 确定合理安全系数解集的上下限例 (Chen & Morgenstern,1983)
图2.19所示的滑裂面的两个端部都终止在水平的土坡面上因此β
a
和β
b
应为零取f
0
(x)
为零f(x)为正弦曲线即可求得Morgenstern?Price方法的一组解安全系数F为1.465
相应的λ为0.360相应的F
ve
和A′
c
的图形如图2.20中标有初始解的那些曲线所示可见F
ve
和A′
c
的值都满足合理性要求但在区间的中部F
ve
的值十分接近F
ve
=1线如果继续增大中部的β (x)值F
ve
在中部的值必将小于1相应的解也就变成不满足合理性要求的解采用图 2.18曲线1和2作为)()(
21
xx ξξ和取?ε为0.025从图2.20(a)可以看出经过12次积分后在中间部分F
ve
的值变得比1小了相应的新解安全系数F值从原来的
1.265变成了1.471如果?ε为?0.05如图2.20(b)所示则两边的β值将增加经过12次积分后左边部分的F
ve
值减少到比1小此时安全系数F为1.455再采用图 2.18曲线3
4使β (x)的峰值向左或向右移分别采用?ε值为0.04和?0.025如图2.20(c)和图2.20(d)所示其相应的安全系数F为1.470和1.444
图 2,19 确定合理安全系数解集的上下限例
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 49
图 2,20 [例2.7] 确定安全系数解集的上下限过程
(a) β (x)峰值上移?ε = 0.025 (b) β (x)峰值下移?ε =?0.05
(c) β (x)峰值左移?ε = 0.040 (d) β (x)峰值右移?ε =?0.025
50 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
可以看到在所有上述情况A′
c
值都是合理的
现在所假定的β (x)已经覆盖了相当大的区域每一方向的积分都达到了合理性要求的边界尽管还可以作更多的试算但安全系数的最大最小值可以很合理地确定为在1.471
和1.444之间这一算例说明受合理性要求限制的安全系数解集的上下限确定是很接近的
[例2.8] 加拿大Edgeton滑坡 (Chen & Morgenstern,1983)
图 2.21为加拿大Edgeton滑坡计算简图图2.22 示不断变化β(x)的情况与上例相反
F
ve
值一直都是合理的但A′
c
值在靠近边坡中部处趋于零此例安全系数解集的上下限也很接近F值在0.960左右
图 2,21 [例2.8] Edgeton 滑坡
图 2,22 [例2.8] 确定安全系数解集的上下限过程
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 51
2,5,4 其它通用条分法
1,有关通用条分法的研究
开发同时满足力和力矩平衡条件的通用条分法一直是边坡稳定分析领域中十分活跃一项研究工作有关的文献浩瀚宏大但是所有的方法只要是建立在本章阐述的极限平衡法的理论基础上在本质上都不会有很大的区别已有的研究工作已十分充分
Morgenstern(1992)认为在这一方面更多的研究工作不会对深化这一领域的认识带来实质性的影响本文简要地回顾并讨论一些有代表性的研究工作
在边坡稳定极限平衡分析领域主要的一项工作是对作用在滑动土体中的某些未知内力引入适当的假定使问题变得静定可解根据未知内力的特点可将这些方法分为两
大类
(1) 对作用在滑面上的法向力作出假定早期在这方面有不少学者曾发表过有关的研究论文这些方法的特点是确定一个滑裂面的安全系数和确定临界面的步骤是合并在一起的
Baker和Garbo (1977,1978) 引入了变分法原理最后得出了临界滑裂面应是对数螺旋线的结论这一工作后来受到了一系列论文的质疑(De Josselin De Jong,1980; Luceno & Castino,
1980; Castillo & Luceno,1982)
土条上某一点法向力的大小是由上复土条重量和该点以上滑体下滑力决定的在确定法向力时应充分考虑这些因素Baker & Garbo等在对法向力进行假定时无视了这些因素鉴于对这一建立在变分原理和法向力假定基础上的方法在理论上的问题和很少有实际应用的事实Duncan (1995)认为不能将其视为对边坡稳定分析方法有意义的改进但近期仍有相关的研究成果(Leshchinsky,1990; Leshchinsky & Huang,1992)
(2) 对土条侧向力的某一参数进行假定即垂直条分法将滑动土体分成垂直土条通过分析土条的静力平衡条件确定安全系数仍是目前最为广泛的一种方法在通用条分法中根据假定的类型分为以下三大类
1) 对土条侧向力的倾角的分布形状作假定这一类方法已在本章作为主要内容作过详细的讨论
2) 对土条倾向力的大小的分布函数作假定这一类方法最有代表意义的是Sarma (1973)
法
3) 对土条倾向力的作用位置作假定这一类方法最有代表意义的是Janbu (1973)法
下面对Sarma法和Janbu法作一简单的介绍和讨论
2,Sarma法
首先Sarma提出了一个临界加速度的概念他假定每个滑动土条承受一个K?W的水平力 滑体处于临界状态K称为临界加速度系数这样滑裂面上的c′和φ
′不再如按式(2.2)
和式(2.3)缩减但是为了和传统的安全系数接轨Sarma采用以下方法求得按式(2.2)和式(2.3)
定义的安全系数
1) 假定一系列的安全系数F按式(2.2)和式(2.3)获得c'
e
和tanφ'
e
2) 根据不同的c'
e
和tanφ'
e
求得K并将其绘制成如图2.23所示的F~K曲线
3) F~K曲线与x水平轴的交点相应的F值即为按传统定义获得安全系数
52 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
在编制计算机程序时上述步骤当然也可通过Newton?Raphson法的一维迭代实现
Sarma的解法的要点是求解临界加速度系数比较方便K可以通过一个直接的公式求得不需迭代因而求解安全系数变成了如图2.22所示的只包含一个未知数的迭代过程
图 2,23 Sarma法求解安全系数步骤
Sarma建立的坐标系同图2.1对土条左右侧面的剪力X的差值?X作如下假定
(2.107))(? xQX λ=
可见,Sarma 并没有对?X的绝对值作假定,而是对它的分布形状提出了一个函数Q(x)
在此基础上建立力和力矩平衡方程,Sarma 最终获得以下公式
(2.108)
32
/ SS=λ
i
W
SS
K
41
Σ
=
λ
(2.109)
(2.110) )()(?
2 cici
yyDxxWS?Σ+?Σ=
(2.111) )]()(tan)[(
3 cc
xxyyQS?+?′?= αφαΣ
(2.112) )tan(
4
αφ?′Σ= QS
)cos(
sin]sincos)tan([
αφ
αφγφαφ
′
′?′+?′?
=
WxcW
D
ui
i
(2.113)
式中x
c
y
c
为土条底中点的坐标
下面的问题是如何来确定Q(x)这是一个带量纲的分布函数Sarma从分析土条受力条件入手提出了一个计算Q(x)的经验公式对于均质边坡Sarma建议
(2.114) ]2/tan))[((
2
HcHrKxfX
u
′+′?′= φγλ
其中f(x)是一个无量纲的分布形状函数通常可以取为1 H为土条高度
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 53
)2sin(sin1
]/cos4sin)21)[(2sin(1
φαφ
γφφφα
′?+
′′+?′
=′
Hcr
K
u
(2.115)
对于非均质边坡Sarma也提出了建议的Q (x)分布函数在推导上述公式过程中Sarma
采用的力学分析中仍包含大量经验成分
Sarma法的优点是将求解安全系数的非线性方程迭代步骤从二维减少为一维缺点是对
Q(x) 这个带量纲的分布函数的假定缺乏直观的力学背景多少带有一定的人为因素还有不少学者对土条侧向力的绝对值作假定如Madej (1984)和Cerreia (1988)假定
(2.116))(xgX λ=
潘家铮(1978)假定
(2.117) )tan(? αγλ?=
avgi
WX
式中γ
avg
为边坡的平均坡度
3,Janbu法 (1973)
此法采用的坐标系同图2.1对土条建立水平和垂直方向的静力平衡方程式分别得
)tan1(?tan?)
(?
2
ατα? +?+++= xxt
x
W
qQE (2.118)
αφ
φ
τ
τ
tantan1
tan)
(
e
ee
f
ut
x
W
qc
F ′+
′+?+++′
== (2.119)
其中τ为按式(2.1)定义的作用在条底的剪应力t(x)为
x
X
xt
d
d
)( = (2.120)
对一个宽度无限小的土条建立力矩平衡可得
x
Q
h
x
E
hEX
et
d
d
d
d
tan?+?= α (2.121)
其中为土条侧向力作用点与条底的距离
t
h令
αtan)
(? t
x
W
qQB
i
+++= (2.122)
(2.123) )tan1(?
2
ατ += xA
fi
由整体平衡条件可得 0? =EΣ
iba
i
BEE
A
F
Σ+?
Σ
= (2.124)
式中E
a
和E
b
分别为滑体左右端E的边界值
Janbu法的计算步骤如下
1) 假定h
t
为一确定的数值Janbu建议取h
t
为土条高度的1/3
54 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
2) 先假定一个F
0
值并假定 t(x)
=
0通过式(2.119)求得τ
f
并用式(2.124)求得一个新的安全系数F
1
3) 通过式(2.118)求得各条块的?E和E
4) 通过式(2.121)求得各条块的X
5) 在新的X的基础上通过式(2.120)获得一个新的t(x)
6) F
1
和F
2
的差值小于允许误差时计算收敛结束否则在新的t和 F
2
基础上重复2)
至5)的解题步骤
从上述步骤可知Janbu法求解力的平衡时研究对象是图2.2所示的一个土条而使用力矩平衡条件即步骤4时则是相对一宽度为无限小的以土条侧面为中心的另一个土条
Janbu自1973年提取出此方法后受到学术界的广泛重视一个重要原因是此方法同时引入了力和力矩平衡条件 而计算过程却相对比较简单可用手算或编制一个简单的程序来实现但是在实际应用时不少学者发现该法存在严重的收敛困难问题作者曾对这一方法作过尝试
[例2.9] 检查Janbu法收敛性能的例子图2.24陈祖煜1996
图 2,24 检查Janbu法收敛性能的一个例子
对圆弧形裂面I,使用了改进后的通用条分法[相应]和Janbu法0)(,1)(
0
== xfxf两种方法初始假定的F
1
均为1.86,图2.25(a)通用条分法仅经过两次迭代就满足了收敛要求即?F和?λ绝对值小于0.001使用Janbu法我们控制前后两次迭代差值不大于0.005这样经过10次迭代可以得到F值在1.972和1.977之间这个数值和Morgenstern?Price
法的解是接近的在第二次试算时用于第一次迭代的F值为1.582通用条分法仍然只需三次迭代获得了收敛解而Janbu法则需要13次如图2.25(b)对图2.24虚线示的非圆弧形滑裂面2,通用条分法仍然只需要两次迭代而Janbu法却无法获得收敛解如图2.25(c)
在美国土木工程师学会召开的岩土工程的分析和设计会议中Wright (1975)等学者曾对 Janbu 法的收敛问题作过讨论当时来自挪威的Karal (1975)曾为Janbu法的收敛问题作过答辩称 Janbu 法的收敛性能极好但计算时条块数目不能太多条块不能太细第2章 边坡稳定分析的通用条分法 55
我们发现在Janbu提供的例题中滑动土体确实只有4或5个土条条块数目一多即遇到收敛困难的问题对Karal 的答辩Wright当时曾即席作了这样的评价
Janbu法采用有限差分的原理来模拟力矩平衡因此其精度理应随着土条宽度的减少而增大称条块数目越少越好是难以令人接受的我们等待着Karal对这一问题进一步的澄清说明
图 2,25 [例2.9] 迭代过程
(a) (b) 圆弧形裂面(c)非圆弧形裂面
这里Wright提到的力矩平衡条件就是式(2.121)这一方程是建立在土条宽度无限小的基础上的
作者认为Janbu 法收敛性能差的根本原因在于对土条侧向力作用点位置的假定被定位在绝对值而不是相对值上面在本章介绍的所有的满足力和力矩平衡条件的方法中都是只对土条侧向力的某一参数的分布形状而不是绝对值作假定最终留下一个确定其绝对值的假定系数λ和安全系数F联合求解对于一个同时满足力和力矩平衡条件的解土条侧向力的作用位置不可能均为土条高度的三分之一或者说h
t
均为1/3土条高的解实际上是不存在的硬性规定了土条侧向力的某一参数的绝对值使迭代过程失去了灵活调整的能力从而导致收敛困难
Janbu法收敛困难的另一原因时初始输入的假定除安全系数F外还有的一个假定函数
t(x) Janbu建议可取t(x)为零然后在迭代过程中过渡到正确值这等于是在初始输入的假定中引入了n+1个未知变量n为土条数在非线性规划领域要保证一个算法具有很好的收敛特性一个重要的原则就是要求尽量减少自变量的数目并要求输入的迭代初值尽
56 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
可能地靠近最终的解答如果滑裂面上的某些部位的t(x)真实值和零相差较远这样的计算步骤的收敛性就难以保证
2,6 本章附录
2,6,1 关于端部条块侧向力假定的限制条件的证明
本节要证明的命题是
对端部形状为三角形的条块当?x是很小时则
(2.125)
aa
γβ =
(2.126)
=
)B(3/2
)A(2/1
情况情况
c
A
关于情况A和的定义及有关符号意义已在2.5.2节介绍
在2.4.1节中我们已经讨论了作用在一个微小长?x上连续分布的垂直应力σ
(x) 的合力P
的作用点的位置a可通过式(2.45)予以确定定义这一相对位置为
x
a
ζ = (2.127)
另外如果?x→0时P/?x
n
不为零则称P与?x
n
同阶则根据式(2.47)可知
1) 如果ζ
=
1/2则P与?x同阶
2) 如果ζ
=
2/3则P与?x
2
同阶
同时也不难证明
1) 如果σ(0)≠0则P与?x同阶
2) 如果σ(0)
=
0 σ′ (0)≠0则P与?x
2
同阶
现在研究图2.26所示端部三角形条块当?x足够小时AD可简化为直线建立水平方向的静力平衡方程和对D点的力矩平衡方程
(2.128) αααφ tan)sincos(tan?+′′?= xuxcNE
ee
0sec
3
2
2
1
222
=++ xuxqxkWFDNHDE α (2.129)
其中线段长度HD和FD与?x同阶k?x为重心距端点D的距离u为DA面上的平均孔隙水压力与?x同阶?W与?x
2
同阶注意滑裂面不与边坡表面相切这一前提式(2.128)
和(2.129)中仅有两个未知量E和N它们必须同阶否则高阶的那个量在?x→0时消失使式(2.128)或(2.129)无法同时成立
对于情况A由于c′
e
或q不为零由式(2.128)和式(2.129)可知E和N与?x同阶
故有
(2.130) 2/1===
NEc
A ζζ
由于DC面上的水压力与?x
2
同阶比E高阶故有
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 57
图 2,26 端部条块侧向力分析
(2.131) 2/1==′
cc
AA
对于情况A由于c′
e
或q同时为零则要求E和与?x
2
同阶故有
(2.132) 3/2====′
NEcc
AA ζζ
式(2.126)得证
设作用在AD上的法向应力的作用点为F
则HF平行于AC将作用在土条上的力对
F取矩
(2.133) 0)1(tan)1( = xExX
NaN
ζγζ
单元的重量在(2.133)中不出现理由是
1) 在情况A与?x
2
同阶而情况A时E与?x
2
同阶故予忽略
2) 在情况B时该重量通过F点故也不出现在式(2.133)中表面荷载在情况A时通过F
在情况B时不存在故也不出现在式(2.133)中令式(2.133)中?x→0可知
a
x
a
E
X
γβ tanlimtan
0?
==
→
(2.134)
式(2.125)得证
2,6,2 G
n
和M
n
对F和λ的导数的计算公式
G
n
和M
n
的变分 1,
G
n
和M
n
由下式定义
58 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(2.135)
∫
=
b
a
n
xxsxpG
d)()(
(2.136) 0d)()()(
=?=
∫
e
b
a
n
MxxtxsxpM
其中p(x) s(x) t(x)在第一节中已定义
由于F的微分dF和β(x)的变分δβ引起的G
n
和M
n
增量是可由下式表达
[]
∫
δ+
=δ
b
a
n
xxsxpF
F
xsxp
G
d)()(d
)]()([
(2.137)
[
∫
δ+
=δ
b
a
n
xxtxsxpF
F
xtxsxp
M
d)()()(d
)]()()([
] (2.138)
其中和为和由于β(x)的变分δβ引起的变
分值
[])()( xsxpδ [])()()( xtxsxpδ )()( xsxp )()()( xtxsxp
F
xsxp
)]()([
和
F
xtxsxp
)]()()([
的推导 2,
可以得到
x
F
xkxsxp
F
sp
e
e
x
a
b
a
d]d
d
d
d
d
)(sec)()[()(
)(
2
ξ
φ
ξ
β
βαφ
′
+?′=
∫∫
(2.139)
)}cos()(/{cos
]sinsin
d
d
)cos(cossec
)cos(sinsec
d
d
cossin)
d
d
[()(
βαφφ
βφηαβφα
αβφαβφ
+?′?′
′′′+
′?′+?=
ee
eee
eue
xpF
x
W
c
x
W
rq
x
W
xk
(2.140)
同时也可以证明
]d
d
d
d
d
)(sec)()([
)(
,
,2
ξ
ξ
βφ
βαφ+=
∫
F
txtxksp
F
tsp
e
x
a
e
(2.141)
式(2.141)的推导如下
t
F
sp
F
t
sp
F
tsp
+
=
)()(
(2.142)
其中ξζ
φ
ξ
β
βαφβαβ
ξξ
ξ
β
βαφ
ξ
d]d
d
d
d
d
)(sece)costan[(sin
2
d
d
d
)tan(
FF
t
e
x
aa
e
a
e
′
+?′=
∫∫
+?′
∫
(2.143)
根据t(x)的定义式(2.143)可以写成
t
FF
t
e
x
aa
e
d]d
d
d
d
d
)(sec[
2
ζ
φ
ζ
β
βαφ
ξ
′
+?′=
∫∫
(2.144)
对式(2.144)进行分部积分可得
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 59
∫∫
′
+?′?
′
+?′=
e
a
e
e
e
x
a
e
t
FF
xt
F
t
2
2
d
d
d
d
d
)(secd
d
d
d
d
)(sec)( ξ
φ
ξ
β
βαφζ
φ
ζ
β
βαφ (2.145)
将式(2.145)和式(2.139)式代入式(2.142)即可得式(2.141)
δ(p?s)和δ(p?s?t)的推导 3,
(1) δ(p?s)的推导
由于p(x)与β无关
(2.146) spsp δ?=?δ )(
+?′δδ+?′=δ
∫
ξ
ξ
β
βαφββαφ d
d
d
)tan()tan(
x
a
ee
sss (2.147)
其中
ξ
ξ
β
βαφ
ξβ
ξ
β
βαφξ
ξ
β
βαφ
d)
d
d
()tan(
d
d
d
)(secd
d
d
)tan(
2
∫
∫∫
δ+?′+
δ+?′=
+?′δ
x
a
e
x
a
e
x
a
e
(2.148)
可以分部积分
[]
∑
∫
∫∫
=
δ+?′+δ+?′?
δ+?′?δ+?′=
+?′
s
i
r
liiiei
x
a
e
x
a
e
x
ae
x
a
e
1
2
2
)tan(d
d
d
)(sec
d
d
d
)(sec])[tan(d
d
d
)tan(
ββαφξβ
ξ
α
βαφ
ξβ
ξ
β
βαφββαφξ
ξ
β
βαφ
(2.149)
需要注意的是由于可能在某些点i(i)tan( βαφ +?′
e
=
1 2 s)不连续在通常的分部积分表达式中加上了一项
[]
∑
=
δ+?′
s
i
r
liiiei
1
)tan( ββαφ
其中
iiei
βαφ′为βαφ
e
′在第i个不连续点的值脚标r和l代表第i个不连续点左侧和右侧的值
将式(2.149)代入式(2.148)然后将式(2.148)代入式(2.147)可得
δ+?′?
δ+?′+δ+?′?=δ
∑
∫
=
s
i
r
iiiei
aaaea
x
a
e
ss
1
1
2
])[tan(
)tan(d
d
d
)(sec
ββαφ
ββαφξβ
ξ
β
βαφ
(2.150)
式(2.150)可写成
[]
+δ+=δ
∫
i
x
a
e
Cxsxs ξβ
ξ
β
βαφ d
d
d
)(sec)()(
,2
(2.151)
60 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(2.152) [
∑
=
δ+?′?δ+?′=
s
i
r
liiieiaaaeai
C
1
)tan()tan( ββαφββαφ ]
其中
aaaea
ββαφ δ′为ββαφ δ′
e
在x
=
a的数值
C
i
在α和φ
e
′连续时为一常数当x通过第i个不连续点时因α或φ
e
′有一突然变化C
i
获得一个增值
将式(2.151)代入式(2.146)可得
[]
+δ+?′=?δ
∫
i
x
a
e
Cxsxpxsxp ξβ
ξ
α
βαφ d
d
d
)(sec)()()()(
2
(2.153)
(2) δ(p?s?t)的推导
由式(2.146)和式(2.147)可得
tsptsp
tsptsptsp
x
a
ee
δ++?′δ?δ+?′=
δ+?δ=δ
∫
)]d
d
d
)tan(()[tan(
)()(
ζ
ζ
β
βαφββαφ
(2.154)
ξζ
ζ
β
βαφβαβ
ξββαβ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
ζ
ζ
β
βαφ
ξ
ξ
dd
d
d
)tan(e)sintan(sin
de)sintan(cos
d
d
d
)tan(
d
d
d
)tan(
+?′δ+
δ?+=δ
∫∫
∫
+?′
+?′
∫
∫
a
e
x
a
x
a
a
e
a
e
t
(2.155)
根据t(x)的定义式(2.155)中右边第二项可以分部积分式(2.155)变成
∫∫
∫
+?′δ+
δ?+=δ
+?′
∫
x
aa
e
x
a
t
t
x
a
e
d
d
d
)tan(
dd
d
d
)tan(
de)sintan(cos
ζ
ζ
β
βαφ
ξββαβ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
ξ
ξ
β
βαφζ
ζ
β
βαφ
ξββαβ
ξζ
ζ
β
βαφ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
ξββαβ
ζ
ζ
β
βαφ
ξξ
ζ
ζ
β
βαφ
ξ
ξ
d)
d
d
)(tan()d
d
d
)tan((
de)sintan(cos
d)]d
d
d
)tan(([
d
d
)]d
d
d
)tan(([
de)sintan(cos
d
d
d
)tan(
d
d
d
)tan(
∫∫
∫
∫∫∫
∫
+?′δ+?′δ?+
δ?+=
+?′δ+?′δ?+
δ?+=
+?′
+?′
∫
∫
x
a
e
x
a
e
x
a
a
e
x
a
x
a
a
e
x
a
tt
tt
a
e
a
e
(2.156)
其中
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 61
[]
[]
r
liiiiei
s
i
ee
x
a
x
a
e
r
liiiiei
s
i
e
x
a
x
a
e
x
a
e
x
ae
x
a
e
e
x
a
e
x
a
e
tt
t
t
t
tt
tt
t
t
a
e
])[tan()tan(d)tan(
e)sintan(sind
d
d
)(sec
)tan(d)tan(
d
d
d
d
d
)(secd
d
d
)(sec
)tan(d
d
d
)(sec
d
d
d
)tan(
d
d
)(sec
d
d
d
)tan(
1
d
d
d
)tan(
2
1
2
2
2
2
δ+?′+δ+?′?+?δ+?′?
δ?+?′=
δ+?′+?δ?+?′+
δ?+?′δ?+?′?
δ?+?′?+?δ?+?′=
δ+?′+δ?
+?′?=
+?′δ?
∑
∫∫
∑
∫
∫∫
∫
∫
∫
=
+?′
=
∫
ββαφββαφξββαφ
βαβξβ
ξ
α
βαφ
ββαφξββαφ
ξ
ξβ
ξ
α
βαφξβ
ξ
β
βαφ
ββαφξβ
ξ
β
βαφ
ξ
ξ
β
βαφβ
ξ
β
βαφ
ξ
ξ
β
βαφ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
(2.157)
将式(2.157)代入式(2.156)可得
[]
∑
∫
∫
∫
=
+?′
δ+?′?
+?′δ?+
δ+?′δ?+?′?
δ+?′′=δ
∫
s
i
r
liiiiei
x
a
e
e
x
a
e
x
a
ee
tt
tt
t
a
e
1
2
d
d
d
)tan(
)tan(d
d
d
)tan(
)tan(d
d
d
)(sec
de)sec(seccos
ββαφξ
ξ
β
βαφ
ββαφξβ
ξ
α
βαφ
ξββαφαφ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
(2.158)
将式(2.158)代入式(2.154)可得
spCt
tsp
ti
x
a
e
x
a
ee
a
e
+?δ?+?′?
δ+?′′=
∫
∫
∫
+?′
ξβ
ξ
α
βαφ
ξββαφαφδ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
d
d
d
)(sec
de)sec(seccos)(
2
d
d
d
)tan(
(2.159)
(2.160) [
∑
=
δ+?′?=
s
i
r
liiiieiti
tC
1
)tan( ββαφ ]
将式(2.139)式(2.141)式(2.153)式(2.159)代入式(2.137)式(2.138)最终得
xC
F
F
xkxsxpG
i
x
a
e
x
a
e
e
b
a
n
dd
d
d
)(sec
dd
d
d
d
d
)(sec)()()(
2
2
+?δ+?′?+
′
+?′=δ
∫
∫∫
ζβ
ζ
α
βαφ
ζ
ζ
βφ
βαφ
(2.161)
62 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
x
Ct
F
F
txtxkxsxpM
x
a
ee
ti
x
a
e
x
a
e
e
b
a
n
a
e
dde)sec(seccos
d
d
d
)(sec
dd
d
d
d
d
)(sec)()()()(
d
d
d
)tan(
2
2
δ+?′′+
+?δ+?′+
′
+?′=δ
∫
∫
∫∫
∫
+?′
ξββαφαφ
ξβ
ξ
α
βαφ
ξ
ξ
βφ
βαφ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
(2.162)
4,几种变分的特殊情况
δβ的变分可以取几种特殊情况下面两种在本章中使用
(1) β (x)由一个系数所控制此时有
(2.163) ),()( λββ xx =
当λ有一增量时β (x)就会有一个变分
λ
λ
β
β d
d
d
=δ (2.164)
将式(2.164)代入式(2.161)和式(2.162)可得
λ
λ
ddd
+
=
nn
n
G
F
F
G
G (2.165)
λ
λ
ddd
+
=
nn
n
M
F
F
M
M (2.166)
x
F
xkxsxp
F
G
x
a
e
e
b
a
n
dd
d
d
d
d
)(sec)()()(
2
′
+?′=
∫∫
ξ
ξ
βφ
βαφ
(2.167)
x
F
txtxkxsxp
F
M
x
a
e
e
b
a
n
dd
d
d
d
d
)(sec)()()()(
2
′
+?′=
∫∫
ξ
ξ
βφ
βαφ
(2.168)
xDxsxp
G
i
x
a
e
b
a
n
dd
d
d
d
d
)(sec)()(
2
++?′=
∫∫
ξ
ξ
α
λ
β
βαφ
λ
(2.169)
xe
Dtxsxp
M
x
a
ee
ti
x
a
e
b
a
n
a
e
dd
d
d
)sec(seccos
d
d
d
d
d
)(sec)()(
d
d
d
)tan(
2
+?′′+
++?′=
∫
∫∫
∫
+?′
ξ
λ
β
βαφαφ
ξ
ξ
α
λ
β
βαφ
λ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
(2.170)
r
l
s
i
iei
ax
ei
D
∑
==
+?′?
+?′=
1
d
d
)tan(
d
d
)tan(
λ
β
βαφ
λ
β
βαφ
(2.171)
r
l
s
i
ieiiti
tD
∑
=
+?′?=
1
d
d
)tan(
λ
β
βαφ
(2.172)
(2) β(x) 由一个函数所控制此时有
(2.173) )(?)(? xx εηβ =
式中η(x) 为一任意函数?ε为一系数用以保证?β的值足够小
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 63
式(2.161)和式(2.162)可表达为
(2.174) )?,?( εε FoKFKG
gagfn
++=
(2.175) )?,?( εε FoKFKM
mamfn
++=
x
F
xkxsxpK
x
a
e
e
b
a
gf
dd
d
d
d
d
)(sec)()()(
2
′
+?′=
∫∫
ξ
ξ
βφ
βαφ
(2.176)
x
F
txtxkxsxpK
x
a
e
e
b
a
mf
dd
d
d
d
d
)(sec)()()()(
2
′
+?′=
∫∫
ξ
ξ
βφ
βαφ
(2.177)
xBxsxpK
i
x
a
e
b
a
ga
dd)(
d
d
)(sec)()(
2
++?′=
∫∫
ξξη
ξ
α
βαφ
(2.178)
xe
BtxsxpK
x
a
ee
ti
x
a
e
b
a
ma
a
e
dd)()sec(seccos
d)(
d
d
)(sec)()(
d
d
d
)tan(
2
+?′′+
++?′=
∫
∫∫
∫
+?′
ξξηβαφαφ
ξξη
ξ
α
βαφ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
(2.179)
(2.180)
[
∑
=
+?′?+?′=
s
i
r
liaeaaeai
xaB
1
)()tan()()tan( ηβαφηβαφ ]
(2.181) []
∑
=
+?′?=
s
i
r
liieiiti
xtB
1
)()tan( ηβαφ
2,6,3 本章数据文件表2.4
表 2,4 本 章 数 据 文 件
有关章节 系列号 数据文件名 内容
02?01?01 CPT1?1.DAT [例2.1] 紫坪铺库区左岸堆积体
2.3.3
02?01?02 CTP4?1.DAT [例2.2] 澳大利亚ACADS考题EX1(c)
02?02?01 CTP9.DAT [例2.3] 铁山大坝例坡外水体处理按第1方案
02?02?02 CTP9?1.DAT [例2.3] 铁山大坝例坡外水体处理按第2方案
02?02?03 CPT2?1.DAT [例2.4] 三峡3坝段例库水按拉力缝处理下游水
位第2方案
02?02?04 CPT2?2.DAT [例2.4] 三峡3坝段例滑面通过库水位下游水位
第2方案
02?02?05 CPT2?3.DAT [例2.4] 三峡3坝段例库水按拉力缝处理下游水
位第1方案
2.4.3
02?02?06 CPT2?4.DAT [例2.4] 三峡3坝段例库水按拉力缝处理下游水
位第3方案
02?03?01 MYM?0.DAT [例2.5] 重力坝抗滑分析例采用对侧向力倾角的
第1种假定Spencer法
02?03?02 MYM?1.DAT [例2.5] 重力坝抗滑分析例采用对侧向力倾角的
第1种假定Spencer法
02?03?03 MP.DAT [例2.6] 采用通用条分法和侧向力倾角的第2种假定
2.5.2
02?03?04 BI.DAT [例2.6] 采用毕肖普法
64 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
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32 Wright,S,Slope stability analysis,Proceedings on Analysis and Design in Geotechnical Engineering,1978,
Vol,2,153
2,1 边坡稳定分析极限平衡法的基本原理
2,1,1 基本原则
建立在极限平衡原理基础上的边坡稳定分析方法包含有以下几条基本原则
1,关于安全系数的定义
土坡沿着某一滑裂面滑动的安全系数F是这样定义的将土的抗剪强度指标降低为c'/F
和tanφ'/F则土体沿着此滑裂面处处达到极限平衡即
(2.1)
ene
c φστ ′?′+′= tan
F
c
c
e
′
=′ (2.2)
F
e
φ
φ
′
=′
tan
tan (2.3)
上述将强度指标的储备作为安全系数定义的方法是经过多年的实践被工程界广泛承认的一种作法采用这一定义在数值计算方面会增加一些迭代收敛方面的问题
摩尔?库仑强度准则 2,
设想土体的一部分沿着某一滑裂面滑动在这个滑裂面上土体处处达到极限平衡即正应力σn' 和剪应力 τ 满足摩尔?库伦强度准则设土条底的法向力和切向力分别为N和T
则有
(2.4)
ee
xuNxcT φαα ′?+′= tan)sec(sec
式中α为土条底倾角tanα
=
dy/dx u为孔隙水压力通常定义孔隙水压力系数
xW
u
r
u
d/d
= (2.5)
3,静力平衡条件
将滑动土体分成若干土条图2.1每个土条和整个滑动土体都要满足力和力矩平衡条件在静力平衡方程组中未知数的数目超过了方程式的数目解决这一静不定问题的办法是对多余未知数作假定使剩下的未知数和方程数目相等从而解出安全系数的值
2,1,2 合理性要求
上述对多余未知数进行假定的具体方案可以是多种多样的但是也并不是完全任意的它必须使获得的解符合土和岩石的力学特性目前被普遍接受的合理性条件是Morgenstern
& Price,1967年Janbu,1973年
24 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
图 2,1 边坡稳定的条分法
(a) 滑坡体(b) 侧向力假定1 (c) 侧向力假定2
(1) 沿着划分的土条两侧垂直面上的剪应力不能超过在这个面上所能发挥的抗剪能力参见图2.2即
F
X
zycE
F
avav
v
>
′+′′
=
)](tan[ φ
(2.6)
图 2,2 作用在土条上的力
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 25
或
1
)](tan[
>
′+′′
=
X
zycE
F
aveave
ve
φ
(2.7)
上二式中F
v
为沿着土条垂直面的安全系数F
ve
为使用经过按式(2.2)和式(2.3)缩减后垂直面的安全系数E'为作用在土条垂直面的法向有效压力X为作用在土条垂直面的剪力
tanφ'
av
为土条垂直面的有效平均摩擦系数c'
av
为土条垂直面的有效平均粘聚力tanφ'
ave
为
tanφ'
av
被F值除后的值c'
ave
为 c'
av
被F值除后的值y为滑裂面的纵坐标值z为土坡表面的纵坐标值
(2) 为保证在土条接触面上不产生拉力作用在土条上的有效力的合力作用点不应落在土条垂直面的外面参考图2.2
(2.8) 10 <′<
c
A
zy
zy
A
t
c
′
=′ (2.9)
式中y′
t
为作用在土条垂直面上的有效法向力的作用点的纵坐标值
2,2 静力平衡方程的普遍形式及其解
2,2,1 作用在土条上的力
设想某一边坡的滑动土体沿滑裂面y = y(x)下滑见图2.2此时根据安全系数的定义土体和滑裂面上的抗剪强度指标均已缩减为c'
e
tanφ'
e
在滑动土体中切出一垂直土条分析作用在其上的力计有
1) 土条重量?W浸润线上为天然容重浸润线下为饱和容重
2) 坡表面垂直荷重q?x
3) 地震力水平地震力?Q =η?W其作用点与土条底距离为h
e
4) 作用在土条垂直边上的总作用力G即土骨架间的法向有效作用力和水压力之和它与水平线的夹角为β其作用点的纵坐标值为y
t
2,2,2 静力平衡微分方程及其解
对土条建立x和y方向的静力平衡方程
(2.10) 0)cos(cos?sin? =?+?αα GQTN β
(2.11) 0)sin(?)(sin?cos? =?++βαα GxqWTN
将式(2.4)代入式(2.10)式(2.11)消去?N令?x 0得到静力平衡的微分方程
)(
d
d
)sin(
d
d
)cos( xpG
xx
G
ee
=+?′?+?′
β
βαφβαφ (2.12)
26 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
)cos(
d
d
cossec
sinsec
d
d
)sin()
d
d
()(
αφηφα
φααφ
′?′′+
′′+=
eee
eue
x
W
c
x
W
rq
x
W
xp
(2.13)
同时将作用在土条上的力对土条底中点取矩建立力矩平衡方程
0
d
d
sin)?
2
1
(cos
]?
2
1
)?()?)[(?cos()?(
=?++
+?+++
et
tt
h
x
W
xGyyyG
yyyyyGG
ηββ
ββ
(2.14)
其中h
e
为水平地震力作用点距条底的垂直距离当?x 0时可得
et
h
x
W
Gy
x
G
x
yG
d
d
)cos(
d
d
)cos(
d
d
sin ηββ +?= + (2.15)
式(2.12)也可通过将作用在条块上的力投影图2.2中线AA' 方向获得AA' 与土条底切线方向夹角为φ'
e
土条底的法向力N′与由其贡献的切向抗力N' tanφ'
e
的合力因与AA' 垂直故不出现
2,2,3 静力平衡方程的解
微分方程组式(2.12)和式(2.15)的边界条件是
(2.16) 0)( =aG
(2.17)0)( =bG
(2.18))()( ayay
t
=
(2.19) )()( byby
t
=
式中a和b为滑体左右端点的x坐标
式(2.12)是一个一阶非线性常微分方程它的积分形式是
(2.20)
+?′?=
∫
x
a
e
aGspxsxG
1
)(d)()()()sec()( ζζζβαφ
+?′?+?′=
∫
x
a
ee
xs
d
d
d
)tan(exp)sec()( ζ
ζ
β
βαφβαφ (2.21)
式(2.15)的积分形式是
[
∫∫
+=?
x
a
x
a
x
ate
yyGxh
x
W
xG
)(cosd
d
d
d)tancos(sin βηαββ ] (2.22)
令x = b并使用式(2.16)至式(2.19)的边界条件应用分部积分法式(2.20)和式(2.22)
可化为
(2.23)
∫
=
b
a
xxsxp
0d)()(
(2.24)
∫
=?
b
a
e
Mxxtxsxp
0d)()()(
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 27
∫∫
+?′?=
x
aa
e
xt
d]d
d
d
)[tan(exp)tancos(sin)(
ξ
ξζ
ζ
β
βαφαββ (2.25)
∫
=
b
a
ee
xh
x
W
M
d
d
d
η (2.26)
在获得式(2.24)时应用了式(2.23)和下面的关系式
∫
∫∫ ∫∫∫
=
+
=?=?
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
aa
xxtxsxp
xxtxsxpspttspxG
d)()()(
d)()()(d)()(dd)()(d)tancos(sin
ξξ
ζζζζζζαββ
(2.27)
注意式(2.27)右侧第一项由式(2.23)可知为零式(2.23)和式(2.24)分别反映滑动土体力和力矩平衡要求这两个方程中包含一个未知数即安全系数F它隐含在φ′
e
中和c'
e
中[式(2.2)
和式(2.3)]另外还包含一个变量β
(x) Morgenstern和Price 假定其符合某一分布形状 留下一个待定常数λ和F一起求解即假定
(2.28))(tan xfλβ =
f
(x)一旦确定稳定分析就具体化为求解联立方程式(2.23)和式(2.24)中包含的两个未知数F和λ的问题
对式(2.15)积分可获得使用式(2.9)需知的yt的计算公式
a
x
a
x
a
e
t
y
G
xh
x
w
xG
y +
=
∫∫
β
ηαββ
cos
d
d
d
d)tancos(sin
(2.29)
f
(x)可假定为1即假定各土条的β
(x)为一常数也可假定为其它函数每一组解都要通过式(2.5)和式(2.7)的合理性要求检验
在大部分的计算中我们令f
(x)=常数=1如图2.1(b)示这种特例称Spencer法在
STAB程序中提供给用户的默认的功能也是这一处理方式因为大量的计算实例说明f
(x)
的形状对安全系数F值的影响并不大
但是在一些特殊条件下使用Spencer法可能导致较大的误差从严格的理论意义上讲为了保证在x = a 和 x = b处剪应力成对原理不被破坏要求β
(x)在该两端为指定值因此假定
(2.30) )()(tan
0
xfxf λβ +=
f
0
(x)在x = a 和 x = b处为指定值 f (x)在x = a 和 x = b处为零 如图2.1(c)所示使用这一规定可以进一步限制对未知函数β
(x)作假定的随意性将在2.5.2节中详细讨论这一问题
2,3 静力平衡方程的数值解
2,3,1 Newton?Raphson 迭代法
通常采用Newton?Raphson迭代法求解下列静力平衡方程中的F和λ
28 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(2.31)
∫
==
b
a
n
xxsxpFG
0d)()(),( λ
(2.32)
∫
=?=
b
a
en
MxxtxsxpFM
0d)()()(),( λ
先假定一组F1和λ1代入式(2.31)式(2.32)下一个更为接近其解F* λ*的数值F2
2通过下式求得( i=1) λ
λλ
λλ
=?=
+
nnnn
n
n
n
n
iii
M
F
G
F
MG
G
M
M
G
FFF
1
(2.33)
λλ
λλλ
+
=?=
+
nnnn
n
n
n
n
iii
M
F
G
F
MG
F
G
M
F
M
G
1
(2.34)
重复上述步骤直至下列收敛标准得到满足
(2.35) ε<
i
F?
(2.36)ελ<
i
在STAB程序中ε 值设为10
4
本程序开发以来的实际使用情况证明程序对绝大多数问题均能迅速地收敛到这一精度参见[例2.1]
在文献中经常可以看到将式(2.33)和式(2.34)的二维迭代过程转化为一维的作法(Spencer,
1973; Fredlund,1984),如图2.3所示
图 2,3 Spencer法求解示意图
固定某一λ值给出F
=
F
G
(λ)和F
=
F
M
(λ)曲线再采用数值分析的方法寻找该两条曲线的交点解得F和λ F
G
(λ)和F
M
(λ)分别是在该λ值时通过解式(2.33)和式(2.34)获得的F需要对式(2.31)和式(2.32)分别使用仅包含一个自变量进行迭代获得F
G
(λ)和F
M
(λ)
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 29
采用上述作法反映了编程人员刻意回避包含两个未知数的非线性方程迭代的心理事实上作者使用这一算法的二十余年的经验表明使用二维Newton?Raphson迭代其收敛速度极快这一点将在后面[例2.1]和[例2.2]的迭代过程中看到使用如图2.3所示的迭代方法非但使计算过程变得繁琐而且降低了计算精度可以想像这样的作法使计算精度保持在10
3
水平将是十分困难的对于一个滑裂面的安全系数问题工程实际也许并不在乎小数点第三位的精度但是当问题进入第4章所论述搜索最小安全系数领域时小数点第二位的精度就远远不够了因此可以说本章介绍的边坡稳定分析的通用条分法在其数值计算收敛特性方面具有其突出的优点
2,3,2 计算导数的公式
用式(2.25)式(2.26)求解需要确定FGGFMM
nnnn
/,/,/ / λλ的数值计算这些导数的公式见式(2.37)～式(2.40)推导过程可参见本章附录(第2.6.2节)
x
F
xkxsxp
F
G
b
a
x
a
e
e
n
dd
d
d
d
d
)(sec)()()(
2
∫∫
′
+?′=
ξ
ξ
βφ
βαφ
(2.37)
∫∫
′
+?′=
x
a
e
e
b
a
n
x
F
txtxkxsxp
F
M
2
d]d
d
d
d
d
)(sec)()()[()( ξ
ξ
βφ
βαφ
(2.38)
xDxsxp
G
b
a
i
x
a
e
n
dd
d
d
d
d
)(sec)()(
2
∫∫
+?+?′=
ξ
ξ
α
λ
β
βαφ
λ
(2.39)
x
Dtxsxp
M
x
a
a eee
b
a
ti
x
a
e
n
dd
d
d
d
d
d
)tan(exp)sec(seccos
d
d
d
d
d
)(sec)()(
2
∫
+?′+?′′
+
+?+?′=
∫
∫∫
ξ
λ
β
ζ
ζ
β
βαφβαφαφ
ξ
ξ
α
λ
β
βαφ
λ
ξ
(2.40)
r
l
s
i
iei
ax
ei
D
∑
=
=
+?′?
+?′=
1
d
d
)tan(
d
d
)tan(
λ
β
βαφ
λ
β
βαφ
(2.41)
r
l
s
i
ieiiti
tD
∑
=
+?′?=
1
d
d
)tan(
λ
β
βαφ
(2.42)
其中D
i
和D
ti
是考虑到滑面上α和φ′
e
可能出现的突变点而增加的附加值符号[表示在该点相应数值在突变点右侧和左侧的差值
r
l
]
k(x)的定义见第2.6.2节式(2.140)
2,3,3 数值分析的步骤
选择一个接近最终解λ* F*的迭代初值λ1和F1对于保证数值计算收敛有着十分重要的意义这里建议的方法经过大量实践计算的检验证明十分有效
初值F1的估算 1,
对F1的估算的基本指导思想是首先使用将在第3章介绍的稳定分析简化方法确定一个安全系数的初值再代入式(2.31)和式(2.32)进行迭代求解在STAB程序中采用了以下步
30 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
骤
(1) 首先使用将在第3章3.6.2节介绍的简化法1计算安全系数这个方法适用于任意形状滑裂面并不需迭代求解因此是一个比较理想的计算安全系数初值的方法
(2) 计算陆军工程师团法的安全系数这一步骤也可以省略
(3) 使用上述步骤获得的安全系数作为初值F
1
进行通用条分法的计算
初值λ
1
的估算 2,
假定tanβ的平均值和tanα 的平均值相同即
(2.43)
∫∫
=
b
a
b
a
xx
dtandtan αβ
将式(2.28)或式(2.30)代入式(2.43)即可得到一个λ值作为初值λ
1
本节介绍计算式(2.31)式(2.32)和相应的导数公式式(2.37)～式(2.42)的过程比较繁复但是如果编制成计算机程序则可快速求得解答在本书11章中我们将详细介绍实现这一计算过程的源程序这一程序在过去的二十余年中通过无数工程实例检验有了这一程序使用通用条分法将不再是一个困难的事情新加坡Low (1998)曾使用MicroSoft Excell 电子表格进行上述计算
[例2.1] 紫坪铺库区左岸堆积体的稳定分析
紫坪铺水库左岸距坝618m处存在一个顺坡长300～870m的不稳定堆积体初步估计方量为2500～3000m
3
经钻孔分析堆积体与基岩接触面存在有厚0.5～15cm的连接平直的软滑带即图2.4中的ABCDEF使用本文的通用条分法计算堆积体沿此滑面滑动并从围堰
G点滑出堆积体的强度指标为c′
=
20 kPa φ ′
=
31°软滑带的指标为c′
=
10 kPa φ ′
=
16°
使用将在第3章介绍的简化法1所得安全系数为1.239随后采用工程师团法所得安全系数为1.225应用式(2.43) 解得的λ1为0.293计算迭代过程如表2.1
图 2,4 紫坪铺库区左岸堆积体的稳定分析
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 31
表 2,1 例2.1数值迭代过程
迭代步 G
n
(kN) M
n
(9.8 kN?m) F λ
1 -0.570101E+03 0.341694E+06 0.122454E+01 0.293377E+00
2 0.549303E+02 -0.212623E+05 0.119380E+01 0.252562E+00
3 -0.161491E+01 0.751152E+02 0.119598E+01 0.254412E+00
4 -0.193615E-01 0.103906E+01 0.119594E+01 0.254435E+00
最终得λ = 0.254435 F =1.195939从表2.1可见应用通用条分法迭代过程非常迅速稳定通过四次迭代不平衡的力和力矩G
n
和M
n
分别从?0.570101×10
3
×9.8 kN和0.341694
×10
6
×9.8 kN?m收敛到?0.193615×10
1
×9.8 kN和 0.103906×10
1
×9.8 kN?m
[例2.2] 澳大利亚ACAD公布的标准考题EX1
图2.5示所示一个典型的土坡稳定分析例题在以后的章节中还将多次引用详见11.4
节光滑曲线滑裂面由A B C D E五个点用样条函数联成事实上这是一个近似圆弧的曲线计算迭代过程见表2.2
表 2,2 例2.2数值迭代过程
迭代步 G
n
(9.8kN) M
n
(9.8kN?m) F λ
1?0.243723E+03 0.101975E+04 0.240000E+01 0.464641E+00
2 0.507991E+03 0.429016E+04 0.110318E+01 0.117622E+01
3 0.178628E+03 0.171667E+04 0.127896E+01 0.930531E+00
4 0.440980E+02 0.525262E+03 0.136979E+01 0.618465E+00
5 0.515473E+01 0.857181E+02 0.138486E+01 0.420363E+00
6 0.120580E+00 0.221638E+01 0.138273E+01 0.377980E+00
7 0.395831E?03?.315285E?02 0.138264E+01 0.376847E+00
图 2,5 澳大利亚ACAD考核题
在本例中故意将F的初值(F
1
=
2.40)设得远离其真值(F
=
1.382)从表2.2所示的迭代过程可以看到安全系数的初值为2.40此时不平衡的力和力矩分别为?2.44×10
2
和1.02×10
3
迭代至第7步即减少为3.96×10
4
和?3.15×10
3
安全系数解答为F
=
1.383
32 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
2,4 与条分法有关的一些基本问题的讨论
2,4,1 作用在微小长度上垂直应力合力作用点位置的讨论
在本章建立力矩平衡方程式(2.14)的推导中我们曾假定土条底法向应力的合力的作用点处于条底的中点在一些文献中曾经把这一合力的作用点的位置也作为一个未知量这一节我们将说明将作用点位置放在中点导致的误差相对力矩平衡公式中的其它量是一个高阶小量在土条的宽度?x足够小的时候这一作法引入的误差可以忽略不计也就是说在这一问题上通用条分法的理论基础是严格的
图 2,6 作用在微小长度上的垂直应力
作用在一个微小长度?x上连续分布的垂直应力σ (x)的合力P由下式决定参见图2.6
∫
=
x
xxP
0
d)(σ (2.44)
P的作用点距原点位置为
∫
∫
=
x
x
xx
xxx
a
0
0
d)(
d)(
σ
σ
(2.45)
定义N的作用点的相对距离为
x
a
=ζ (2.46)
将σ(x)在σ(0)处按泰勒级数展开将式(2.45)代入式(2.46)后可得
L
L
+++
+++
=
432
432
)0(
6
1
)0(
2
1
)0(
)0(
8
1
)0(
3
1
)0(
2
1
x''x'x
x''x'x
σ?σ?σ
σ?σ?σ
ζ (2.47)
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 33
不难证明在?x→0时有
≠=
≠
=
0)0(,0)0(
3
2
0)0(
2
1
'σσ
σ
ζ
但如果如果
(2.48)
因此除端部条块有可能σ (0)
=
0外均可认为
2
1
=ζ (2.49)
2,4,2 关于研究对象的讨论
在进行边坡稳定分析时首先需要解决一个研究对象问题即当分析一个土体或土条的力学平衡时是把土和水的混合体当作研究对象还是把土骨架作为分析对象近代土力学的回答是可以把土骨架作为分析对象也可以把包括水在内的浸水土体作为研究对象许多学者Taylor 1948中濑敏男1972曾指出两种方法本质上是一致的如果计算的各环节处理一样的话两种方法应得到相同的安全系数解围绕这个问题岩土工程学报在
1983年曾作过一次讨论现将作者本人参加这场讨论发表的意见叙述如下陈祖煜1983
如果把浸水土体当作研究对象那么水和骨架之间的作用力是内力滑动土体的静力平衡方程式可以写成
(2.50) 0=+′++ UGWW
ba
式中W
a
为土体水上部分自重W
b
为土体水下部分的饱和重U为滑动土体边界上受到的全部水压力的合力G′为滑动土体边界上受到的全部骨架间有效作用力的合力
如果把骨架当作研究对象水对骨架的作用是外力这个外力包括浮力和渗透力两部分于是滑动土体的静力平衡方程式可以写成
(2.51) 0=′++′+ GDWW
a b
式中W′
b
为水下部分浮重D为土体所受渗透力的合力
根据定义
(2.52)
wb
WWW
b
=′
式中W
w
为与土体水下部分同体积的水重
渗透力D可通过积分求得
(2.53)
∫
=
V
vddD
式中d为单位土体所受的渗透力可以通过熟知的渗透力的微分表达式求得
(2.54)?γ gradd
w
=
h
u
w
+=
γ
(2.55)
式中γ
w
为水的容重? 为势函数grad? 为水力梯度h为位置水头
34 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
根据土力学的原理饱和土体骨架所受渗透力的合力等于该土体边界上水压力的合力加上与该土体同体积的水重使用场论中的散度定理即可证明
(2.56)
∫∫
+=?==
V
ww
V
vv
dgrad d WUdD?γ
将式(2.56)代入式(2.51)即可得式(2.50)这说明两种方法的数学表达式是一致的
再通过下面一个例子说明两种处理方法的等效性(Taylor 1948)如图2.7所示的无限长均匀斜坡饱和土体置于不透水地基上在土坡内切出一个矩形条块由于这是一个均质无限边坡作用于条块左侧和右侧的力应相等即该条块侧面的法向力E有效法向力E′和剪切力X 的增量?E?E′?X均应为零
图 2,7 说明研究对象的两种处理方案等效性的例子
现用两种不同的处理方法计算其安全系数
(1) 将土骨架作为研究对象那么土骨架承受的外力有
1) bh
b
γ=浮力
2) Jbh
w
γ=渗透力
其中J为渗透坡降γ
b
和 γ
w
分别为土体的浮容重和水容重在本例显然有
(2.57)αsin=J
故渗透力αγ sin
w
bh=
如前所述由于本例是个无限均质边坡故土条侧面的条间法向作用力有
(2.58) 0?,0? ==′ XE
因此有
αγγ
φαγ
sin)(
tancos
bh
bcbh
F
bw
b
+
′+′
= (2.59)
(2) 将水土混合体作为研究对象此时作用于土条的外力有
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 35
1) 土条自重 bhW
bw
)( γγ +=
2) 条间作用力E应平行于边坡并有?E = 0 X
=
0
由于等势线垂直于坡面和滑面作用于条底的孔隙水压力U按下式确定
(2.60) αγ cosbhU
w
=
故条底有效作用力为N’
(2.61) αγα coscos bhUWN
b
=?=′
安全系数为
α
φ
sin
tan
W
bcN
F
′+′′
= (2.62)
不难发现式(2.62)和式(2.59)是一样的说明如果研究这一个土体的整体稳定性两种处理方案可获得相同的安全系数
但是由于边坡稳定分析本质上是一个超静定问题在大多数情况下我们需要引入对土条侧向力的假定方可求解安全系数那么如果假定对象不一样结果仍会不一样在上面的推导中对β的假定是指土条间的总作用力G而不是土条骨架间的有效作用力G′ 如果将土骨架作为研究对象那么就要对G′
的倾角 β′ 作假定了因此两种处理方法尽管具有相同的力学背景但由于处理细节不完全一致其结果仍会有微小的差别
显然计算边界力比计算渗透力要方便得多既然两种处理方法在本质上是一致的习惯上大多数人都将浸水土体作为研究对象此时水对土的作用力即浮力和渗透力将视为内力不再考虑本章和下一章中介绍的稳定分析的各种方法的推导均是就这种处理方法而言的在STAB程序中我们也是采用这种方法也就是说在使用程序时要求用户输入的是土的实际重量和孔隙水压力并不要求输入浮重量和渗透力
2,4,3 对坡外水体的处理
在建立上述通用条分法时我们没有考虑坡外有水的情况Bromhead等(1999)曾讨论过此问题
对图2.8(a)所示坡外有水的情况此时通常采用下面三种处理方案
方案1将滑裂面延长与坡外水位交于P如图2.8(a) 所示研究包括坡外水体在内的滑坡体ADEPCGB的抗滑稳定此时水可看成是强度指标为零的一种特殊材料静力平衡方程为
(2.63) 0=+′+ UGW
式中UGW ′分别为土重包括水重作用在滑面上的有效作用力和孔隙水压力
方案2将坡外水位延长至与滑裂面ABC交于G图2.8(a)设想水面PEG与滑裂面
GCP包成一个水体重W
w
见图2.8(b)沿滑面GCP按静水压u
s
分布的水压力为U
s
则
(2.64)0=+
w
WU
s
(2.65)zu
ws
γ=
36 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
式中γ
w
为水容重z为滑面上任一点与坡外水位的垂直距离
现在将U
s
和W
w
在整个力系中扣除这样并不影响静力平衡即将式(2.63)和式(2.64)
相减
(2.66) 0)()( =?+′+?+
swba
UUGWWW
坡外水体部分其重量本身等于W
w
如图2.8(b)所示通过坡外那块水体的滑面PC的水压力又恰好为静水压力U
s
故对于坡外水体那部分式(2.66)中各项均为零问题被置换成一个坡外无水的情况即图2.8(c)坡内的土重分成两部分坡外水位以上部分用W
a
表示在置换前后保持不变坡外水位以下部分用Wb表示,置换成实际重减同体积水重
(W
b
W
w
)
因此当坡外有水时可以将它看成一个无水的情况只需将水位延伸至与滑弧面相交后作以下两个处理
1) 水位延长线以下的土体由实际重W置换成实际重减同体积水重(W
b
W
w
)如果土体是饱和的这一数值就是浮重
2) 水位延长线高程以下的滑面即图2.8(c)中的GC的孔隙水压u被置换成超孔隙水压
u
e
(2.67) zuuuu
wse
γ?=?=
图 2,8 坡外水位处理的三种方案
(a)第一种方案(b)水体的静力平衡(c)第二种方案 (d)第三种方案
我国土石坝设计规范规定要应用第二种方案即置换法进行稳定分析因此在以后的叙述中一般总是就坡外无水土条重和孔压经过置换的情况而言
使用这一处理 还需要注意的一个重要问题是必须将坡外水位延伸到与滑裂面相交第2章 边坡稳定分析的通用条分法 37
将这条线以下所围的土体的重量都减掉同体积的水重把这条线以下滑裂面上的孔压都扣掉一个静水压力γ
w
如图2.9所示的几种情况阴影所示的土区的重量和滑裂面上的孔压即便并不存在水和孔隙水压也要作同样的处理尽管有时会造成负的孔压甚至负的重量不这样处理总体的力的平衡就会被破坏通过手算或自编程序进行边坡稳定分析的工程师都要注意这是极易犯错误的地方
图 2,9 使用等效置换的几个特例
在STAB程序中坡外水位的等效置换是自动实现的对用户来说需要正确地输入坡外水位的坐标值和浸润线的信息至于上述的等效置换的种种处理方法程序均自动进行无须用户操心
方案3将坡外水压力直接加在坡面上如图2.8(d)所示这个方案从理论上看没有什么缺陷大概是因为操作起来比较麻烦故未见广泛应用
和2.4.2节讨论的情况类似由于边坡稳定分析本质上是一个超静定问题在建立对整个滑坡体静力平衡的同时还要对每个土条的静力平衡进行分析而在此时将引入对土条侧向力倾角的假定上述不同的方案包含的对侧向力的假定不同故不可能得到完全相同的结果例如对于第二种方案彻底的等效置换应该对每个土条进行也就是说不仅土条底的孔隙水压被置换成了超孔隙水压力侧向力G的总作用力也应置换成有效作用力G′
加上超孔隙水压力U
e
用G′
e
来代表这个力那么在通用条分法和下面第3章要介绍的各种简化方法中如采用第二种等效置换方案土条侧向力的数值和倾角就是G′
e
和β′
e
因此这种等效置换与不作置换由于包含的对侧向力的假定不同一般仍不会得到完全相同的结
38 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
果进一步深入分析可以得到以下的认识在这里我们暂且将在第三章介绍的各种简化方法一并予以讨论
毕肖普法假定土条侧向力为水平方向每个土条在使用1 2方案时假定侧向的总应力为水平方向等效置换后假定侧向有效作用力加超孔隙水压力后为水平方向这一变化完全不影响将在第三章介绍的从式(3.5)至式(3.6)的推导因此采用此3种方案进行毕肖普法运算从理论上讲应得到完全一致的结果
所有其它方法都不可能对坡外水位的上述三种处理方法得到完全一致的结果至少对于由坡外水体组成的条块这些方法固有的对土条侧向力的假定会与水压力对侧向力的要求
β
=
0发生矛盾在应用通用条分法时则要求对f(x)和f
0
(x)作出特殊的处理保证按式(2.30)
计算获得的β(x)在水体部分为零我国规范规定采用等效置换方法其有效性取决于对大量实例运算结果的分析和判断为此我们通过两个例题来研究不同坡外水位处理方法获得的成果的差别
[例2,3] 比较使用毕肖普简化法采用第1和第2种方案的差别
图2.10(a)示铁山水库大坝上游坝坡的稳定分析对所示圆弧滑裂面进行毕肖普法计算如果按第2方案即对坡外水体进行等效置换安全系数为2.535数据文件名CPT9?1如果滑裂面延长到库水位如图2.10(b)所示则安全系数为2.538数据文件名CPT9本例说明对毕肖普法第1 2种方案可获得相同的结果
图 2,10 比较毕肖普法采用各对坡外水位处理方案的计算成果铁山水库例
(a) 第二种处理方案(b) 第一种处理方案
[例2.4] 三峡3坝段抗滑稳定
本例比较对坡外水位不同的处理方案的结果图2.11示三峡大坝三坝段断面在大坝基础内存在中缓倾角节理面假定大坝沿AB面下滑并在C点滑出此时使用STAB程序进行计算上游库区把水体按一种材料处理大坝承受的水压力按充水的拉力缝处理参见2.4.4节即在AD面上施加一个水压力如图2.11所示计算所得的安全系数为3.257
本例也可以将库水按照一种材料来处理其容重为零c φ为零滑裂面如图2.12中
ABCD所示但是在使用通用条分法时 应保证在AB段的 β 值为零在式(2.30)中可这样来设定f(x)和 f
o
(x)令该两函数在AB段均为0计算所得的安全系数为3.233
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 39
由于本例分析下游边坡涉及的坡外水位均指对下游水位现有我们再来考察第一和第三种处理方案计算成果的差异图2.13(a)示将坡外水视为一种土体的处理滑面BC通过下游水体数据文件CPT2?3图2.13(b)示将坡面CA和AB作用静水压力的做法数据文件CPT2?4表2.3示不同的处理方法获得的安全系数可见几种处理方案的结果十分接近
图 2,11 [例2.4] 库水按拉力缝处理下游水位第2种方案
图 2,12 [例2.4] 库水按照一种材料处理下游水位第2种方案
图 2,13 [例2.4] 库水按拉力缝处理
(a) 下游水位采用第一种方案滑裂面BC部分通过坡外水体F
=
3.302
(b) 下游水位采用第三种方案坡面AC AB部分作用静水压力F
=
3.395
本例采用第1章介绍的通用条分法为了保证滑裂面通过水库和下游水体的那两个部分
40 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
土条的侧向力的β
=
0需对fo(x)和f(x)在相应的这些部分作专门的处理可参阅相应的数据文件
使用上述三种方案应用STAB程序进行计算需要对滑裂面通过水体部分的强度指标浸润线和f(x)的输入作专门的不同处理只有掌握了第12章介绍的STAB程序的各种常规和特殊处理技能方能获得正确的解答
表 2,3 三峡大坝3坝段深层抗滑稳定计算采用不同处理方案计算成果
处 理 原 则 安全系数 数据
情况 图号
上游 下游 F 文件
1 2.11 库水按拉力缝处理 方案2 3.257 CPT2?1
2 2.12 滑面通过库水位 方案2 3.233 CPT2?2
3 2.13 (a) 同情况1 方案1 3.302 CPT2?3
4 2.13 (b) 同情况1 方案3 3.395 CPT2?4
2,4,4 关于滑面顶部设拉力缝的必要性
一些学者很早就认识到按照极限平衡的理论体系获得的解如果c值较大时在靠近滑面顶部的土条按式(2.20)将给出数值为负的条间力G按式(2.10)和式(2.11)计算滑面上的法向力N′也可能得到负值这一现象不仅不合理而且有时会导致数值计算不收敛的问题Terzaghi (1942)讨论了在滑面顶部设拉力缝的必要性并推导了计算拉力缝高度h
t
的公式即
)
2
45tan(
2
e
t
c
h
φ
γ
′
+
′
=
o
(2.68)
式中γ 为土的容重
在通用条分法的理论框架内我们可以用以下简捷的推导获得这一公式首先认定在滑面顶部滑面与水平线的夹角α为
24
e
φ′
+
π
将α代入式(2.12)右侧左侧G为零并令0
d
d
=
x
G
此时
t
h
x
W
γ=
d
d
得到
)
24
cos()
24
sin(
cos
ee
e
t
c
h
φφ
γ
φ
′
+
π
′
π
′′
= (2.69)
由于
)
24
cos()
24
sin(2)
2
sin(cos
ee
ee
φφ
φφ
′
π
′
π
=′?
π
=′ (2.70)
代入式(2.69)可得式(2.68)从以上推导可知式(2.68)是建立在以下假定基础上的
1) 在拉力缝处不仅G为零
x
G
d
d
亦为零
2) 在拉力缝处滑裂面与水平面夹角为)
24
(
e
φ′
+
π
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 41
上述两个假定不属于我们建立的边坡稳定通用条分法的理论体系因此式(2.68)仍属
近似
在稳定分析中也可以采用另一种确定拉力缝高度的方法假定某一较小的拉力缝高度
h
t
采用常规的方法进行稳定分析然后根据式(2.20)计算在顶部的侧向力G值在h
t
较小时G(a)将为负值不断增加h
t
的数值反复计算直至G(a)从小于零过渡到等于零相应此时的h
t
可以认为是所求的拉力缝高度但是这样的计算过于繁复因此采用式(2.68)
应该是一个可以接受的近似方法
2,5 关于通用条分法理论问题的讨论
2,5,1 Morgenstern?Price法
通用条分法最早由Morgenstern和Price(1965)提出原作者将土条侧面的总水平推力E
和切向力X分别用以替代式(2.10)和式(2.11)中的Gcosβ 和Gsinβ同样消去N′后令?x
0得到静力平衡的微分方程
[][]
)tantan1(
d
d
tansec)tan)(tan
d
d
d
d
(sec
tantan
d
d
tantan1
d
d
22
αφφααφα
αφαφ
eeee
ee
x
Q
u
x
V
x
W
c
x
X
x
E
′+?′′?+′=
′+′+?
(2.71)
力矩平衡方程为
et
h
x
W
Ey
xx
E
yX
d
d
)(
d
d
d
d
η++?= (2.72)
在求解过程中对每个土条的几何物理参数进行线性化
对底滑面
(2.73) BAxy +=
对土条重量
qxp
x
W
′+′=
d
d
(2.74)
对土条水平荷载
oo
qxp
x
Q
+=
d
d
(2.75)
对土条垂直荷载
oo
qxp
x
V
q ′+′=?
d
d
(2.76)
对式(2.29)侧向力假定函数
(2.77)mkxxf +=)(
42 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
则式(2.72)可化为
PNxKE
x
E
LKx +=++
d
d
)( (2.78)
(2.79) (AkK
e
′= φλ tan )
[ ] )(tan)tan1(tan)1(tan
2
ApApArApN
eoeoeue
′′+′+?′+′′= φφφφ (2.80)
(2.81) () )tan1(tan
ee
AAmL φφλ ′+′=
[ ] )(tan)tan1(tan)1(tan)1(
22
AqAqArAqAcP
eoeoeuee
′′+′+?′+′′++′= φφφφ (2.82)
在线性化基础上对方程式(2.78)在x
i
到区间内进行积分
ii
xx?+可以求得
)?
2
(
1
2
1
xP
xN
LE
xKL
E
ii
++
+
=
+
(2.83)
从坡顶第一个界面开始0=
0
E从上到下逐条求出法向条间力E
i
对最后一土条必须满足条件
(2.84) 0),( =λFE
n
对微分方程式(2.72)积分考虑到E(a) =
E(b)
=
0可得
∫∫
==
b
a
e
b
a
n
xh
x
Q
x
x
y
EXFM
0d
d
d
d)
d
d
(),( λ (2.85)
同样,采用Newton?Raphson 法对包含于式(2.84)和式(2.85)中的F和λ进行迭代求解
2,5,2 土条侧向力须满足的边值条件
在求解滑动土体的力和力矩平衡方程式时为了使问题变得静定可解我们引入了对
tanβ的假定即式(2.29)本节论证的问题是tanβ值在滑动土体两端即x
=
a和x
=
b处是确定的不能随意假定否则将违背剪应力成对的原理这一命题是作者和Morgenstern(1983)
首先提出的
首先考察一个处于滑面下部逸出点的端部的土条B见图2.14(a)这是一个特殊的土条它具有三角形形状土条在此尖灭为一个单元在这个土单元的垂直面CD上有
x
xy
bx
b
E
X
σ
τ
β ==
→
limtan (2.86)
式中β
b
为β (x)在端部的值τ
xy
和σ
x
分别为作用在边条块BCD的垂直面CD上的剪应力和垂直应力
式(2.86)说明如果端点的应力状态是确定的则β在端点处的值也是确定的就图2.14
中的B点的情况而言τ
xy
的值是零在σ
x
不等于零的时候β
b
的值就是零换句话说如果β(x)的值在端点被假定为非零的话在端部剪应力成对的原理将受到破坏
现在我们来提出一个具有一般意义的情况设右端部A土条坡面倾角为γ并在坡面作用一垂直荷载q参见图2.14(b)该土单元在AB面上的应力状态是确定的分别为
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 43
(2.87) γσ
2
cosq
s
=
(2.88)γγτ cossinq
s
=
图 2,14 土条侧向力须满足的边值条件示意图
(a) 上下端点土条(b)上端点的应力状态(c) 上端点的应力的应力圆
同时还要求代表该单元应力状态的应力圆与摩尔库伦强度包线相切那么这个应力圆就被唯一的确定了图2.14(c)为反映该单元应力状态的摩尔圆作用在单元上任何一个面上的应力状态都可以方便地在摩尔圆中找到当单元的小主应力方向和摩尔圆的轴平行时从摩尔圆的小主应力点B引一条与该面平行的割线其与摩尔圆的交点代表了该面的应力状态例如图2.14(b) AB面上的应力状态(σ
s
,τ
s
)是由图2.14(c)中的A点代表的注意两图中的AB互相平行单元的垂直面BC的应力状态(σ
x
,τ
xy
)是由E点代表的由于图2.14 (b)中
BC和BA两个面之间的夹角是90°?γ因此图2.14 (c)中∠ABE′
=
∠AA′O
=
90°?γ这就决定了在BC面上
γ
σ
τ
β tantan?==
xy
xy
a
(2.89)
这样就获得了一个重要结论端部土条侧向力必须与端部边坡表面平行通过进一步的理论分析可知对土条侧向力的边界条件应作出如下限制
命题1 当土条的宽度足够小时端点土条侧向作用力的合力平行于该土条顶面即
(2.90)
aa
γβ =
命题2 当土条的宽度足够小时端点土条的侧向作用力的作用位置确定原则为
c
A′
44 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(2.91)
B 3/1
A 2/1
对于情况对于情况
=′
=′
c
c
A
A
定义情况A为在端部粘聚力c′
≠
0或垂直表面荷载q
≠
0情况B为在端部c′
=
0同时q
=
0并且滑裂面不与边坡表面相切即
(2.92)0)()( ≠′?′ azay
根据本论点确定在边界x
=
a的数值后
c
A′再使用式(2.29)即可算得每一个土条的
y
t
值
上述两论点的理论证明见本章附录2.6.1节
固定土条侧向力在端部的值可以限制对β
假定的任意性具有一定的理论和实用意义为了使对tanβ的假定符合本节提出的限制提出了式(2.30)这样一个具有普遍意义的假定函数
从实用角度可以对式(2.30)中的f
o
(x)和f(x)取下面两种假定它分别代表了方法严格程度的两个水平
(1) 土条侧向力实用假定1取f
o
(x) =
0 f (x)
=
1这就是常用的Spencer法参见图2.1(b)
(2) 土条侧向力实用假定2取f
o
(x)在(a b)区间内为直线其值在x
=
a b时按式(2.35)
确定f (x)为正弦曲线参见图2.1(c)
STAB程序默认地功能是实用假定1此时OP1(3) 0当OP1(3)不为零时输入其它侧向力假定ISPE
2时自动实现土条侧向力实用假定2 ISPE
0时由用户指定f
o
(x)
和f (x)详见12.2.4节以及第12章的例题EX25 EX27 EX29
虽然作者和Morgenstern提出这一命题但是在大多数情况下大家还都是应用Spencer
法即取f
0
(x)
=
0 f (x)
=
1关于端部条块β值的限制恐怕主要在于它的理论意义实践也证明对计算成果的精度的影响并不大但是在某些情况下简单地采用Spencer法将导致误差和数值分析不收敛的问题下面2个例子是作者在实际工作中遇到的同时在使用通用条分法进行土压力计算时第8章也需对端部条块β值作出限制
[例2.5] 重力坝抗滑稳定例
图2.15是水利部上海勘测设计院在进行宜兴抽水蓄能电站重力坝方案时事先设计的一个例题使用STAB程序计算时利用坡顶设拉力缝并充水的功能模拟重力坝承受的水压力对这样一个简单的混凝土大坝抗滑稳定问题在设定的推力和滑面上的强度指标条件下安全系数完全可以用简单的力学平衡求得此例φ和c分别取38.66°和35×9.8 kN/m
2
混凝土容重取2.5×9.8 kN /m
3
无扬压力可得F
=
1.867可是采用STAB程序的Spencer法安全系数却是F
=
2.585
出现这一问题的原因就在于对于A点对水压力的倾角的假定上面显然在A点β 应为零而采用Spencer法即土条侧向力应用假定(1)图2.15中矩形分布图形则土条间作用力的倾角包括A点均为一非零的值这样就在端部β出现了突变点就好象水压力也是以一个倾斜的β角作用在坝面上这一问题导致了安全系数严重地偏离正确值如果第2章 边坡稳定分析的通用条分法 45
我们采用土条侧向力应用假定(2)参见图2.15中下方所示三角形图形令 f
0
(x)在A点为零获得了F
=
1.868与理论值完全一致
实际上Spencer (1973)本人已经注意到了他的方法在处理拉力缝充水情况时这一问题在他的进一步的研究中提出了一个类似于Morgenstern?Price法的对侧向力的假定以实现β值在拉力缝处为零这一条件
在STAB程序中当坡顶设拉力缝并充水时程序将自动处理使土条侧向力应用假定
(2)
图 2,15 [例2.5] 混凝土坝抗滑稳定题例 图 2,16 [例2.6] 圆弧滑动题例
[例2,6] 圆弧滑动例
图2.16示一圆弧滑裂面φ
=
0的情况显然对于这样一个简单的情况如对圆弧中心取矩任何一个包含力矩平衡条件的稳定分析方法均应给出相同的结果即F
=
1.101令人惊讶的是采用土条侧向力1即Spencer法居然无法得到收敛的解答作者不仅尝试了本人编著的STAB程序同时也使用另一商用程序均无结果
试按图2.3 所示的思路构筑了F
G
(β)和F
M
(β)图如图2.17(a)所示可见在β的合理取值范围内(?5°~25°)两条曲线无论如何也交不上为此我们改用了图 2.1(b)所示对侧向力的第2假定此时根据本节介绍的对侧向力倾角边值条件的讨论在滑面两端的β值均应与坡面倾角相同即取f
0
(x)在两端的数值为0.5这样使用通用条分法即可顺利地收敛到F
=
1.101这一数值图2.17示迭代收敛后β值的分布本例再一次说明对侧向力倾角β在两端取合理数值在有的情况下是必要的
46 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
图 2,17 [例2.6] 安全系数的计算过程
(a) M(F,λ)和G(F,λ)图(b) 采用侧向力的第2种假定得到的β值分布
2,5,3 土条侧向力假定对计算结果的影响
边坡稳定的极限平衡法认为对多余未知数tanβ引入的不同假定如果相应的解满足
2.1节引入的合理性条件即式(2.7)和式(2.8)那么其安全系数各自都相差不大如果说我们还没有条件对这一论点给出严格的理论证明那么能不能设法将所有安全系数合理解的集合找到检查该集合中的最大值和最小值是否果然相差不大Chen & Morgenstern (1983)介绍的一个确定F值最大值和最小值的近似方法就是基于这样的想法提出的当然关于这方面的工作只是一种理论研究在实际应用时有了本节研究的结论就不必重复这一繁琐的工作一般情况下使用上节提出的关于侧向力的两个实用假定即可
假定已经找到满足式(2.23)和式(2.24)的一组解F*和β*(x)
(2.93)
∫
==
b
a
n
xFsFpG
0d*)*,(*)*,( ββ
(2.94)
∫
=?=
b
a
en
MxFtFsFpM
0d*)*,(*)*,(*)*,( βββ
如果邻近F*+?F β*+?β也满足式(2.93)式(2.94)则
0
d*)*,(*)*,(d)?*,?*()?*,?*(?
=
++++=
∫
b
a
b
a
n
xFsFpxFFsFFpG ββββββ
∫
(2.95)
∫
∫
=?
+?+?+?+?+?+=?
b
a
b
a
n
xFtFsFp
xFFtFFsFFpM
0d*)*,(*)*,(*)*,(
d)*,*()*,*()*,*(
βββ
ββββββ
(2.96)
如果取
(2.97) )( xεξβ =
ε是一个微小量使?β相对于β足够小ξ(x)为假定的一个?β
的分布
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 47
通过变分运算可得
(2.98) 0)?,?( =++= εε FoKFKG
gagfn
(2.99) 0)?,?( =++= εε FoKFKM
mamfn
其中的计算公式和推导详见2.6.2节
gagf
KK,
mamf
KK,,
)?,?( εFo代表一个比高阶的小量ε和F忽略此小量式(2.98)和式(2.99)变为
(2.100) 0?))(*,*,(?*)*,( =+ εξββ xFKFFK
gagf
(2.101) 0?))(*,*,(?*)*,( =+ εξββ xFKFFK
mamf
只有在下式成立时ε和F才有非零解
0
))(*,*,(*)*,(
))(*,*,(*)*,(
=
xFKFK
xFKFK
mamf
gagf
ξββ
ξββ
(2.102)
一旦找到了一个满足式(2.102)的ξ(x)?F即可算得
ε
β
ξβ
*)*,(
))(*,*,(
FK
xFK
F
gf
ga
= (2.103)
由此可见要在已知解F* β*基础上求得邻近的一组新的解F*+?F )(?* xεξβ +选择的ξ(x)不是任意的必须使式(2.102)成立可以按下式构造一个ξ(x)
(2,104) )()()(
21
xxmx ξξξ +=
)()(
21
xx ξξ和为任意函数它们之间线性无关即没有常数C
1
和C
2
可以使下式成立
(2.105)
2112
)()( CxCx += ξξ
一旦设定后)()(
21
xx ξξ和将式(2.104)代入式(2.100) 和式(2.101)即可求得
[] []
[] [])(*,*,*)*,()(*,*,*)*,(
)(*,*,*)*,()(*,*,
11
22
xFKFKxFKFK
xFKFKxFKK
m
gamfmagf
gamfmagf
ξββξββ
ξββξβ
= (2.106)
于是就获得了ξ(x)我们这样来选择)()(
21
xx ξξ和它使β
(x)的峰值沿某一方向移动直至合理性条件不再成立例如可以使用下面两组)()
2
xx ξ和(
1
ξ
第一组分别为椭圆和抛物线)()(
21
xx ξξ和图2.18中的曲线1和2如果?ε取正值则ξ(x)就有可能使?β在区间的中间部分为正值两边为负值换句话说它将使β (x)的值在中间部分增加两边减少反之如果?ε为负β
(x)的中间部分减少两边增加
第二组为三次曲线)()(
21
xx ξξ和图2.18中的曲线3和4其峰值分别在左侧和右侧当?ε为正时有可能获得一个在区间左半部为正右半部为负的?β换句话说它将使β
(x)
的峰值左移当?ε为负时β
(x)的峰值右移
由于β
(x)包含有F
ve
这个合理性要求指标的特性β
(x)的峰值的移动将最终使F
ve
的值达到边界越过此边界F
ve
越过了1合理性要求不再满足
此外从式(2.29)还可以看出在区间(a x)之间β
(x)的平均值如果增加y
t
在x的值
48 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
就有可能增加A′
c
值则减少作为合理性要求的另一指标A′
c
的值就有可能发生本质的变化如果采用曲线3和4)()(
21
xx ξξ和就有可能实现β
(x)的平均值在区间(a x)之间增加这一目的
这样通过选择恰当的)()(
21
xx ξξ和就有可能变化F
ve
和A′
c
而最终找到受合理性要求控制的边界
图 2,18 两种建议曲线
下面通过两个例子来说明这个过程具体材料参数参见文献(Chen & Morgenstern,
1983)
[例2,7] 确定合理安全系数解集的上下限例 (Chen & Morgenstern,1983)
图2.19所示的滑裂面的两个端部都终止在水平的土坡面上因此β
a
和β
b
应为零取f
0
(x)
为零f(x)为正弦曲线即可求得Morgenstern?Price方法的一组解安全系数F为1.465
相应的λ为0.360相应的F
ve
和A′
c
的图形如图2.20中标有初始解的那些曲线所示可见F
ve
和A′
c
的值都满足合理性要求但在区间的中部F
ve
的值十分接近F
ve
=1线如果继续增大中部的β (x)值F
ve
在中部的值必将小于1相应的解也就变成不满足合理性要求的解采用图 2.18曲线1和2作为)()(
21
xx ξξ和取?ε为0.025从图2.20(a)可以看出经过12次积分后在中间部分F
ve
的值变得比1小了相应的新解安全系数F值从原来的
1.265变成了1.471如果?ε为?0.05如图2.20(b)所示则两边的β值将增加经过12次积分后左边部分的F
ve
值减少到比1小此时安全系数F为1.455再采用图 2.18曲线3
4使β (x)的峰值向左或向右移分别采用?ε值为0.04和?0.025如图2.20(c)和图2.20(d)所示其相应的安全系数F为1.470和1.444
图 2,19 确定合理安全系数解集的上下限例
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 49
图 2,20 [例2.7] 确定安全系数解集的上下限过程
(a) β (x)峰值上移?ε = 0.025 (b) β (x)峰值下移?ε =?0.05
(c) β (x)峰值左移?ε = 0.040 (d) β (x)峰值右移?ε =?0.025
50 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
可以看到在所有上述情况A′
c
值都是合理的
现在所假定的β (x)已经覆盖了相当大的区域每一方向的积分都达到了合理性要求的边界尽管还可以作更多的试算但安全系数的最大最小值可以很合理地确定为在1.471
和1.444之间这一算例说明受合理性要求限制的安全系数解集的上下限确定是很接近的
[例2.8] 加拿大Edgeton滑坡 (Chen & Morgenstern,1983)
图 2.21为加拿大Edgeton滑坡计算简图图2.22 示不断变化β(x)的情况与上例相反
F
ve
值一直都是合理的但A′
c
值在靠近边坡中部处趋于零此例安全系数解集的上下限也很接近F值在0.960左右
图 2,21 [例2.8] Edgeton 滑坡
图 2,22 [例2.8] 确定安全系数解集的上下限过程
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 51
2,5,4 其它通用条分法
1,有关通用条分法的研究
开发同时满足力和力矩平衡条件的通用条分法一直是边坡稳定分析领域中十分活跃一项研究工作有关的文献浩瀚宏大但是所有的方法只要是建立在本章阐述的极限平衡法的理论基础上在本质上都不会有很大的区别已有的研究工作已十分充分
Morgenstern(1992)认为在这一方面更多的研究工作不会对深化这一领域的认识带来实质性的影响本文简要地回顾并讨论一些有代表性的研究工作
在边坡稳定极限平衡分析领域主要的一项工作是对作用在滑动土体中的某些未知内力引入适当的假定使问题变得静定可解根据未知内力的特点可将这些方法分为两
大类
(1) 对作用在滑面上的法向力作出假定早期在这方面有不少学者曾发表过有关的研究论文这些方法的特点是确定一个滑裂面的安全系数和确定临界面的步骤是合并在一起的
Baker和Garbo (1977,1978) 引入了变分法原理最后得出了临界滑裂面应是对数螺旋线的结论这一工作后来受到了一系列论文的质疑(De Josselin De Jong,1980; Luceno & Castino,
1980; Castillo & Luceno,1982)
土条上某一点法向力的大小是由上复土条重量和该点以上滑体下滑力决定的在确定法向力时应充分考虑这些因素Baker & Garbo等在对法向力进行假定时无视了这些因素鉴于对这一建立在变分原理和法向力假定基础上的方法在理论上的问题和很少有实际应用的事实Duncan (1995)认为不能将其视为对边坡稳定分析方法有意义的改进但近期仍有相关的研究成果(Leshchinsky,1990; Leshchinsky & Huang,1992)
(2) 对土条侧向力的某一参数进行假定即垂直条分法将滑动土体分成垂直土条通过分析土条的静力平衡条件确定安全系数仍是目前最为广泛的一种方法在通用条分法中根据假定的类型分为以下三大类
1) 对土条侧向力的倾角的分布形状作假定这一类方法已在本章作为主要内容作过详细的讨论
2) 对土条倾向力的大小的分布函数作假定这一类方法最有代表意义的是Sarma (1973)
法
3) 对土条倾向力的作用位置作假定这一类方法最有代表意义的是Janbu (1973)法
下面对Sarma法和Janbu法作一简单的介绍和讨论
2,Sarma法
首先Sarma提出了一个临界加速度的概念他假定每个滑动土条承受一个K?W的水平力 滑体处于临界状态K称为临界加速度系数这样滑裂面上的c′和φ
′不再如按式(2.2)
和式(2.3)缩减但是为了和传统的安全系数接轨Sarma采用以下方法求得按式(2.2)和式(2.3)
定义的安全系数
1) 假定一系列的安全系数F按式(2.2)和式(2.3)获得c'
e
和tanφ'
e
2) 根据不同的c'
e
和tanφ'
e
求得K并将其绘制成如图2.23所示的F~K曲线
3) F~K曲线与x水平轴的交点相应的F值即为按传统定义获得安全系数
52 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
在编制计算机程序时上述步骤当然也可通过Newton?Raphson法的一维迭代实现
Sarma的解法的要点是求解临界加速度系数比较方便K可以通过一个直接的公式求得不需迭代因而求解安全系数变成了如图2.22所示的只包含一个未知数的迭代过程
图 2,23 Sarma法求解安全系数步骤
Sarma建立的坐标系同图2.1对土条左右侧面的剪力X的差值?X作如下假定
(2.107))(? xQX λ=
可见,Sarma 并没有对?X的绝对值作假定,而是对它的分布形状提出了一个函数Q(x)
在此基础上建立力和力矩平衡方程,Sarma 最终获得以下公式
(2.108)
32
/ SS=λ
i
W
SS
K
41
Σ
=
λ
(2.109)
(2.110) )()(?
2 cici
yyDxxWS?Σ+?Σ=
(2.111) )]()(tan)[(
3 cc
xxyyQS?+?′?= αφαΣ
(2.112) )tan(
4
αφ?′Σ= QS
)cos(
sin]sincos)tan([
αφ
αφγφαφ
′
′?′+?′?
=
WxcW
D
ui
i
(2.113)
式中x
c
y
c
为土条底中点的坐标
下面的问题是如何来确定Q(x)这是一个带量纲的分布函数Sarma从分析土条受力条件入手提出了一个计算Q(x)的经验公式对于均质边坡Sarma建议
(2.114) ]2/tan))[((
2
HcHrKxfX
u
′+′?′= φγλ
其中f(x)是一个无量纲的分布形状函数通常可以取为1 H为土条高度
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 53
)2sin(sin1
]/cos4sin)21)[(2sin(1
φαφ
γφφφα
′?+
′′+?′
=′
Hcr
K
u
(2.115)
对于非均质边坡Sarma也提出了建议的Q (x)分布函数在推导上述公式过程中Sarma
采用的力学分析中仍包含大量经验成分
Sarma法的优点是将求解安全系数的非线性方程迭代步骤从二维减少为一维缺点是对
Q(x) 这个带量纲的分布函数的假定缺乏直观的力学背景多少带有一定的人为因素还有不少学者对土条侧向力的绝对值作假定如Madej (1984)和Cerreia (1988)假定
(2.116))(xgX λ=
潘家铮(1978)假定
(2.117) )tan(? αγλ?=
avgi
WX
式中γ
avg
为边坡的平均坡度
3,Janbu法 (1973)
此法采用的坐标系同图2.1对土条建立水平和垂直方向的静力平衡方程式分别得
)tan1(?tan?)
(?
2
ατα? +?+++= xxt
x
W
qQE (2.118)
αφ
φ
τ
τ
tantan1
tan)
(
e
ee
f
ut
x
W
qc
F ′+
′+?+++′
== (2.119)
其中τ为按式(2.1)定义的作用在条底的剪应力t(x)为
x
X
xt
d
d
)( = (2.120)
对一个宽度无限小的土条建立力矩平衡可得
x
Q
h
x
E
hEX
et
d
d
d
d
tan?+?= α (2.121)
其中为土条侧向力作用点与条底的距离
t
h令
αtan)
(? t
x
W
qQB
i
+++= (2.122)
(2.123) )tan1(?
2
ατ += xA
fi
由整体平衡条件可得 0? =EΣ
iba
i
BEE
A
F
Σ+?
Σ
= (2.124)
式中E
a
和E
b
分别为滑体左右端E的边界值
Janbu法的计算步骤如下
1) 假定h
t
为一确定的数值Janbu建议取h
t
为土条高度的1/3
54 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
2) 先假定一个F
0
值并假定 t(x)
=
0通过式(2.119)求得τ
f
并用式(2.124)求得一个新的安全系数F
1
3) 通过式(2.118)求得各条块的?E和E
4) 通过式(2.121)求得各条块的X
5) 在新的X的基础上通过式(2.120)获得一个新的t(x)
6) F
1
和F
2
的差值小于允许误差时计算收敛结束否则在新的t和 F
2
基础上重复2)
至5)的解题步骤
从上述步骤可知Janbu法求解力的平衡时研究对象是图2.2所示的一个土条而使用力矩平衡条件即步骤4时则是相对一宽度为无限小的以土条侧面为中心的另一个土条
Janbu自1973年提取出此方法后受到学术界的广泛重视一个重要原因是此方法同时引入了力和力矩平衡条件 而计算过程却相对比较简单可用手算或编制一个简单的程序来实现但是在实际应用时不少学者发现该法存在严重的收敛困难问题作者曾对这一方法作过尝试
[例2.9] 检查Janbu法收敛性能的例子图2.24陈祖煜1996
图 2,24 检查Janbu法收敛性能的一个例子
对圆弧形裂面I,使用了改进后的通用条分法[相应]和Janbu法0)(,1)(
0
== xfxf两种方法初始假定的F
1
均为1.86,图2.25(a)通用条分法仅经过两次迭代就满足了收敛要求即?F和?λ绝对值小于0.001使用Janbu法我们控制前后两次迭代差值不大于0.005这样经过10次迭代可以得到F值在1.972和1.977之间这个数值和Morgenstern?Price
法的解是接近的在第二次试算时用于第一次迭代的F值为1.582通用条分法仍然只需三次迭代获得了收敛解而Janbu法则需要13次如图2.25(b)对图2.24虚线示的非圆弧形滑裂面2,通用条分法仍然只需要两次迭代而Janbu法却无法获得收敛解如图2.25(c)
在美国土木工程师学会召开的岩土工程的分析和设计会议中Wright (1975)等学者曾对 Janbu 法的收敛问题作过讨论当时来自挪威的Karal (1975)曾为Janbu法的收敛问题作过答辩称 Janbu 法的收敛性能极好但计算时条块数目不能太多条块不能太细第2章 边坡稳定分析的通用条分法 55
我们发现在Janbu提供的例题中滑动土体确实只有4或5个土条条块数目一多即遇到收敛困难的问题对Karal 的答辩Wright当时曾即席作了这样的评价
Janbu法采用有限差分的原理来模拟力矩平衡因此其精度理应随着土条宽度的减少而增大称条块数目越少越好是难以令人接受的我们等待着Karal对这一问题进一步的澄清说明
图 2,25 [例2.9] 迭代过程
(a) (b) 圆弧形裂面(c)非圆弧形裂面
这里Wright提到的力矩平衡条件就是式(2.121)这一方程是建立在土条宽度无限小的基础上的
作者认为Janbu 法收敛性能差的根本原因在于对土条侧向力作用点位置的假定被定位在绝对值而不是相对值上面在本章介绍的所有的满足力和力矩平衡条件的方法中都是只对土条侧向力的某一参数的分布形状而不是绝对值作假定最终留下一个确定其绝对值的假定系数λ和安全系数F联合求解对于一个同时满足力和力矩平衡条件的解土条侧向力的作用位置不可能均为土条高度的三分之一或者说h
t
均为1/3土条高的解实际上是不存在的硬性规定了土条侧向力的某一参数的绝对值使迭代过程失去了灵活调整的能力从而导致收敛困难
Janbu法收敛困难的另一原因时初始输入的假定除安全系数F外还有的一个假定函数
t(x) Janbu建议可取t(x)为零然后在迭代过程中过渡到正确值这等于是在初始输入的假定中引入了n+1个未知变量n为土条数在非线性规划领域要保证一个算法具有很好的收敛特性一个重要的原则就是要求尽量减少自变量的数目并要求输入的迭代初值尽
56 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
可能地靠近最终的解答如果滑裂面上的某些部位的t(x)真实值和零相差较远这样的计算步骤的收敛性就难以保证
2,6 本章附录
2,6,1 关于端部条块侧向力假定的限制条件的证明
本节要证明的命题是
对端部形状为三角形的条块当?x是很小时则
(2.125)
aa
γβ =
(2.126)
=
)B(3/2
)A(2/1
情况情况
c
A
关于情况A和的定义及有关符号意义已在2.5.2节介绍
在2.4.1节中我们已经讨论了作用在一个微小长?x上连续分布的垂直应力σ
(x) 的合力P
的作用点的位置a可通过式(2.45)予以确定定义这一相对位置为
x
a
ζ = (2.127)
另外如果?x→0时P/?x
n
不为零则称P与?x
n
同阶则根据式(2.47)可知
1) 如果ζ
=
1/2则P与?x同阶
2) 如果ζ
=
2/3则P与?x
2
同阶
同时也不难证明
1) 如果σ(0)≠0则P与?x同阶
2) 如果σ(0)
=
0 σ′ (0)≠0则P与?x
2
同阶
现在研究图2.26所示端部三角形条块当?x足够小时AD可简化为直线建立水平方向的静力平衡方程和对D点的力矩平衡方程
(2.128) αααφ tan)sincos(tan?+′′?= xuxcNE
ee
0sec
3
2
2
1
222
=++ xuxqxkWFDNHDE α (2.129)
其中线段长度HD和FD与?x同阶k?x为重心距端点D的距离u为DA面上的平均孔隙水压力与?x同阶?W与?x
2
同阶注意滑裂面不与边坡表面相切这一前提式(2.128)
和(2.129)中仅有两个未知量E和N它们必须同阶否则高阶的那个量在?x→0时消失使式(2.128)或(2.129)无法同时成立
对于情况A由于c′
e
或q不为零由式(2.128)和式(2.129)可知E和N与?x同阶
故有
(2.130) 2/1===
NEc
A ζζ
由于DC面上的水压力与?x
2
同阶比E高阶故有
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 57
图 2,26 端部条块侧向力分析
(2.131) 2/1==′
cc
AA
对于情况A由于c′
e
或q同时为零则要求E和与?x
2
同阶故有
(2.132) 3/2====′
NEcc
AA ζζ
式(2.126)得证
设作用在AD上的法向应力的作用点为F
则HF平行于AC将作用在土条上的力对
F取矩
(2.133) 0)1(tan)1( = xExX
NaN
ζγζ
单元的重量在(2.133)中不出现理由是
1) 在情况A与?x
2
同阶而情况A时E与?x
2
同阶故予忽略
2) 在情况B时该重量通过F点故也不出现在式(2.133)中表面荷载在情况A时通过F
在情况B时不存在故也不出现在式(2.133)中令式(2.133)中?x→0可知
a
x
a
E
X
γβ tanlimtan
0?
==
→
(2.134)
式(2.125)得证
2,6,2 G
n
和M
n
对F和λ的导数的计算公式
G
n
和M
n
的变分 1,
G
n
和M
n
由下式定义
58 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(2.135)
∫
=
b
a
n
xxsxpG
d)()(
(2.136) 0d)()()(
=?=
∫
e
b
a
n
MxxtxsxpM
其中p(x) s(x) t(x)在第一节中已定义
由于F的微分dF和β(x)的变分δβ引起的G
n
和M
n
增量是可由下式表达
[]
∫
δ+
=δ
b
a
n
xxsxpF
F
xsxp
G
d)()(d
)]()([
(2.137)
[
∫
δ+
=δ
b
a
n
xxtxsxpF
F
xtxsxp
M
d)()()(d
)]()()([
] (2.138)
其中和为和由于β(x)的变分δβ引起的变
分值
[])()( xsxpδ [])()()( xtxsxpδ )()( xsxp )()()( xtxsxp
F
xsxp
)]()([
和
F
xtxsxp
)]()()([
的推导 2,
可以得到
x
F
xkxsxp
F
sp
e
e
x
a
b
a
d]d
d
d
d
d
)(sec)()[()(
)(
2
ξ
φ
ξ
β
βαφ
′
+?′=
∫∫
(2.139)
)}cos()(/{cos
]sinsin
d
d
)cos(cossec
)cos(sinsec
d
d
cossin)
d
d
[()(
βαφφ
βφηαβφα
αβφαβφ
+?′?′
′′′+
′?′+?=
ee
eee
eue
xpF
x
W
c
x
W
rq
x
W
xk
(2.140)
同时也可以证明
]d
d
d
d
d
)(sec)()([
)(
,
,2
ξ
ξ
βφ
βαφ+=
∫
F
txtxksp
F
tsp
e
x
a
e
(2.141)
式(2.141)的推导如下
t
F
sp
F
t
sp
F
tsp
+
=
)()(
(2.142)
其中ξζ
φ
ξ
β
βαφβαβ
ξξ
ξ
β
βαφ
ξ
d]d
d
d
d
d
)(sece)costan[(sin
2
d
d
d
)tan(
FF
t
e
x
aa
e
a
e
′
+?′=
∫∫
+?′
∫
(2.143)
根据t(x)的定义式(2.143)可以写成
t
FF
t
e
x
aa
e
d]d
d
d
d
d
)(sec[
2
ζ
φ
ζ
β
βαφ
ξ
′
+?′=
∫∫
(2.144)
对式(2.144)进行分部积分可得
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 59
∫∫
′
+?′?
′
+?′=
e
a
e
e
e
x
a
e
t
FF
xt
F
t
2
2
d
d
d
d
d
)(secd
d
d
d
d
)(sec)( ξ
φ
ξ
β
βαφζ
φ
ζ
β
βαφ (2.145)
将式(2.145)和式(2.139)式代入式(2.142)即可得式(2.141)
δ(p?s)和δ(p?s?t)的推导 3,
(1) δ(p?s)的推导
由于p(x)与β无关
(2.146) spsp δ?=?δ )(
+?′δδ+?′=δ
∫
ξ
ξ
β
βαφββαφ d
d
d
)tan()tan(
x
a
ee
sss (2.147)
其中
ξ
ξ
β
βαφ
ξβ
ξ
β
βαφξ
ξ
β
βαφ
d)
d
d
()tan(
d
d
d
)(secd
d
d
)tan(
2
∫
∫∫
δ+?′+
δ+?′=
+?′δ
x
a
e
x
a
e
x
a
e
(2.148)
可以分部积分
[]
∑
∫
∫∫
=
δ+?′+δ+?′?
δ+?′?δ+?′=
+?′
s
i
r
liiiei
x
a
e
x
a
e
x
ae
x
a
e
1
2
2
)tan(d
d
d
)(sec
d
d
d
)(sec])[tan(d
d
d
)tan(
ββαφξβ
ξ
α
βαφ
ξβ
ξ
β
βαφββαφξ
ξ
β
βαφ
(2.149)
需要注意的是由于可能在某些点i(i)tan( βαφ +?′
e
=
1 2 s)不连续在通常的分部积分表达式中加上了一项
[]
∑
=
δ+?′
s
i
r
liiiei
1
)tan( ββαφ
其中
iiei
βαφ′为βαφ
e
′在第i个不连续点的值脚标r和l代表第i个不连续点左侧和右侧的值
将式(2.149)代入式(2.148)然后将式(2.148)代入式(2.147)可得
δ+?′?
δ+?′+δ+?′?=δ
∑
∫
=
s
i
r
iiiei
aaaea
x
a
e
ss
1
1
2
])[tan(
)tan(d
d
d
)(sec
ββαφ
ββαφξβ
ξ
β
βαφ
(2.150)
式(2.150)可写成
[]
+δ+=δ
∫
i
x
a
e
Cxsxs ξβ
ξ
β
βαφ d
d
d
)(sec)()(
,2
(2.151)
60 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(2.152) [
∑
=
δ+?′?δ+?′=
s
i
r
liiieiaaaeai
C
1
)tan()tan( ββαφββαφ ]
其中
aaaea
ββαφ δ′为ββαφ δ′
e
在x
=
a的数值
C
i
在α和φ
e
′连续时为一常数当x通过第i个不连续点时因α或φ
e
′有一突然变化C
i
获得一个增值
将式(2.151)代入式(2.146)可得
[]
+δ+?′=?δ
∫
i
x
a
e
Cxsxpxsxp ξβ
ξ
α
βαφ d
d
d
)(sec)()()()(
2
(2.153)
(2) δ(p?s?t)的推导
由式(2.146)和式(2.147)可得
tsptsp
tsptsptsp
x
a
ee
δ++?′δ?δ+?′=
δ+?δ=δ
∫
)]d
d
d
)tan(()[tan(
)()(
ζ
ζ
β
βαφββαφ
(2.154)
ξζ
ζ
β
βαφβαβ
ξββαβ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
ζ
ζ
β
βαφ
ξ
ξ
dd
d
d
)tan(e)sintan(sin
de)sintan(cos
d
d
d
)tan(
d
d
d
)tan(
+?′δ+
δ?+=δ
∫∫
∫
+?′
+?′
∫
∫
a
e
x
a
x
a
a
e
a
e
t
(2.155)
根据t(x)的定义式(2.155)中右边第二项可以分部积分式(2.155)变成
∫∫
∫
+?′δ+
δ?+=δ
+?′
∫
x
aa
e
x
a
t
t
x
a
e
d
d
d
)tan(
dd
d
d
)tan(
de)sintan(cos
ζ
ζ
β
βαφ
ξββαβ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
ξ
ξ
β
βαφζ
ζ
β
βαφ
ξββαβ
ξζ
ζ
β
βαφ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
ξββαβ
ζ
ζ
β
βαφ
ξξ
ζ
ζ
β
βαφ
ξ
ξ
d)
d
d
)(tan()d
d
d
)tan((
de)sintan(cos
d)]d
d
d
)tan(([
d
d
)]d
d
d
)tan(([
de)sintan(cos
d
d
d
)tan(
d
d
d
)tan(
∫∫
∫
∫∫∫
∫
+?′δ+?′δ?+
δ?+=
+?′δ+?′δ?+
δ?+=
+?′
+?′
∫
∫
x
a
e
x
a
e
x
a
a
e
x
a
x
a
a
e
x
a
tt
tt
a
e
a
e
(2.156)
其中
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 61
[]
[]
r
liiiiei
s
i
ee
x
a
x
a
e
r
liiiiei
s
i
e
x
a
x
a
e
x
a
e
x
ae
x
a
e
e
x
a
e
x
a
e
tt
t
t
t
tt
tt
t
t
a
e
])[tan()tan(d)tan(
e)sintan(sind
d
d
)(sec
)tan(d)tan(
d
d
d
d
d
)(secd
d
d
)(sec
)tan(d
d
d
)(sec
d
d
d
)tan(
d
d
)(sec
d
d
d
)tan(
1
d
d
d
)tan(
2
1
2
2
2
2
δ+?′+δ+?′?+?δ+?′?
δ?+?′=
δ+?′+?δ?+?′+
δ?+?′δ?+?′?
δ?+?′?+?δ?+?′=
δ+?′+δ?
+?′?=
+?′δ?
∑
∫∫
∑
∫
∫∫
∫
∫
∫
=
+?′
=
∫
ββαφββαφξββαφ
βαβξβ
ξ
α
βαφ
ββαφξββαφ
ξ
ξβ
ξ
α
βαφξβ
ξ
β
βαφ
ββαφξβ
ξ
β
βαφ
ξ
ξ
β
βαφβ
ξ
β
βαφ
ξ
ξ
β
βαφ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
(2.157)
将式(2.157)代入式(2.156)可得
[]
∑
∫
∫
∫
=
+?′
δ+?′?
+?′δ?+
δ+?′δ?+?′?
δ+?′′=δ
∫
s
i
r
liiiiei
x
a
e
e
x
a
e
x
a
ee
tt
tt
t
a
e
1
2
d
d
d
)tan(
)tan(d
d
d
)tan(
)tan(d
d
d
)(sec
de)sec(seccos
ββαφξ
ξ
β
βαφ
ββαφξβ
ξ
α
βαφ
ξββαφαφ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
(2.158)
将式(2.158)代入式(2.154)可得
spCt
tsp
ti
x
a
e
x
a
ee
a
e
+?δ?+?′?
δ+?′′=
∫
∫
∫
+?′
ξβ
ξ
α
βαφ
ξββαφαφδ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
d
d
d
)(sec
de)sec(seccos)(
2
d
d
d
)tan(
(2.159)
(2.160) [
∑
=
δ+?′?=
s
i
r
liiiieiti
tC
1
)tan( ββαφ ]
将式(2.139)式(2.141)式(2.153)式(2.159)代入式(2.137)式(2.138)最终得
xC
F
F
xkxsxpG
i
x
a
e
x
a
e
e
b
a
n
dd
d
d
)(sec
dd
d
d
d
d
)(sec)()()(
2
2
+?δ+?′?+
′
+?′=δ
∫
∫∫
ζβ
ζ
α
βαφ
ζ
ζ
βφ
βαφ
(2.161)
62 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
x
Ct
F
F
txtxkxsxpM
x
a
ee
ti
x
a
e
x
a
e
e
b
a
n
a
e
dde)sec(seccos
d
d
d
)(sec
dd
d
d
d
d
)(sec)()()()(
d
d
d
)tan(
2
2
δ+?′′+
+?δ+?′+
′
+?′=δ
∫
∫
∫∫
∫
+?′
ξββαφαφ
ξβ
ξ
α
βαφ
ξ
ξ
βφ
βαφ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
(2.162)
4,几种变分的特殊情况
δβ的变分可以取几种特殊情况下面两种在本章中使用
(1) β (x)由一个系数所控制此时有
(2.163) ),()( λββ xx =
当λ有一增量时β (x)就会有一个变分
λ
λ
β
β d
d
d
=δ (2.164)
将式(2.164)代入式(2.161)和式(2.162)可得
λ
λ
ddd
+
=
nn
n
G
F
F
G
G (2.165)
λ
λ
ddd
+
=
nn
n
M
F
F
M
M (2.166)
x
F
xkxsxp
F
G
x
a
e
e
b
a
n
dd
d
d
d
d
)(sec)()()(
2
′
+?′=
∫∫
ξ
ξ
βφ
βαφ
(2.167)
x
F
txtxkxsxp
F
M
x
a
e
e
b
a
n
dd
d
d
d
d
)(sec)()()()(
2
′
+?′=
∫∫
ξ
ξ
βφ
βαφ
(2.168)
xDxsxp
G
i
x
a
e
b
a
n
dd
d
d
d
d
)(sec)()(
2
++?′=
∫∫
ξ
ξ
α
λ
β
βαφ
λ
(2.169)
xe
Dtxsxp
M
x
a
ee
ti
x
a
e
b
a
n
a
e
dd
d
d
)sec(seccos
d
d
d
d
d
)(sec)()(
d
d
d
)tan(
2
+?′′+
++?′=
∫
∫∫
∫
+?′
ξ
λ
β
βαφαφ
ξ
ξ
α
λ
β
βαφ
λ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
(2.170)
r
l
s
i
iei
ax
ei
D
∑
==
+?′?
+?′=
1
d
d
)tan(
d
d
)tan(
λ
β
βαφ
λ
β
βαφ
(2.171)
r
l
s
i
ieiiti
tD
∑
=
+?′?=
1
d
d
)tan(
λ
β
βαφ
(2.172)
(2) β(x) 由一个函数所控制此时有
(2.173) )(?)(? xx εηβ =
式中η(x) 为一任意函数?ε为一系数用以保证?β的值足够小
第2章 边坡稳定分析的通用条分法 63
式(2.161)和式(2.162)可表达为
(2.174) )?,?( εε FoKFKG
gagfn
++=
(2.175) )?,?( εε FoKFKM
mamfn
++=
x
F
xkxsxpK
x
a
e
e
b
a
gf
dd
d
d
d
d
)(sec)()()(
2
′
+?′=
∫∫
ξ
ξ
βφ
βαφ
(2.176)
x
F
txtxkxsxpK
x
a
e
e
b
a
mf
dd
d
d
d
d
)(sec)()()()(
2
′
+?′=
∫∫
ξ
ξ
βφ
βαφ
(2.177)
xBxsxpK
i
x
a
e
b
a
ga
dd)(
d
d
)(sec)()(
2
++?′=
∫∫
ξξη
ξ
α
βαφ
(2.178)
xe
BtxsxpK
x
a
ee
ti
x
a
e
b
a
ma
a
e
dd)()sec(seccos
d)(
d
d
)(sec)()(
d
d
d
)tan(
2
+?′′+
++?′=
∫
∫∫
∫
+?′
ξξηβαφαφ
ξξη
ξ
α
βαφ
ξ
ζ
ζ
β
βαφ
(2.179)
(2.180)
[
∑
=
+?′?+?′=
s
i
r
liaeaaeai
xaB
1
)()tan()()tan( ηβαφηβαφ ]
(2.181) []
∑
=
+?′?=
s
i
r
liieiiti
xtB
1
)()tan( ηβαφ
2,6,3 本章数据文件表2.4
表 2,4 本 章 数 据 文 件
有关章节 系列号 数据文件名 内容
02?01?01 CPT1?1.DAT [例2.1] 紫坪铺库区左岸堆积体
2.3.3
02?01?02 CTP4?1.DAT [例2.2] 澳大利亚ACADS考题EX1(c)
02?02?01 CTP9.DAT [例2.3] 铁山大坝例坡外水体处理按第1方案
02?02?02 CTP9?1.DAT [例2.3] 铁山大坝例坡外水体处理按第2方案
02?02?03 CPT2?1.DAT [例2.4] 三峡3坝段例库水按拉力缝处理下游水
位第2方案
02?02?04 CPT2?2.DAT [例2.4] 三峡3坝段例滑面通过库水位下游水位
第2方案
02?02?05 CPT2?3.DAT [例2.4] 三峡3坝段例库水按拉力缝处理下游水
位第1方案
2.4.3
02?02?06 CPT2?4.DAT [例2.4] 三峡3坝段例库水按拉力缝处理下游水
位第3方案
02?03?01 MYM?0.DAT [例2.5] 重力坝抗滑分析例采用对侧向力倾角的
第1种假定Spencer法
02?03?02 MYM?1.DAT [例2.5] 重力坝抗滑分析例采用对侧向力倾角的
第1种假定Spencer法
02?03?03 MP.DAT [例2.6] 采用通用条分法和侧向力倾角的第2种假定
2.5.2
02?03?04 BI.DAT [例2.6] 采用毕肖普法
64 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
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Vol,2,153
