第3章 边坡稳定分析的简化方法
3,1 概述
在极限平衡法理论体系形成的过程中出现过一系列简化计算方法诸如瑞典法毕肖普简化法(1955)和陆军工程师团法等
瑞典法亦称Fellenious法是边坡稳定分析领域最早出现的一种方法该法假定滑裂面为圆弧形在计算安全系数时简单地将条块重量向滑面法向方向分解来求得法向力这一方法虽然引入过多的简化条件但构成了近代土坡稳定分析条分法的雏型1955年毕肖普(Bishop)在瑞典法基础上提出了一种简化方法这一方法仍然保留了滑裂面的形状为圆弧形和通过力矩平衡条件求解这些特点但是在确定土条底部法向力时考虑了条间作用力在法线方向的贡献
自然界发生的滑坡其滑裂面有相当一大部分并非圆弧形对于任意形状的滑裂面瑞典法和毕肖普法不再适用此时一些学者试图通过力平衡而不是力矩平衡条件来求解安全系数这样就出现了适用于非圆弧滑裂面的陆军工程师团法罗厄法和简化Janbu法国内的一些著作中曾见过一种传递系数法其理论和本章3.6.2节介绍的简化法1类似但包含一些缺陷将在本章第3.7.3节中讨论
20世纪50年代和60年代早期建立起来的这些简化方法其一个重要特点是试图提供较简单的计算步骤使设计人员能够通过手算来得到安全系数随着计算机的出现这一问题已不重要这样就出现了一些求解步骤更为严格的方法即第2章介绍的
Morgenstern?Price法Spencer法等由于第2章介绍的方法可以回归到本章介绍的各种简化方法瑞典法除外因此我们称它为通用条分法
本节简要介绍各种简化方法的原理适用范围以及这些方法和通用条分法的内在联系并通过工程实例说明简化法的适用范围及其局限性这些知识对于合理地评价边坡的稳定性具有重要意义本章符号意义同第2章
3,2 瑞典法
3,2,1 简化条件
1,滑面形状
瑞典法使用圆弧滑裂面
2,对多余未知力的假定
该法假定作用在土条侧向垂直面上的E和X的合力平行于土条底面
3,静力平衡
68 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(1) 建立土条底面法线方向静力平衡方程确定?N'参见图3.1
(3.1) )sec(cos αα
u
rWN=′?
(2) 通过整体对圆心的力矩平衡确定安全系数
(3.2)
∑
=
=?+?+
N
n
d
QRWT
1
0)sin( α
R
h
R
Q
d
= (3.3)
式中h
Q
为水平地震力和圆心的垂直距离土条总数为N
图 3,1 边坡稳定分析的简化方法
3,2,2 安全系数计算公式
将式(2.4)和式(3.1)代入式(3.2)可得
{}
∑
∑
=
=
+?
′+′
=
N
n
d
N
n
u
QRW
xcQrW
F
1
1
]sin[
sectansin)]sec(cos[
α
αφααα
(3.4)
3,3 毕肖普简化法
3,3,1 简化条件
1,滑面形状
毕肖普简化法使用圆弧滑裂面
2,对多余未知力的假定
该法假定X= 0(图2.2或β = 0即土条两侧作用力均为水平
3,静力平衡
(1) 建立垂直方向静力平衡方程解得?N'参见图3.1
第3章 边坡稳定分析的简化方法 69
(3.5) WTN?=α?+α? sincos
(2) 通过整体对圆心的力矩平衡解得安全系数平衡方程式同式(3.2)
3,3,2 安全系数计算公式
将式(2.4)和式(3.5)代入式(3.2)得
∑
∑
=
=
+?
′+?′+′
=
N
n
d
N
n
u
QRW
FxcrW
F
1
1
]sin[
)]/tantan1(/[cos]tan)1([
α
φααφ
(3.6)
使用毕肖普法计算安全系数需要通过迭代求解
3,3,3 与通用条分法的关系
如果把毕肖普法所包含的假定条件纳入通用条分法力矩平衡方程式(2.24)通过适当推导则该式就可回归为传统毕肖普法的计算公式(3.6)详细推导参见本章附录3.8.1节
3,4 滑楔法
3,4,1 简化条件
1,滑面形状
滑楔法适用于任意形状滑裂面
2,对多余未知力的假定
对土条侧向力的倾角β 作假定
(1) 陆军工程师团法(U,S,Army,Corps of Engineers,1967)假定β为常数等于边坡的平均坡度γ
a
即
(3.7)
a
γβ =
(2) 罗厄法(Low,J,III and Katafiath,1960)假定β 等于该土条底面倾角α和顶面倾角γ 的平均值即
2
)( γα
ββ
+
=′= (3.8)
(3) 简化Janbu法(Janbu,1954)为陆军工程师团法的特例假定β
=
0,
(4) 传递系数法假定β 等于该土条条底面倾角即
(3.9) αβ =
3,静力平衡
要求每个土条和滑坡体整体力的平衡得到充分满足但力矩平衡不满足
3,4,2 安全系数计算方法
假定F为某一数值从右端第一个土条开始通过静力平衡确定每个土条左侧条间力
70 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(也就是下一个土条右侧条间力)到最后一个土条即左端部的土条其左侧向力应为零如不闭合需修正F值直至收敛
土石坝设计规范提供以下公式进行这一计算步骤
(3.10)
)]cos(cossec sinsec
)sin()()cos()[sec(
αφφαφα
αφβαφβαφ
′?+?′′′+
′+?′+?′=
eeee
eReRLeL
Qxcxu
VWGG
式中下标R和L分别代表土条右和左侧面相应物理量
对于一个宽度?x的微小土条可视α为常量式(2.12)可写成
(3.11) xxpG
e
=+?′? )()]cos([ βαφ
即可方便地导出式(3.10)
如用计算机则常采用解析法此时可把本法看作第一章介绍的通用条分法中只满足力平衡方程式(2.23)的特例STAB程序提供了一个入口如果使用陆军工程师团法或简化
Janbu法则输入一个β 值如果使用罗厄法输入一个控制码即可实现滑楔法的功能
3,4,3 双折线滑面的计算方法
滑楔法中有一个滑裂面为双折线形的特殊情况如图3.2所示滑面在C点滑面有一个突然转折通常一部分滑面为两种土的接触面和软弱夹层在对多余未知数的假定静力平衡和安全系数的计算方法上双折线滑面与滑楔法完全一致因此可以直接推导出双折线滑面安全系数的计算公式
图 3,2 双折线滑动计算简图
从式(2.21)知当滑面为直线即α 为常数时)sec()(
ae
xs βαφ +?′=式(2.23)可变为
(3.12)0d)(
=?
∫
xKxp
b
a
(3.13) cxaK ≤<=,1
bxcK
cl
l
e
cr
r
e
≤<
+?
+?
=
)cos(
)cos(
βαφ
βαφ
(3.14)
下标r和l分别代表在转折点C左右侧相应的数值βc为左右楔块界面处作用力的倾角可知安全系数决定于对βc的假定值
第3章 边坡稳定分析的简化方法 71
3,5 斯宾塞法(Spencer法)
Spencer法是Morgenstern-Price法的一个特例它假定土条侧向力的倾角为一常数即取 f (x) = 1和f0(x) = 0如图2.1(b)所示也就是第2.5.2节中介绍的对侧向力的假定1在很多情况下采用该法所得的安全系数从工程角度来看已足够精确因此在使用STAB
程序进行通用条分法计算时Spencer法是作为默认的功能向读者提供的
3,6 简化法
3,6,1 概述
本节介绍由作者提出的两个简化方法提出这两个方法的目的是为第2章介绍的边坡稳定通用条分法的迭代过程提供一个安全系数的初值(2.3.3节)同时也为将在第4章介绍的计算最小安全系数的随机搜索提供一个简捷省时的方法此法在第2章介绍通用条分法时建立(Chen & Morgenstern,1983)后在作者论述随机搜索方法的论文(Chen,1992)中作了全面介绍关于本法的计算精度将在3.7.3节中讨论
3,6,2 简化法 1
假定 β =α 且假定水平地震力作用于土条底即h
e
= 0则力矩平衡方程式(2.24)可以自动得到满足解式(2.23)可得到一个计算安全系数的公式
∫
∫
+α
φ′
+α
φ′
=
b
a
i
b
a
i
x
F
K
F
B
x
F
K
F
A
F
d)]
tan
(exp[
d)]
tan
(exp[
(3.15)
]tancostansin
d
d
sectan)sec(cos
d
d
[ φαφαηαφαα ′+′?′+′?= q
x
W
cr
x
W
A
u
(3.16)
]cos
d
d
sin)
d
d
[( αηα
x
W
q
x
W
B ++= (3.17)
(3.18)
∑
=
′=
s
i
r
iiii
K
1
][tan αφ
K
i
是一个考虑滑面上α 和 φ′ 突然变化影响的系数如果某段滑面是光滑的均匀的则K
i
就是一个常数在积分过程中当某一土条的值或条底倾角 α
i
φ′
i
出现突变时K
i
就要增加一个值(方括号内的变量在突变点右侧和左侧的差值[
r
lii
α?φ′tan ] x轴向左为正)这里
α 以弧度计
通过进一步简化(参见3.8.2节)可以得到一个不需迭代求解的计算安全系数的公式
k
k
k
k
B
C
A
B
F?= (3.19)
72 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(3.20)
∫
=
b
a
k
xBA
d
(3.21)
∫∫
ξ+=
b
a
b
a
k
xBxAB
dd
(3.22)
∫
ξ=
b
a
k
xAC
d
(3.23)
avavi
K αφαφξ?′?+?′= tantan
式中α
av
,φ′
av
为 α φ′ 在(a b)段的平均值以弧度计
式(3.15)和式(3.19)的详细推导参见本章附录3.8.2节(Chen,1990)
国内一些著作中曾见过一种传递系数法 由于该法也引入了β =α的假定因此相当于本简化法其计算精度和局限性见3.7.3有关讨论
3,6,3 简化法 2
简化法2按式(3.19)计算安全系数的初值然后进行2.3.1节介绍的Newton-Raphson
迭代但只作一次迭代不进行收敛判断由于迭代计算中第一次往往是向安全系数的解迈进最大的一步故获得的解通常和精确的数值解十分接近
3,7 各种方法和简化处理对计算精度的影响
3,7,1 概述
关于边坡稳定分析各种方法的计算精度适用范围等问题一直受到普遍的关注
Whitman与Bailey在1967年的文章对澄清一系列重要问题起了很好作用近代土力学经过几十年发展学术界已对这些问题有了比较统一的看法1993年美国土木工程师学会在堤坝稳定分析25年回顾专著中邀请Duncan(1996)作当代水平报告报告对各种传统边坡稳定分析方法的计算精度和适用范围作了以下论述
(1) 各种边坡稳定分析的图表在边坡几何条件容重强度指标和孔压可以简化的情况下可得出有用结果其主要局限性在于使用这些图表需对上述条件作简化处理使用图表法的主要优点是可以快速求得安全系数通常可先使用这些图表进行初步核算再使用计算机程序进行详细核算
(2) 传统瑞典法在平缓边坡和高孔隙水压情况下进行有效应力法分析时是非常不准确的该法的安全系数在φ = 0分析中是完全精确的对于圆弧滑裂面的总应力法可得出基本正确的结果此法的数值分析不存在问题
(3) 毕肖普简化法在所有情况下都是精确的(除了遇到数值分析困难情况外)其局限性表现在仅适用于圆弧滑裂面以及有时会遇到数值分析问题如果使用毕肖普简化法计算获得的安全系数反而比瑞典法小那么可以认为毕肖普法中存在数值分析问题在这种情况下瑞典法的结果比毕肖普法好基于这个原因同时计算瑞典法和毕肖普法比较其结果是一个较好的选择
第3章 边坡稳定分析的简化方法 73
(4) 仅使用静力平衡方法的结果对所假定的条间力方向极为敏感条间力假定不合适将导致安全系数严重偏离正确值与其它考虑条间作用力方向的方法一样这个方法也存在数值分析问题
(5) 满足全部平衡条件的方法(如Janbu法Spencer法)在任何情况下都是精确的(除非遇到数值分析问题)这些方法计算的成果相互误差不超过12%相对于一般可认为是正确的答案的误差不会超过6%所有这些方法也都有数值分析问题
现围绕Duncun的这几点结论作如下讨论
3,7,2 关于数值分析问题
Duncan教授在上面论述中多次提到了数值分析问题根据以往的文献(Whitman 和
Bailay,1967)大致可理解为以下两个问题
1,条分法计算中的死区
在通用条分法的式(2.12)中可以看到一个表达式sec(φ′
e
α+β)毕肖普法的表达式(3.6)中实际上也存在一个sec(φ′
e
α)的表达式因此当某一条块的条底倾角α使
(φ′
e
α+β)或(φ′
e
α)等于90°时相应的余割值将变为无穷大这种情况通常是在α为负值时出现可以通过图3.3了解这一问题的物理背景土条条底切向力由两个量组成一是粘聚力即c′
e
L另一是由法向力N
′
贡献的摩擦力
e
N φ′′tan它和法向力N′合成一个力P该合力与滑面的法线方向夹角为
φ′
e
图 3,3 解释毕肖普法遇到数值分析困难示意图
如果P的方向恰好为水平即φ′
e
α = 90°那么由于毕肖普法假定在土条间不存在铅直方向的力因而在铅直方向只有重力W和粘聚力c′
e
在垂直方向的分力而这两个力都是已知的无论如何也无法保证垂直方向的静力平衡条件
稳定计算分析的实践表明上述问题并没有在应用中造成很大困难事实上只有在土的摩擦角很大而且滑弧反翘现象比较明显的情况下才会出现这个问题如果问题包含一个搜索临界滑裂面的过程那么只要初始滑裂面不存在这一问题计算就可以继续下去遇到存在这样问题的滑面随时可以抛弃最终找到不存在数值分析问题的临界滑裂面
2,数值计算收敛问题
边坡稳定分析的控制方程是非线性的因此需要采用一定的数值分析方法求解安全系数如果采用近代数值计算技术可以保证在大部分情况下各种方法都具有很好的收敛性如第一章中所举的几个例子数值分析过程都是十分有效的但是如采用试凑法则难以保证在所有情况下计算收敛在第2.5.4节我们曾讨论过Janbu法在数值分析
74 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
时收敛性能很差这一问题在作者所示的一个例子中对圆弧滑裂面1使用Janbu法需要
10次迭代才能使前后两次F值小于0.005如果改用一个断面不规则的非圆弧滑裂面
Morgenstern-Price法只需3次迭代即获得收敛解而Janbu法则无法收敛
3,7,3 关于各种分析方法精度的讨论
本节讨论简化法的精度并将通过工程实例说明各种简化法的局限性
1,关于毕肖普法精度的讨论
Whitma和Bailey (1967)对毕肖普法精度作过研究分析他们将其计算结果与
Morgenstern?Price 法的结果对比发现如果滑裂面为圆弧形两者十分接近因此用毕肖普法计算往往能得到足够的精度
[例3.1] 比较毕肖普法和Morgenstern-Price 法的结果
第2章[例2.2]中的滑裂面形状为圆弧形对这个滑裂面使用毕肖普法(数据文件
CPT4?2)安全系数为1.384与使用通用条分法的计算结果1.382十分接近对于这个例子两种方法求得的临界滑裂面位置和相应最小安全系数也很接近参见第4章
因此对于一般没有软弱土层或结构面的边坡采用圆弧形滑裂面毕肖普法计算往往能得到足够的精度
2,关于瑞典法精度的讨论
在通常情况下瑞典法的结果总是比毕肖普法小当圆弧夹角和孔隙水压力均较大时这种误差就可能很大下面通过一个例子说明
[例3.2] 说明瑞典法误差大的例子
图3.4是一坡度为1:3的均质边坡c =
5×9.8kN/m
2
φ
=35° γ =
1.7×9.8kN/m
3
表3.1
和图3.4是不同中心角和孔压系数情况下的稳定安全系数可以看出当α
=117.6°,ru =
0.6
时毕肖普法和瑞典法的稳定安全系数比值F
b
/F
s
为1.770在图3.5(d)中相应瑞典法的稳定安全系数与中心角的关系其趋势也发生了根本性变化如前所述毕肖普法通常代表了正确解在中心角和孔压系数较大的情况下瑞典法误差极大当属不正确的结果
图 3,4 说明瑞典法精度的一个例子第3章 边坡稳定分析的简化方法 75
表 3,1 不同孔压和中心角瑞典法F
s
和毕肖普法F
b
的安全系数比较
孔压系数γ
u
中心角α F
b
F
s
F
b
/F
s
0.0 117.6° 3.020 2.544 1.187
95.2° 2.614 2.322 1.126
81.1° 2.451 2.245 1.092
70.9° 2.371 2.216 1.070
63.2° 2.332 2.209 1.056
0.2 117.6° 2.444 1.953 1.251
95.2° 2.121,1.820 1.165
81.1° 1.994 1.782 1.119
70.9° 1.936 1.775 1.090
63.2° 1.910 1.783 1.071
0.4 117.6° 1.876 1.361 1.318
95.2° 1.634 1.317 1.240
81.1° 1.542 1.318 1.170
70.9° 1.504 1.334 1.127
63.2° 1.490 1.354 1.100
0.6 117.6° 1.325 0.769 1.723
95.2° 1.157 0.814 1.421
81.1° 1.098 0.855 1.284
70.9° 1.078 0.893 1.207
63.2° 1.076 0.929 1.158
图 3,5 不同孔压和中心角瑞典法F
s
和毕肖普法F
b
的安全系数比较
(a) γ
u
=0.0; (b) γ
u
=0.2; (c) γ
u
=0.4; (d) γ
u
=0.6
76 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
[例3.3] 金河土堤例
图3.6为斯里兰卡金河土堤计算实例地基为泥炭质淤泥ADB为已开裂的缝当计算滑动体ABE的稳定时阴影部分不平衡的水重和孔隙水压力必须按2.4.3节讨论的原则予以处理不把这部分考虑进去会得到错误结论采用超孔隙水压和浮容重不考虑阴影部分的负面积两者的计算结果不一样其差异是孔隙水压力较大造成的由于这个例子的孔隙水压力很大从表3.2可看到瑞典法的计算结果远低于毕肖普法情况2毕肖普法的成果为1.022与发生滑坡的实际情况吻合瑞典法的安全系数仅0.583对于情况1
由于使用实际孔压瑞典法的解竟为?0.149本例综合反映了本章讨论的两个问题等效置换必须对浸润线以下所有土体瑞典法可能在孔隙水压较大的情况下得出错误结果本例还说明对于在饱和软弱地基上筑堤问题一般不宜采用瑞典法
表 3,2 金河土堤几种不同处理方法计算结果(图3.6所示算例)
情 况 方法 瑞典法 毕肖普法 陆军工程师团法β
ave
=5°
1 饱和容重实际孔压 -0.149 1.024 1.003
2
浮容重超静水压即等效置换法(考虑负面积)
0.583 1.022 0.922
3
浮容重超静水压(不考虑负面积)不正确的作法
0.576 1.002 0.897
图 3,6 金河防洪堤施工期的稳定分析
[例3.4] 泰安抽水蓄能电站上池面板坝坝坡稳定分析
图3.7为泰安抽水蓄能电站上池在选坝阶段面板坝方案坝坡稳定分析示例大坝坝基有一个断层通过断层及其影响带的强度指标远低于坝壳因此控制滑裂面是穿越坝基的圆弧在这样的特定条件下临界滑裂面的中心夹角较大如果对这个工程使用瑞典法则其安全系数比毕肖普法要小很多本例F
b
和F
s
分别为l.47和1.10其差值为25%此两种方法有可能对坝坡稳定安全系数是否达到允许值给出相反的结论在这种情况下我们应该接受毕肖普法的计算结果
第3章 边坡稳定分析的简化方法 77
图 3,7 泰安抽水蓄能电站上池面板坝
本例在某种意义上有普遍的指导价值当一个强度指标较大的坝体修在一个相对软弱的地基上时控制的临界滑裂面要通过坝基在这种情况下圆弧的中心角较大瑞典法固有的误差将导致一个错误引导的结果最终导致临界滑裂面的圆弧被压得很低安全系数远低于正确值
3,对滑楔法的讨论
经验表明在滑裂面为光滑曲线时陆军工程师团法和Lowe-Karafiath法均能给出和严格方法接近的安全系数但当滑裂面为折线形时其成果和非圆弧严格方法的成果有一定差别转折点增多误差变大使用陆军工程师团法则安全系数受假定的β
c
数值影响很大
[例3.5] 怀洪新河某堤段滑坡
本例发表于岩土工程学报葛孝椿1999原作者分析了一个发生边坡失稳的工程实例如图3.8(a)相应原文图1土层1 2和3的物理力学指标如表3.3所示
原作者在分析过程中将滑体分成了三部分上部提供主动土压力P
a
底部提供被动土压力P
p
中部提供抗滑力
图 3,8 怀洪新河某堤段滑坡
(a)?不设拉力缝(b)?设拉力缝
表 3,3 各土层的物理力学指标
编号 γ (kN/m
3
) c (kPa) φ (°)
1 19.11 11.0 26.0
2 13.03 2.67 0
3 17.12 27 2.84
78 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
根据这一方法计算得到的安全系数为0.706与发生滑坡的实际情况不附该文发表后岩土工程学报发表了朱大勇和陈祖煜(1999)的讨论文章指出了论文作者获得如此小的安全系数是计算方法欠精确所致
作者在分析中采用Morgenstern?Price的特例Spencer法先输入一个如图3.8(b)所示的一个任意形状滑裂面0获得安全系数为2.538然后令程序自动搜索最小安全系数得到了编号为1的临界滑裂面其安全系数为0.98注意在计算中在滑裂面顶设了深1m的拉力缝
如果滑裂面不设拉力缝采用同样的计算步骤得到如图3.8(a)所示的临界滑裂面相应F值为0.963由此可知采用较严格的计算方法可以获得接近1的安全系数与发生滑坡的实际情况一致笔者在考察这一例题时同时采用了陆军工程师团法相应图3.8(b)
的滑裂面在不同β值情况下安全系数值计算成果如表3.4可以发现仅满足力平衡而不满足力矩平衡的方法其计算成果与β值十分敏感
表 3,4 滑楔法计算成果
β (°) 0.0 1.55* 5.0 10.0 15.0 20.0
F
1.013 1.027 1.070 1.147 1.232 1.341
* 为Spencer法的计算成果
[例3.6] 小浪底左岸出口边坡
小浪底工程左岸泄水建筑物出口边坡计算简图如图3.9边坡岩体为三迭系砂岩和泥岩地层AB为通过该地层的F
236
断层CD为层间泥化夹层AB和CD面的抗剪强度指标均为c
=
0.0 φ
=
11.65°边坡施加锚固力在平台以上为1000kN/m以下为5330kN/m
显然滑面ACD构成一个双折线楔形滑动体由于存在一组陡倾角节理可以使用垂直条分法那么如3.4.3节所示安全系数可由式(3.12)计算但是在通过C点条块侧面的倾角β
c
对安全系数计算值影响极大表3.5所示不同βc值时的安全系数可见其变化幅度极大
图 3,9 小浪底左岸出口边坡
第3章 边坡稳定分析的简化方法 79
表 3,5 表示不同β
c
值的安全系数
β
c
(°) 0 10 20 30 40 Morgenstern法 简化法1 简化法2
F 0.869 1.188 1.674 2.520 4.433 1.470 2.116 1.617
[例3.7] 小浪底左岸大坝下游坝坡沿软弱夹层滑动
黄河小浪底水利工程枢纽大坝左岸由于基岩面抬高下游坝坡沿软弱夹层进行滑动成为需要复核的一个重要工况图3.10所示为初始滑裂面0和临界滑裂面1强度参数参见表3.6计算采用Morgenstern?Price法相应安全系数分别为2.118和1.64表3.7对初始滑裂面和临界滑裂面采用工程师团法成果进行考察相应0°~15°之间不同的β值对于初始滑裂面安全系数从1.802变化至2.706变化幅度达33%对于临界滑裂面安全系数从
1.534变化至1.898变化幅度达19%这一算例再一次证实了Duncan关于仅使用静力平衡方法的结果对所假定的条间力方向极为敏感条间力假定不合适将导致安全系数严重偏离正确值这一论述
图 3,10 小浪底大坝310断面
表 3,6 小浪底大坝材料参数
编号 材料 摩擦角(°) 粘聚力(9.8kN /m
2
) 容重(9.8kN/m
3
)
I 节理岩体 35 0 2.6
II 软弱夹层 12 0.5 2.01
III 压戗体 30 0 2.01
表 3,7 小浪底大坝310断面安全系数
安全系数
β (°)
初始滑裂面 临界滑裂面
0 1.802 1.534
5 2.021 1.605
10 2.321 1.687
15 2.706 1.783
20 - 1.898
Morgenstern-Price法 2.118 1.64
Lowe-Karafiath法 1.549 1.546
80 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
4,关于简化法和传递系数法的讨论
在第3.6节中我们已经说明简化法实际上是传递系数法的闭合解作者曾做过大量考察(Chen,1992)发现如按式(3.15)或式(3.19)来进行传递系数法的计算在光滑曲线滑裂面情况下安全系数与毕肖普法十分接近表3.8和图3.11为采用简化法对[例3.2]
重新进行计算的成果与表3.1和图3.5相比可知简化法的成果相对瑞典法有了极大改善即使在中心角或孔隙压力系数较大时其安全系数仍与毕肖普法十分接近在第4章中将考察小浪底工程含有软弱夹层的滑裂面例题其安全系数与Spencer法也十分接近
但这一方法终究是个简化方法分析此法的物理概念可以发现其存在以下固有缺陷
(1) 一般来说滑裂面的底滑面倾角α在靠近坡顶处都是很陡的如图3.12中的条块B
α =60°假定β =α那么在砂性土(c=0)时即意味着土条侧面的摩擦角可以达到60°即使在c≠0的条件对靠近坡顶的土条假定β =α在物理上也是不合理的也就是说这一方法在靠近坡顶处破坏了式(2.6)
表 3,8 不同孔压和中心角简化法F
c
和毕肖普法F
b
的安全系数比较
孔压系数γ
u
中心角α F
b
F
s
F
b
/F
s
0.0 117.6° 3.020 2.946 1.025
95.2° 2.614 2.582 1.012
81.1° 2.451 2.432 1.008
70.9° 2.371 2.360 1.005
63.2° 2.332 2.324 1.003
0.2 117.6° 2.444 2.378 1.028
95.2° 2.121 2.095 1.012
81.1° 1.994 1.981 1.007
70.9° 1.936 1.928 1.004
63.2° 1.910 1.905 1.003
0.4 117.6° 1.876 1.826 1.027
95.2° 1.634 1.618 1.010
81.1° 1.542 1.536 1.004
70.9° 1.504 1.501 1.002
63.2° 1.490 1.489 1.001
0.6 117.6° 1.325 1.312 1.010
95.2° 1.157 1.145 1.010
81.1° 1.098 1.109 0.990
70.9° 1.078 1.087 0.992
63.2° 1.076 1.083 0.994
(2) 当遇到有软弱夹层问题时传递系数法恰恰是在遇到这一类非圆弧滑裂面时提出来的假定β
=
α会导致安全系数偏大
参见图3.12采用传递系数法则处理过渡段的土条A时右侧的条间力P
i-1
的倾角很大可能达到50°~60°而左侧的P
i+1
的倾角为零由于软弱夹层的强度指标通常很小第3章 边坡稳定分析的简化方法 81
P
i
以很大的角度向下传力那么就会使滑体上部传到软弱夹层上的法向力变得很大而水平滑动力则变得很小因此如果对滑面上这些突变点不作任何处理安全系数可能会大得不可思议在[例3.6]中如果β
c
采用传递系数法令β
c
与AB面平行即β
c
=75°则计算无法收敛当β
c
=40°时则F
=
4.433表3.5其值极不合理
图 3,11 [例3.2] 不同孔压和中心角简化法F
s
和毕肖普法F
b
的安全系数比较
(a) γ
u
=0.0; (b) γ
u
=0.2; (c) γ
u
=0.4; (d) γ
u
=0.6
图 3,12 讨论传递系数法的简图
再来看图3.12中滑裂面反翘处的条块C此处的条间力P
j+1
的倾角β
j+1
将是负的这意味左侧条块将相对右侧条块向下移动显然不合理
应该说这一问题在第3.6节中介绍的简化法中得到一定的缓解因为在积分运算中我们已经通过式(3.18)计入了考虑这一突变量的一个系数K
i
对[例3.6]简化法2给出的安全系数为1.617与Morgenstern?Price法比较接近
鉴于上述原因目前的认识水平还无法保证传递系数法在任何情况都能提供准确的答案本书提出简化法的主要目的是为计算安全系数和下章要讨论的随机搜索方法提供一个近似值由于传递系数法在国内使用较为普遍希望使用该法的工程师对这一方法的局限性有一个了解
82 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
3,7,4 我国土石坝设计规范对采用各种方法的规定
我国土石坝设计规范对坝坡稳定分析的方法作了如下规定(8.3.9条)
静力稳定计算应采用刚体极限平衡法对于均质坝厚斜墙坝和厚心墙坝宜采用计及条块间作用力的简化毕肖普(Simplified 毕肖普)法对于无粘性土以及有软弱夹层薄斜墙薄心墙坝的坝坡稳定分析及任何坝型可采用满足条块间作用力和力矩平衡的摩根斯顿?普赖斯(Morgenstern?Price)法等方法计算坝坡抗滑稳定安全系数
相应计算条间力的计算方法土石坝设计规范对允许安全系数作了如表3.8的规定
(8.3.10条)
采用不计及条间力的瑞典圆弧法其允许安全系数对1级坝正常运用条件为1.3其余情况在表3.9基础上降低8%
表3.10总结了各简化方法适用的假定和简化条件
表 3,9 坝坡抗滑稳定最小安全系数
工程等级
运用条件
1 2 3 4,5
正常运用条件 1.50 1.35 1.30 1.25
非常运用条件I 1.30 1.25 1.20 1.15
非常运用条件II 1.20 1.15 1.15 1.10
表 3,10 稳定分析的各种简化方法
对平衡条件的简化
力矩平衡 力平衡
对滑裂面形状的假定
方法
满足 不满足 全部满足 部分满足 圆弧 折线
任意形状滑裂面
对土条侧向作用力的假定
楔形体法 √ √ √
2
)( γα
β
+
=
瑞典法 √ √ 忽略侧向力
毕肖普法 √ √ √ β=0
Spencer法 √ √ √ β = 常数
美国陆军工程师团法
√ √ √ β = 平均坝坡
简化法 √ √ √ β = α
Morgenstern-Pri
ce法
√ √ √
)(tan xfλα =
3,8 本章附录
3,8,1 通用条分法回归到简化毕肖普法的推导
如果将通用条分法的坐标轴原点设在圆心同一水平线上则通用条分法的力矩平衡方程式(2.24)在引入相应的假定条件后可以回归为毕肖普法
式(3.6)推导过程如下
第3章 边坡稳定分析的简化方法 83
1,通用条分法式(2.24)的简化
当β=0时可得
(3.24) )sec( αφ?′=
e
s
同时在圆弧条件下有
∫∫
=?=?=?=
x
a
x
a
Ryd
y
dt
cos
d
d
tan αξ
ξ
ξα (3.25)
)cos(
d
d
secsinsec
d
d
)sin(
d
d
αφηαφααφ?′?′+′′=
eeeue
x
W
c
x
W
r
x
W
p (3.26)
将(3.24)式(3.25)和式(3.26)代入式(2.24)得
0d
d
d
dcos)sec(
)]cos(
d
d
cossecsinsec
d
d
)sin(
d
d
[
=′
′?′′+′′?
∫
∫
xh
x
W
x
x
W
c
x
W
r
x
W
R
e
b
a
e
ee
b
a
eeue
ηααφ
αφηφαφααφ
(3.27)
式(2.24)最终归结为
0
d
d
cos)sec()sec(sin
d
d
)tan(cos
d
d
=
′?′′+?′′′
∫
dxR
x
W
c
x
W
r
x
Wb
a
deeeeeue
ηφαφαφφαφα (3.28)
2,毕肖普法式(3.6)的简化
根据式(2.2)和式(2.3)的定义式(3.6)可化为(令?x→0 N→∞)
∫
=
′′′+′?′
b
a
deeeeue
xR
x
W
x
W
c
x
W
r
x
W
0d
d
d
sin
d
d
)sec(cos)tan
d
d
tan
d
d
( ηααφφφφ (3.29)
不难发现式(3.28)和式(3.29)是等同的
3,8,2 简化法1的推导
首先对式(3.15)右端分子分母中指数函数的自变量加一常数K
c
/F
∫
∫
++
′
++
′
=
b
a
ci
b
a
ci
x
F
K
F
K
F
B
x
F
K
F
K
F
A
F
d])
tan
(exp[
d])
tan
(exp[
α
φ
α
φ
(3.30)
不难证明式(3.30)和式(3.15)的右端是等同的K
c
/F这样选择它使
F
K
F
K
F
ci
++
′
)
tan
( α
φ
的绝对值相对于1来说较小因此下列近似关系成立
F
K
F
K
FF
K
F
K
F
cici
++
′
≈++
′
)
tan
(1])
tan
(exp[ α
φ
α
φ
(3.31)
一般来说如果取
(3.32) FK
avavc
/tan αφ′=
84 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
则式(3.32)对大多数土条来说都能成立其中
av
φ′
av
α 为(a,b)区间φ
′ 和α 的平均值
第二步将式(3.32)代入式(3.30)使用式(3.31)经过整理可得
kkkkk
ACABBF 2/)4(
2
+= (3.33)
因C
k
与A
k
B
k
相比很小式(3.33)还可以进一步简化为
k
k
k
k
B
C
A
B
F?= (3.34)
式(3.34)就是简化法1用来计算安全系数的公式
3,8,3 本章数据文件表3.11
表 3,11 本 章 数 据 文 件
有关章节 系列号 数据文件名 内容
03-01-01 CPT4-1.DAT
[例3.1] Morgenstern-Price法
03-01-02 CTP4-2.DAT
[例3.1] 毕肖普法
02-02-01 CTP5-0.DAT [例3.2] 孔压系数r
u
=0.0
02-02-02 CTP5-0.DAT
[例3.2] 孔压系数r
u
=0.2
02-02-03 CTP5-0.DAT
[例3.2] 孔压系数r
u
=0.4
02-02-04 CTP5-0.DAT
[例3.2] 孔压系数r
u
=0.6
02-03-01 CPT7-1.DAT [例3.4] 瑞典法
02-03-01 CPT7-2.DAT [例3.4] 毕肖普法
02-04-01 ZDY.DAT
[例3.5] 设拉力缝
02-04-01 ZDY-1.DAT
[例3.5] 不设拉力缝
02-05-01 N-XLD.DAT
[例3.6] 小浪底左岸出口边坡
3.7.3
02-06-01 310-B.DAT [例3.7] 小浪底大坝
参考文献
1 Chen,Zuyu and Morgenstern,N,R,Extensions to the generalized method of slices for stability analysis,
Canadian Geotechnical Journal,1983,20 (1),104-119
2 Chen,Zuyu Random trials used in determining global minimum factors of safety of slopes,Canadian
Geotechnical Journal,1992.29 (2),225-233
3 Bishop,A,W,The use of the slip circle in the stability analysis of slopes,Geotechnique,1955,5 (1),7-17
4 陈祖煜,1986,改进的通用条分法的收敛特性和计算精度中国土木工程学会第四届土力学及基础工程学术会议论文集,460-468北京中国建筑工业出版社
5 Spencer,E,A method of analysis of embankments assuming parallel inter-slice forces,Geotechnique,1967,
(17),11-26
6 Duncan,J,M,State of the art,Limit equilibrium and finite element analysis of slopes,Journal of Geotechnical
Engineering,1996,122 (7),577-596
7 Fellenius W,1927,Erdstatisch Berechnungen,Berlin W.Ernst und Sohn revised edition,1939
第3章 边坡稳定分析的简化方法 85
8 Janbu,N.,1954,Application of composite slip surfaces for stability analysis,Proceedings of European
Conference on Stability of Earth Slopes,Sweden,3:43-49
9 葛孝椿1999,怀洪新河某堤段滑坡前的稳定分析与滑坡后的验证,岩土工程学报,21 (1),115-118
10 陈祖煜怀洪新河某堤段滑坡前的稳定分析与滑坡后的验证讨论之一岩土工程学报1999,21 (4),
518-519
11 U,S,Army,Corps of Engineers,Stability of slopes and foundations,Engineering Manual,Visckburg,Miss,
1967,
12 Lowe,J,III,& Karaflath,L,Stability of earth dams upon drawdown,Proc,1st Panamer,Conf,Soil Mech,
1960.Mexico City 2,537-552
13 Whitman,R,V,and Bailey,W,Use of computers for slope stability analysis,ASCE,JSMFE,1967,Vol,93,
No,SM4
14 潘家铮,建筑物的抗滑稳定和滑坡分析北京水利出版社,1980,
15 中华人民共和国行业标准,2002.碾压式土石坝设计规范,SL274-2001
3,1 概述
在极限平衡法理论体系形成的过程中出现过一系列简化计算方法诸如瑞典法毕肖普简化法(1955)和陆军工程师团法等
瑞典法亦称Fellenious法是边坡稳定分析领域最早出现的一种方法该法假定滑裂面为圆弧形在计算安全系数时简单地将条块重量向滑面法向方向分解来求得法向力这一方法虽然引入过多的简化条件但构成了近代土坡稳定分析条分法的雏型1955年毕肖普(Bishop)在瑞典法基础上提出了一种简化方法这一方法仍然保留了滑裂面的形状为圆弧形和通过力矩平衡条件求解这些特点但是在确定土条底部法向力时考虑了条间作用力在法线方向的贡献
自然界发生的滑坡其滑裂面有相当一大部分并非圆弧形对于任意形状的滑裂面瑞典法和毕肖普法不再适用此时一些学者试图通过力平衡而不是力矩平衡条件来求解安全系数这样就出现了适用于非圆弧滑裂面的陆军工程师团法罗厄法和简化Janbu法国内的一些著作中曾见过一种传递系数法其理论和本章3.6.2节介绍的简化法1类似但包含一些缺陷将在本章第3.7.3节中讨论
20世纪50年代和60年代早期建立起来的这些简化方法其一个重要特点是试图提供较简单的计算步骤使设计人员能够通过手算来得到安全系数随着计算机的出现这一问题已不重要这样就出现了一些求解步骤更为严格的方法即第2章介绍的
Morgenstern?Price法Spencer法等由于第2章介绍的方法可以回归到本章介绍的各种简化方法瑞典法除外因此我们称它为通用条分法
本节简要介绍各种简化方法的原理适用范围以及这些方法和通用条分法的内在联系并通过工程实例说明简化法的适用范围及其局限性这些知识对于合理地评价边坡的稳定性具有重要意义本章符号意义同第2章
3,2 瑞典法
3,2,1 简化条件
1,滑面形状
瑞典法使用圆弧滑裂面
2,对多余未知力的假定
该法假定作用在土条侧向垂直面上的E和X的合力平行于土条底面
3,静力平衡
68 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(1) 建立土条底面法线方向静力平衡方程确定?N'参见图3.1
(3.1) )sec(cos αα
u
rWN=′?
(2) 通过整体对圆心的力矩平衡确定安全系数
(3.2)
∑
=
=?+?+
N
n
d
QRWT
1
0)sin( α
R
h
R
Q
d
= (3.3)
式中h
Q
为水平地震力和圆心的垂直距离土条总数为N
图 3,1 边坡稳定分析的简化方法
3,2,2 安全系数计算公式
将式(2.4)和式(3.1)代入式(3.2)可得
{}
∑
∑
=
=
+?
′+′
=
N
n
d
N
n
u
QRW
xcQrW
F
1
1
]sin[
sectansin)]sec(cos[
α
αφααα
(3.4)
3,3 毕肖普简化法
3,3,1 简化条件
1,滑面形状
毕肖普简化法使用圆弧滑裂面
2,对多余未知力的假定
该法假定X= 0(图2.2或β = 0即土条两侧作用力均为水平
3,静力平衡
(1) 建立垂直方向静力平衡方程解得?N'参见图3.1
第3章 边坡稳定分析的简化方法 69
(3.5) WTN?=α?+α? sincos
(2) 通过整体对圆心的力矩平衡解得安全系数平衡方程式同式(3.2)
3,3,2 安全系数计算公式
将式(2.4)和式(3.5)代入式(3.2)得
∑
∑
=
=
+?
′+?′+′
=
N
n
d
N
n
u
QRW
FxcrW
F
1
1
]sin[
)]/tantan1(/[cos]tan)1([
α
φααφ
(3.6)
使用毕肖普法计算安全系数需要通过迭代求解
3,3,3 与通用条分法的关系
如果把毕肖普法所包含的假定条件纳入通用条分法力矩平衡方程式(2.24)通过适当推导则该式就可回归为传统毕肖普法的计算公式(3.6)详细推导参见本章附录3.8.1节
3,4 滑楔法
3,4,1 简化条件
1,滑面形状
滑楔法适用于任意形状滑裂面
2,对多余未知力的假定
对土条侧向力的倾角β 作假定
(1) 陆军工程师团法(U,S,Army,Corps of Engineers,1967)假定β为常数等于边坡的平均坡度γ
a
即
(3.7)
a
γβ =
(2) 罗厄法(Low,J,III and Katafiath,1960)假定β 等于该土条底面倾角α和顶面倾角γ 的平均值即
2
)( γα
ββ
+
=′= (3.8)
(3) 简化Janbu法(Janbu,1954)为陆军工程师团法的特例假定β
=
0,
(4) 传递系数法假定β 等于该土条条底面倾角即
(3.9) αβ =
3,静力平衡
要求每个土条和滑坡体整体力的平衡得到充分满足但力矩平衡不满足
3,4,2 安全系数计算方法
假定F为某一数值从右端第一个土条开始通过静力平衡确定每个土条左侧条间力
70 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(也就是下一个土条右侧条间力)到最后一个土条即左端部的土条其左侧向力应为零如不闭合需修正F值直至收敛
土石坝设计规范提供以下公式进行这一计算步骤
(3.10)
)]cos(cossec sinsec
)sin()()cos()[sec(
αφφαφα
αφβαφβαφ
′?+?′′′+
′+?′+?′=
eeee
eReRLeL
Qxcxu
VWGG
式中下标R和L分别代表土条右和左侧面相应物理量
对于一个宽度?x的微小土条可视α为常量式(2.12)可写成
(3.11) xxpG
e
=+?′? )()]cos([ βαφ
即可方便地导出式(3.10)
如用计算机则常采用解析法此时可把本法看作第一章介绍的通用条分法中只满足力平衡方程式(2.23)的特例STAB程序提供了一个入口如果使用陆军工程师团法或简化
Janbu法则输入一个β 值如果使用罗厄法输入一个控制码即可实现滑楔法的功能
3,4,3 双折线滑面的计算方法
滑楔法中有一个滑裂面为双折线形的特殊情况如图3.2所示滑面在C点滑面有一个突然转折通常一部分滑面为两种土的接触面和软弱夹层在对多余未知数的假定静力平衡和安全系数的计算方法上双折线滑面与滑楔法完全一致因此可以直接推导出双折线滑面安全系数的计算公式
图 3,2 双折线滑动计算简图
从式(2.21)知当滑面为直线即α 为常数时)sec()(
ae
xs βαφ +?′=式(2.23)可变为
(3.12)0d)(
=?
∫
xKxp
b
a
(3.13) cxaK ≤<=,1
bxcK
cl
l
e
cr
r
e
≤<
+?
+?
=
)cos(
)cos(
βαφ
βαφ
(3.14)
下标r和l分别代表在转折点C左右侧相应的数值βc为左右楔块界面处作用力的倾角可知安全系数决定于对βc的假定值
第3章 边坡稳定分析的简化方法 71
3,5 斯宾塞法(Spencer法)
Spencer法是Morgenstern-Price法的一个特例它假定土条侧向力的倾角为一常数即取 f (x) = 1和f0(x) = 0如图2.1(b)所示也就是第2.5.2节中介绍的对侧向力的假定1在很多情况下采用该法所得的安全系数从工程角度来看已足够精确因此在使用STAB
程序进行通用条分法计算时Spencer法是作为默认的功能向读者提供的
3,6 简化法
3,6,1 概述
本节介绍由作者提出的两个简化方法提出这两个方法的目的是为第2章介绍的边坡稳定通用条分法的迭代过程提供一个安全系数的初值(2.3.3节)同时也为将在第4章介绍的计算最小安全系数的随机搜索提供一个简捷省时的方法此法在第2章介绍通用条分法时建立(Chen & Morgenstern,1983)后在作者论述随机搜索方法的论文(Chen,1992)中作了全面介绍关于本法的计算精度将在3.7.3节中讨论
3,6,2 简化法 1
假定 β =α 且假定水平地震力作用于土条底即h
e
= 0则力矩平衡方程式(2.24)可以自动得到满足解式(2.23)可得到一个计算安全系数的公式
∫
∫
+α
φ′
+α
φ′
=
b
a
i
b
a
i
x
F
K
F
B
x
F
K
F
A
F
d)]
tan
(exp[
d)]
tan
(exp[
(3.15)
]tancostansin
d
d
sectan)sec(cos
d
d
[ φαφαηαφαα ′+′?′+′?= q
x
W
cr
x
W
A
u
(3.16)
]cos
d
d
sin)
d
d
[( αηα
x
W
q
x
W
B ++= (3.17)
(3.18)
∑
=
′=
s
i
r
iiii
K
1
][tan αφ
K
i
是一个考虑滑面上α 和 φ′ 突然变化影响的系数如果某段滑面是光滑的均匀的则K
i
就是一个常数在积分过程中当某一土条的值或条底倾角 α
i
φ′
i
出现突变时K
i
就要增加一个值(方括号内的变量在突变点右侧和左侧的差值[
r
lii
α?φ′tan ] x轴向左为正)这里
α 以弧度计
通过进一步简化(参见3.8.2节)可以得到一个不需迭代求解的计算安全系数的公式
k
k
k
k
B
C
A
B
F?= (3.19)
72 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
(3.20)
∫
=
b
a
k
xBA
d
(3.21)
∫∫
ξ+=
b
a
b
a
k
xBxAB
dd
(3.22)
∫
ξ=
b
a
k
xAC
d
(3.23)
avavi
K αφαφξ?′?+?′= tantan
式中α
av
,φ′
av
为 α φ′ 在(a b)段的平均值以弧度计
式(3.15)和式(3.19)的详细推导参见本章附录3.8.2节(Chen,1990)
国内一些著作中曾见过一种传递系数法 由于该法也引入了β =α的假定因此相当于本简化法其计算精度和局限性见3.7.3有关讨论
3,6,3 简化法 2
简化法2按式(3.19)计算安全系数的初值然后进行2.3.1节介绍的Newton-Raphson
迭代但只作一次迭代不进行收敛判断由于迭代计算中第一次往往是向安全系数的解迈进最大的一步故获得的解通常和精确的数值解十分接近
3,7 各种方法和简化处理对计算精度的影响
3,7,1 概述
关于边坡稳定分析各种方法的计算精度适用范围等问题一直受到普遍的关注
Whitman与Bailey在1967年的文章对澄清一系列重要问题起了很好作用近代土力学经过几十年发展学术界已对这些问题有了比较统一的看法1993年美国土木工程师学会在堤坝稳定分析25年回顾专著中邀请Duncan(1996)作当代水平报告报告对各种传统边坡稳定分析方法的计算精度和适用范围作了以下论述
(1) 各种边坡稳定分析的图表在边坡几何条件容重强度指标和孔压可以简化的情况下可得出有用结果其主要局限性在于使用这些图表需对上述条件作简化处理使用图表法的主要优点是可以快速求得安全系数通常可先使用这些图表进行初步核算再使用计算机程序进行详细核算
(2) 传统瑞典法在平缓边坡和高孔隙水压情况下进行有效应力法分析时是非常不准确的该法的安全系数在φ = 0分析中是完全精确的对于圆弧滑裂面的总应力法可得出基本正确的结果此法的数值分析不存在问题
(3) 毕肖普简化法在所有情况下都是精确的(除了遇到数值分析困难情况外)其局限性表现在仅适用于圆弧滑裂面以及有时会遇到数值分析问题如果使用毕肖普简化法计算获得的安全系数反而比瑞典法小那么可以认为毕肖普法中存在数值分析问题在这种情况下瑞典法的结果比毕肖普法好基于这个原因同时计算瑞典法和毕肖普法比较其结果是一个较好的选择
第3章 边坡稳定分析的简化方法 73
(4) 仅使用静力平衡方法的结果对所假定的条间力方向极为敏感条间力假定不合适将导致安全系数严重偏离正确值与其它考虑条间作用力方向的方法一样这个方法也存在数值分析问题
(5) 满足全部平衡条件的方法(如Janbu法Spencer法)在任何情况下都是精确的(除非遇到数值分析问题)这些方法计算的成果相互误差不超过12%相对于一般可认为是正确的答案的误差不会超过6%所有这些方法也都有数值分析问题
现围绕Duncun的这几点结论作如下讨论
3,7,2 关于数值分析问题
Duncan教授在上面论述中多次提到了数值分析问题根据以往的文献(Whitman 和
Bailay,1967)大致可理解为以下两个问题
1,条分法计算中的死区
在通用条分法的式(2.12)中可以看到一个表达式sec(φ′
e
α+β)毕肖普法的表达式(3.6)中实际上也存在一个sec(φ′
e
α)的表达式因此当某一条块的条底倾角α使
(φ′
e
α+β)或(φ′
e
α)等于90°时相应的余割值将变为无穷大这种情况通常是在α为负值时出现可以通过图3.3了解这一问题的物理背景土条条底切向力由两个量组成一是粘聚力即c′
e
L另一是由法向力N
′
贡献的摩擦力
e
N φ′′tan它和法向力N′合成一个力P该合力与滑面的法线方向夹角为
φ′
e
图 3,3 解释毕肖普法遇到数值分析困难示意图
如果P的方向恰好为水平即φ′
e
α = 90°那么由于毕肖普法假定在土条间不存在铅直方向的力因而在铅直方向只有重力W和粘聚力c′
e
在垂直方向的分力而这两个力都是已知的无论如何也无法保证垂直方向的静力平衡条件
稳定计算分析的实践表明上述问题并没有在应用中造成很大困难事实上只有在土的摩擦角很大而且滑弧反翘现象比较明显的情况下才会出现这个问题如果问题包含一个搜索临界滑裂面的过程那么只要初始滑裂面不存在这一问题计算就可以继续下去遇到存在这样问题的滑面随时可以抛弃最终找到不存在数值分析问题的临界滑裂面
2,数值计算收敛问题
边坡稳定分析的控制方程是非线性的因此需要采用一定的数值分析方法求解安全系数如果采用近代数值计算技术可以保证在大部分情况下各种方法都具有很好的收敛性如第一章中所举的几个例子数值分析过程都是十分有效的但是如采用试凑法则难以保证在所有情况下计算收敛在第2.5.4节我们曾讨论过Janbu法在数值分析
74 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
时收敛性能很差这一问题在作者所示的一个例子中对圆弧滑裂面1使用Janbu法需要
10次迭代才能使前后两次F值小于0.005如果改用一个断面不规则的非圆弧滑裂面
Morgenstern-Price法只需3次迭代即获得收敛解而Janbu法则无法收敛
3,7,3 关于各种分析方法精度的讨论
本节讨论简化法的精度并将通过工程实例说明各种简化法的局限性
1,关于毕肖普法精度的讨论
Whitma和Bailey (1967)对毕肖普法精度作过研究分析他们将其计算结果与
Morgenstern?Price 法的结果对比发现如果滑裂面为圆弧形两者十分接近因此用毕肖普法计算往往能得到足够的精度
[例3.1] 比较毕肖普法和Morgenstern-Price 法的结果
第2章[例2.2]中的滑裂面形状为圆弧形对这个滑裂面使用毕肖普法(数据文件
CPT4?2)安全系数为1.384与使用通用条分法的计算结果1.382十分接近对于这个例子两种方法求得的临界滑裂面位置和相应最小安全系数也很接近参见第4章
因此对于一般没有软弱土层或结构面的边坡采用圆弧形滑裂面毕肖普法计算往往能得到足够的精度
2,关于瑞典法精度的讨论
在通常情况下瑞典法的结果总是比毕肖普法小当圆弧夹角和孔隙水压力均较大时这种误差就可能很大下面通过一个例子说明
[例3.2] 说明瑞典法误差大的例子
图3.4是一坡度为1:3的均质边坡c =
5×9.8kN/m
2
φ
=35° γ =
1.7×9.8kN/m
3
表3.1
和图3.4是不同中心角和孔压系数情况下的稳定安全系数可以看出当α
=117.6°,ru =
0.6
时毕肖普法和瑞典法的稳定安全系数比值F
b
/F
s
为1.770在图3.5(d)中相应瑞典法的稳定安全系数与中心角的关系其趋势也发生了根本性变化如前所述毕肖普法通常代表了正确解在中心角和孔压系数较大的情况下瑞典法误差极大当属不正确的结果
图 3,4 说明瑞典法精度的一个例子第3章 边坡稳定分析的简化方法 75
表 3,1 不同孔压和中心角瑞典法F
s
和毕肖普法F
b
的安全系数比较
孔压系数γ
u
中心角α F
b
F
s
F
b
/F
s
0.0 117.6° 3.020 2.544 1.187
95.2° 2.614 2.322 1.126
81.1° 2.451 2.245 1.092
70.9° 2.371 2.216 1.070
63.2° 2.332 2.209 1.056
0.2 117.6° 2.444 1.953 1.251
95.2° 2.121,1.820 1.165
81.1° 1.994 1.782 1.119
70.9° 1.936 1.775 1.090
63.2° 1.910 1.783 1.071
0.4 117.6° 1.876 1.361 1.318
95.2° 1.634 1.317 1.240
81.1° 1.542 1.318 1.170
70.9° 1.504 1.334 1.127
63.2° 1.490 1.354 1.100
0.6 117.6° 1.325 0.769 1.723
95.2° 1.157 0.814 1.421
81.1° 1.098 0.855 1.284
70.9° 1.078 0.893 1.207
63.2° 1.076 0.929 1.158
图 3,5 不同孔压和中心角瑞典法F
s
和毕肖普法F
b
的安全系数比较
(a) γ
u
=0.0; (b) γ
u
=0.2; (c) γ
u
=0.4; (d) γ
u
=0.6
76 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
[例3.3] 金河土堤例
图3.6为斯里兰卡金河土堤计算实例地基为泥炭质淤泥ADB为已开裂的缝当计算滑动体ABE的稳定时阴影部分不平衡的水重和孔隙水压力必须按2.4.3节讨论的原则予以处理不把这部分考虑进去会得到错误结论采用超孔隙水压和浮容重不考虑阴影部分的负面积两者的计算结果不一样其差异是孔隙水压力较大造成的由于这个例子的孔隙水压力很大从表3.2可看到瑞典法的计算结果远低于毕肖普法情况2毕肖普法的成果为1.022与发生滑坡的实际情况吻合瑞典法的安全系数仅0.583对于情况1
由于使用实际孔压瑞典法的解竟为?0.149本例综合反映了本章讨论的两个问题等效置换必须对浸润线以下所有土体瑞典法可能在孔隙水压较大的情况下得出错误结果本例还说明对于在饱和软弱地基上筑堤问题一般不宜采用瑞典法
表 3,2 金河土堤几种不同处理方法计算结果(图3.6所示算例)
情 况 方法 瑞典法 毕肖普法 陆军工程师团法β
ave
=5°
1 饱和容重实际孔压 -0.149 1.024 1.003
2
浮容重超静水压即等效置换法(考虑负面积)
0.583 1.022 0.922
3
浮容重超静水压(不考虑负面积)不正确的作法
0.576 1.002 0.897
图 3,6 金河防洪堤施工期的稳定分析
[例3.4] 泰安抽水蓄能电站上池面板坝坝坡稳定分析
图3.7为泰安抽水蓄能电站上池在选坝阶段面板坝方案坝坡稳定分析示例大坝坝基有一个断层通过断层及其影响带的强度指标远低于坝壳因此控制滑裂面是穿越坝基的圆弧在这样的特定条件下临界滑裂面的中心夹角较大如果对这个工程使用瑞典法则其安全系数比毕肖普法要小很多本例F
b
和F
s
分别为l.47和1.10其差值为25%此两种方法有可能对坝坡稳定安全系数是否达到允许值给出相反的结论在这种情况下我们应该接受毕肖普法的计算结果
第3章 边坡稳定分析的简化方法 77
图 3,7 泰安抽水蓄能电站上池面板坝
本例在某种意义上有普遍的指导价值当一个强度指标较大的坝体修在一个相对软弱的地基上时控制的临界滑裂面要通过坝基在这种情况下圆弧的中心角较大瑞典法固有的误差将导致一个错误引导的结果最终导致临界滑裂面的圆弧被压得很低安全系数远低于正确值
3,对滑楔法的讨论
经验表明在滑裂面为光滑曲线时陆军工程师团法和Lowe-Karafiath法均能给出和严格方法接近的安全系数但当滑裂面为折线形时其成果和非圆弧严格方法的成果有一定差别转折点增多误差变大使用陆军工程师团法则安全系数受假定的β
c
数值影响很大
[例3.5] 怀洪新河某堤段滑坡
本例发表于岩土工程学报葛孝椿1999原作者分析了一个发生边坡失稳的工程实例如图3.8(a)相应原文图1土层1 2和3的物理力学指标如表3.3所示
原作者在分析过程中将滑体分成了三部分上部提供主动土压力P
a
底部提供被动土压力P
p
中部提供抗滑力
图 3,8 怀洪新河某堤段滑坡
(a)?不设拉力缝(b)?设拉力缝
表 3,3 各土层的物理力学指标
编号 γ (kN/m
3
) c (kPa) φ (°)
1 19.11 11.0 26.0
2 13.03 2.67 0
3 17.12 27 2.84
78 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
根据这一方法计算得到的安全系数为0.706与发生滑坡的实际情况不附该文发表后岩土工程学报发表了朱大勇和陈祖煜(1999)的讨论文章指出了论文作者获得如此小的安全系数是计算方法欠精确所致
作者在分析中采用Morgenstern?Price的特例Spencer法先输入一个如图3.8(b)所示的一个任意形状滑裂面0获得安全系数为2.538然后令程序自动搜索最小安全系数得到了编号为1的临界滑裂面其安全系数为0.98注意在计算中在滑裂面顶设了深1m的拉力缝
如果滑裂面不设拉力缝采用同样的计算步骤得到如图3.8(a)所示的临界滑裂面相应F值为0.963由此可知采用较严格的计算方法可以获得接近1的安全系数与发生滑坡的实际情况一致笔者在考察这一例题时同时采用了陆军工程师团法相应图3.8(b)
的滑裂面在不同β值情况下安全系数值计算成果如表3.4可以发现仅满足力平衡而不满足力矩平衡的方法其计算成果与β值十分敏感
表 3,4 滑楔法计算成果
β (°) 0.0 1.55* 5.0 10.0 15.0 20.0
F
1.013 1.027 1.070 1.147 1.232 1.341
* 为Spencer法的计算成果
[例3.6] 小浪底左岸出口边坡
小浪底工程左岸泄水建筑物出口边坡计算简图如图3.9边坡岩体为三迭系砂岩和泥岩地层AB为通过该地层的F
236
断层CD为层间泥化夹层AB和CD面的抗剪强度指标均为c
=
0.0 φ
=
11.65°边坡施加锚固力在平台以上为1000kN/m以下为5330kN/m
显然滑面ACD构成一个双折线楔形滑动体由于存在一组陡倾角节理可以使用垂直条分法那么如3.4.3节所示安全系数可由式(3.12)计算但是在通过C点条块侧面的倾角β
c
对安全系数计算值影响极大表3.5所示不同βc值时的安全系数可见其变化幅度极大
图 3,9 小浪底左岸出口边坡
第3章 边坡稳定分析的简化方法 79
表 3,5 表示不同β
c
值的安全系数
β
c
(°) 0 10 20 30 40 Morgenstern法 简化法1 简化法2
F 0.869 1.188 1.674 2.520 4.433 1.470 2.116 1.617
[例3.7] 小浪底左岸大坝下游坝坡沿软弱夹层滑动
黄河小浪底水利工程枢纽大坝左岸由于基岩面抬高下游坝坡沿软弱夹层进行滑动成为需要复核的一个重要工况图3.10所示为初始滑裂面0和临界滑裂面1强度参数参见表3.6计算采用Morgenstern?Price法相应安全系数分别为2.118和1.64表3.7对初始滑裂面和临界滑裂面采用工程师团法成果进行考察相应0°~15°之间不同的β值对于初始滑裂面安全系数从1.802变化至2.706变化幅度达33%对于临界滑裂面安全系数从
1.534变化至1.898变化幅度达19%这一算例再一次证实了Duncan关于仅使用静力平衡方法的结果对所假定的条间力方向极为敏感条间力假定不合适将导致安全系数严重偏离正确值这一论述
图 3,10 小浪底大坝310断面
表 3,6 小浪底大坝材料参数
编号 材料 摩擦角(°) 粘聚力(9.8kN /m
2
) 容重(9.8kN/m
3
)
I 节理岩体 35 0 2.6
II 软弱夹层 12 0.5 2.01
III 压戗体 30 0 2.01
表 3,7 小浪底大坝310断面安全系数
安全系数
β (°)
初始滑裂面 临界滑裂面
0 1.802 1.534
5 2.021 1.605
10 2.321 1.687
15 2.706 1.783
20 - 1.898
Morgenstern-Price法 2.118 1.64
Lowe-Karafiath法 1.549 1.546
80 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
4,关于简化法和传递系数法的讨论
在第3.6节中我们已经说明简化法实际上是传递系数法的闭合解作者曾做过大量考察(Chen,1992)发现如按式(3.15)或式(3.19)来进行传递系数法的计算在光滑曲线滑裂面情况下安全系数与毕肖普法十分接近表3.8和图3.11为采用简化法对[例3.2]
重新进行计算的成果与表3.1和图3.5相比可知简化法的成果相对瑞典法有了极大改善即使在中心角或孔隙压力系数较大时其安全系数仍与毕肖普法十分接近在第4章中将考察小浪底工程含有软弱夹层的滑裂面例题其安全系数与Spencer法也十分接近
但这一方法终究是个简化方法分析此法的物理概念可以发现其存在以下固有缺陷
(1) 一般来说滑裂面的底滑面倾角α在靠近坡顶处都是很陡的如图3.12中的条块B
α =60°假定β =α那么在砂性土(c=0)时即意味着土条侧面的摩擦角可以达到60°即使在c≠0的条件对靠近坡顶的土条假定β =α在物理上也是不合理的也就是说这一方法在靠近坡顶处破坏了式(2.6)
表 3,8 不同孔压和中心角简化法F
c
和毕肖普法F
b
的安全系数比较
孔压系数γ
u
中心角α F
b
F
s
F
b
/F
s
0.0 117.6° 3.020 2.946 1.025
95.2° 2.614 2.582 1.012
81.1° 2.451 2.432 1.008
70.9° 2.371 2.360 1.005
63.2° 2.332 2.324 1.003
0.2 117.6° 2.444 2.378 1.028
95.2° 2.121 2.095 1.012
81.1° 1.994 1.981 1.007
70.9° 1.936 1.928 1.004
63.2° 1.910 1.905 1.003
0.4 117.6° 1.876 1.826 1.027
95.2° 1.634 1.618 1.010
81.1° 1.542 1.536 1.004
70.9° 1.504 1.501 1.002
63.2° 1.490 1.489 1.001
0.6 117.6° 1.325 1.312 1.010
95.2° 1.157 1.145 1.010
81.1° 1.098 1.109 0.990
70.9° 1.078 1.087 0.992
63.2° 1.076 1.083 0.994
(2) 当遇到有软弱夹层问题时传递系数法恰恰是在遇到这一类非圆弧滑裂面时提出来的假定β
=
α会导致安全系数偏大
参见图3.12采用传递系数法则处理过渡段的土条A时右侧的条间力P
i-1
的倾角很大可能达到50°~60°而左侧的P
i+1
的倾角为零由于软弱夹层的强度指标通常很小第3章 边坡稳定分析的简化方法 81
P
i
以很大的角度向下传力那么就会使滑体上部传到软弱夹层上的法向力变得很大而水平滑动力则变得很小因此如果对滑面上这些突变点不作任何处理安全系数可能会大得不可思议在[例3.6]中如果β
c
采用传递系数法令β
c
与AB面平行即β
c
=75°则计算无法收敛当β
c
=40°时则F
=
4.433表3.5其值极不合理
图 3,11 [例3.2] 不同孔压和中心角简化法F
s
和毕肖普法F
b
的安全系数比较
(a) γ
u
=0.0; (b) γ
u
=0.2; (c) γ
u
=0.4; (d) γ
u
=0.6
图 3,12 讨论传递系数法的简图
再来看图3.12中滑裂面反翘处的条块C此处的条间力P
j+1
的倾角β
j+1
将是负的这意味左侧条块将相对右侧条块向下移动显然不合理
应该说这一问题在第3.6节中介绍的简化法中得到一定的缓解因为在积分运算中我们已经通过式(3.18)计入了考虑这一突变量的一个系数K
i
对[例3.6]简化法2给出的安全系数为1.617与Morgenstern?Price法比较接近
鉴于上述原因目前的认识水平还无法保证传递系数法在任何情况都能提供准确的答案本书提出简化法的主要目的是为计算安全系数和下章要讨论的随机搜索方法提供一个近似值由于传递系数法在国内使用较为普遍希望使用该法的工程师对这一方法的局限性有一个了解
82 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
3,7,4 我国土石坝设计规范对采用各种方法的规定
我国土石坝设计规范对坝坡稳定分析的方法作了如下规定(8.3.9条)
静力稳定计算应采用刚体极限平衡法对于均质坝厚斜墙坝和厚心墙坝宜采用计及条块间作用力的简化毕肖普(Simplified 毕肖普)法对于无粘性土以及有软弱夹层薄斜墙薄心墙坝的坝坡稳定分析及任何坝型可采用满足条块间作用力和力矩平衡的摩根斯顿?普赖斯(Morgenstern?Price)法等方法计算坝坡抗滑稳定安全系数
相应计算条间力的计算方法土石坝设计规范对允许安全系数作了如表3.8的规定
(8.3.10条)
采用不计及条间力的瑞典圆弧法其允许安全系数对1级坝正常运用条件为1.3其余情况在表3.9基础上降低8%
表3.10总结了各简化方法适用的假定和简化条件
表 3,9 坝坡抗滑稳定最小安全系数
工程等级
运用条件
1 2 3 4,5
正常运用条件 1.50 1.35 1.30 1.25
非常运用条件I 1.30 1.25 1.20 1.15
非常运用条件II 1.20 1.15 1.15 1.10
表 3,10 稳定分析的各种简化方法
对平衡条件的简化
力矩平衡 力平衡
对滑裂面形状的假定
方法
满足 不满足 全部满足 部分满足 圆弧 折线
任意形状滑裂面
对土条侧向作用力的假定
楔形体法 √ √ √
2
)( γα
β
+
=
瑞典法 √ √ 忽略侧向力
毕肖普法 √ √ √ β=0
Spencer法 √ √ √ β = 常数
美国陆军工程师团法
√ √ √ β = 平均坝坡
简化法 √ √ √ β = α
Morgenstern-Pri
ce法
√ √ √
)(tan xfλα =
3,8 本章附录
3,8,1 通用条分法回归到简化毕肖普法的推导
如果将通用条分法的坐标轴原点设在圆心同一水平线上则通用条分法的力矩平衡方程式(2.24)在引入相应的假定条件后可以回归为毕肖普法
式(3.6)推导过程如下
第3章 边坡稳定分析的简化方法 83
1,通用条分法式(2.24)的简化
当β=0时可得
(3.24) )sec( αφ?′=
e
s
同时在圆弧条件下有
∫∫
=?=?=?=
x
a
x
a
Ryd
y
dt
cos
d
d
tan αξ
ξ
ξα (3.25)
)cos(
d
d
secsinsec
d
d
)sin(
d
d
αφηαφααφ?′?′+′′=
eeeue
x
W
c
x
W
r
x
W
p (3.26)
将(3.24)式(3.25)和式(3.26)代入式(2.24)得
0d
d
d
dcos)sec(
)]cos(
d
d
cossecsinsec
d
d
)sin(
d
d
[
=′
′?′′+′′?
∫
∫
xh
x
W
x
x
W
c
x
W
r
x
W
R
e
b
a
e
ee
b
a
eeue
ηααφ
αφηφαφααφ
(3.27)
式(2.24)最终归结为
0
d
d
cos)sec()sec(sin
d
d
)tan(cos
d
d
=
′?′′+?′′′
∫
dxR
x
W
c
x
W
r
x
Wb
a
deeeeeue
ηφαφαφφαφα (3.28)
2,毕肖普法式(3.6)的简化
根据式(2.2)和式(2.3)的定义式(3.6)可化为(令?x→0 N→∞)
∫
=
′′′+′?′
b
a
deeeeue
xR
x
W
x
W
c
x
W
r
x
W
0d
d
d
sin
d
d
)sec(cos)tan
d
d
tan
d
d
( ηααφφφφ (3.29)
不难发现式(3.28)和式(3.29)是等同的
3,8,2 简化法1的推导
首先对式(3.15)右端分子分母中指数函数的自变量加一常数K
c
/F
∫
∫
++
′
++
′
=
b
a
ci
b
a
ci
x
F
K
F
K
F
B
x
F
K
F
K
F
A
F
d])
tan
(exp[
d])
tan
(exp[
α
φ
α
φ
(3.30)
不难证明式(3.30)和式(3.15)的右端是等同的K
c
/F这样选择它使
F
K
F
K
F
ci
++
′
)
tan
( α
φ
的绝对值相对于1来说较小因此下列近似关系成立
F
K
F
K
FF
K
F
K
F
cici
++
′
≈++
′
)
tan
(1])
tan
(exp[ α
φ
α
φ
(3.31)
一般来说如果取
(3.32) FK
avavc
/tan αφ′=
84 土质边坡稳定分析?原理
方法
程序
则式(3.32)对大多数土条来说都能成立其中
av
φ′
av
α 为(a,b)区间φ
′ 和α 的平均值
第二步将式(3.32)代入式(3.30)使用式(3.31)经过整理可得
kkkkk
ACABBF 2/)4(
2
+= (3.33)
因C
k
与A
k
B
k
相比很小式(3.33)还可以进一步简化为
k
k
k
k
B
C
A
B
F?= (3.34)
式(3.34)就是简化法1用来计算安全系数的公式
3,8,3 本章数据文件表3.11
表 3,11 本 章 数 据 文 件
有关章节 系列号 数据文件名 内容
03-01-01 CPT4-1.DAT
[例3.1] Morgenstern-Price法
03-01-02 CTP4-2.DAT
[例3.1] 毕肖普法
02-02-01 CTP5-0.DAT [例3.2] 孔压系数r
u
=0.0
02-02-02 CTP5-0.DAT
[例3.2] 孔压系数r
u
=0.2
02-02-03 CTP5-0.DAT
[例3.2] 孔压系数r
u
=0.4
02-02-04 CTP5-0.DAT
[例3.2] 孔压系数r
u
=0.6
02-03-01 CPT7-1.DAT [例3.4] 瑞典法
02-03-01 CPT7-2.DAT [例3.4] 毕肖普法
02-04-01 ZDY.DAT
[例3.5] 设拉力缝
02-04-01 ZDY-1.DAT
[例3.5] 不设拉力缝
02-05-01 N-XLD.DAT
[例3.6] 小浪底左岸出口边坡
3.7.3
02-06-01 310-B.DAT [例3.7] 小浪底大坝
参考文献
1 Chen,Zuyu and Morgenstern,N,R,Extensions to the generalized method of slices for stability analysis,
Canadian Geotechnical Journal,1983,20 (1),104-119
2 Chen,Zuyu Random trials used in determining global minimum factors of safety of slopes,Canadian
Geotechnical Journal,1992.29 (2),225-233
3 Bishop,A,W,The use of the slip circle in the stability analysis of slopes,Geotechnique,1955,5 (1),7-17
4 陈祖煜,1986,改进的通用条分法的收敛特性和计算精度中国土木工程学会第四届土力学及基础工程学术会议论文集,460-468北京中国建筑工业出版社
5 Spencer,E,A method of analysis of embankments assuming parallel inter-slice forces,Geotechnique,1967,
(17),11-26
6 Duncan,J,M,State of the art,Limit equilibrium and finite element analysis of slopes,Journal of Geotechnical
Engineering,1996,122 (7),577-596
7 Fellenius W,1927,Erdstatisch Berechnungen,Berlin W.Ernst und Sohn revised edition,1939
第3章 边坡稳定分析的简化方法 85
8 Janbu,N.,1954,Application of composite slip surfaces for stability analysis,Proceedings of European
Conference on Stability of Earth Slopes,Sweden,3:43-49
9 葛孝椿1999,怀洪新河某堤段滑坡前的稳定分析与滑坡后的验证,岩土工程学报,21 (1),115-118
10 陈祖煜怀洪新河某堤段滑坡前的稳定分析与滑坡后的验证讨论之一岩土工程学报1999,21 (4),
518-519
11 U,S,Army,Corps of Engineers,Stability of slopes and foundations,Engineering Manual,Visckburg,Miss,
1967,
12 Lowe,J,III,& Karaflath,L,Stability of earth dams upon drawdown,Proc,1st Panamer,Conf,Soil Mech,
1960.Mexico City 2,537-552
13 Whitman,R,V,and Bailey,W,Use of computers for slope stability analysis,ASCE,JSMFE,1967,Vol,93,
No,SM4
14 潘家铮,建筑物的抗滑稳定和滑坡分析北京水利出版社,1980,
15 中华人民共和国行业标准,2002.碾压式土石坝设计规范,SL274-2001
