?研究电磁现象的有关规律及其应用的科学
静电场,相对于观察者静止的电荷所产生的电场第十一章 静止电荷的电场
§ 11-1 电荷
§ 11-2 库仑定律与叠加原理
§ 11--3 电场和电场强度
§ 11-4 静止的点电荷的 电场及其叠加
§ 11-5电场线的电通量
§ 11-6高斯定理
§ 11-7利用高斯定理求静电场的分布第十一章 静止电荷的电场
§ 11-1 电荷
自然界只存在两种电荷,同种电荷相排斥，
异种电荷相吸引
美国物理学家富兰克林首先称其为 正电荷和 负电荷
一,电荷的种类：
带电的物体叫带电体第十一章 静止电荷的电场
质子和电子是自然界存在的最小正,负电荷,其 数值相等,常用 +e和 -e表示
1986年 e 的推荐值为
C(库仑 )：电量的单位
C106 0 2 1 7 7 3 3.1 19e
§ 11-1 电荷二,电荷量子化
实验表明,任何带电体或微观粒子所带电量都是 e的整数倍 ----电荷量值不连续
电荷量子化,电荷量不连续的性质第十一章 静止电荷的电场
摩擦起电
摩擦起电的本质,电子从一个物体转移到另一个物体三,电荷守恒定律常见的两种起电方式：
§ 11-1 电荷第十一章 静止电荷的电场
感应起电：
感应电量等值异号
A B A B
A
B
B
A
§ 11-1 电荷第十一章 静止电荷的电场
电荷守恒定律,电荷只能从一物体转移到另一物体,或从物体的一部分转移到另一部分,电荷既不能被创造,也不能被消灭
§ 11-2 库仑定律
点电荷,可以忽略形状和大小以及电荷分布情况的带电体
1785年法国科学家库仑通过扭秤实验得到两个 静止点电荷 之间相互作用的基本规律
§ 11-2 库仑定律与叠加原理第十一章 静止电荷的电场
213
21
21
21
r
r
qq
kF
1r
2r
21r
21F?
12F
1q
2qy
z
x
O
or
r
qq
kF
212
21
21
21
或
rrr o其中 ----单位矢量
§ 11-2 库仑定律
1221 rr
2112 FF
123
12
21 r
r
qq
k
第十一章 静止电荷的电场
实验测得 229 /CmN109 8 7 5.8k
229 /CmN100.9
k常用常数?0 表示：
04
1
k
其中?0=8.85?10-12 C2/N?m2
----真空介电常量
§ 11-2
213
21
21
0
21 4
1
r
r
qq
F
----库仑定律第十一章 静止电荷的电场说明,
对于不能抽象为点电荷的带电体,不能直接应用库仑定律计算相互作用力
库仑定律表达式中引入,4?,因子,称为单位制的有理化,这可使以后的推导结果简化
§ 11-2
第十一章 静止电荷的电场五,静电力叠加原理
设空间中有 n个点电荷 q1,q2,q3 … q n
n
ij
j
iji
FF
1
-----静电力叠加原理实验表明,qi受到的总静电力等于其它各点电荷 单独存在时 作用于 qi上静电力的矢量和
n
ij
j
o
ij
ij
ji
r
r
qq
1
2
0
4
1?
§ 11-2
即第十一章 静止电荷的电场
超距的观点,电荷 电荷一,电场历史上的两种观点,
电场的观点,电荷 场 电荷
近代物理的观点认为：凡是有电荷存在的地方，其周围空间便存在电场
§ 11-3 电场和电场强度第十一章 静止电荷的电场静电场的主要表现,
力,放入电场中的任何带电体都要受到电场所作用的力 ----电场力
功,带电体在电场中移动时,电场力对它作功
感应和极化,电场中的导体或介质将分别产生静电感应现象或极化现象
§ 7-3 电场 电场强度第十一章 静止电荷的电场二,电场强度
试探电荷,满足
线度充分小,试探电荷可视为点电荷,以便能够确定场中每一点的性质
实验：
将同一试探电荷 q0放入电场的 不同地点
：
D
0qC
0q
A
0q
B
0q
带电量充分小,可忽略其对原有电场分布的影响
q0所受电场力大小和方向逐点不同
§ 11-3
第十一章 静止电荷的电场
0q
P
电场中 某点 P处放置不同电量的试探电荷,
2 F?23 F?3?所受电场力方向不变，
大小成比例地变化
----电场力不能反映某点的电场性质
定义,电场强度
0q
F
E
单位,牛顿 /库仑 (N/C)或伏特 /米 (V/m)
§ 11-3 电场 电场强度第十一章 静止电荷的电场三,场强叠加原理
设空间有点电荷 q1,q2,q3 … qn
nFFFF
21
P点处的试探电荷 q0 所受电场力为
n
i
iF
1
P点的场强为
0q
F
E
00
2
0
1
q
F
q
F
q
F n
§ 11-3 电场 电场强度第十一章 静止电荷的电场
nEEEE
21?
n
i
iE
1
场强叠加原理,电场中任一点处的场强等于各个点电荷 单独存在时 在该点各自产生的场强的矢量和
§ 11-3 电场 电场强度第十一章 静止电荷的电场一,点电荷的场强
P点的试探电荷 q0所受的电场力为
P
r?
q
0
2
0
04
1
r
r
qq
F
由场强的定义可得 P点的场强为
0q
F
E
----点电荷的场强0
2
04
1
r
r
q?
§ 11-4
§ 11-4静止的、点电荷的电场及其叠加第十一章 静止电荷的电场讨论：
的大小与 q 成正比，而与 r2成反比E?
的方向取决于 q 的符号E?
q>0,的方向沿 的方向 (背向 q)E? r?
q<0,的方向与 的方向相反 (指向 q)E? r?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
点电荷的场是辐射状球对称分布电场
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场二,点电荷系的场强
0
2
0
0
12
1
1
0
1
4
1
,
4
1
n
n
n
n r
r
q
Er
r
q
E
设空间电场由点电荷 q1,q2,…q n激发则各点电荷在 P点激发的场强分别为,
P点的总场强为
nEEEE
21?
n
i
i
i
i r
r
q
1
0
2
04
----点电荷系的场强
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
[例 2]如图,一对等量异号电荷 +q和 -q，其间距离为 l且很近，这样的电荷系称为电偶极子。定义 为电偶极矩，简称电矩，
的方向由 -q指向 +q。求 (1)两电荷延长线上任一点 A的电场强度； (2)两电荷连线中垂线上任一点 B的电场强度
lqp l?
解,(1)设两电荷延长线上任一点 A到电偶极子中点 O的距离为 r
E
E
r
l?
q? q?O A x
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
E
E
r
l?
q? q?O A x
2
0 )2/(4
1
lr
q
E
+q和 -q在 A点处的场强大小分别为：
方向沿 x轴正向方向沿 x轴负向
2
0 )2/(4
1
lr
q
E
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
EEE A?
22
0 )2/(
1
)2/(
1
4 lrlr
q
224
0 )2/1()2/1(4
2
rlrlr
q r l
因 pe=ql,当 r>>l 时有
3
0
2
4
1
r
ql
E A
方向沿 x方向
3
0
2
4
1
r
p e
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
3
0
2
4
1
r
p
E eA
或 与电矩的方向一致
(2)设电偶极子中垂线上任一点 B
到 O点的距离为 r
q? q?O
r
B
y
E
E
BE
则
)4/(4
1
22
0 lr
q
EE
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
coscos EEE B
在 y 方向上,和 的分量相互抵消
E
E
c o s2 E
22
)2/(
2/
c o s
lr
l
2/3220 )2/(4
1
lr
ql
E B
q? q?O
r
B
y
E
E
BE
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场当 r>>l 时
3
04
1
r
ql
E B
方向沿 x负方向即
3
04
1
r
p
E eB
与电矩的方向相反
3
04
1
r
p e
2/3220 )2/(4
1
lr
qlE
B
q? q?O
r
B
y
E
E
BE
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
Q
在带电体上任取一个电荷元
dq,dq在某点 P处的场强为三,连续分布电荷的场强
dq
Pr
0
2
04
1
r
r
dqEd
整个带电体在 P点产生的总场强为
EdE 0
2
04
1
r
r
dq?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
根据电荷分布的情况,dq 可表示为
在直角坐标系中
kdEjdEidEE zyx
体分布dv?
dq
线分布dl?
面分布ds?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
[例 3]设有一长为 L的均匀带电 q的直线，求直线中垂线上一点的场强解,建立如图坐标系,O为直线中点,P为直线中垂线上任一点任取一长为 dy的电荷元 dq
Ed?
x
y
O
L
P
dy
x
y
o?
r?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
Ed?
x
y
O
L
P
dy
x
y
o?
r?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
0
0
0
0
s in
4
1c o s
4
1
00
jd
x
id
x
E
i
x
0
0
s in2
4
1
22
2
0
)(
2/
s in
x
L
L?
i
xx
L
E
L
22
20
)(4?
§ 11-4
Ed?
x
y
O
L
P
dy
x
y
o?
r?
第十一章 静止电荷的电场
当 x<<L时，带电直线可视为,无限长,
讨论：
i
x
E
02
则
当 x>>L时,即在远离带电直线的区域
i
x
L
E
2
04
i
x
q?
2
04
此时带电直线可看作点电荷 q
i
xx
L
E
L
22
20 )(4?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
[例 4]一半径为 R、均匀带电为 q的细圆环，
求 (1)轴线上某一点 P的场强； (2)轴线上哪一点处的场强极大？并求其大小解,以圆环圆心 O为原点建立如图坐标系在圆环上任取一线元 dl
dl
R
q
dq
2
则
x
x
P
dl
xEd
Ed
R
O
Ed?
r
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
0
2
04
1
r
r
dq
Ed
xEdE
由对称性有
idEc o s
idl
rR
q
l
2
0
c os
24
1?
x
x
P?R
O
Ed?
r
xEd
Ed
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
rxc o s? 222 Rxr
Rdl
l
2
i
Rx
qx
E
2/322
0 )(4
1
为定值且
----可看作集中在环心的点电荷讨论：
当 x>>R时，有
i
x
q
E
2
04
1
§ 11-4
x
x
P?R
O
Ed?
r
xEd
Ed
第十一章 静止电荷的电场
x =0时 0?E?
E的极值位置
0
)(4
1
2/322
0
Rx
qx
dx
d
dx
dE
令
Rx
2
2
可得
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
R
O
xPx
[例 5]一半径为 R的均匀带电薄圆盘，电荷面密度为?,求圆盘轴线任一点的场强
r
dr
Ed?
解,可将带电圆盘看成是由许多同心带电细圆环组成的在圆盘上取一半径为 r，宽度为 dr 细圆环
r d rdq 2则
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
i
rx
x d q
Ed
2/322
0 )(4
1
i
rx
r d rx?
2/322
0 )(
2
4
1
因各细圆环在 P点的场强方向相同
EdE
R
o
i
rx
r d rx?
2/322
0 )(4
2
i
xR
x?
)1(
2 220?
§ 11-4 R
O
xPxr
dr
Ed?
第十一章 静止电荷的电场讨论：
x<<R时,带电圆盘可视为 无限大均匀带电平面有
iE
02?
----垂直于板面的匀强电场
i
xR
xE )1(
2 220?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
x>>R时
2
2
2
2
2
2/1
2
2
)(
8
3
)(
2
1
1)1(
x
R
x
R
x
R
2
2
2
1
1
x
R
i
x
R
E
2
0
2
4?
i
x
q?
2
04
----相当于点电荷 q的电场
i
xR
xE )1(
2 220?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场一,电力线
表示电场方向,曲线上每一点的 切向 为该点的场强方向
AE
BE?
§ 11-5 电力线和电通量
A
B
表示场强大小,电力线的疏密程度表示场强的大小
E?
dS
dN
E
第十一章 静止电荷的电场电力线的性质：
电力线 起于正电荷 (或无限远处 ),终于负电荷 (或无限远处 ),不会形成闭合曲线
两条电力线不会相交说明：
电场是连续分布的，分立电力线只是一种形象化的方法
§ 11-5电力线和电通量第十一章 静止电荷的电场
§ 11-5电力线和电通量第十一章 静止电荷的电场二,电通量
电通量,通过电场中任一给定面的电力线数
SEE
均匀电场中：
平面 S的法矢与场强成? 角
SEE SE
S
平面 S与场强垂直
c o sES?
则则
S
S
n?
§ 11-5电力线和电通量第十一章 静止电荷的电场
S
非均匀电场中，对任意曲面 S：
E?
n?
dS
在 S上任取一小面元 dS
E d Sd E SdE
S EE d
当 S是一个闭合曲面时
SE SdE
S SdE
n?
dS
n?
n?
,对闭合曲面，自内向外为正方向Sd?
§ 11-5电力线和电通量第十一章 静止电荷的电场一,高斯定理,静电场中任一闭合曲面的电通量,等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和除以?0
SE SdE
即闭合曲面 S称为 高斯面
内S
iq
0
1
§ 11-6高斯定理
§ 11-6高斯定理第十一章 静止电荷的电场
S
q
简证
包围点电荷 q的球面,且 q
处于球心处
SE SdE
S dSE
S Ed S
2
2
0
4
4
1
r
r
q
0?
q
推论,对以 q为中心而 r不同的任意球面而言，其电通量都相等
'S
§ 11-6高斯定理第十一章 静止电荷的电场
q
S
包围点电荷 q的任意闭合曲面 S
'S
以 q为中心作一球面 S’
SE SdE
0?q?
通过 S’的电力线都通过 S
不包围点电荷 q的任意闭合曲面 S
q
S
穿入、穿出 S的电力线数相等
0 E
§ 11-6
第十一章 静止电荷的电场
点电荷系 q1,q2,… qn电场中的任意闭合曲面
S iEi SdE
对 qi：
0/?iq
在 S内在 S外0
S
1q
3q
iq
nq
2q?
SE SdE
EnEE21
SdEEE
S n
21
内S
iq
0
1
§ 11-6高斯定理第十一章 静止电荷的电场
VE dV
0
1
对连续分布的带电体
为电荷体密度,V为高斯面所围体积讨论：
当,?E>0，即有电力线从正电荷发出并穿出高斯面，反之则有电力线穿入高斯面并终止于负电荷
0iq
§ 11-6
第十一章 静止电荷的电场
电力线从正电荷出发到负电荷终止，是不闭合的曲线
----静电场是,有源场,
高斯面上的场强 是总场强,它与高斯面内外电荷 都有关
E?
为高斯面内的 一切电荷 的代数和,即电通量只与高斯面所包围正负电荷代数和有关,与高斯面外电荷无关
q
§ 11-6
第十一章 静止电荷的电场一般步骤,
分析电场所具有的对称性质
选择适当形状的闭合曲面为高斯面
计算通过高斯面的电通量
令电通量等于高斯面内的电荷代数和除以?o,求出电场强度
§ 11-7
§ 11-7利用高斯定理求静电场分布第十一章 静止电荷的电场
[例 5]求均匀带正电球体内外的场强分布。
设 球体半径为 R，带电量为 Q
解,带电球体的电场分布具有球对称性取与球体同心球面为高斯面,高斯面上场强大小相等,方向与面元外法向一致
SE sdE?
S Ed s
S dsE 24 rE
R
Q
§ 11-7
r>R时：
外ErE
24
0?Q?
r
第十一章 静止电荷的电场
R
r
r 2
04
1
r
Q
E
外
r
r
Q
E
3
04
1
外或
r<R时：
内ErE
24 dV?
0
1 3
0 3
41
r
§ 11-7
3)34( R
Q
0
3
3
2
4
Q
R
r
Er
内第十一章 静止电荷的电场
3
04 R
Qr
E
内得
R
r
r
E
r0 R
r
R
Q
E
3
04
内或
§ 11-7
第十一章 静止电荷的电场
[例 6]求均匀带正电的无限大平面薄板的场强分布。设电荷面密度为?
E?E?
解,电场的分布具有面对称性高斯面取为两底与板面对称平行，侧面与板面垂直的圆柱形闭合面
§ 11-7
第十一章 静止电荷的电场
SE sdE?
12 SE
0
1
S?
02?
E
得
2S
1S3S
E?E?
方向垂直于板面向外
2 31 S SS
sdEsdEsdE?
§ 11-7
第十一章 静止电荷的电场
[例 7]求均匀带正电的无限长细棒的场强分布 。 设棒的电荷线密度为?
h
r
P
2S
1S
3S
解：电场分布 具有轴对称性
,任一点处的场强方向垂直于棒辐射向外以棒为轴作半径为 r、长为 h
的圆柱闭合面为高斯面
§ 11-7
第十一章 静止电荷的电场
SE sdE?
321 SSS
sdEsdEsdE?
3S
sdE?
3S
dsE rhE?2
0
2
h
rhE
由高斯定理有
r
E
02
或
r
r
E
2
02
§ 11-7
h
r
P
2S
1S
3S
第十一章 静止电荷的电场
静电场,相对于观察者静止的电荷所产生的电场第十一章 静止电荷的电场
§ 11-1 电荷
§ 11-2 库仑定律与叠加原理
§ 11--3 电场和电场强度
§ 11-4 静止的点电荷的 电场及其叠加
§ 11-5电场线的电通量
§ 11-6高斯定理
§ 11-7利用高斯定理求静电场的分布第十一章 静止电荷的电场
§ 11-1 电荷
自然界只存在两种电荷,同种电荷相排斥，
异种电荷相吸引
美国物理学家富兰克林首先称其为 正电荷和 负电荷
一,电荷的种类：
带电的物体叫带电体第十一章 静止电荷的电场
质子和电子是自然界存在的最小正,负电荷,其 数值相等,常用 +e和 -e表示
1986年 e 的推荐值为
C(库仑 )：电量的单位
C106 0 2 1 7 7 3 3.1 19e
§ 11-1 电荷二,电荷量子化
实验表明,任何带电体或微观粒子所带电量都是 e的整数倍 ----电荷量值不连续
电荷量子化,电荷量不连续的性质第十一章 静止电荷的电场
摩擦起电
摩擦起电的本质,电子从一个物体转移到另一个物体三,电荷守恒定律常见的两种起电方式：
§ 11-1 电荷第十一章 静止电荷的电场
感应起电：
感应电量等值异号
A B A B
A
B
B
A
§ 11-1 电荷第十一章 静止电荷的电场
电荷守恒定律,电荷只能从一物体转移到另一物体,或从物体的一部分转移到另一部分,电荷既不能被创造,也不能被消灭
§ 11-2 库仑定律
点电荷,可以忽略形状和大小以及电荷分布情况的带电体
1785年法国科学家库仑通过扭秤实验得到两个 静止点电荷 之间相互作用的基本规律
§ 11-2 库仑定律与叠加原理第十一章 静止电荷的电场
213
21
21
21
r
r
kF
1r
2r
21r
21F?
12F
1q
2qy
z
x
O
or
r
kF
212
21
21
21
或
rrr o其中 ----单位矢量
§ 11-2 库仑定律
1221 rr
2112 FF
123
12
21 r
r
k
第十一章 静止电荷的电场
实验测得 229 /CmN109 8 7 5.8k
229 /CmN100.9
k常用常数?0 表示：
04
1
k
其中?0=8.85?10-12 C2/N?m2
----真空介电常量
§ 11-2
213
21
21
0
21 4
1
r
r
F
----库仑定律第十一章 静止电荷的电场说明,
对于不能抽象为点电荷的带电体,不能直接应用库仑定律计算相互作用力
库仑定律表达式中引入,4?,因子,称为单位制的有理化,这可使以后的推导结果简化
§ 11-2
第十一章 静止电荷的电场五,静电力叠加原理
设空间中有 n个点电荷 q1,q2,q3 … q n
n
ij
j
iji
FF
1
-----静电力叠加原理实验表明,qi受到的总静电力等于其它各点电荷 单独存在时 作用于 qi上静电力的矢量和
n
ij
j
o
ij
ij
ji
r
r
1
2
0
4
1?
§ 11-2
即第十一章 静止电荷的电场
超距的观点,电荷 电荷一,电场历史上的两种观点,
电场的观点,电荷 场 电荷
近代物理的观点认为：凡是有电荷存在的地方，其周围空间便存在电场
§ 11-3 电场和电场强度第十一章 静止电荷的电场静电场的主要表现,
力,放入电场中的任何带电体都要受到电场所作用的力 ----电场力
功,带电体在电场中移动时,电场力对它作功
感应和极化,电场中的导体或介质将分别产生静电感应现象或极化现象
§ 7-3 电场 电场强度第十一章 静止电荷的电场二,电场强度
试探电荷,满足
线度充分小,试探电荷可视为点电荷,以便能够确定场中每一点的性质
实验：
将同一试探电荷 q0放入电场的 不同地点
：
D
0qC
0q
A
0q
B
0q
带电量充分小,可忽略其对原有电场分布的影响
q0所受电场力大小和方向逐点不同
§ 11-3
第十一章 静止电荷的电场
0q
P
电场中 某点 P处放置不同电量的试探电荷,
2 F?23 F?3?所受电场力方向不变，
大小成比例地变化
----电场力不能反映某点的电场性质
定义,电场强度
0q
F
E
单位,牛顿 /库仑 (N/C)或伏特 /米 (V/m)
§ 11-3 电场 电场强度第十一章 静止电荷的电场三,场强叠加原理
设空间有点电荷 q1,q2,q3 … qn
nFFFF
21
P点处的试探电荷 q0 所受电场力为
n
i
iF
1
P点的场强为
0q
F
E
00
2
0
1
q
F
q
F
q
F n
§ 11-3 电场 电场强度第十一章 静止电荷的电场
nEEEE
21?
n
i
iE
1
场强叠加原理,电场中任一点处的场强等于各个点电荷 单独存在时 在该点各自产生的场强的矢量和
§ 11-3 电场 电场强度第十一章 静止电荷的电场一,点电荷的场强
P点的试探电荷 q0所受的电场力为
P
r?
q
0
2
0
04
1
r
r
F
由场强的定义可得 P点的场强为
0q
F
E
----点电荷的场强0
2
04
1
r
r
q?
§ 11-4
§ 11-4静止的、点电荷的电场及其叠加第十一章 静止电荷的电场讨论：
的大小与 q 成正比，而与 r2成反比E?
的方向取决于 q 的符号E?
q>0,的方向沿 的方向 (背向 q)E? r?
q<0,的方向与 的方向相反 (指向 q)E? r?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
点电荷的场是辐射状球对称分布电场
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场二,点电荷系的场强
0
2
0
0
12
1
1
0
1
4
1
,
4
1
n
n
n
n r
r
q
Er
r
q
E
设空间电场由点电荷 q1,q2,…q n激发则各点电荷在 P点激发的场强分别为,
P点的总场强为
nEEEE
21?
n
i
i
i
i r
r
q
1
0
2
04
----点电荷系的场强
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
[例 2]如图,一对等量异号电荷 +q和 -q，其间距离为 l且很近，这样的电荷系称为电偶极子。定义 为电偶极矩，简称电矩，
的方向由 -q指向 +q。求 (1)两电荷延长线上任一点 A的电场强度； (2)两电荷连线中垂线上任一点 B的电场强度
lqp l?
解,(1)设两电荷延长线上任一点 A到电偶极子中点 O的距离为 r
E
E
r
l?
q? q?O A x
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
E
E
r
l?
q? q?O A x
2
0 )2/(4
1
lr
q
E
+q和 -q在 A点处的场强大小分别为：
方向沿 x轴正向方向沿 x轴负向
2
0 )2/(4
1
lr
q
E
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
EEE A?
22
0 )2/(
1
)2/(
1
4 lrlr
q
224
0 )2/1()2/1(4
2
rlrlr
q r l
因 pe=ql,当 r>>l 时有
3
0
2
4
1
r
ql
E A
方向沿 x方向
3
0
2
4
1
r
p e
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
3
0
2
4
1
r
p
E eA
或 与电矩的方向一致
(2)设电偶极子中垂线上任一点 B
到 O点的距离为 r
q? q?O
r
B
y
E
E
BE
则
)4/(4
1
22
0 lr
q
EE
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
coscos EEE B
在 y 方向上,和 的分量相互抵消
E
E
c o s2 E
22
)2/(
2/
c o s
lr
l
2/3220 )2/(4
1
lr
ql
E B
q? q?O
r
B
y
E
E
BE
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场当 r>>l 时
3
04
1
r
ql
E B
方向沿 x负方向即
3
04
1
r
p
E eB
与电矩的方向相反
3
04
1
r
p e
2/3220 )2/(4
1
lr
qlE
B
q? q?O
r
B
y
E
E
BE
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
Q
在带电体上任取一个电荷元
dq,dq在某点 P处的场强为三,连续分布电荷的场强
dq
Pr
0
2
04
1
r
r
dqEd
整个带电体在 P点产生的总场强为
EdE 0
2
04
1
r
r
dq?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
根据电荷分布的情况,dq 可表示为
在直角坐标系中
kdEjdEidEE zyx
体分布dv?
dq
线分布dl?
面分布ds?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
[例 3]设有一长为 L的均匀带电 q的直线，求直线中垂线上一点的场强解,建立如图坐标系,O为直线中点,P为直线中垂线上任一点任取一长为 dy的电荷元 dq
Ed?
x
y
O
L
P
dy
x
y
o?
r?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
Ed?
x
y
O
L
P
dy
x
y
o?
r?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
0
0
0
0
s in
4
1c o s
4
1
00
jd
x
id
x
E
i
x
0
0
s in2
4
1
22
2
0
)(
2/
s in
x
L
L?
i
xx
L
E
L
22
20
)(4?
§ 11-4
Ed?
x
y
O
L
P
dy
x
y
o?
r?
第十一章 静止电荷的电场
当 x<<L时，带电直线可视为,无限长,
讨论：
i
x
E
02
则
当 x>>L时,即在远离带电直线的区域
i
x
L
E
2
04
i
x
q?
2
04
此时带电直线可看作点电荷 q
i
xx
L
E
L
22
20 )(4?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
[例 4]一半径为 R、均匀带电为 q的细圆环，
求 (1)轴线上某一点 P的场强； (2)轴线上哪一点处的场强极大？并求其大小解,以圆环圆心 O为原点建立如图坐标系在圆环上任取一线元 dl
dl
R
q
dq
2
则
x
x
P
dl
xEd
Ed
R
O
Ed?
r
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
0
2
04
1
r
r
dq
Ed
xEdE
由对称性有
idEc o s
idl
rR
q
l
2
0
c os
24
1?
x
x
P?R
O
Ed?
r
xEd
Ed
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
rxc o s? 222 Rxr
Rdl
l
2
i
Rx
qx
E
2/322
0 )(4
1
为定值且
----可看作集中在环心的点电荷讨论：
当 x>>R时，有
i
x
q
E
2
04
1
§ 11-4
x
x
P?R
O
Ed?
r
xEd
Ed
第十一章 静止电荷的电场
x =0时 0?E?
E的极值位置
0
)(4
1
2/322
0
Rx
qx
dx
d
dx
dE
令
Rx
2
2
可得
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
R
O
xPx
[例 5]一半径为 R的均匀带电薄圆盘，电荷面密度为?,求圆盘轴线任一点的场强
r
dr
Ed?
解,可将带电圆盘看成是由许多同心带电细圆环组成的在圆盘上取一半径为 r，宽度为 dr 细圆环
r d rdq 2则
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
i
rx
x d q
Ed
2/322
0 )(4
1
i
rx
r d rx?
2/322
0 )(
2
4
1
因各细圆环在 P点的场强方向相同
EdE
R
o
i
rx
r d rx?
2/322
0 )(4
2
i
xR
x?
)1(
2 220?
§ 11-4 R
O
xPxr
dr
Ed?
第十一章 静止电荷的电场讨论：
x<<R时,带电圆盘可视为 无限大均匀带电平面有
iE
02?
----垂直于板面的匀强电场
i
xR
xE )1(
2 220?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场
x>>R时
2
2
2
2
2
2/1
2
2
)(
8
3
)(
2
1
1)1(
x
R
x
R
x
R
2
2
2
1
1
x
R
i
x
R
E
2
0
2
4?
i
x
q?
2
04
----相当于点电荷 q的电场
i
xR
xE )1(
2 220?
§ 11-4
第十一章 静止电荷的电场一,电力线
表示电场方向,曲线上每一点的 切向 为该点的场强方向
AE
BE?
§ 11-5 电力线和电通量
A
B
表示场强大小,电力线的疏密程度表示场强的大小
E?
dS
dN
E
第十一章 静止电荷的电场电力线的性质：
电力线 起于正电荷 (或无限远处 ),终于负电荷 (或无限远处 ),不会形成闭合曲线
两条电力线不会相交说明：
电场是连续分布的，分立电力线只是一种形象化的方法
§ 11-5电力线和电通量第十一章 静止电荷的电场
§ 11-5电力线和电通量第十一章 静止电荷的电场二,电通量
电通量,通过电场中任一给定面的电力线数
SEE
均匀电场中：
平面 S的法矢与场强成? 角
SEE SE
S
平面 S与场强垂直
c o sES?
则则
S
S
n?
§ 11-5电力线和电通量第十一章 静止电荷的电场
S
非均匀电场中，对任意曲面 S：
E?
n?
dS
在 S上任取一小面元 dS
E d Sd E SdE
S EE d
当 S是一个闭合曲面时
SE SdE
S SdE
n?
dS
n?
n?
,对闭合曲面，自内向外为正方向Sd?
§ 11-5电力线和电通量第十一章 静止电荷的电场一,高斯定理,静电场中任一闭合曲面的电通量,等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和除以?0
SE SdE
即闭合曲面 S称为 高斯面
内S
iq
0
1
§ 11-6高斯定理
§ 11-6高斯定理第十一章 静止电荷的电场
S
q
简证
包围点电荷 q的球面,且 q
处于球心处
SE SdE
S dSE
S Ed S
2
2
0
4
4
1
r
r
q
0?
q
推论,对以 q为中心而 r不同的任意球面而言，其电通量都相等
'S
§ 11-6高斯定理第十一章 静止电荷的电场
q
S
包围点电荷 q的任意闭合曲面 S
'S
以 q为中心作一球面 S’
SE SdE
0?q?
通过 S’的电力线都通过 S
不包围点电荷 q的任意闭合曲面 S
q
S
穿入、穿出 S的电力线数相等
0 E
§ 11-6
第十一章 静止电荷的电场
点电荷系 q1,q2,… qn电场中的任意闭合曲面
S iEi SdE
对 qi：
0/?iq
在 S内在 S外0
S
1q
3q
iq
nq
2q?
SE SdE
EnEE21
SdEEE
S n
21
内S
iq
0
1
§ 11-6高斯定理第十一章 静止电荷的电场
VE dV
0
1
对连续分布的带电体
为电荷体密度,V为高斯面所围体积讨论：
当,?E>0，即有电力线从正电荷发出并穿出高斯面，反之则有电力线穿入高斯面并终止于负电荷
0iq
§ 11-6
第十一章 静止电荷的电场
电力线从正电荷出发到负电荷终止，是不闭合的曲线
----静电场是,有源场,
高斯面上的场强 是总场强,它与高斯面内外电荷 都有关
E?
为高斯面内的 一切电荷 的代数和,即电通量只与高斯面所包围正负电荷代数和有关,与高斯面外电荷无关
q
§ 11-6
第十一章 静止电荷的电场一般步骤,
分析电场所具有的对称性质
选择适当形状的闭合曲面为高斯面
计算通过高斯面的电通量
令电通量等于高斯面内的电荷代数和除以?o,求出电场强度
§ 11-7
§ 11-7利用高斯定理求静电场分布第十一章 静止电荷的电场
[例 5]求均匀带正电球体内外的场强分布。
设 球体半径为 R，带电量为 Q
解,带电球体的电场分布具有球对称性取与球体同心球面为高斯面,高斯面上场强大小相等,方向与面元外法向一致
SE sdE?
S Ed s
S dsE 24 rE
R
Q
§ 11-7
r>R时：
外ErE
24
0?Q?
r
第十一章 静止电荷的电场
R
r
r 2
04
1
r
Q
E
外
r
r
Q
E
3
04
1
外或
r<R时：
内ErE
24 dV?
0
1 3
0 3
41
r
§ 11-7
3)34( R
Q
0
3
3
2
4
Q
R
r
Er
内第十一章 静止电荷的电场
3
04 R
Qr
E
内得
R
r
r
E
r0 R
r
R
Q
E
3
04
内或
§ 11-7
第十一章 静止电荷的电场
[例 6]求均匀带正电的无限大平面薄板的场强分布。设电荷面密度为?
E?E?
解,电场的分布具有面对称性高斯面取为两底与板面对称平行，侧面与板面垂直的圆柱形闭合面
§ 11-7
第十一章 静止电荷的电场
SE sdE?
12 SE
0
1
S?
02?
E
得
2S
1S3S
E?E?
方向垂直于板面向外
2 31 S SS
sdEsdEsdE?
§ 11-7
第十一章 静止电荷的电场
[例 7]求均匀带正电的无限长细棒的场强分布 。 设棒的电荷线密度为?
h
r
P
2S
1S
3S
解：电场分布 具有轴对称性
,任一点处的场强方向垂直于棒辐射向外以棒为轴作半径为 r、长为 h
的圆柱闭合面为高斯面
§ 11-7
第十一章 静止电荷的电场
SE sdE?
321 SSS
sdEsdEsdE?
3S
sdE?
3S
dsE rhE?2
0
2
h
rhE
由高斯定理有
r
E
02
或
r
r
E
2
02
§ 11-7
h
r
P
2S
1S
3S
第十一章 静止电荷的电场
