第十五章 磁场的源
Bd?
r?
I
一,电流的磁场 毕奥 -萨伐尔定律
3
0
4 r
rlId
Bd

27
0 AN104

----真空磁导率
§ 15-1 毕奥 -萨伐尔定律
lId?
电流元在 P点的磁感应强度
----毕奥 -萨伐尔定律 P
第十五章 磁场的源
对任意载流导线
l BdB

l r
rlId
3
0
4

说明：
恒定电流是闭合的,不可能直接从实验中得出毕 -萨定律
闭合回路各电流元磁场叠加结果与实验相符,间接证明了毕 -萨定律的正确性
§ 15-1
第十五章 磁场的源
[例 1]有一长为 L的载流直导线,通有电流为 I,求与导线相距为 a的 P点处的磁感应强度解,任取一电流元，它在 P
点的磁感应强度
3
0
4 r
rlId
Bd

方向垂直于纸面向内
每个电流元在 P点的磁场方向相同
a
P
1?
l r?
2?
第十五章 磁场的源
LdBB L r
I d l
2
0 s in
4
tgc al?s in/a?r?
2s in/addl?
L r
dlI
B
2
0 s in
4

2
1
s in
4
0

d
a
I
)c o sc o s(
4
B 210

a
I
a
P
1?
l r?
2?
第十五章 磁场的源讨论：
角 θ1,θ2分别是直导线两端的电流元和它们到 P点的径矢的夹角
对无限长载流直导线有
2
a
I
B
2
0
01
)c o sc o s(
4 21
0

a
IB亦
a
P
1?
l r?
2?
第十五章 磁场的源
[例 2]半径为 R的圆形载流导线通有电流 I
,试求其轴线上 P点的磁感应强度
x0
R
I
Px
lId?
r? Bd
Bd?
//Bd
解,取轴线为 x轴 任取一电流元 lId?
2
0
4 r
I dl
dB
方向如图由对称性可知,
磁场沿轴线方向第十五章 磁场的源
L dBB // LdB?s in dlr
IR
3
0
4?
3
2
0
2 r
IR?
2
3
22
2
0
)(2 xR
IR
方向沿 x轴正方向
----满足右手螺旋关系
x0
R
I
Px
r? Bd
Bd?
//Bd

第十五章 磁场的源讨论：
圆心处,x =0
R
I
B
2
0
0

载流圆导线的磁矩
nISp m
2
3
22
0
)(2 xR
p
B m


nRI?2
2
322
2
0
)(2 xR
IR
B
第十五章 磁场的源
[例 3]试求一载流直螺线管轴线上任一点
P的磁感应强度 。 设螺线管的半径为 R，
单位长度上绕有 n匝线圈,通有电流 I
1A 2A
R P
1?
2?
l dl
r?
解,距 P点 l处任取一小段 dl
小段上匝数
ndldN?
方向沿轴线向右
2
3
22
2
0
)(2
dn
d
R
RI
B
第十五章 磁场的源
2222 c s cRlR
1A 2A
R P
1?
2?
l dl
r?
dRdl 2c s c
c tgRl?
LdBB
2
1
s in
2
0

dnI
)c o s( c o s
2
12
0 nI
第十五章 磁场的源讨论：
螺线管为,无限长,,
1
nIB 0
----密绕长直螺线管轴线上的磁感应强度各点都相等，与位置无关
02 1A 2A
R P
1?
2?
l dl
r?
)c o s( c o s
2 12
0 nIB
第十五章 磁场的源一,运动电荷产生的磁场
取电流元,它在空间某点产生的磁感应强度为
lId?
3
0
4 r
rlId
Bd


3
0 )(
4 r
rldqnSv

dl
I
v?
S
n

因电流元内粒子数 nSdldN?
方向与电荷速度 方向相同lId? v?
§ 15-2
§ 15-2运动电荷的磁场第十五章 磁场的源
3
0
4 r
rvdNq
Bd



每个以速度 运动、电量为 q的电荷所产生的磁感应强度为 v
dN
Bd
B
3
0
4 r
rvq


第十五章 磁场的源例 4按玻尔模型，在基态的氢原子中，电子绕原子核做半径为 0.53× 10-10m的圆周运动，速度为 2.2× 106m/s。求此运动的电子在核处产生的磁感应强度的大小。
解根据运动电荷产生磁感应强度的公式 rv e B
)T(5.12
r
ev
4
B
2
0
第十五章 磁场的源一,磁场的高斯定理
磁通量,通过磁场中某一曲面的磁力线数
B d Sd B?
c o sB d S? SdB
§ 15-3 安培环路定理
S
B?
n?
dS
SdBSB
单位：韦伯 (Wb)
第十五章 磁场的源
磁力线闭合，对闭合曲面 S
S SdB 0
----磁场的高斯定理
磁场是无源场二,安培环路定律
r
I
B
2
0?以长直电流为例：
问题：
L ldB?

I
B?
第十五章 磁场的源
以闭合磁力线为闭合积分回路 L I B
L ldB

LdlB LB d l
rB?2 I0
L
----与半径无关系
推论,对以 I为中心的不同半径圆形回路的环流都等于 I
0?
以围绕 I且在与导线垂直平面内的任意闭合回路为积分路径 L
L
第十五章 磁场的源
ld
//ld
L ldB

L ldldB )( //

L B d l //
2
0
0
2
rd
r
I
I0
L
I
B?
ld?
围绕 I的任意回路 L(不在一个平面内 )
线元分解：可证有同样的结果
ld?
ld?
第十五章 磁场的源
a
b
1L
2L
11 ldB

I
闭合回路 L不围绕电流 I
111 c o s?dlBdrB 11
d
I
2
0
1r
2r
2B
1
B?
d
L
1ld
2ld
22 ldB
drB
22
d
I
2
0?222 c o s?dlB?
L ldB

0
21
21 LL ldBldB

第十五章 磁场的源
结论,只有闭合回路所包围的电流对环流有贡献
L IldB 0?
----安培环路定律即讨论：
为穿过积分回路的所有电流的代数和，或理解为穿过以回路为边界的任意曲面的电流代数和
I
第十五章 磁场的源
电流流向与积分路径绕行方向满足右手螺旋法则时，电流为正；相反时电流为负
回路外面的电流对 的环流没有贡献，
但回路上各点的 却是由回路 内外所有电流 决定的
B?
B?
安培环路定律反映了磁场是 非保守场第十五章 磁场的源
§ 15-4利用安培环路定理求磁场分布
L IldB 0 ----安培环路定律
解题步骤：
根据电流的分布的对称性分析磁场的对称性；选择合适的闭合路径 （
安培环路 ） 计算磁感应强度第十五章 磁场的源
[例 1]试求一均匀载流的无限长圆柱导体内外的磁场分布 。 设圆柱导体的半径为 R,通以电流 I
drB
解,取以轴线为中心、半径为 r的圆作为积分回路 L
R
B?
r L
I
L ldB

LB d l
r>R时,IrB
02
r
I
B
2
0
rB2
第十五章 磁场的源
r<R时：穿过积分回路 L的电流为
2
2
r
R
I
I?

IrB 02
2
2
0
R
Ir?
2
0
2 R
Ir
B
R
B
rR0
第十五章 磁场的源
[例 2]一无限大导体薄平板通有均匀的面电流密度 (即通过与电流方向垂直的单位长度的电流 ),大小为 j。 求平面外磁场的分布
j? 1dl
1Bd
2dl
2Bd
Bd?
B?
P
B?
第十五章 磁场的源解,作矩形闭合回路 abcda
B?
B?
L ldB


dabc
ldBldB
Bl2?
jl0
2
0 jB
两侧是均匀磁场,大小相等，方向相反
a
b c
dl
第十五章 磁场的源
[例 3]试求一无限长螺线管内的磁场分布
。 设螺线管单位长度上绕有 n匝线圈,通有电流 I
解,作一矩形闭合回路 abcda(如图 )
R
a
b c
d
L ldB

bc ldB
bcB
根据安培环路定律
nIbcbcB 0?
nIB 0
----均匀磁场第十五章 磁场的源
R
O
[例 4]半径为 R的无限长直导体,内部有一与导体轴平行,半径为 a的圆柱形孔洞
,两轴相距为 b。 设导体横截面上均匀通有电流 I,求 P点处的磁感应强度 。
解,设导体中电流密度方向垂直于纸面向外
b
a
P
电流密度大小为
)( 22 aR
I
j
第十五章 磁场的源
补偿法,设想在空洞里同时存在密度为和 的电流
jj?
jRba
R
B 2
2
0
1 )(
2

j
ba
2
)(0?
对半径为 R的无限长载流导体
R
O
b
a
P1
B?
方向如图第十五章 磁场的源
对半径为 a的无限长载流圆柱体
ja
a
B 202
2
j
a
2
0 方向如图
R
O
b
a
P1
B?
2B
21 BBB P

j
a
j
ba
22
00
j
b
2
0
)(2 22
0
aR
bI
方向竖直向上第十五章 磁场的源一,闭合电流的安培环流特点
设有闭合电流 I（如图）
IdB 0

穿过以 L为边界包围的
S1的电流的环流
§ 15-5与变化的电场相联系的磁场
S1
L
S2
穿过以 L为边界包围的 S2的电流的环流不变第十五章 磁场的源结论：由于恒定电流总是闭合的，所以安培环路定理的正确性仅与闭合路径有关，而与设想的回路所包围的曲面无关二,不闭合电流的安培环流特点

s
00 sdE
dt
d

S1
L
S2有电容存在的电路穿过以 L为边界包围的
S1的电流的环流
dt
ddB e
00



第十五章 磁场的源三当穿过 S的电流 Ie和变化电场同时存在时：
)sdE
dt
d
I(dB
s
0e
L
0



sd)
dt
Ed
j( 0e
s
0

上式称为普遍的安培环路定理
§ 15-6平行电流间的相互作用力第十五章 磁场的源
d
一,平行载流导线间的相互作用力
1I 2I
1B
21Fd
1导线在 2导线处所产生的磁感应强度大小为
d
I
B
2
10
1?
方向如图
对 2导线上任一电流元的作用力
1221 BldIFd

ldI?2
第十五章 磁场的源大小为
dlBIdF 1221? dl
d
II
2
210?
方向由 2导线垂直指向 1导线同理有
dl
d
II
F
2
210
12?
方向与 相反
21Fd
d
1I 2I
1B
21Fd
ldI?2
2B
12Fd
第十五章 磁场的源
[例 1]半径 R,载流 I的半圆形闭合线圈共有 N匝,当均匀外磁场方向与线圈法向成 60o角时,求?线圈的磁矩；?此时线圈所受磁力矩；?从该位置转到平衡位置,磁力矩所作的功
B?
I
R
060
n?
解,?线圈磁矩
nNI Sp m
nRNI
2
2
1

第十五章 磁场的源
磁力矩大小为
060s inBpM
m?
2
3
2
1 2
BRNI?
2
4
3
RN I B
方向竖直向上
B?
I
R
060
n?
第十五章 磁场的源
线圈从该位置转到平衡位置时
BIA
)60c o s
22
(
22
RBRBNI
2
4
1
RN I B
磁力矩作正功，它使夹角减少到零
)( 12 I
B?
I
R
060
n?