第十二章 电势
§ 12-1 静电场的保守性
§ 12-2 电势差和电势
§ 12--3 电势的叠加原理
§ 12-4 电势梯度
§ 12-5 电荷在外电场中的静电场能
§ 12-6 电荷系的静电能
§ 12-7静电场的能量第十二章 电势一,静电场力作功的特点
cr? E
a
b
q
ar
br
试探电荷 q0在 q的电场中，沿任意路径从 a 移动到 b
ldFdA ldEq
0
dlEq?c o s0? Ed rq 0?
ld取位移元
dr
§ 12-1 静电场的保守性
ld?
第十二章 电势
b
a oab
E d rqA
b
a
r
r
dr
r
2
0
04
1
)
11
(
4 0
0
ba rr
----与路径无关
在 q1,q2,?qn点电荷系电场中移动
b
aab
ldEqA
0
b
a n
ldEEEq
)( 210
)
11
(
4 0
0
ibiai
i
rr
----与路径无关
§ 12-1
第十二章 电势
对连续分布带电体可得同样结果
结论,电场力所作的功只与试探电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无关
0 ldE
L
----静电场环流定理
----静电场是保守场，静电力是保守力
路径闭合时
§ 12-1
Lo ldEqA
0?
第十二章 电势一,电势能
设 Wa和 Wb分别表示试探电荷 q0在 a点和 b点的电势能
b
aab
ldEqA
0
当电荷分布在 有限区域内 时，通常选无限远处为零电势能参考点
aa AW
)( ab WW
a
ldEq
0
§ 12-2
§ 12-2 电势差和电势第十二章 电势三,电势 0q
W
U aa?
定义：
----单位正电荷从 a点移到无限远处时静电场力所作的功
a
ldE
任意两点 a和 b之间的电势差 (电压 )为
b
a
ldE
§ 12-2
b
aab
ldEqA
0 )(0 ba UUq
a
b
ba
dEdEUU?
第十二章 电势说明：
电势的单位为 J/C，称为伏特，记作 V
当电荷分布不是在有限区域内时，则不能将无限远处选择为零势点，要根据具体情况，选择合适的零电势点
§ 12-2
第十二章 电势四,电势的计算
1.点电荷 q电场中的电势
aa
ldEU
r
dr
r
q
2
04
1
a
Ed r
r
q
04
1
a
r?
q
取无限远处为零电势参考点,a点电势为
§ 12-2
第十二章 电势
q>0,各点的电势为正,离 q 愈远电势愈低,在无限远处电势最低并为零
q<0,各点的电势为负,离 q 愈远电势愈高,在无限远处电势最高并为零
§ 12-2
r
q
U
04
1
讨论：
第十二章 电势
[例 2]一半径为 R的均匀带电球壳，所带电荷为 q，求空间任一点 a的电势
R
q
解,由高斯定理可得
0
4
1
3
0
r
r
q
E
Rr?
Rr?
r为 a到球心的距离
ra
ldEU
r
Ed r
§ 12-3
第十二章 电势
Rr? 时：
Rr? 时：
ra
ldEU
R
R
r
ldEldE
R
R
r
dr
r
q
dl
2
04
0
R
q
04
ra
ldEU
r
dr
r
q
2
04 r
q
04
§ 12-2
R
q
第十二章 电势
R
q
U
r0 R
讨论：
球壳内任一点的电势与球壳的电势相等 (等势 )
球壳外的电势与球壳上的电荷集中于球心的点电荷的电势相同
§ 12-2
第十二章 电势
[例 3]求无限长均匀带电直线外任一点 a处的电势 。 已知电荷线密度为?
ba?
解,无限长均匀带电直线的场强大小为
r
E
02
在通过 a点并与带电直线垂直的线上取一参考点 b
§ 12-2
第十二章 电势
b
aba
ldEUU
)ln( l n
2 0
ab rr
b
a
r
r
dr
r02
b
a
r
r
E dr
取 rb＝ 1m,则 Ub＝ 0
aa rU ln
2 0
讨论：
r >1m处,U<0
r <1m处,U>0
§ 12-2
ba?
第十二章 电势一、对 q1,q2,?qn构成的点电荷系
aa
ldEU
a n
ldEEE
)( 21
a naa
ldEldEldE
21
nUUU21
n
i i
i
r
q
1 04
n
i
ia UU
1
§ 12-3
§ 12-3电势叠加原理第十二章 电势
Q
点电荷系电场中某点的电势等于每个点电荷 单独存在时 在该点产生的电势的代数和
----静电场的电势叠加原理二,连续分布电荷电场中的电势
dUU a
r
dq
04
1
dq
任取一电荷元 dq,a点的电势为 a
r?
§ 12-3
第十二章 电势
[例 1]四个电量均为 q的点电荷,分别放在边长为 a的正方形的四个顶点上,求 (1)正方形中心 O处的电势； (2)如果将试探电荷 q0从无限远处移到 O点,电场力作功多少？
2
ar?
1q 2q
3q4q
Oa
a
a
a
解,(1)O点到四个顶角的距离均为
2
a
r?
§ 12-3
第十二章 电势
r
q
U i
i
4
1 0
0
4
1
r
q4
4
1
0
a
q
0
2
根据电势叠加原理有
(2)将 q0从无限远处移到 O点，电场力所作的功为
)( 00 UUqA )0( 00 Uq
a
0
0
2
§ 12-3
第十二章 电势
[例 2]计算电偶极子电场中任一点的电势分布
x
y
O
1r
2r
),( yxP
r?
l?
解,P的电势为
UUU p
1020 44 r
q
r
q
120
21
4
)(
rr
rrq
§ 12-3
lr 221 rrrc o s21 lrr
第十二章 电势
2
04
c os
r
ql
U p
2
04
c os
r
p e
222 yxr
r
x
c os
2/122 )( yx
x
2/322
0 )(4 yx
xp
U ep
§ 12-3
x
y
O
1r
2r
),( yxP
r?
l
第十二章 电势
[例 3]试计算半径为 R,均匀带电为 q的细圆环轴线上任一点 a处的电势 。
x
a
x
rR
O
解,在圆环上任取一线元 dl,所带电量为
dldq dl
R
q
2
r
dq
dU
04
22
0
2
8 xRR
q d l
§ 12-3
第十二章 电势
dUU
R
xRR
qdl?
2
0 22
0
2
8
22
04 xR
q
U
xO
x
P
x
rR
O?也可由场强求解
2/322
0 )(4
1
xR
qx
E
积分路径取轴向
§ 12-3
第十二章 电势
x
ldEU
x
Ed x?
x
dx
xR
qx
2/32
0 )(4
22
04 xR
q
讨论：
环心处,x＝ 0
R
q
U
0
0
4
x>>R,则
x
q
U
04
----相当于点电荷的电势
§ 12-3
x
P
x
rR
O
第十二章 电势三,等势面
等势面,电势相等的点所组成的曲面
静电场中等势面特点,
沿等势面移动电荷,电场力不作功证,设点电荷 q0沿等势面从 a点移到 b点
)(0 baab UUqA 0?则第十二章 电势
电力线和等势面正交证：设等势面上任一点 P处的场强为 E?
ldEqdA 0
因 均不为零ldEq,,
0
ldE
E?
ld?P
当点电荷 q0在 P点沿等势面有一微小位移时有 ld
0?
§ 12-3
第十二章 电势点电荷 等量异号点电荷
§ 12-3
第十二章 电势一,场强与电势的关系
设场中有两个相距很近的等势面 1和 2，电势分别为
U和 U＋ dU(dU>0)
设 P点处场强沿法向
0n
P
0n?1
2
U dUU?
Q
ld?
单位正电荷从 P移到 Q时
ldEdA PQ
dlE l?
dU
dlE?c o s?
)( dUUU
§ 12-4电势梯度第十二章 电势
ndEdA PR dUE dn?
----场强某方向分量为电势沿该方向变化率的负值dl
dU
E l
P
0n?1
2
U dUU?
Q
ld?
nd?
R
时，即沿 从 P到 R0 0n?
dn
dU
E
负号表示 的方向与原设方向相反
E?
----电势降方向
lE
E?
§ 12-4
第十二章 电势
0n
dn
dU
E
在直角坐标系中
x
U
E x
)( k
z
U
j
y
U
i
x
U
E
y
U
E y
z
U
E z
g r a d U
§ 12-4
第十二章 电势讨论：
静电场各点场强的大小等于该点电势空间变化率的最大值,方向垂直于等势面指向电势降的方向
在电势不变的空间,电势梯度为零,所以场强必为零
电势为零处,场强不一定为零；场强为零处,电势也不一定为零
§ 12-4
第十二章 电势
[例 1]应用电势梯度的概念,计算半径为 R、
电荷面密度为?的均匀带电圆盘轴线上任一点 P的电场强度
R
O
xPx
'r
r
dr 解,取半径为 r宽为 dr的圆环
r d rdq 2
22
04 xr
dq
dU
22
02 xr
r d r
§ 12-4
第十二章 电势由电势叠加原理有
dUU
R
xr
r d r
0 22
02?
][
2
22
0
xxR
§ 12-4
R
O
xPx
'r
r
dr
第十二章 电势由电荷分布的对称性可知，场强方向沿轴线
i
xR
x
E
)1(
2 220?
P点电场强度在 x轴方向的分量为
x
U
E x
)1(
2 220 xR
x
§ 12-4
R
O
xPx
'r
r
dr
第十二章 电势
[例 2]应用电势梯度的概念,
计算电偶极子电场中任一点
P的电场强度
x
y
O
1r
2r
),( yxP
r?
l?
解,P的电势为
UUU p
1020 44 r
q
r
q
120
21
4
)(
rr
rrq
lr 221 rrrc o s21 lrr
第十二章 电势
2
04
c os
r
ql
U p
2
04
c os
r
p e
222 yxr
r
x
c os
2/122 )( yx
x
2/322
0 )(4 yx
xp
U ep
x
y
O
1r
2r
),( yxP
r?
l
第十二章 电势
x
U
E x
2/522
0
22
)(4
)2(
yx
yxp e
y
U
E y
2/522
0 )(4
3
yx
xyp e
j
yx
xyp
i
yx
yxp ee
2/522
0
2/522
0
22
)(4
3
)(4
)2(
jEiEE yx
第十二章 电势
§ 12-5电荷在外电场中的静电势能
一、定义：电荷在静电场中的势能称为静电势能 。
二、点电荷的电势能因为静电场中任意点的电势等于单位正电荷在该点的电势能。
所以电荷 q在外电场中任意一点的电势能就是
qUW?
第十二章 电势例：电子与原子核的距离为 r，电子带电为 -e，原子核带电量为 Ze。求电子在原子核的电场中的电势能 。
解：以无穷远为电势的零点
，在原子核的电场中，电子所在处的电势为 r4
Ze
U
0
电子在原子核电场中的电势能
eUW r4
Ze
0
2
第十二章 电势
§ 12-6电荷系的静电能
一,定义：将各电荷从现有位置彼此分散到无穷远处时，它们之间的静电力所做的功，定义为点电荷系在原有状态的静电能
。
二、点电荷系的静电能
两个点电荷 q1和 q2的互能。另 q1不动，
移动 q2所做的功第十二章 电势
r
2r
rdFA
r
2
0
21
dr
r4
r
2
0
21
r
dr
4
r4
0
21
则当 q1和 q2相距 r时它们势能为
r4
W
0
21
12
第十二章 电势
r4
q
U
0
1
2
2212 Uqw
1112 Uqw r4
q
U
0
2
1
合并两式有：
)UqUq(
2
1
W 221112
第十二章 电势同理可以三个点电荷相互作用能
)UqUqUq(
2
1
w 332211
由 n个点电荷组成的点电荷系相互作用能
n
1i
ii Uq
2
1
W
第十二章 电势二、孤立带电体的静电能定义：设想把该带电体分割成无限多的电荷元，这些电荷元的静电场能的和就是该带电体的静电能。
q21 U dqW
积分号下限 q表示积分范围遍及带电体上所有电荷第十二章 电势例一均匀带电球面，半径为 R，总电量为 Q，求这一带电系统的静电能
解：带电球面的电势为
R4
Q
U
0
所以电势能为
U dq2
1
W dq
R4
Q
2
1
0
R8
Q
0
2
第十二章 电势
§ 12-7 静电场的能量
一、均匀带电橡皮气球的静电能
,R8
Q
W
0
2
二、球半径增加 dR,
能量减少量,dRR8 QdW 2
0
2
三、原来储存在 dR
球壳内的能量,dR
R8
Q
dW
2
0
2
第十二章 电势
dRR4)
R4
Q
(
2
dW 22
2
0
0?
dRR4
2
E 220
dV
2
E
dW
2
0或者四、电场能量密度：
2
E
dV
dW 20
e
五、一个带电系统的总能量：
dV
2
E
dVW
V
2
0
e
V
第十二章 电势例：在真空中一个均匀带电球体，半径为 R，总电量为 q，求此带电系统的静电能量解：由公式可得
dvdv
dvW
Rr
e2
Rr
e1
e
R dr
r
drr4
2
E
drr4
2
E 2
R
2
202
R
0
2
10
第十二章 电势根据球形带电体的场强分布公式
drr4
r4
q
2
drr4
R4
qr
2
W 2
2
2
0R
02
2
3
0
R
0
0?
R drr
R20
3q
0
2
