第 13章有导体和介质存在的静电场一,导体的静电平衡条件
1.静电感应现象
静电感应,外电场的作用导致导体中电荷重新分布而呈现出带电的现象
A?
B
静电平衡状态,导体内部和表面上都没有电荷的定向移动状态
§ 13-1电场中的导体第 13章有导体和介质存在的静电场
2.导体的静电平衡条件
无外电场
§ 13-1电场中的导体第 13章有导体和介质存在的静电场加外电场 ---电子在电场力作用下运动
导体的静电感应过程
0E
§ 13-1电场中的导体第 13章有导体和介质存在的静电场
导体的静电感应过程
0E
外场感应 'E?
0E
§ 13-1电场中的导体第 13章有导体和介质存在的静电场
导体的静电感应过程
0E
外场感应 'E?
0E
§ 13-1电场中的导体第 13章有导体和介质存在的静电场
导体的静电感应过程
0E
外场感应 'E?
0E
§ 13-1电场中的导体第 13章有导体和介质存在的静电场
导体的静电感应过程
0E
外场感应 'E?
0E
§ 13-1电场中的导体第 13章有导体和介质存在的静电场
导体的静电感应过程
0E
外场感应 'E?
0E
§ 13-1电场中的导体第 13章有导体和介质存在的静电场
导体的静电感应过程
0E
外场感应 'E?
0E
§ 13-1电场中的导体第 13章有导体和介质存在的静电场
导体的静电感应过程
0E
外场感应 'E?
0E
§ 13-1电场中的导体第 13章有导体和介质存在的静电场
导体的静电感应过程
0E
外场感应 'E?
0E
§ 13-1电场中的导体第 13章有导体和介质存在的静电场
导体的静电感应过程
0E
外场感应 'E?
0E
§ 13-1电场中的导体第 13章有导体和介质存在的静电场
导体的静电感应过程
0E
外场感应 'E?
0E
§ 13-1电场中的导体第 13章有导体和介质存在的静电场
导体的静电感应过程
E?
静电平衡状态
0E
'E?
0'0 EEE
§ 13-1电场中的导体第 13章有导体和介质存在的静电场?静电平衡条件：
导体内部任何一点的场强为零
导体表面上任何一点的场强方向垂直于该点的表面
等价条件：
静电平衡时,导体为等势体,
§ 13-1电场中的导体
§ 13-2静电平衡导体上的电荷分布静电平衡导体的电荷分布第 13章有导体和介质存在的静电场
1.导体处于静电平衡时,导体内部没有 净 电荷,电荷只能分布在导体表面上证,在导体内 任一点 P处取一 任意小 的高斯面 S PS
S SdE 0
0
内S
iq
静电平衡导体内 0?E?
即电荷只能分布在导体表面上
----体内无净电荷
§ 13-2静电平衡导体上的电荷分布第 13章有导体和介质存在的静电场2.有空腔的导体：设空腔导体带电荷 Q
Q?空腔内没有电荷时,导体内部和空腔内表面上都没有净电荷存在，电荷只分布在导体外表面
S
证,在导体内作一包围空腔的高斯面 S
S SdE 0
0?E?导体内
0
内S
iq
即 ----S内无净电荷存在
§ 13-2静电平衡导体上的电荷分布第 13章有导体和介质存在的静电场
问题,会不会出现空腔内表面分布有等量异号电荷的情况呢？
空腔内有电荷 q时,空腔内表面感应出 等值异号 电量 -q，导体外表面的电量为导体原带电量 Q与感应电量 q的代数和
qQ?
q?
q?
由高斯定理和电荷守恒定律可证
§ 13-2静电平衡导体上的电荷分布第 13章有导体和介质存在的静电场
3.静电平衡导体，表面附近场强的大小与该处表面的电荷面密度成正比
PS?
'S?
'S
E?
证,过紧靠导体表面的 P点作垂直于导体表面的小圆柱面，下底 △ S’在导体内部
S SdE
S
SdE
SE
0?
S
0?
E
§ 13-2静电平衡导体上的电荷分布第 13章有导体和介质存在的静电场4.静电平衡导体,表面曲率越大的地方,电荷面密度越大
R
r
Q q
R?
r?
以一 特例 说明,
设有两个相距很远的导体球，半径分别为 R
和 r(R >r)，用一导线将两球相连
R
Q
U R
04
1
R
R R
0
2
4
4
0?
RR
§ 13-2静电平衡导体上的电荷分布第 13章有导体和介质存在的静电场
r
q
U r
04
1
r
R
R
r
r
r r
0
2
4
4
0?
rr
三,导体静电平衡特性的应用尖端放电
避雷针
§ 13-2静电平衡导体上的电荷分布第 13章有导体和介质存在的静电场
导体放入静电场中：
§ 13-3 有导体时静电场的分析与计算导体的 电荷重新分布导体上的 电荷分布影响电场分布静电平衡状态第 13章有导体和介质存在的静电场[例 1]半径为 R的不带电导体球附近有一点电荷?q，它与球心 O相距 d，求?导体球上感应电荷在球心处产生的电场强度及此时球心处的电势；?若将导体球接地，球上的净电荷为多少？
R
O
'q? 'q?
q?
d
解,?建立如图所示的坐标系设导体球表面感应出电荷?q’x
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场
球心 O处场强为零，是 ± q’的电场和 q的电场叠加的结果
EEE 0
EE '
0?
)](
4
[
2
0
i
d
q?
i
d
q?
2
04
即
因为所有感应电荷在 O处的电势为
'
04
'
'
q R
dq
U
0?
RO
'q? 'q?
q?
d
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场
而 q在 O处的电势为
d
q
U
04
'0 UUU
d
q
0
4
导体球接地：设球上的净电荷为 q1
R
q
d
q
U
0
1
0
0
44
0?
q
d
R
q1解得
RO q?
d1q
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场[例 2]两块放置很近的大导体板，面积均为 S
，试讨论以下情况空间的电场分布及导体板各面上的电荷面密度,?两板所带电荷等值异号；?两板带等值同号电荷；?两极板带不等量电荷设四个表面上的电荷面密度分别为?1,?2,?3和?4
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法
1? 2? 3? 4?
解,不考虑边缘效应时，可认为板上电荷均匀分布在板表面上第 13章有导体和介质存在的静电场
作两底分别在两导体板内而侧面垂直于板面的闭合柱面为高斯面
1? 2? 3? 4?
S?
SSsdE 32
0
1
0?
板内任一点 P点的场强为零 P
0
4
0
3
0
2
0
1
2222?
pE 0? 41
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
32
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场
设两板带等值异号电荷 +q 和 -q：
qS )( 21 qS )( 43
S
q
S
q
4321 0?
041
----电荷分布在极板内侧面
Sq /2 Sq /3
2? 3?
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场由场强叠加原理有
0E 3?
0
3
0
2
2
22?
E
S
q
0?
方向向右
2? 3?
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
0
3
0
2
1
22?
E
同理
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法
0?
第 13章有导体和介质存在的静电场
设两板带等值同号电荷 +q：
qS?)( 21 ＋?
0)()( 4321
----电荷分布在极板外侧面
3241
032
qS?)( 43 ＋
由有 1
4?
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
S
q
41
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场由场强叠加原理可得
1? 4?
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
0
4
0
1
1
22?
E
S
q
0?
0
4
0
1
2
22?
E 0?
0
4
0
1
3
22?
E
S
q
0?
方向向左方向向右
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场
设两极板所带电量分别为 q1和 q2：
Sqq /)( 2141
可得 Sqq 2/)(
2141
1
1
2
S
q
S
2
12
23
Sq /121 Sq /243
12
S
2
21
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法
1? 4?
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
2? 3?
第 13章有导体和介质存在的静电场由场强叠加原理有
0
4
0
3
0
2
0
1
1
2222?
E
0
4
0
3
0
2
0
1
2
2222?
E
0
4
0
3
0
2
0
1
3
2222?
E
0
1
S
0
21
2?
0
2
S
0
21
2?
0
1
S
0
21
2?
1? 4?
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
2? 3?
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场
求电场分布,球和球壳的电势 U1和 U2及它们的电势差 △ U;?用导线将球和球壳连接时场和电势怎样外球壳接地时怎样
设外球壳离地面很远,若内球接地,电荷如何分布? U2为多少？
1r 2r
3r
[例 3]半径为 r1的导体球带有电荷
+q,球外有一个内外半径分别为
r2,r3的同心导体球壳，壳上带有电荷 +Q
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场解,?球壳内表面均匀分布电荷 -q，球壳外表面均匀分布电荷 q+Q
1rr?
21 rrr
32 rrr
3rr?
1r 2r
3r
q
q?
qQ?
以同心球面作为高斯面有
01?E?
0
2
0
2
4
r
r
q
E
03?E?
0
2
0
4
4
r
r
E
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场
球的电势为
1
1 r rdEU
3
2
1
2
0
2
0 44
r
r
r
dr
r
dr
r
q
3210
4
1
r
r
q
r
q
3
2
1
42 r
r
r
rdErdE
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场
球壳的电势为
3
2 r rdEU
3
4r rdE
3
2
04
r
dr
r
304 r
电势差为
21 UUU
210
11
4 rr
q
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场
0321 EEE
用导线连接球和球壳：球面上的电荷与球壳内表面电荷中和
0
2
0
4
4
r
r
E
3
421 r rdEUU
dr
r
r?
3
2
04 304 r
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场?外球壳接地,即 U
2=0,球壳外表面上电荷为零，但导体球表面和球壳内表面上的电荷分布不变
0
2
0
2
4
r
r
q
E
0431 EEE
q?
q?
2
1
21
r
r
rdEU
)11(
4 210 rr
q
21 UUU 1U?
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场?内球接地有 U
1＝ 0
302010
1
4
'
4
'
4
'
r
r
q
r
q
U
0?
Q
rrrrrr
rr
q
122313
12'
'q
'q?
'qQ?
设内球表面带电荷 q’，则球壳内表面带电荷
-q’，球壳外表面带电荷 (Q＋ q’)
因 r3 r1 < r3 r2,所以 q’<0
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场
球壳电势
30
2
4
'
r
U
'q
'q?
'qQ?
1323210
12
4 rrrrrr
rrQ
§ 13-3 有导体时静电场的分析方法第 13章有导体和介质存在的静电场
静电屏蔽,隔绝电的相互作用,使内外互不影响的现象
对外电场的屏蔽
接地空腔导体屏蔽腔内电荷对外界的影响
A
0?E?
A
§ 13-4
§ 13-4静电屏蔽第 13章有导体和介质存在的静电场
§ 13-4
第 13章有导体和介质存在的静电场一,孤立导体的电容
设孤立导体带电量为 q，电势为 U
U
q
C? ----孤立导体的电容
单位,法拉 (F),1F=1C/V
§ 13-5 电容器
定义,
第 13章有导体和介质存在的静电场二,电容器
电容器,两个带有等值异号电荷的导体组成的系统
设真空中的导体 A和 B所带电量分别为 +q和
-q
A B
q? q?
AU B
U
定义,
BA UU
q
C
----电容器的电容
§ 13-5 电容器第 13章有导体和介质存在的静电场
1.平板电容器 q?
A B
0? S
d
q?
设极板所带电荷为?q
0?
E
ldEUU BABA Ed?
S
qd
0?
S
q
0?
BA UU
q
C
d
S0?
则
§ 13-5电容器第 13章有导体和介质存在的静电场2.圆柱形电容器 ---两同轴圆柱面构成
A
B
AR
BR
l
0?
设内外柱面带有电荷分别为 +q和 -q
两柱面间、距轴线为 r处的场强大小为
r
E
02
§ 13-5电容器第 13章有导体和介质存在的静电场
ldEUU BABA E d rB
A
R
R
r
dr
B
A
R
R,
2 0
A
B
R
R
ln
2 0
BA UU
q
C
A
B
R
R
l
ln
2
0
A
B
R
R
l
ln
2
0
§ 13-5电容器第 13章有导体和介质存在的静电场3.球形电容器 ---两同心球壳构成
设内外球壳分别带有电荷
+q和 -q，则
2
04 r
q
E
BR
AR
A
B
0?
ldEUU BABA )
11
(
4 0 BA RR
q
E d rB
A
R
R
BA UU
q
C
AB
BA
RR
RR
0
4
§ 13-5电容器第 13章有导体和介质存在的静电场讨论：
电容器的电容与极板所带电量无关,只与电容器的几何结构有关
§ 13-5电容器第 13章有导体和介质存在的静电场
计算电容器电容的步骤：
设极板带有电荷?q
由电荷分布求出两极板间的 场强 分布
由场强分布求出两极板间的 电势差
由电容的定义求得电容器的 电容
§ 13-5电容器第 13章有导体和介质存在的静电场
各电容器上的电压相等三,电容器的串并联
并联,1C 2C 3C nCU
U
q
C
U
qqq n
21
nCCC21?
n
i
iC
1
电容器组总电量 q为各电容所带电量之和
§ 13-5电容器第 13章有导体和介质存在的静电场
串联,
U
各电容器的电量相等，即为电容器组的总电量 q
总电压为各电容器电压之和
U
q
C
nUUU
q
21
nCqCqCq
q
/// 21
§ 13-5电容器第 13章有导体和介质存在的静电场
nCCCC
1111
21
讨论,
并联时 等效电容等于各电容器电容之和，
利用并联可获得较大的电容
串联时 等效电容的倒数等于各电容器电容的倒数之和，因而它比每一电容器的电容小,但电容器组的耐力能力提高
n
i iC1
1
§ 13-5电容器第 13章有导体和介质存在的静电场第 13章有导体和介质存在的静电场
§ 13-6 电介质对电场的影响
电介质,内部几乎没有可以自由运动电荷的物体,又称为绝缘体
r0 /UU1,
试验可以证明：在平行板电容器中充满电介质时，两板电压相对介电常数0r /
第 13章有导体和介质存在的静电场
2、根据电容的定义式
0r cc
3、根据电压和电场强度的关系
r0 /EE
第 13章有导体和介质存在的静电场一,电介质的分类
无极分子电介质,无外电场时分子的正负电荷中心重合
0?ep?
没有固有电矩的分子称为 无极分子甲烷 CH4
H
H
H
H
C
§ 13-7 电介质的极化第 13章有导体和介质存在的静电场
有极分子电介质,无外电场时分子正负电荷中心不重合水 H2O
H
H
O
ep
0?ep?
具有固有电矩的分子称为 有极分子
§ 13-7电介质的极化§ 13-7电介质的极化第 13章有导体和介质存在的静电场
二,电介质的 极化
1.无极分子的极化
无极分子的极化是由于分子中的正负电荷中心在外电场作用下发生 相对位移 的结果
----位移极化
0E
0E
诱导电偶极矩
ep?
§ 13-7电介质的极化第 13章有导体和介质存在的静电场
2.有极分子的极化
有极分子的极化是由于分子偶极子在外电场的作用下发生 转向 的结果
----转向极化
1f
2f
0E
0E
ep
§ 13-7电介质的极化第 13章有导体和介质存在的静电场三,结论
无外场时,电介质中任一小体积元?V内无极化电荷存在
有外场时,电介质被极化，且外场越强，
电介质极化程度越高。极化电场的方向总是与原电场的方向相反，这样比起真空时的电场时减小。
§ 13-7电介质的极化第 13章有导体和介质存在的静电场?例：一平行板电容器间充满相对介电常数为 εr的电介质，求当它带电为 Q时，电介质两表面的束缚电荷为多少？
s/Q则?解：设极化电荷为 Q’,?
'
'
0E
'E?
§ 13-7电介质的极化§ 电介质的极化
s/Q
r0/E
第 13章有导体和介质存在的静电场
EEE 0
EEE 0 )1(00?
s/Q
)2(/E r0又
0/E
第 13章有导体和介质存在的静电场
)3(
00r0?
)4(
1
r
r?
( 5 )Q
1
Q
r
r
第 13章有导体和介质存在的静电场
§ 13-8 D矢量及其高斯定理
一、电位移矢量
：
r0 /EE
实验结果介质充满电场时：
上式乘以
0r
)2(EE 00r0
定义：
)3(EED r0
§ 13-8
第 13章有导体和介质存在的静电场电介质的介电常数称为电位移矢量。
D
)4(SdE 00r0
S
S
qSdE
内
1、将（ 2）式进行通量积分：
二、介质电场中高斯定理：
§ 13-8
第 13章有导体和介质存在的静电场
E00
ED
S
S
qSdD
内
0
----电位移
----有介质时的高斯定理或 的高斯定理D?
根据：
讨论：
自由电荷
电位移通量 只与闭合曲面所包围的 自由电荷 有关，但 本身与 自由电荷 和 极化电荷都有关
D?
§ 13-8
第 13章有导体和介质存在的静电场
是一个辅助物理量，没有明显的物理意义，但有介质时，计算 通量比计算通量简便
D? E?
D?
说明：
以上讨论的是各向同性介质,方向一致
，,ED
§ 13-8
第 13章有导体和介质存在的静电场[例 4]半径为 R 的金属球带有正电荷 q
0，置于一均匀无限大的电介质中 (相对介电常数为
r)，求球外的电场分布。
R
0q
r?
解,?电 场分布球对称性取半径为 r并与金属球同心的球面 S为高斯面
S rDSdD 24?
0q?
第 13章有导体和介质存在的静电场
2
4
0
r
q
D
方向沿径向向外或 0
0
2
4
r
r
q
D
电介质中的电场分布为
DE
r
D
0
0
2
0
0
4
r
r
q
r
第 13章有导体和介质存在的静电场
dq
一,带电体的能量
)( UUdqdA U dq? q
U
设物体带有电量 q时，相应电势为 U
dqq?
§ 13-9 电容器的能量将电荷元 dq从无限远处移到该带电体上，
外力 需作功
带电体具有的电势能
AW? U d qQ
0
第 13章有导体和介质存在的静电场
A B
二,带电电容器的能量
dq
q? q?
E?
将 dq由 B板移到 A板,外力 需作功
)( ba UUdqdA dq
C
q
q
dq
C
q
W
0 C
Q 2
2
1
2)(
2
1
BA UUC )(
2
1
BA UUQ
带电电容器的能量为
§ 13-9
第 13章有导体和介质存在的静电场三,电场的能量
以平板电容器为例,设极板面积为 S，两极板间距离为 d,板间充满介电常数为?的电介质
2)(
2
1
BA UUCW
2)(
2
1
Ed
d
S?
VE 2
2
1
单位体积的能量 (电场能量密度 )为
V
W
e
2
2
1
E DE
2
1
§ 13-9
第 13章有导体和介质存在的静电场
任意电场中所储存的能量为
dVW eV D E dVV
2
1
讨论：
电场具有能量是电场物质性的一种表现
§ 13-9
第 13章有导体和介质存在的静电场[例 7]真空中一个半径为 R的薄球壳，其上带有均匀分布的电荷 Q，求静电场的总能量解,电场分布在球壳的外部空间
0?内E
2
04
1
r
Q
E
外
Rr?
Rr? Q
R
§ 13-9
第 13章有导体和介质存在的静电场
V e dVwW V dVE
2
0
2
1
R
drr
r
Q 22
2
0
0 4)
4
(
2
1
R
Q
2
08
1
Q
R
§ 13-9
