? 傅立叶变换的离散性和周期性
从离散傅立叶级数 (DFS)到离散傅立叶变换 (DFT)
离散傅立叶变换 (DFT)的性质
离散傅立叶变换 (DFT)与 Z 变换的关系
快速傅立叶变换 (FFT)
离散傅立叶变换 (DFT)的应用第九章 离散傅立叶变换及其快速算法 复习对称关系
# 时域周期性 —— 频域离散性
（时域重复 —— 频域抽样）
# 时域离散性 —— 频域周期性
（时域抽样 —— 频域重复）
# 时域非周期 —— 频域连续性
（频域取包络 ）
# 时域连续性 —— 频域非周期
（傅立叶变换的对偶性）
nn FTF 10 1)(
傅立叶变换的离散性和周期性四种物理存在信号的傅立叶变换
（ 1）连续周期信号的
（ 2）连续非周期信号的
（ 3）离散非周期序列的
（ 4）离散周期序列的
FT
FT
FT
FT
FS
FT
DFS
FT
)(2)]([ 1 nFtfFT
n
n


1
0
2)(1)(1 N
n
knj
ppk
Nenx
NkXNa

2
21
1
1
1).(1
T
T
tjn
n dtetfTF
)()(
)()(
12
)(
2
)]([
1
0



LNkkX
nkX
NT
na
T
tfFT
N
n
n
p
s
n
k
s






n
tjn
np eFtx
1)(? knjN
k
kp
Neanx
2
1
0
)(?
所以知道 DFT=X(k)就可以求得离散周期信号的 FT,也就可以找到其他三种的 FT
法一：从连续周期信号的抽样得到离散的周期信号
1T1T?
E )(tf
t
1E
)(?F
FT
sT
E 1
2
2?
sT
2
sT
2?
s
N
n
L
ls NT
lNnnSaTE 2)(2 111
1
0
1
0
1



sNTT?1
抽样法二：从连续非周期的抽样，再进行周期重复得到离散周期矩形序列
t0 2?2
1T1T?
)(nfp
E
)(?pF
ss T
E
TT
E
1
1
2?
2
2?
sT
2
sT
2?
2?2
0 t
后重复
)(1 tf
先抽样
0 2?2
)(0 nf
离散非周期信号的周期重复
sNTT?1
抽样
1...2,1,0)(
1
)(
1...2,1,0)()(
2
2
1
0
1
0


NkekX
N
nx
NnenxkX
knj
N
k
pp
N
n
knj
pp
N
N
离散周期序列的傅立叶级数 (DFS)的正逆运算对和 取主值周期，得离散傅立叶变换
(DFT)的正逆运算对
)(kX )(nx
nk
N
k
nkj
N
k
N
n
nk
N
n
knj
WkX
N
ekX
N
nx
WnxenxkX
N
N




1
0
1
0
1
0
1
0
)(
1
)(
1
)(
)()()(
2
2
)(nxp
n
N0 N2N?
)(kX p
0 2N N
2N?
k
N0
N0
n
k
)(nx
)(kX
DFS
DF
T

2
2
1
0
1
0
12
)(
2
1
0
2
12
0
222
])1(1[
)()(
)()(
)()]([)(
22
k
N
k
kN
N
N
n
n
N
N
n
n
N
N
Nn
Nnk
N
N
n
nk
N
N
n
nk
NNN
X
WWnxWnx
WNnxWnx
WnxnxD F TkX
kk






例 #：已知 N 的 x(n)序列的 DFT如图所示，求下图 x1,x2，
x3,,x4的 FT
N0 N0
n k
)(nx
)(kX
)(1 nxx p?
n
0 N
)(2 txx p?
TNT s?
0 2N N
2N?
)(kX?
0 2N
2N?
)(2 kXN?
k
k
1
N
2
TNT s? 0 2?N
2?N?
1?
)(12)( kXNkXT s
)(3 0 txx?
N0
n
)(nx
0 2?N
2?N?
1?
N
)(kX
sT
1