数字信号处理（程佩青）：第一章k

一,序列
1.信号及其分类
(1).信号信号是 传递信息的函数,它可表示成一 个或几个独立变量的函数。
如,f(x); f(t); f(x,y)等。
(2),连续时间信号与模拟信号在连续时间范围内定义的信号,幅值为 连续 的信号称为模拟信号,连续时间信号与模拟信号常常通用。
1-1 离散时间信号 -序列
(3),离散时间信号与数字信号时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时间和幅值都 离散化 的信号称作为数字信号。
n
x(-2)
x(-1) x(0)x(1)
x(2)
x(n)
-2 -1 0 1 2
2.序列离散时间信号又称作 序列 。通常，离散时间信号的间隔为 T,且是均匀的，故应该用 x(nT） 表示在 nT的值,由于 x(nT)存在存储器中,加之非实时处理,可以用 x(n)表示
x(nT),即第 n个离散时间点的值,这样 x(n)就表示一序列数,即序列,﹛ x(n)﹜ 。
为了方便，通常用 x(n)表示 序列
﹛ x(n)﹜ 。
二,序列的运算
1.移位当 m为正时，
x(n-m)表示依次右移 m位；
x(n+m)表示依次左移 m位。





11,0
11,)
2
1
(
2
1
)1(
1,0
1,)
2
1
(
2
1
)(
1
n
n
nx
n
n
nx
n
n
-1 0 1 2
x(n)
1
1/2
1/4
1/8
...
-2
n
例：



2,0
2,)
2
1
(
4
1
)1(
n
n
nx
n
即
1/2
1/4
1/8
1
x(n+1)
n
0-1-2 1
2.翻褶 (折迭 )
如果有 x(n),则 x(-n)是以 n=0
为对称轴将 x(n)加以翻褶的序列。



1,0
1,)
2
1
(
2
1
)(
1,0
1,)
2
1
(
2
1
)(
n
n
nx
n
n
nx
n
n
例：
...
-2 -1 0 1 2
1/8 1/4
1/2
1
x(-n)
n
-1 0 1 2
x(n)
1
1/2
1/4
1/8
...
-2
n
3.和两序列的和是指同序号 (n)
的序列值逐项对应相加得一新序列。


1,0
1,)
2
1
(
2
1
)(
n
n
nx
n
例,x(n)1
1/21/4
1/8
n-2 -1 0 1 2
…
y(n)
1
2
3
1/21/4
-2 -1 0 1 2 n

0,1
0,2
)(
nn
n
ny
n
-2 -1 0 1 2
1/4
3/2 3/2
9/4
25/8
Z(n)
.…
…




0,1)
2
1
(
2
1
1,
2
3
1,2
)()()(
nn
n
n
nynxnz
n
n
4,乘积是指同序号 (n)的序列值逐项对应相乘。




0,)
2
1
)(1)(
2
1
(
1,
2
1
1,0
)()()(
nn
n
n
nynxnz
n
5,累加设某一序列为 x(n),则 x(n)的 累加序列
y(n)定义为即表示 n以前的所有 x(n)的和。

n
k
kxny )()(
6.差分前向差分（先左移后相减）：
后向 差分（先右移后相减）,
)()1()( nxnxnx
)1()()( nxnxnx
7.尺度变换
（ 1） 抽取,x(n) x(mn),m为正整数。
例如,m=2,x(2n),相当于两个点取一点；以此类推。
x(2n)
1
3
1/4
-1 0 1
n
x(n)
1
2
3
1/21/4
-2 -1 0 1 2 n
（ 2）插值,x(n) x(n/m),m为正整数。
例如,m=2,x(n/2),相当于两个点之间插一个点；以此 类推。通常，插值用
I倍表示，即插入（ I-1） 个值。
x(n)
1
2
1/2
-1 0 1 n
x(n/2)
1
2
1/2
-2 -1 0 1 2 n
。 。
8.卷积和设序列 x(n),h(n),它们的卷积和 y(n)定义为卷积和计算分四步,折迭 (翻褶 ),位移,
相乘,相加。




m m
nhnxmnxmhmnhmxny )()()()()()()(
例：


n
n
nh
n
n
nx
n
其他其他
,0
20,1
)(
,0
31,)
2
1
(
)(

3
1
)()()()()(
m
mnhmxnhnxny求：
解：
1,翻褶,以 m=0为对称轴，折迭 h(m)
得到 h(-m),对应序号 相乘，相加得 y(0)；
2,位移 一个单元，对应序号 相乘，
相加 得 y(1)；
3,重复步骤 2，得 y(2),y(3),y(4),
y(5),如下所示。
x(m)
0 1 2 3
1/2
1
3/2
m 0 1 2 m
1
h(m)
在亚变量坐标 m上作出 x(m),h(m)
0 1 2 3
1/2
1
3/2
m
0
m
h(-m)=h(0-m)
-2 -1
x(m)
0 1 2 3
1/2
1
3/2
m
0 m
h(1-m)
-1 1
得 y(0) 得 y(1)
x(m)
翻褶 位移 1
对应相乘，逐个相加。
2
3
1
2
3
)5(
2
5
101
2
3
110
2
1
)4(
31
2
3
111
2
1
)3(
2
3
111
2
1
)2(
2
1
1
2
1
)1(
0)0(





y
y
y
y
y
y
-1 0 1 2 3 4 5
y(n)
n
1/2
3/2
3
5/2
3/2
三,几种常用序
1.单位抽样序列 (单位冲激 ) )(n?
0,0
0,1
)(
n
n
n?
1
-2 -1 0 1 2
n?
n

mn
mn
mn
,0
,1
)(? 1
-2 -1 0 1 m
mn
n
2.单位阶跃序列 u（ n）



0
)2()1()()()(
)1()()()(
m
nnnmnnu
nununun

...
0 1 2 3-1 n
u(n)
0,0
0,1
)(
n
n
nu
3.矩形序列

n
Nn
nR N
其他,0
10,1
)(



1
0
)1()1()()()(
)()()(
N
m
N
N
NnnnmnnR
NnununR

)(nR N
4.实指数序列
a为实数，当
)( nua n
发散时收敛时
,1
,1
a
a
5.复指数序列
)s i n( c os
)(
)(
00
)(
0
njne
ee
enx
enx
n
njn
j
nj
o





6.正弦型序列其中,ω0为数字频率。
)c o s ()( 0 nAnx
四,序列的周期性如果存在一个最小的正整数 N,
满足 x(n)=x(n+N),则序列 x(n)为周期性序列,N为周期。
五,用单位抽样序列表示任意序列
1.任意序列可表示成单位抽样序列的位移加权和,


m
mnmxnx )()()(?


m
nmnx
mnmx
其他,0
),(
)()(?
例,
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
3?a
2a
6a
x(n)
n
位移加权和 3?a
n0
n0
2a
n0
6a
δ (n+3)
δ (n-2)
δ (n-6)
m0
1
m?
3?a
m0
2a
6a
x(m)
2,x(n)亦可看成 x(n)和 δ (n)的卷积和六,序列的能量
x(n)的能量定义为

n
nxE 2)(
1-2 线性移不变系统一,线性系统系统实际上表示对输入信号的一种运算，所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即
x(n) 离散时间系统
T[x(n)]
y(n)
y(n)=T[x(n)]
设系统具有：
那么该系统就是线性系统，即 线性系统具有均匀性和迭加性。
*加权信号和的响应 =响应的加权和。
*先运算后系统操作 =先系统操作后运算。

,)()()()(
,)()(,)()(
22112211
2211
nxTanxTanxanxaT
nxTnynxTny


二,移不变系统如 T[x(n)]=y(n),则 T[x(n-m)]=y(n-m),
满足这样性质的系统称作 移不变 系统。
即系统参数不随时间变化的系统，亦即输出波形不随输入加入的时间而变化的系统。
*移（时 ） 不变例：分析 y(n)=3x(n)+4是不是移不变系统,
解：因为 T[x(n)]=y(n)=3x(n)+4
所以 T[x(n-m)]=3x(n-m)+4
又 y(n-m)=3x(n-m)+4
所以 T[x(n-m)]=y(n-m)
因此,y(n)=3x(n)+4是移不变系统,
*系统操作 =函数操作三,单位抽样响应与卷积和
1.线性移不变系统具有移不变特性的线性系统。
2.单位抽样响应 h(n)
当线性移不变系统的输入为 δ (n)，
其输出 h(n)称为单位抽样响应,即
h(n)=T[δ (n)]
(n) h(n)? T[δ (n)]


m
mnmh )()(?
线性移不变系统
h(n)
x(n) y(n)
3.卷积和
y(n)=x(n)* h(n)


)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
nxnh
nhnx
mnhmx
mnTmx
mnmxT
nxTny
m
m
m








四,线性移不变系统的性质
1.交换律
2.结合律
)()()()()( nxnhnhnxny


)()()(
)()()(
)()()()()()(
21
12
2121
nhnhnx
nhnhnx
nhnhnxnhnhnx



3.对 加法的分配律
h1(n)+h2(n)x(n) y(n)
h1(n)
h2(n)
⊕ y(n)x(n)

)()()()(
)()()(
21
21
nhnxnhnx
nhnhnx


[例 ]：已知两线性移不变系统级联，其单位抽样响应分别为
h1(n)=δ(n)- δ(n-4); h2(n)=an u(n),|a|<1,当输入 x(n)=u(n)
时，求输出。
[解 ]：
h1(n)x(n) y(n)h2(n)w(n)
w(n)=x(n)* h1(n)=∑x(m) h1(n-m)= ∑u(m) h1(n-m)
= ∑u(m) [δ(n-m)- δ(n-m-4)]=u(n)-u(n-4)
= δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+ δ(n-3)
y(n)= w(n)* h2(n)=[δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+ δ(n-3)] * h2(n)
= h2(n)+ h2(n-1) +h2(n-2)+ h2(n-3)
= an u(n)+ an-1u(n-1)+ an-2u(n-2)+ an-3u(n-3)
五,因果系统某时刻的 输出 只 取决于此刻 以及 以前时刻 的输入的系统称作因果系统。
*实际系统一般是因果系统；
*对图象、已记录数据处理以及平均处理的系统不是因果系统；
* y(n)=x(-n)是非因果系统,因 n< 0的输出 决定 时 n>0的输入 ;
*不计其他函数,y(n)=x(n)sin(n+2).
线性移不变因果系统的充要条件为
h(n)=0,n< 0。
六,稳定系统有界的输入产生有界的输出系统。
线性移不变稳定系统的充要条件是


n
pnh )(
1-3 常系数线性差分方程离散变量 n的函数 x(n)及其位移函数 x(n-m)
线性叠加而构成的方程,
一,表示法与解法
1.表示法离散时间线性移不变系统
(n) y(n)



N
k
M
m
mk mnxbknya
0 0
)()(
x
* 常系数,a0,a1,…,aN ; b0,b1,…,bM 均是常数
（不含 n）,
*阶数,y(n)变量 n的最大序号与最小序号之差,如 N=N-0.
*线性,y(n-k),x(n-m)各项只有一次幂,不含它们的乘积项。
2.解法时域：迭代法，卷积和法 ;
变换域,Z变换法,



N
k
M
m
mk mnxbknya
0 0
)()(
二,用迭代法求解差分方程
1.“松弛”系统的输出起始状态为零的系统，这种系统用的较多，其输出就是 。
因此，已知 h(n)就可求出 y(n),所以必须知道 h(n)的求法,
)()()( nhnxny
2.迭代法（以求 h(n)为例）
例,已知常系数线性差分方程为
y(n)-ay(n-1)=x(n),试求单位抽样响应 h(n).
解：因果系统有 h(n)=0,n<0 ; 方程可写作,
y(n)=ay(n-1)+x(n)
nn
aannahnh
aaahh
aaahh
ahh
nnahnh
nhnynnx
nxnayny







0)()1()(
0)2()1()2(
01)1()0()1(
110)0()1()0(
),()1()(
),()(),()(
),()1()(
22
因此故当
0,0
0,
)(
n
na
nh
n
是稳定系统1?a
1.一个 常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由 边界条件 （初始）所决定。
2.我们讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。
注意：
1.系指系统的输入与输出的运算关系的表述方法。
2.差分方程可直接得到系统结构。
例,y(n)=b0x(n)-a1y(n-1)
用 ⊕ 表示相加器；
用 表示乘法器；
用 表示一位延时单元。
三,系统结构
1?Z
⊕x(n)
b0
-a1
y(n-1)
y(n)
-a1y(n-1)
b0 x(n)-a1y(n-1)b0 x(n)
1?Z
例：差分方程 y(n)= b0 x(n)-a1y(n-1)表示的系统结构为：
1-4 连续时间信号的抽样一,抽样器与抽样
1.抽样器
)(txa )(? txa
P(t)
T
T
f s 1?
)(tx a
连续时间信号)( tx a
)(? txa
抽样信号脉冲调幅
)(?
)()()(?:
tx
tptxtx
a
aa
2.实际抽样与理想抽样
0
)(txa
t
实际抽样：
)(? txa
t
p(t)
0 tT
p(t)为脉冲序列
…
T
f s 1?
理想抽样,
t
)(? txa
)()( ttp T
t…
（冲激序列）
T
f s 1?
二,抽样定理
1.预备知识
（ 1）冲激信号及其抽样特性定义：



1)(
0,)(
0,0)(
dtt
tt
tt
)(t?
t
(1)
0
取样特性：




)0()()(,0
)()()(
0
00
fdtttft
tfdttttf
时
(2)频域卷积定理若












djjX
jjX
ttxFjX
txFjX
txFjX
Ta
Ta
Taa
aa
aa
)(
2
1
)()(
2
1
)()()(
)()(
则有
,)()(,tFj TT
),()(?,ttxtx Taa
(3)冲激函数序列的傅氏变换
......
0 T t
)(tT?









k
s
k
tjk
TT
k
tjk
T
m
T
k
T
e
T
FtFj
e
T
t
mTtt
s
s

2
1
)()(
1
)(
)()(
)( jT
s?
0 s? s?2ss2
… …
Ts
2
冲激序列的傅氏变换仍为冲激序列。
2.抽样信号的频谱对上式两边取傅氏变换





m
a
m
a
Taa
mTtmTx
mTttx
ttxtx
)()(
)()(
)()()(?














k
a
k
sa
s
k
a
k
sa
Taa
T
jkjX
T
dkjX
T
kjX
T
k
T
jX
jjXjX
)
2
(
1
)(
1
)(
1
2
)(
2
1
)()(
2
1
)(

*可见，该频谱为周期性信号，其周期为,2
sT

.
,)(
)(?,,0
种情况称作周期延拓这为间隔而重复频谱以是的频谱所以为时
sa
a
a
jX
jX
T
jX
k



k
aa TjkjXTjX )
2(1)(
)(? jX a
0,
2
s,?jX a
2
s
)(?jX a
h?
)(jX a
s?2s?0s
Ωh为最高频率分量
3.取样定理由上图可知，用一截止频率为 的低通滤器对 滤波可以得因此，要想抽样后能不失真的还原出原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率分量。即 这就是奈奎斯特取样定理。
2
s?
)(jX a ).(?jX a
hs 2
.
2
常称作折叠频率s?
s?2s?0
)(?jX a
hS 2:混叠现象三,抽样的恢复如果抽样信号 或 通过一理想低通滤波器 就可恢复信号或 。下面证明：
tx ajX
a?
)
2
( s
tx ajX a
1.低通滤波器 的冲激响应 h(t)
tx a? h(t)
H(j )?
jX a?
txa
jX a
jH
2
s
2
s
T,
0,
T
0
)(?jH
2
s
2
s?

)
2
(
s i n
2
2
s i n
2
1
)(
2
1
)(
)()(,
2/
2/
1
T
t
T
S
t
T
t
T
t
t
deT
dejHjHFth
jHth
sa
s
s
tj
tj
s
s







其中，
即通过傅氏反变换求得可由因此
2.低通滤波器 (filter)的输出



















m
aa
m
a
m
a
m
a
aa
mTt
T
SmTx
mTthmTx
dmTthx
dthmTx
dthxtx


)(
*输出 =原信号抽样点的值与内插函数乘积和。
3.内插函数 的特性：
在 抽样点 mT上，其值为 1;其余抽样点上，其值为 0。
)( mTt
T
S a?
)( mTtTS a
(m-2)T
(m-1)T
mT
(m+1)T
(m+2)T
1



m
aaa mTtTSmTxtx,.4 的说明
（ 1）在抽样点上，信号值不变；
（ 2）抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的延伸叠加而成。
T 2T 3T


)3( Tt
TS a


)( Tt
TS a
)(txa
四,实际抽样
1,取样定理仍有效

)341,4039(
.2

图参阅的幅度有所改变
P
jx a