§ 6-1 引言一,DF按频率特性分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通，
其特点为：
（ 1）频率变量以数字频率 表示，,
为模拟角频率,T为抽样时间间隔；
（ 2）以数字抽样频率 为周期；
（ 3）频率特性只限于 范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。
0
0
低通
0
高通带通
0
0
带阻全通二,DF的性能要求（低通为例）
0
通带截止频率阻带截止频率通带阻带过渡带 平滑过渡三,DF频响的三个参量
1、幅度平方响应
2、相位响应
3、群延迟
d
ede jj )()(
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，
就是表示每个频率分量的延迟相同。
四,DF设计内容
1、按任务要求确定 Filter的性能指标；
2、用 IIR或 FIR系统函数去逼近这一性能要求；
3、选择适当的运算结构实现这个系统函数；
4、用软件还是用硬件实现。
五,IIR数字 filter的设计方法
1、借助模拟 filter的设计方法
（ 1）将 DF的技术指标转换成 AF的技术指标；
（ 2）按转换后技术指标、设计模拟低通 filter的 ；
（ 3）将
（ 4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通
AF的技术指标。
2、计算机辅助设计法（最优化设计法）
先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，
最大误差最小准则等，然后在此准则下,确定系统函数的系数。
)s(Ha
)()( zHsH a?
§ 6-2 将 DF的技术指标转换为 ALF的技术指标一、意义
AF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；
设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。
二、一般转换方法
1、
2、
3、
4、
A L FD L F?
A L FA H FDHF
A L FABFD B F
A L FA B S FD B S F
三、转换举例例如，一低通 DF的指标：在 的通带范围，幅度特性下降小于 1dB；在 的阻带范围，衰减大于 15dB；抽样频率 ；
试将这一指标转换成 ALF的技术指标。
解：按照衰减的定义和给定指标，则有假定 处幅度频响的归一化值为 1，
即这样，上面两式变为由于,所以当没有混叠时，根据关系式模拟 filter的指标为
6-3 ALF的设计
ALF的设计就是求出 filter的系统函数 Ha(S),
使其逼近理想 LF的特性，逼近的形式（ filter的类型）
有巴特沃斯型，切比雪夫型和考尔型等。而且逼近依据是 幅度平方函数,即由幅度平方函数确定系统函数。
一、由幅度平方函数确定系统函数
1、幅度平方函数由于 所以其中,是 AF的系统函数,是 AF的频响，
是 AF的幅频特性。
2,Ha（ S） Ha（ -S） 的零极点分布特点
（ 1）如果 S1是 Ha（ S） 的极点，那麽 -S1就是 Ha（ -S）
的极点；同样，如果 S0是 Ha（ S） 的零点，那麽 -S0就是
Ha（ -S） 的零点。所以 Ha（ S） Ha（ -S） 的零极点是呈象限对称的,例如：
（ 2）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为 ha（ t）
是实数时的 Ha（ S） 的零极点以共轭对存在；
（ 3）虚轴上没有极点（稳定系统在单位圆上无极点）；
（ 4）由于 filter是稳定的，所以 Ha（ S） 的极点一定在左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此要求，可取任一半对称零点为 Ha（ S） 的零点。
3、由 确定 的方法
（ 1）求
（ 2）分解 得到各零极点，将左半面的极点 归于,对称的零点任一半归 。若要求最小相位延时，左半面的零点归 （全部零极点位于单位圆内）。
（ 3）按频率特性确定增益常数。
例 6-1 由确定系统函数 。
解：
所以，极点为 零点为均为二阶的。我们选极点 -6,-7，一对虚轴零点为 的零极点，这样由,可确定出,
所以 。
因此因二、巴特沃斯低通滤波器
1、幅度平方函数其中,N为整数，是 filter的阶数； 为截止频率。
当 时，则即
（ 1）通带内有最大平坦的幅度特性；
（ 2）不管 N为多少，都通过点。
)3(2/1 dB?
2、幅频特性
1.0
0
N=2
N=4
N=8
3、巴特沃斯 filter的系统函数由于 所以其零点全部在 处；即所谓全极点型，它的极点为也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布在巴特沃斯圆上（半径为 ），共有 2N点。
例如,N=2时，
N=3时，
4
取 左半平面的极点为 的极点，
这样极点仅有 N个，即其中，常数 由 的低频特性决定。
则
2
3j
2
1eS 34j
3
[例 6-2]导出三阶巴特沃斯 LF的系统函数，设 s/r a d1
C
解：
所以
)1(
6
622
1
1
1/1)()(
j
j
jHA
其极点为 因此有取前三个极点，则有
,1)0(AK)0(H 0a
1S2S2S
1)S(H
23a
4、归一化的系统函数如果将系统函数的 S,用滤波器的截止频率去除，这样对应的截止频率变为 1，即所谓归一化，相应的系统函数称作归一化的系统函数记作例如，对于巴特沃斯 filter
)S(H an?
,
)SS(
K
)S(H N
1k
k
0
a
)N2 1k221(j
Ck eS
N,,2,1k
)
2
12
2
1
(
1
0,,
)(
)( N
k
j
k
C
N
k
k
an eS
S
S
SS
K
SH
如果将低通 filter归一化，就称作归一化原型滤波器。
三、归一化原型 filter的设计数据不论哪种形式（巴特沃斯，切比雪夫）的 filter，
都有自己的归一化原型 filter，而且它们都有现成的数据表可查和设计公式例如，归一化巴特沃斯原型 filter的系统函数（这里的 S即 ）为当,增益为 1，则有,N=1— 10阶的各个系数，如表 5-3,P148所示。
如果,则 E（ S）的根。即的极点如表 5-5,P150所示。
* 由归一化系统函数 得,只需将 S代入 即可。
S?
N2
21
0
an SSaSa1
d)S(H
0 1ad 00
)S(E/d)S(H 0an? )S(H an
)S(H an )S(H a
C/S?
0a
四、设计举例（巴特沃斯 filter）
1、技术指标
2、计算所需的阶数及 3dB截止频率将技术指标，代入上式，可得
1)102j(Hlg20 3a
15)103j(Hlg20 3a
C?
])(1/[1)j(H N2
C
2
a?
])(1l g [10)j(Hlg20 N2
C
a?
1])102(1lg [10 N2
C
3
15])103(1l g [10 N2
C
3
解上述两式得：
1.0N2
C
3
10)102(1?
5.1N2
C
3
10)103(1?
因此,3
C 100 4 7 4 3.7,8 8 5 8.5N
取 N=6，则 3
C 100 3 2 1.7
3,的求得查 P148，表 5-3，可得 N=6时的归一化原型模拟巴特沃斯 LF的系统函数为
3456an S1 4 1 6 2 0 2.9S4 6 4 1 0 1 6.7S8 6 3 7 0 3 3.3S/(1)S(H
)1S8 6 3 7 0 3 3.3S4 6 4 1 0 1 6.7 2
)1S4 1 4 2 1 3 5.1S)(1S5 1 7 6 3 8 0 9.0S/ [ (1 22
)]1S9 3 1 8 5 1 6 5 2.1S( 2
)(sH a
将 S用 代入，可得 3
C
1003 21.7/SS
)S(H a
)104504.49S106 4 0 0 3.3S/[101.1 2 0 9 2 3)S(H 6328a
)104504.49S105 8 4 9 8.13S)(104504.49S109 4 4 7 5.9S( 632632
6-4 冲激响应不变法
AF设计完毕以后，还应将 变换成 H（ Z），
也就是将 S平面映射到 Z平面。通常有三种方法：
（ 1） 冲激响应不变法 ；
（ 2）阶跃响应不变法；
（ 3）双线性变换法。
我们这里只讨论冲激响应不变法。
)S(Ha
一、变换原理
h（ n）为 DF的单位冲激响应序列,为 AF的冲激响应，冲激响应不变法就是使 h（ n）正好等于的抽样值，即如果 则有上式表明，先对 沿虚轴作周期延拓，再经过的映射关系映射到 Z平面。
二、混迭失真
DF的频响并不是简单的重复 AF的频响，而是 AF
的频响的周期延拓，即
)t(ha
)t(ha )nT(h)n(h a?
)],n(h[Z)Z(H)],t(h[L)S(H aa
k
aeZ kTjSHTzH ST )
2(1)(?
)S(Ha STeZ?
h
a
j )
T
k2j(H
T
1)e(H
根据取样定理，只有当 AF的频响带限于折叠频率以内时，即才能使 DF在折叠频率 内重现 AF的频响，而不产生混叠失真。但是，任何一个实际 AF的频响却不是严格带限的，就会产生 混迭 失真，如下图
2T,0)j(H
S
a
)T/j(H a?
0
2?2
三,AF的数字化方法
1、一般方法
。先,再对抽样，使,最后 H（ Z） =Z[h（ n） ]，一般说来过程复杂。
2、方法的简化设 只有单阶极点，而且分母的阶次大于分子的阶次,可展成如下的部分公式
)Z(H)S(H a? )]S(H[L)t(h a1a )t(ha
)nT(h)n(h a?
)S(Ha
)S(Ha
N
1k k
k
a SS
A)S(H
N
1k
tS
ka
1
a )t(ueA)]S(H[L)t(h
k
因此，
N
1k
N
1k
nTS
k
nTS
ka )n(u)e(A)n(ueA)nT(h)n(h
kk
n
nZ)n(h)]n(h[Z)Z(H
0n
N
1k
k
n1TS A)ze( k
N
1k 0n
n1TS
k )ze(A
k
N
1k
1TS
k
Ze1
A
k
3、几点结论
（ 1） S平面的单极点 变为 Z平面单极点就可求得 H（ Z）。
（ 2） 与 H（ Z）的系数相同，均为
（ 3） AF是稳定的,DF也是稳定的。
（ 4） S平面的极点与 Z平面的极点一一对应，但两平面并不一一对应。
例如，零点就没有这种对应关系。
4、修正的 H（ Z）
由于 DF的频响与 T成反比，当 T很小时,DF的增益过高，这样很不好，为此做如下修正：
kSS?
TS keZ?
) S( Ha
kA
)nT(Th)n(h a?
N
1k
1TS
k
Ze1
TA)Z(H
k
k
aa
j ),
Tj(H)kT
2j
Tj(H)e(H
[例 6-3] AF的系统函数为,
试用冲激响应不变法，设计 IIRDF,T=1
解：
设 T=1，
3S
1
1S
1)S(H
a
T31T1 eZ1
T
eZ1
T)Z(H
42311
311
T3111 eZ)ee(Z1
)ee(Z
eZ1
1
eZ1
1)Z(H
0 8 3 1 5 6 7 9.0e,0 4 9 7 8 9 0 6 8.0e,3 6 7 8 7 9 4 4 1.0e 431
21
1
Z01831.0Z4177.01
Z3181.0)Z(H
6-5 双线性变换法通常，信号大都为时限的，据信号理论可知，时限信号变换到频域,将变成非带限信号，系统也遵循这一原则。这样当用冲激响应不变法设计 DF时，不可避免的产生混叠失真。为了克服混叠失真，可采用 双变换 法。这种方法的基本思想是，先将 S 平面中非带限的所设计的系统函数变换到 平面，并使其为带限的，然后再转换到 Z平面。 1
S
一、变换原理在 S平面与 Z平面的映射关系中,我们知道,S平面中一条宽为 （如 到 ）的横带就可以变换到整个 Z平面,因此，可先将整个 S平面压缩到一个中介的 平面的一条横带里，再通过 将此横带变换到整个 Z平面上。这样就使 S平面和 Z平面是一一映射关系。如下图所示：
1S
T?2 T?T
TSeZ 1?
时，将由 经过 0变到由上图可知，将 S平面进行压缩，实际上，就是将其 轴压缩到 平面的 轴上的 到 的范围内。这可通过正切变换实现,1S
j
1?j T?T
)2( 1TtgC
其中 C为任意常数。由上式可知，当 由 经过 0变到1? T T?
通过欧拉公式，可得：
C
ee
ee
j
T
j
T
j
T
j
T
j
22
22
11
11
上式表示两个线性函数之比，称作线性分式变换，若用 S表示 Z，可得：
将上式关系延拓到整个 S和 平面，则有：1S
CeeS TS
TS
1
1
1
1
借助于 平面和 Z平面的映射关系：,可以得到：1S TSeZ 1?
1
1
1
1
1
1
Z
ZC
Z
ZCS
SC
SCZ
可见，也是线性分式变换（函数），这样 ( )间的变换是 双向 的，故称作双线性变换
ZS?
二,S平面与 Z平面的映射关系由于
jC
jC
SC
SCZ
可得：
22
22
_)(
_)(
C
CZ
（ 1）当 时,；这就是说,S平面的 轴映射 Z平面的单位圆上。
0 1?Z?j
（ 1）当 时，上式的分母大于分子，则有 ；这表明 S左半平面映射到 Z平面的单位圆内。两者均是稳定的。
0 1?Z
三,变换常数 C的选择由于,所以只有当 很小（一般
）,和 之间才存在线性关系，即：
)2( 1TtgC T13.01 T
1?
21TC
1.如果使 AF和 DF在低频处有较确切的对应关系，则选择 1
这时有,即 211 TC
TC 2?
2.如果使 DF的某一稳定频率（如 ）与 AF的一特定频
c? 严格相对应，则有
)2()2( 1 ccc tgCTtgC
Tcc 1
率即
2
c
c c t gC
四、双线性变换的特点
1。 S平面的虚轴（ ）映射到 Z平面的单位圆上。这是因为时，不管常数 C为何值,均为 1
j
0 Z
2。稳定的 AF，经双线性变换后所得 DF也一定是稳定的，这是因为稳定的 AF，其极点必全部位于 S的左半平面上，经双线性变换后，这些极点全部落在单位圆内。
3。其突出的优点是避免了频响的混叠失真。说明如下：
将 代入双线性变换公式，且 则 jeZ TC 2?
2
2
2 2
c o s
s i n2
1
12?
tg
TjjTe
e
TS j
j
2
2?tg
Tjj
即亦即 )
2(2
1 Ttg?
从 时，则 从 ；这就是说,S平面的正虚轴被映射到 Z平面的单位圆的上半部
00
从 时，则 从 ；这就是说,S平面的负虚轴被映射到 Z平面的单位圆的下半部
00
也就是说，从 S平面到 Z平面，频率轴是单位变换关系，而且当
时, 为折叠频率，所以不会有高于折叠频率的分量，因此不会产生混叠失真。
五,设计方法
1。直接代入法只需将 代入 AF系统函数 就可得到 DF的系统函数,即
)1/()1( 11 ZZCS )(SHa
)(ZH
)1/()1( 11)()( ZZcsa SHZH
2.间接代入法先将 AF的系统函数分解成级联或并联形式，然后在对每一个子系统函数进行双线性变换。
变换关系近似于线性，随着 的增加,表现出严重 非线性 。因此，
DF的幅频响应 相对于 AF的幅频响应会产生畸变。只有能容忍或补偿这种失真时，双线性变换法才是实用的。
4.频率的非线性失真从 的关系曲线可以看出，在零频附近,与 之间的)( f
例如
miSHZH
ZHZHZHZH
SHSHSHSH
ZZcsaii
m
amaaa
,...,2,1,)()(
)(),..()()(
)(),..()()(
)1/()1(
21
21
11
并联形式与上述类似
3。表格法由于代入法 在应用时可能比较麻烦，因此如果能预先求出 AF
与 DF的系统函数之间的关系，设计问题则变成查表，简单易行。
设 AF的系统函数为：
注：上式分子与分母的阶次均为 N，若分子阶次小时，可令最高几个阶次的 为零。
又设 DF的系统函数为
P137 表 5-1 给出了一至三阶的 系数 与 系数关系
