数字信号处理（程佩青）：第三章k

§ 3-7 抽样 Z变换 --频域抽样理论
§ 3-8 利用 DFT对连续时间信号的逼近
§ 3-6 DFT的性质
§ 3-5 DFT--有限长序列的离散频域表示
§ 3-3 周期序列的 DFS
§ 3-4 DFS的性质
§ 3-2 傅氏变换的几种可能形式
§ 3-1 引言一,DFT是重要的变换
1.分析有限长序列的有用工具。
2.在信号处理的理论上有重要意义。
3.在运算方法上起核心作用，谱分析、
卷积、相关都可以通 DFT在计算机上实现。
§ 3-1 引言二,DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题：
一是 离散 与 量化,
二是 快速运算。
信号处理 DFT(FFT)
傅氏变换 离散量化
§ 3-2 傅氏变换的几种可能形式一,连续时间、连续频率的傅氏变换 -傅氏变换
0 t
0
dtetxjX tj)()(:正

dejXtx tj)(
2
1)(:
反
)(?jX
)(tx
时域信号 频域信号连续的非周期的非周期的连续的对称性,
时域连续，则频域非周期。
反之亦然。
二,连续时间、离散频率傅里叶变换 -傅氏级数

2/
2/0
0)(
1
)(:
p
p
T
T
tjk
p
dtetx
T
jkX正
0 t
pT
)(tx
------


k
tjkejkXtx 0)()(:
0反
0?
)( 0?jkX
pT
2
0
时域信号 频域信号连续的周期的非周期的离散的
*时域周期为 Tp,
频域谱线间隔为 2π/Tp
三,离散时间、连续频率的傅氏变换
--序列的傅氏变换


n
TjnTj enTxeX )()(:正
x(nT)
T
-T 0 T 2T t 0
Ts
2
)( Tjj eXeX?或?
--- ---
2/ 2/ )(1)(,s s deeXnTx TjnTj
s
反时域信号 频域信号离散的非周期的周期的连续的
TT s
2,*频域的周期为时域抽样间隔为四,离散时间、离散频率的傅氏变换 --DFT
x(nT)=x(n)
FTp 1?
t0 T 2T
1 2 N
NTTp?
n
0 0? 02?
0 1 2 3
)1( )1( 0NN
NN 0?
k
)(
)( 0
kx
ex Tjk?
T
f
T
s
s
1
2

0 Ns
FT
p
220
NT
由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。
时域信号 频域信号离散的周期的周期的离散的
.
2
,;
2
*
0
T
T
T
T
s
p
p


频域的周期为时域的离散间隔为为函数，频域的离散间隔时域是周期为
0
0
2/
2/
:
1~0,2:
1~0:
)(
1
)(
)()(






dd
NkFkk
Nn
deeXnTx
enTxeX
s
s
TjnTj
s
n
TjnTj
从
DFT的简单推演：
在一个周期内，可进行如下变换：



1
0
22
1
0
22
00
1
0
0
1
0
)(
1
)(
)()(
222
)()(
)()(
00
00
N
k
nk
N
jk
N
j
N
n
nk
N
jk
N
j
sp
N
k
Tj n kTjk
s
N
n
Tj n kTjk
eeX
N
nTx
enTxeX
N
T
T
T
eeXnTx
enTxeX



因此又?
)(
)(
2
k
N
j
eX
nTx
视作 n的函数，
视作 k的函数,)()(
)()(
2
kXeX
nxnTx
k
N
j
这样,
1
0
2
1
0
2
)(
1
)(
)()(
N
k
nk
N
j
N
n
nk
N
j
ekX
N
nx
enxkX
正反
§ 3-3 周期序列的 DFS
一,周期序列 DFS的引入


k
tjkekXtx 0)(~)(~
0
对上式进行抽样，得：
导出周期序列 DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的：




k
nk
N
j
k
nTjk
ekX
ekXnTx
2
0
0
)(
~
)(
~
)(
~ 0
N
T
2
0
)(~ nTx )(~ 0?kX因 是离散的，所以 应是周期的。
)(~ 0?kX
，代入而且，其周期为,因此应是 N点的周期序列。
0/2 NT?
又由于所以求和可以在一个周期内进行，即这就是说，当在 k=0,1,...,N-1求和与在
k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。
knNjrnjnkNjnrNkNj eeee 222)(2
1
0
2
0
)(
~
)(~
)(
~
~)(
~
)(~~)(~
N
k
nk
N
j
ekXnx
kXkXnxnTx
则有，；，考虑到：


1
0
2
0
~~ N
k
nk
N
j
ekXnTx
二,的 k次谐波系数 的求法
1.预备知识
)(~ nx )(~ kX


r
mmNrN
e
N
n
rn
N
j
，其他为任意整数
0
,,1
0
2?
)(
1
1
1
2
2
)1(
2
2
221
0
2
时mNrN
e
e
eeee
r
N
j
Nr
N
j
Nr
N
jr
N
jr
N
j
N
n
rn
N
j





同样，当 时,p也为任意整数，则
])[()0(
1
0
)(2
pNrkNNNe
N
n
nrk
N
j


)(~)(~)()(~
1
0
rXpNrXpNrkkX
N
k


)(
)()(
1 1
0
)(
2
pNrk
pNrkpNrke
N
N
n
nrk
N
j



pNrk
所以亦即
2,的表达式将式 的两端乘
，然后从 n=0到 N-1求和，则：
)(~ kX
nr
N
j
e
2?
1
0
2
)(~
N
n
nr
N
j
enx
1
0
2
)(~)(~
N
k
nk
N
j
ekXnx

1
0
1
0
)(2
)(~
N
n
N
k
nrk
N
j
ekX

)(
~
)(
~
)()(
~
)(
~
)(
~
)(
~
1
0
1
0
1
0
)(
2
1
0
1
0
)(
2
1
0
2
rXN
pNrXN
pnrkNkX
ekX
ekXenx
N
k
N
k
N
n
nrk
N
j
N
n
N
k
nrk
N
j
N
n
nr
N
j





1
0
2
)(~1)(~,
N
n
nr
N
j
enx
N
rX
因此
1
0
2
1
0
2
1
0
2
)(
~
)(
~
)(
~
1
)(
~
,
)(
~
1
)(
~
N
k
kn
N
j
N
n
kn
N
j
N
n
kn
N
j
ekXnx
enx
N
kX
enx
N
kX
kr
对于周期序列所以则有换成将
)(~ nx 的 DFS
通常将定标因子 1/N
移到 表示式中。
即：
)(~ nx
1
0
2
1
0
2
)(
~1
)(
~
)(
~
)(
~
N
k
kn
N
j
N
n
kn
N
j
ekX
N
nx
enxkX
3.离散傅氏级数的习惯表示法通常用符号 代入，则：Nj
N eW
2?



1
0
1
0
2
)(~)(~
)(~)(
~
N
n
nk
N
N
n
nk
N
j
Wnxenx
nxD F SkX



1
0
1
0
2
)(
~1
)(
~1
)(
~
)(
~
N
k
nk
N
N
k
nk
N
j
WkX
N
ekX
N
kXI D F Snx
正变换：
反变换：
4,的周期性与用 Z变换的求法)(~ kX
)(
~
)(
~
)(
~
)(
~
)(
~
1
0
2
1
0
2
2
1
0
)(
2
kX
enx
eenx
enxmNkX
N
n
kn
N
j
N
n
mnj
kn
N
j
N
n
nmNk
N
j



周期性：
个不同值。只有这就是说,NkX )(~
的一个周期内序列记作,而且)(~ nx
= )(~ nx,0?n?N-1
0,其他 n



1
0
)()()(
N
n
n
n
n ZnxZnxZX
对 作 Z变换，
nx
)(nx
)(nx
用 Z变换的求,)(~ kX
可见,是 Z变换 在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的 N个等分点上，且第一个抽样点为 k=0。
kNjeZ?2?
)(
~
)()(
1
0
22
kX
enxeX
N
n
kn
N
jk
N
j


)(~ kX )(ZX
如果,则有Zj Im
ZRe
123
4
5
6 7 (N-1)
N
2
k=0
其中,a,b为任意常数。

)(~)(~
)(~)(~
22
11
nxD FSkX
nxD FSkX
)(~)(~)(~)(~ 2121 kXbkXanxbnxaD FS
§ 3-4 DFS的性质一,线性如果则有二,序列的移位
)(~)(~ kXnxD F S?

)(
~
)(
~
)(~
2
kXe
kXWmnxD F S
mk
N
j
mk
N

则有：
如果证明：

1
0
)(~)](~[
N
n
nk
NWmnxmnxD F S
令 i=m+n,则 n=i-m。 n=0 时,i=m; n=N-1时,i=N-1+m
所以
mk
N
mN
mi
ik
N WWixmnxD F S


1
)(~)](~[
)(~)(~
1
0
kxWWixW mkN
N
i
ik
N
mk
N

* 和 都是以 N为周期的周期函数。)(~ ix ikNW
三,调制特性如果则有
)(~)(~ kXnxD F S?
)(~)(~ mkXnxWD F S mnN
证明：
)(
~
)(
~
)(
~
)](
~
[
1
0
)(
1
0
mkX
Wnx
WnxWnxWD F S
N
n
nmk
N
kn
N
N
n
mn
N
mn
N

mnNjnmNjmnNjmn
N eeeW )(
222

时域乘以虚指数 ( )的 m次幂，频域搬移 m,调制特性。nNje?2?
四,周期卷积和
1.如果则：
)(~)(~)(~ 21 kXkXkY?


1
0
1
0
1221
)(~)(~)(~)(~
)](
~
[)(~
N
m
N
m
mnxmxmnxmx
kYI D F Sny
证明从略。
2.两个周期序列的周期卷积过程
（ 1）画出 和 的图形；
（ 2）将 翻摺,得到可计算出：
)(~1 mx )(~2 mx
)(~2 mx )0(~)(~ 22 mxmx
1
102011010101
)0(
~
)(
~
)0(
~
5
0
21


m
mxmxy
)(~2 mx
m
计算区
)(~2 mx?
m
m
)(~1 mx
0 1 2 3
)(~2 mx? )1(~2 mx?
1
101001010111
)1()(
~
)1(
~
5
0
21


m
mxmxy
（ 3）将 右移一位、得到可计算出：
)1(~2 mx?
m
计算区
)(~2 mx?
m
m
)(~1 mx
0 1 2 3
)1(~2 mx?
m
（ 4）将 再右移一位、得到,
可计算出：
)(~2 mx? )2(~ 2 mx?
3
100001011121
)2()(
~
)2(
~
5
0
21


m
mxmxy
（ 5）以此类推，
4
000001112111
)3(
~
)(
~
)3(
~
5
0
21


m
mxmxy
,4)4(~?y同样，可计算出,3)5(~?y
)(~ ny
n
1
3
4 4
计算区
3
1
3.频域卷积定理如果,则 )(~)(~)(~ 21 nxnxny?



1
0
12
1
0
21
1
0
)(
~
)(
~1
)(
~
)(
~1
)(
~
)(
~
)(
~
N
l
N
l
N
n
nk
N
lkXlX
N
lkXlX
N
Wny
nyD F SkY
证明从略。
§ 3-5 DFT--有限长序列的离散频域表示一,预备知识
1.余数运算表达式如果,
m为整数；则有：
此运算符表示 n被 N除，商为 m，余数为 。
是 的解,或称作取余数,或说作 n对 N取模值,或简称为取模值,n模 N。
mNnn 1 10 1 Nn
1nn N?
1n
)( 1nNn
例如：
(1)
(2)
725
279225
9,25
9
1


nNn
Nn
54
5594
9,4
9



Nn
Nn
先取模值，后进行函数运作 ;
而 视作将周期延拓。
含义1nxnx N?
Nnxnx?11nx
2.
二,有限长序列 x(n)和周期序列 的关系)(~ nx


m
mNnxnx )()(~
= )(~ nx,0?n?N-1
0,其他 n )(nx
周期序列 是有限长序列 x(n)的周期延拓。)(~ nx
有限长序列 x(n)是周期序列 的主值序列。)(~ nx
Nnx?
)()(~)( nRnxnx N?或如：
N-1 n
x(n)
0
......
n
)(~ nx
0 N-1
定义从 n=0 到（ N-1）的第一个周期为主值序列或区间。
三,周期序列 与有限长序列 X(k)的关系)(~ kX

)()(
~
)(
)(
~
kRkXkX
kXkX
N
N
同样,周期序列 是有限长序列 X(k)的周期延拓。
而有限长序列 X(k)是周期序列 的主值序列。
)(~ kX
)(~ kX
四,从 DFS到 DFT


1
0
)(~)(~)(~
N
n
nk
NWnxnxD F SkX


1
0
)(~1)(~)(~
N
k
nk
NWkXNkXI D F Snx
从上式可知,DFS,IDFS的求和只限定在
n=0到 n=N-1,及 k=0到 N-1的主值区间 进行。
因此可得到新的定义，即有限序的离散傅氏变换 (DFT)的定义。




1
0
1
0
)(
1
)()(
)()()(
N
k
nk
N
N
n
nk
N
WkX
N
kXI D F Tnx
WnxnxD F TkX
,0?k?N-1
,0?n?N-1
或者：
)()(~)(
)()(
~
)(
nRnxnx
kRkXkX
N
N
§ 3-6 DFT的性质一,线性
1.两序列都是 N点时如果则有：

)()(
)()(
22
11
kXnxD F T
kXnxD F T
)()()()( 2121 kbXkaXnbxnaxD F T
2,和 的长度 N1和 N2不等时，
选择 为变换长度,短者进行补零达到 N点。
)(1 nx )(2 nx
21,m a x NNN?
二,序列的圆周移位
1.定义一个有限长序列 的圆周移位定义为这里包括三层意思：
先将 进行周期延拓
再进行移位
最后取主值序列：
nRmnxnx NNm)(
Nnxnx?)(~
Nmnxmnx )(~
nRmnxnx NNm)(
)(nx
)(nx
n
)(nx
0 N-1
n
Nnxnx ))(()(~?
0
周期延拓
n
Nnxnx 2)2(~
0
左移 2
n
)()2( nRnx NN?
0
取主值
N-1
2.圆周位移的含义由于我们取主值序列，即只观察 n=0到 N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把 排列一个 N等分的圆周 上,序列的移位就相当于 在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，
看到就是周期序列,。)(~ nx
)(nx
)(nx
12
3
4 5
n=0
N=6 顺时左移?
三、共轭对称性
1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量周期为 N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为
]))(())(([
2
1
)](~)(~[
2
1
)(~
]))(())(([
2
1
)](~)(~[
2
1
)(~
**
**
NNo
NNe
nNxnxnxnxnx
nNxnxnxnxnx


同样，有
)(~)(~
)(~)(~
)(~)(~)(~
*
*
nxnx
nxnx
nxnxnx
oo
ee
oe



2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为
)(]))(())(([
2
1
)()(~)(
)(]))(())(([
2
1
)()(~)(
*
*
nRnNxnxnRnxnx
nRnNxnxnRnxnx
NNNNoop
NNNNeep


由于
)()(~)()(~
)()](~)(~[)()(~)(
nRnxnRnx
nRnxnxnRnxnx
NoNe
NoeN


所以 )()()( nxnxnx
opep
这表明长为 N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量 。
3.共轭对称特性之一
)())(()())((
)]([)]([)(
**
*
kRkNXkRkX
nxD FTnxD FTkX
NNNN
,则如果证明：
)())(()(])([
)(])([)(])([
)()()]([
*
1
0
*)(
1
0
*
1
0
*
1
0
**
kRkNXkRWnx
kRWWnxkRWnx
kRWnxnxD F T
NN
N
n
N
nkN
N
N
n
N
nk
N
Nn
N
N
n
N
nk
N
N
n
N
nk
N



4.共轭对称特性之二
)()]())(([
)]([)(
** kXnRnxD FT
nxD FTkX
NN
则
，如果证明：
)(])([
])([])([
)())(()]())(([
**
1
0
*
)1(
0
*
1
0
1
0
**
kXWnx
WnxWnx
WnRnxnRnxD F T
N
n
nk
N
N
n
nk
N
N
n
nk
N
N
n
nk
NNNNN





可知,)())(()( ** kRkXnx NN
)()())(( ** kXnRnx NN
5.共轭对称特性之三
)()(]))(())(([
2
1
)]}({ R e [)]([)(
* kXkRkNXkX
nxD FTnxD FTkX
epNNN
,则如果证明：
)()(]))(())(([
2
1
)]())(()([
2
1
)]}([)]([{
2
1
)]}({ R e [
)]()([
2
1
)](R e [
*
*
*
*
kXkRkNXkX
kRkNXkX
nxD F TnxD F TnxD F T
nxnxnx
epNNN
NN




圆周共轭对称分量。
的该序列复数序列实部的 D F TD F T?*
6.共轭对称特性之四
)()(]))(())(([
2
1
)]}(I m [{)]([)(
* kXkRkNXkX
nxjD F TnxD F TkX
opNNN
,则如果证明：
)()(]))(())(([
2
1
)]())(()([
2
1
)]}([)]([{
2
1
)]}(I m [{
)]()([
2
1
)](I m [
*
*
*
*
kXkRkNXkX
kRkNXkX
nxD F TnxD F TnxjD F T
nxnxnxj
opNNN
NN




圆周共轭反对称分量。
的该序列的复数序列虚部乘以 D F TD F Tj?*
7.共轭对称特性之五、六
)]([)](I m [
)]([)](R e [
nxD F TkXj
nxD F TkX
op
ep
,
同样，可证明：
8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性
)()()()1( kXkXkX opep、
)())((
)())(()()()3(
)())((
)())(()()()2(
*
**
*
**
kRkNX
kRkXkXkX
kRkNX
kRkXkXkX
NNop
NNopopop
NNep
NNepepep




、
、
9.实、虚序列的对称特性当 x(n)为实序列时,根据特性之三,则
X(k)=Xep(k)
又据 Xep(k)的对称性,)())(()( * kRkNXkX
NNepep
当 x(n)为纯虚序列时,根据特性之四,则
X(k)=Xop(k)
又据 Xop(k)的对称性,)())(()( * kRkXkX NNopop
)())(()( * kRkNXkX NN
)())(()( * kRkXkX NN
四,圆周卷积和
1.时域卷积定理设 和 均为长度为 N的有限长序列，且,
)(1 nx )(2 nx
)()( 11 kXnxD F T )()( 22 kXnxD F T?
)()()( 21 kXkXkY如果,则
)()(
)()(
1
1
0
21 nxnRmnxmx
kYI D F Tny
N
N
m
N

N )(2 nx
)()()( 2
1
0
12 nxnRmnxmx N
N
m
N


N )(1 nx
证明,相当于将 作周期卷积和后，
再取主值序列。
)(~),(~ 21 nxnx
将 周期延拓：)(ky )(~)(~~ 21 kXkXkY?）（
则有：




1
0
21
1
0
21
))((
)(
~
)(
~
)(
~
)(
~
N
m
NN
N
m
mnxmx
mnxmx
kYI D F Sny
在主值区间,所以,)())((,10 11 mxmxNm N

)(
)(
)()(
~
)(
1
1
0
21
nx
nRmnxmx
nRnyny
N
N
m
N
N

N )(
2 nx
同样可证：

)(
)()()(
2
1
0
12
nx
nRmnxmxny N
N
m
N

N )(2 nx
2.时域圆周卷积过程
N-10 n
)(1 nx
N-10
)(2 nx
)(0 )(
~
2
2
mRmx
mx
NN?
0 m
)(12 mRmx NN?
0 m
)(22 mRmx NN?
0 m
)(32 mRmx NN?
0 m
1)6(
0)5(
1)4(
220001010111101)(]))3(()([)3(
300000010111111)(]))2(()([)2(
310000000111111)(]))1(()([)1(
210100000011111)(]))0(()([)0(
6
0
7721
6
0
7721
6
0
7721
6
0
7721




y
y
y
mRmxmxy
mRmxmxy
mRmxmxy
mRmxmxy
m
m
m
m
0
2
3 3
2
1 1
N-1
n
N )(2 nx)()( 1 nxny?
最后结果：
五,有限长序列的线性卷积与圆周卷积
1.线性卷积的长度为的长度为它们线性卷积为
)(1 nx )10( 11 NnN
)(2 nx )10( 22 NnN



m
N
m
l mnxmxmnxmxny
1
0
2121
1
)()()()()(
的非零区间为的非零区间为两不等式相加得也就是 不为零的区间,
例如,
)(1 mx 10 1 Nm
)(2 mx 10 2 Nmn
20 21 NNn
)(nyl
)(1 nx
1
0 1 2 n
)(2 nx
1
0 1 2 n3
m
)(2 mx?
-1-2-3 111)0(ly
m
)1(2 mx?
21111)1(ly
m
)2(2 mx?
3111111)2(ly
)(1 mx
1
0 1 2 m
m
)3(2 mx?
3111111)3(ly
n
)(nyl
210
1)5(,2)4( ll yy同样
3
1
4 5
2
3 3
2
1
)(1 mx
1
0 1 2 m
2.用圆周卷积计算线性卷积圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列,
的长度为,的长度为,先构造长度均为 L长的序列,即将补零点 ;然后再对它们进行周期延拓,即所以得到周期卷积：
)(1 nx 1N )(2 nx 2N
)(),( 21 nxnx
LL nxnx )(,)( 21


1
0
21 )()(
~ L
m
LL mnxmxny









r
l
r
L
m
r
L
m
L
m
L
rlny
mrLnxmx
mrLnxmxmnxmxny
)(
)()(
)()()()(
~
1
0
21
2
1
0
1
1
0
21
因此故由于,,10 11 mxmxLm L
可见,周期卷积为线性卷积的周期延拓,其周期为 L.由于 有 个非零值,所以周期 L必须满足,
又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列,所以圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列,即
ly 121 NN
121 NNL
Lnx
nRrlnynRnyny L
r
lL
)(
)()()()(~)(
1


)()()( 212 nxnxnx 1,21 NNL
§ 3-7 抽样 Z变换 --频域抽样理论一,如何从频域抽样恢复原序列
1.两种抽样时域抽样,
对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。
频域抽样,
对一有限序列 (时间有限序列 )进行 DFT所得
x(k)就是序列傅氏变换的采样,所以 DFT就是频域抽样。
2.由 频域 抽样恢复序列一个绝对可和的非周期序列 x(n)的 Z变换为由于 x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也即其 Z变换收敛域包括单位圆。这样,对
X(Z)在单位圆上 N等份抽样,就得到


n
nZnxZX )()(
)(~ kX


n
nk
NWz WnxZXkX kN )()()(
~
对 进行反变换,并令其为,则)(~ kX )(~ nx
N







mm
N
k
knm
N
N
k
nk
N
m
mk
N
N
k
nk
NN
mxmxW
N
WWmx
N
WkX
N
kXI D F Snx
)()(
1
)(
1
)(
~1
)(
~
)(
~
1
0
)(
1
0
1
0
可见,由 得到的周期序列是非周期序列 x(n)的周期延拓。
也就是说,频域抽样造成时域周期延拓。

1
0
)()1(
N
k
knm
NWN
1,m=n+rN,
0,其他 m



r
N rNnxnx
rmrm
)()(~所以；；
)(~ nxN
)(~ kX
3.频域抽样不失真的条件
当 x(n)不是有限长时，无法周期延拓；
当 x(n)为长度 M,只有 N?M时,才能不失真的恢复信号,即
MNnxnRrNnx
nRnxnx
r
N
NNN


,)()()(
)()(
~
)(
1.由 X(k)恢复 X(Z)
序列 x(n),（ 0?n?N-1） 的 Z变换为由于,所以（下页！）
)(?jeX

1
0
)()(
N
n
nZnxZX

1
0
)(1)(
N
k
nk
NWkXNnx
二,由 X(k)表达 X(Z)与 的问题 —— 内插公式













1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
)1()1(221
1
0
1
0
1
0
1
0
)()(
1
1
)(
1
)(1
)(
1
11
)(1
1
)(
1
)(
1
)(
N
k
k
N
k
k
N
N
N
k
k
N
N
N
k
k
NNk
N
N
k
NkN
N
k
N
k
N
N
k
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n
nnk
N
N
n
n
N
k
nk
N
ZkX
ZWN
Z
kX
ZW
kX
N
Z
kX
ZW
ZW
N
kXZWZWZW
N
kXZW
N
ZWkX
N
ZX
)1( 2
2

kjNkNjNk
N eeW
上式就是由 X(k)恢复 X(Z)的 内插公式,其中称作内插函数。
)(
11
1
1)(
11 k
N
N
N
k
N
N
k Wzz
z
NZWN
ZZ



2.内插函数的特性将内插函数写成如下式,
ZRe
1?Z kNje?2
Zj Im
。
。
。
。
。
。。
)(
11)(
1 k
N
N
N
k Wzz
z
N
Z

令分子为零,得 ；
所以有 N个零点。令分母为零,得 为一阶极点,Z=0为 (N-1)阶极点。但是极点与一零点相消。这样只有 (N-1)个零点,抽样点称作本抽样点。因此说,内插函数仅在本抽样点处不为零,其他 (N-1)个抽样点均为零。
1,,,1,0,
2
NkreZ rNj
kNjk
N eWZ
2

kNjeZ?2?
kNje?2
)(
11)(
1 k
N
N
N
k Wzz
z
N
Z

3.频率响应单位圆上的 Z变换即为频响,代入?jeZ?
1
0
)()()(
N
k
j
k
j ekXeX
4.内插函数的频率特性





2
)
2
(
2
2
2
)
2
(
222
2
1
1
11
k
N
jk
N
jk
N
j
N
j
N
j
N
j
N
kj
jN
j
k
eee
eee
N
e
e
N
e

11
1)(


ZWN
ZZez
k
N
N
k
j 代入：将可见,既是 的函数又是 k的函数,其可表示为当 k=0时,则有
jk e?



Nke
j
k
2



2
1
0
2
s i n
2
s i n
1
N
j
e
N
N
N
kN
j
e
k
N
N
N
2
1
2/)
2
(s i n
2
s i n
1
时,
时,
，所以
0
;1
2
1
2
1
2
c o s
2
c o s
1
0
0

N
N
N?
)1,,2,1(2 Ni
N
i
0s in
2
s in iN,00

。在其他抽样点为
，在本抽样点为这说明
0
1
2

N
ke jk

当 N=5时,的幅度特性 和相位特性 如下图：
00
2 1 N
0
2
s i n
2
5
s i n
5
1
2
s i n
2
s i n
1

N
N
22 1 N
其中，

N=5
2 0 N?22;1
2
0
2
2
,1)0(
0



N
k
N
k
N
k


时，
在可推断出由
。时，亦即在 122


N
k
N
k
时，即而当 kiNi,2
122




N
ki
N
k
由于 i与 k均为整数,所以 i k 时这就是说,内插函数在本抽样点 上,
而在其他抽样点上
02


N
k
k
N
2?
,12


N
k
.02,,2


N
kki
N
i 上
5,与 X(k)的关系由于 的特性可知,在每个抽 样点上其值为 1,故 就精确等于 X(k)。即
jeX


1
0
2)(N
k
j k
N
kXeX


N
k 2
jeX
1,,1,0),(2 NkkXeX
Nk
j?

而在抽样点之间,等于 加权 的内插函数值叠加而得。
jeX


k
N
kX 2 )1,,1,0( Nk?
§ 3-8 利用 DFT对连续时间信号的逼近一,用 DFT计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误差
1.混叠现象为避免混叠,由抽样定理可知，须满足其中,为抽样频率 ; 为信号的最高频率分量；
或者其中,T为抽样间隔。
hs ff 2?
sf hf
hs ff
T
2
11
[例 ] 有一频谱分析用的 FFT处理器，其抽样点数必须是 2的整数幂。
假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为（ 1）频率分辨率为,（ 2） 信号的最高频率,试确定以下参量：（ 1） 最小记录长度 ;(2) 抽样点间的 最大时间间隔 T; (3) 在一个记录中的 最小点数 N。
ZH10? ZkH4?
PT
解,（ a） 最小记录长度
sFT P 1.01011 sT P 1.0?，
（ b）最大的抽样时间间隔 T
sffT hs 33 10125.01042/1/1/1
msT 125.0?
(c) 最小记录点数 N
10242
80010/1042/2
10
3


N
FfN h
取
2.频谱泄漏在实际应用中,通常将所观测的信号限制在一定的时间间隔内,也 就是说,
在时域对信号进行截断操作,或 称作加时间窗,亦即用时间窗函数乘以信号,由卷积定理可知,时域相乘,频域为卷积,这就造成拖尾现象,称之为频谱泄漏,
)(1 nx
0
n 0
)(1 nx )(1?jeX

n
)(2 nx
)(2?jeX
n
)()( 21 nxnxny?
jeY
3.栅栏效应用 DFT计算频谱时，只是知道为频率的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道,这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。
补零点加大周期,可使 F变小来提高辨力，以减少栅栏效应。
pT
F 1?
pT
二,DFT与连续时间信号傅氏变换间相对数值的确定
1.连续时间非周期信号傅氏变换对







dejXtx
dtetxjX
tj
tj
2
1
)(
2.连续时间周期信号傅氏级数变换对





k
tjk
T
T
tjk
ejkXtx
dtetx
T
jkX
p
p
0
0
0
2/
2/
0
1
3.DFT变换时,
10,)(
1
)(
10,)()(
1
0
1
0


NnWkX
N
nx
NkWnxkX
N
k
nk
N
N
n
nk
N
4.用 DFT计算非周期信号的傅氏变换用 DFT计算所得的频谱分量乘以 T,就等于频谱的正常幅度电平；用 IDFT计算非周期信号的傅氏反变换，再乘以 就得到所需信号的正常幅度电平。所以,从时间到频率,
再从频率到时间，整个过程总共乘了幅度电平未受到影响。
sf
1 sfT
设



n
TdtnTt,,







1
0
)(
)(
)()(
N
n
nTj
n
nTj
tj
enTxT
enTx
dtetxjX
用 DFT计算所得的频谱分量乘以 T的理由：
)]([
)(
1,...1,0,)()(
1
0
/2
1
0
/2
0
nxD F TT
enxT
NkenTxTkX
N
n
Nknj
N
n
NfTj k n
s




1,...1,0,,/2 00 NkkNf s?又
00
0
0,,2,2
kdNNFfF
s
)]([
)(
1
)(
2
)(
2
1
)(
1
1
0
2
0
2
1
0
0
0
00
0
kXD F Tf
ekjX
N
f
ekjX
ejkXnTx
s
N
k
kn
N
j
s
kn
N
Tf
j
N
k
k
nTjk
s




用 IDFT计算非周期信号的傅氏反变换乘以 的理由sf


dejXtx tj
2
1
5.用 DFT计算周期信号的傅氏级数用 DFT计算出的频谱分量 乘以 1/N等于周期信号的频谱的正常幅度电平。而用
IDFT的计算结果乘以 N才等于周期信号。
见式（ 3-112） 和 式（ 3-113）（ pp.117）。