数字信号处理（程佩青）：第二章k

§ 2-1 引言信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。
一,时域 分析法
1.连续时间信号与系统：
信号的时域运算，时域分解，经典时域分析法，近代时域分析法，卷积积分。
2.离散时间信号与系统：
序列的变换与运算，卷积和，差分方程的求解。
二,变换域 分析法
1.连续时间信号与系统：
信号与系统的频域分析、复频域分析。
2.离散时间信号与系统：
Z变换,DFT(FFT)。
Z变换可将差分方程转化为代数方程。


n
nznxnxZzX )()]([)(
§ 2-2 Z变换的定义及收敛域一,Z变换定义：
序列的 Z变换定义如下：


jSez
ez
ST
Tj
,
*实际上，将 x(n)展为 z-1的幂级数。
二,收敛域
1.定义,
使序列 x(n)的 z变换 X(z)收敛的所有 z值的集合称作 X(z)的收敛域,
2.收敛条件：
X(z)收敛的充要条件是 绝对可和。


Mznx
n
n)(即：
3.一些序列的收敛域
(1).预备知识阿贝尔定理,
如果级数,在收敛,那么,满足 0≤ |z|<|z+|的 z,级数必绝对收敛。 |z+|为最大收敛半径。
)0(zz?
0
)(
n
nznx
]Re[z
]Im[ zj
z
]Re[z
]Im[ zj
z
同样,对于级数,满足的 z,级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
0
)(
n
nznx
zz
0 n2n1
(n)
.,
,x(2).有限长序列

n
nnnnx
nx
其他,0
),(
)( 21;)(,)()( 21
2
1
nnnznxznxzX n
n
nn
n
,若?;)( 21 nnnznx n,是有界的，必有考虑到平面”。即所谓“有限
，外的开域也就是除所以收敛域
，则只要时，同样，当
，则只要时，因此，当
z
zzz
zzzzn
zzzzn
nnn
nnn
),0(,00
,0
0,/10





]Re[z
]Im[ zj
1
1
,0
),(
)(
nn
nnnx
nx


1 1
1
0
)()()()(
nn nn n
nnn znxznxznxzX
x(n)
n0n1.,1
...
3,右边序列
*第一项为有限长序列，第二项为 z的负幂级数,
xR
]Re[z
]Im[ zj
收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为 0<|z|<∞;
第二项为 z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,
其收敛域为 Rx-<|z|≤∞;
两者都收敛的域亦为 Rx-<|z|<∞;
Rx-为 最小 收敛半径。
(4)因果序列它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定理可知收敛域为：
0,0
0),(
)(
n
nnx
nx
zR x




2
2
1
0
)()(
)()(
n
n
n
n
n
n
n
n
znxznx
znxzX
(5)左边序列
2
2
,0
),(
)(
nn
nnnx
nx
x(n)
0 nn2
xRz0故收敛域为
z0
xR
]Re[z
]Im[ zj
xRz
第二项为有限长序列,其收敛域 ;
第一项为 z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,
其收敛域为 ;
为 最大 收敛半径, xRz0
双边序列指 n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即 左 边序列 和右 边序列之和。





0
1
)()()()(
n n
nn
n
n znxznxznxzX
(6)双边序列
0 n
x
第二项为左边序列，其收敛域为：
第一项为右边序列 (因果 )其收敛域为：
xRz0
xRz
xR
]Re[z
]Im[ zj
xR
当 Rx-<Rx+时，其收敛域为
xx RzR
)()( nnx
021 nn
1)()]([ 0

ZZnnZ n
n

其收敛域应包括即 充满 整个 Z平面。
,,0 zz
,0 z
[例 2-1] 求序列 的 Z变换及收敛域。
解：这相当 时的有限长序列，
n
n
nn
nnn
n
n
azazaz
azzaznuazX
)()(1
)()()(
1211
0
1
0





)()( nuanx n?
当 时，这是无穷 递缩 等比级数。az?
为解析函数，故收敛。
外，为极点，在圆
。
)(
1
1
1
,
1
11
zX
azaz
az
z
azq
a
Sazq


[例 2-2] 求序列 的 Z变换及收敛域。
解：
*收敛域一定在模 最大 的极点所在的圆外。
]R e[ z
]Im [ zj
z
a0
收敛域,az?
[例 2-3]求序列 变换及收敛 域。






n
n
n n n
nnnnn
zbzbzb
zbzbznubnx
)()(
)1()(
1211
1
1
)1()( nubnx n
同样的，当 |b|>|z|时，这是无穷 递缩 等比级数，收敛。
]Re[z
]Im[ zj
b收敛域,bz?
*收敛域一定在模 最小 的极点所在的圆内。
bz
z
zb
zb
zX

1
1
1
)(故其和为
§ 2-3 Z反变换一,定义,
已知 X(z)及其收敛域,反过来求序列 x(n)
的变换称作 Z反变换。
)]([)( 1 zXZnx记作：
),(,)(
2
1
)(
,)()(
1





xx
c
n
xx
n
n
RRcdzzzX
j
nx
RzRznxzX
反：
正：
]Im[ zj
]Re[z
xR
xR
z变换公式,
C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线,
0
c
1.留数法由留数定理可知,





c
m
zz
nn
c
k
zz
nn
m
k
zzXsdzzzX
j
zzXsdzzzX
j
])([Re)(
2
1
])([Re)(
2
1
11
11
为 c内的第 k个极点,为 c外的第 m个极点，
Res[ ]表示极点处的留数。
mzkz
二,求 Z反变换的方法
2、当 Zr为 l阶 (多重 )极点时的留数：
r
r
zz
nl
rl
l
zz
n
zzXzz
dz
d
l
zzXs
])()[(
)!1(
1
])([Re
1
1
1
1
留数的求法：
1、当 Zr为 一 阶极点时的留数：
rr zz
nrZZn zzXzzzzXs ])()[(])([Re 11
[例 2-4] 已知解,
1）当 n≥ -1时,不会构成极点，所以这时
C内只有一个一阶极点 因此
4
4
1
,
)
4
1
)(4(
)(
2


z
zz
z
zX
)
4
1
)(4(
)(
1
1


zz
z
zzX
n
n
1?nz
4
1?
rz
1,4
15
1
4
1
4
)
4
1
(
)]
4
1
)(4/([Re)(
1
4
1
1


n
zzzsnx
n
n
z
n
，求 z反变换。
2） 当 n≤ -2时,X(z)zn-1中的 zn+1构成 n+1阶极点。
因此 C内有极点,z=1/4(一阶 ),z=0为 (n+1)
阶极点；而在 C外仅有 z=4(一阶 )这个极点,
2,4
15
1
4
1
4
)4(
)]
4
1
)(4/([Re)(
2
1
4
1


n
zzzsnx
n
n
z
n



2,4
15
1
1,4
15
1
)(
2
n
n
nx
n
n
因此
2.部分分式法有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。
有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。
部分分式：把 x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有 或的形式,其中 x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且 k是正整数。这时称各分式为原分式的,部分分式,。
kAx
a
)(? kBAxx
bax
)( 2
通常,X(z)可表成有理分式形式：
因此,X(z)可以展成以下部分分式形式其中,M≥ N时，才存在 Bn； Zk为 X(z)的各单极点，
Zi为 X(z)的一个 r阶极点。而系数 Ak,Ck
分别为：
i
N
i
i
M
i
i
i
za
zb
zA
zB
zX

1
0
1
)(
)(
)(


r
k
k
i
k
rN
k k
k
NM
n
n
n zz
C
zz
AzBzX
1
1
1
1
0 )1(1
)(
rkzz
r
ikr
kr
k
zzk
i
k
z
zx
zz
dz
d
kr
C
z
zX
sA
2,1,
)(
)[(
)!(
1
]
)(
[Re


2,)5.01()21(1)( 11 zzzzX
5.02)5.0)(2(
)(
)5.0)(2()5.01)(21(
1
)(
21
2
11




z
A
z
A
zz
z
z
zX
zz
z
zz
zX的 z反变换。
[例 2-5]利用部分分式法，求解：
分别求出各部分分式的 z反变换（可查 P54
表 2-1），然后相加即得 X(z)的 z反变换。
5.03
1
23
4
)(
3
1
]
)(
)5.0[(
3
4
]
)(
)2[(
5.02
21




z
z
z
z
zX
z
zX
zA
z
zX
zA
z
z

0,0
0,)5.0(
3
1
2
3
4
)(
1.254
,2
n
n
nx
p
z
nn
得表查又
3.幂级数展开法 (长除法 )
因为 x(n) 的 Z变换为 Z-1 的幂级数，即所以在给定的收敛域内，把 X(z)展为幂级数，其系数就是序列 x(n)。
如收敛域为 |z|>Rx+,x(n)为因果序列，则 X(z)展成 Z的负幂级数。
若 收敛域 |Z|<Rx-,x(n)必为左边序列，主要展成
Z的正幂级数。




210
2
)2()1()0(
)1()2()()(
zxzxzx
zxzxznxzX
n
n
[例 2-6] 试用长除法求的 z反变换。
解,收敛域为环状，极点 z=1/4对应因果序列，极点 z=4对应左边序列 (双边序列 )
4
4
1
,
)
4
1
)(4(
)(
2


z
zz
z
zX
*双边序列可 分解 为因果序列和左边序列。
*应先展成 部分分式 再做除法。
15
1
4
1
4
4
1
]
)(
)
4
1
[(
15
16
4
1
4
4
]
)(
)4[(
4
12
41


z
z
z
zX
zA
z
zX
zA
4
14
)
4
1
)(4(
)( 21

z
A
z
A
zz
z
z
zX
)
4
14
16
(
15
1
4
115
1
415
16
)(
4
1
15/1
4
15/16)(

z
z
z
z
z
z
z
z
zX
z
zz
zX
4-Z)
4Z+Z + — Z + — Z + — Z +2 41 3 116 4 5164,..
16 Z
16 Z - 4 Z 2
4 Z
4 Z - Z
Z
Z - — Z
— Z
— Z - — Z
— Z
2
2 3
3
3 14
14
14
4
4
4 1
16 551
16,..
Z- — ) Z14
1+ — Z + — Z + — Z 14 -1 116 -2 164 -3...
Z- — 14
— 14
— 14 - — Z116 -1
— Z116 -1
— Z116 -1- — Z164 -2
— Z164 -2
— Z164 -2 - —— Z1256 -3
—— Z1256 -3...




0,)
4
1
(
15
1
1,)4(
15
1
)(
)
64164
1
4
41664
(
15
1
)(
2
321
2
345
n
n
nx
zzz
zz
zzz
zX
n
n
进而得：
得
§ 2-4 Z变换的基本性质和定理如果 则有：




yy
xx
RzRzYnyZ
RzRzXnxZ
,)()]([
,)()]([
*即满足 均匀性 与 叠加性 ；
*收敛域为两者 重叠 部分。
1.线性
),m i n (),m a x (
),()()]()([


yxyx RRzRR
zbYzaXnbynaxZ
[例 2-7]已知,求其 z变换。 )()c o s ()(
0 nunnx
1],
1
1
1
1
[
2
1
)]()[ c os (
1,
1
1
)]([
1,
1
1
)]([
,
1
1
)]([
)(][
2
1
)()c os (
110
1
1
1
0
00
0
0
0
0
0
0
00






z
zeze
nunZ
ez
ze
nueZ
ez
ze
nueZ
az
az
nuaZ
nueenun
jj
j
j
nj
j
j
nj
n
njnj


因此，
解：
2,序列的移位


xx
m RzRzXzmnxZ ;)()]([
如果 则有：
xx RzRzXnxZ,)()]([
[例 2-8] 求序列 x(n)=u(n)-u(n-3)的 z变换。
1,
1
11
)]([
1,
11
)]3([
1,
1
)]([
2
22
2
3



z
z
zz
z
z
z
z
nxZ
z
z
z
z
z
znuZ
z
z
z
nuZ?
3,Z域尺度变换 (乘以指数序列 )
xx
n RazRa
a
zXnxaZ ;)()]([
xx RzRzXnxZ,)()]([
如果,则证明：





xxxx
n
n
n
nnn
RazRaR
a
z
R
a
z
X
a
z
nx
znxanxaZ
即;;)())((
)()]([
4,序列的 线性加权 (Z域求导数 )
如果
xx RzRzXnxZ,)()]([
，则
xx RzRzXdz
dznnxZ,)()]([
证明：
dz
zdX
znnxZ
znnxzznnx
z
dz
d
nxznx
dz
d
dz
zdX
znxzX
n n
nn
n
n n
n
n
n
)(
)]([
)()(
)()(])([
)(
,)()(
11











即，
对其两端求导得
5,共轭序列的共轭序列。为其中，
，
)()(;)()]([
*
***
nxnx
RzRzXnxZ xx
如果
xx RzRzXnxZ,)()]([,则证明：;)(]))(([
]))(([)()]([
****
****








xx
n
n
n n
nn
RzRzXznx
znxznxnxZ
，
6,翻褶序列


xx R
z
Rz
XnxZ 11;)1()]([
如果
xx RzRzXnxZ,)()]([,则证明：









xx
xx
n
n
n n
nn
R
z
R
RzR
z
Xznx
znxznxnxZ
11
)
1
())((
)()()]([
11
即
，，
。，则对于因果序列 )(lim)0()( zXxnx z
7,初值 定理证明：
)0()(lim,
)2()1()0(
)()()()(
21
0
xzX
zxzxx
znxznunxzX
z
n n
nn







显然
8,终值 定理
1
1
)]([Re)]()1[(lim)(lim
1
)]([)()(


z
zn
zXszXznx
z
nxZzXnx
阶极点，则有处有一单位圆上在单位圆内，且只允许的极点，且对于因果序列证明：
（接下页）
得：为因果序列这一特性可利用







n
m
m
n
n
n
n
n
zmxmx
znxnxzXz
nx
znxnxzXznxnxZ
1
1
)]()1([lim
)]()1([)()1(
)(
)]()1([)()1()]()1([
又由于只允许 X(z)在 z=1处可能有一阶极点，故因子（ z-1)将抵消这一极点，因此 (z-1)X(z)在上收敛。所以可取 z 1的极限。 z1
)(lim)()1(lim
)(lim)]1([lim
)]}()1([)]0()1([]0)0({[lim
1)()1([lim)()1(lim
1
1
1
nxzXz
nxnx
nxnxxxx
mxmxzXz
nz
nn
n
n
m
m
nz









9,有限项累加特性

n
m
x
x
RzzX
z
z
mxZ
RznxZzXnx
0
]1,m a x [),(
1
)]([
,)],([)()(
则
，且对于因果序列证明：
，交换求和次序，得的取值范围分别为可知，
令
],[
],,0[,
)]([
)]([)]([),()(
0 0
00







nmm
nmn
zmx
mxZnyZmxny
n
n
m
n
n
m
n
m
]1,m a x [),(
1
)(
1
1
1
1
)(
)]()[(
)()]([)]([
00
11
0
21
00 00







x
m
m
m
m
m
m
m mn
n
n
n
n
m
n
m
RzzX
z
z
zmx
zz
zmx
zzzmx
zmxzmxmxZ
10.序列的卷积和 (时域卷积定理 )
],m i n [],m a x [
)()()]([)(
,)]([)(
,)]([)(
)()()()()(









hxhx
nn
xx
m
RRzRR
zHzXnyZzY
RzRnhZzH
RzRnxZzX
mnhmxnhnxny
则有：
，
，而且如果证明：
],m i n [],m a x [),()(
)(])([
])([)(
])([)(
)]()([
)]()([)]()([

















hxhx
m
m
l
ml
m
n
n
m
n
n
m
n
n
RRzRRzHzX
zHzmx
zzlhmx
zmnhmx
zmnhmx
znhnxnhnxZ
[例 2-9]
.),()()(
),1()()(),()( 1
abnhnxny
nuabnubnhnuanx nnn


求已知
)()]([)()()(
.
)()()(
)()()(;,
)]([)(;,)]([)(
1
1
nubzYZnhnxny
bz
zYzHzX
bz
z
bz
az
az
z
zHzXzY
bz
bz
az
bz
a
bz
z
bz
z
az
bz
z
nhZzH
az
az
z
nxZzX
n




的收敛域扩大，为的零点相消，的极点与解：
11.序列相乘 (Z域卷积定理 )
其中,C是在变量 V平面上,X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。
（证明从略）






nxnx
c
c
nnxx
RRzRRdvv
v
z
HvX
j
dvvvH
v
z
X
j
nyZzY
RzRnhZzHRzR
nxZzXnhnxny;)()(
2
1
)()(
2
1
)]([)(
)],([)(;
)],([)(),()()(
1
1
则有：
，
且如果
[例 2-10]
)].()([)(
),1()(),()( 1
nhnxZzY
nubnhnuanx nn

求已知;,
))((2
1
1
2
1
)]()([)(;,
1
)]([)(;,)]([)(




c
c
abzdv
bvzav
v
j
dv
b
v
zav
v
j
nhnxZzY
bz
bz
nhZzH
az
az
z
nxZzX
解：
，用留数可得：内只有一个极点因此围线重叠部分为，即为的收敛域，而的收敛域为
avc
b
z
va
b
z
vb
v
z
v
z
HavvX
;;
)()(
.,
]
))((
[Re
))((2
1
)(
abz
abz
a
bvz
v
bvzav
v
s
dv
bvzav
v
j
Y
av
av
c


12.帕塞瓦定理 (parseval)
其中,*” 表示复共轭，闭合积分围线 C在公共收敛域内。
（证明从略）

dHx
j
nhnx
c
n
1* )1()(
2
1
)()(


.1;,)]([)(;,)]([)(






nxnx
hh
xx
RRRR
RzRnhZzH
RzRnxZzX
且如果则有,
*几点说明：
。
为实序列时，则当

dHx
j
nhnx
nh
c
n
1)1()(
2
1
)()(
)(.1


。
则时，当围线取单位圆

deHeXnhnx
evvv
jj
n
j
)()(
2
1
)()(
,/11.2



尔公式（定理）。频谱求得。这就是帕塞这表明序列的能量可用
。时，则当
djXnxnxnh
n



22
)(
2
1
)()()(.3
§ 2-5 Z变换与拉氏变换、
傅氏变换的关系一,Z变换与拉氏变换的关系
1.理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号,为其理想抽样信号，
则
)(txa )(? txa















n n
nsT
a
n T s
a
n
st
a
st
n
a
st
aaa
enTxenTx
dtnTtenTx
dtenTtnTx
dtetxtxLsX
))(()(
)()(
)]()[
)(?)](?[)(
（



n
nsT
aaa enTxtxLsX ))(()](?[)(?因此，
序列 x(n)的 z变换为,考虑到
,显然，当 时，序列 x(n) 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。
)()( nTxnx a?
n
n
znxzX?

)()(
sTez?
)(?)()( sXeXzX asTez sT即
2.Z变换与拉氏变换的关系 ( S,Z平面映射关系）
S平面用直角坐标表示为：
Z平面用极坐标表示为：
又由于所以有：
因此,;这就是说，
Z的模只与 S的实部相对应,
Z的相角只与 S虚部 Ω 相对应。
Ter T,
TjTj eerez
sTez?
jrez?
js?
=0,即 S平面的虚轴 r=1,即 Z平面单位圆；
σ
→ σ
σ<0,即 S的左半平面 r<1,即 Z的单位圆内；→
>0,即 S的右半平面 r>1,即 Z的单位圆外 。→
j
→
0 0
(1).r与 σ 的关系 )( Ter
Ω = 0,S平面的实轴,ω= 0,Z平面正实轴；
Ω =Ω 0(常数 ),S:平行实轴的直线,ω= Ω 0T,Z:始于原点的射线；
Ω S:宽 的水平条带,ω 整个 z平面,
0
jIm[Z]
Re[Z]
T
3?
T
T

T
3
TTT
2),,(
(2).ω与 Ω 的关系（ ω=Ω T）
),(
ω
j
二,Z变换和傅氏变换的关系连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，
即我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴 S=jΩ
的特例,因而映射到 Z平面上为单位圆。因此,
这就是说,（抽样）序列在 单位圆 上的 Z变换,就等于理想抽样信号傅氏变换。
用数字频率 ω作为 Z平面的单位圆的参数，
ω表示 Z平面的辐角，且 。


k
aa TjkjXTjX )
2(1)(
)(?)()( jXeXzX aTjez Tj
jez?
T
，则考虑到 T
)(?)()( jXeXzX ajez j


k
aa TjkjXTjX )
2(1)(又
)2(1)()(?


k
a
j
ez T
kjX
T
eXzX j
所以，序列在单位圆上的 Z变换为序列的傅氏变换。
三,序列的傅氏变换




n
n
jn
ez
j
nx
enxzXexnxF j
)(
,)()()()]([
收敛条件为：




deex
dzzzX
j
nxeXF
njj
z
nj
)(
2
1
)(
2
1
)()]([
1
11
1.正变换,
2.反变换,
§ 2-6 傅氏变换的一些对称性质一、共轭对称序列与共轭反对称序列
1.共轭对称序列设一复序列，如果满足 xe(n)=xe*(-n)
则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。
设序列 其中 分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则再将 -n代入，则根据定义，则这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），
而虚部是奇对称序列（奇函数）。
*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。
)()()( njxnxnx eiere )()( nxnx eier 和
)()()(* njxnxnx eiere
)()()(* njxnxnx eiere
)()();()( nxnxnxnx eieierer
2.共轭反对称序列设一复序列，如果满足 xo(n)=-xo*(-n)
则称序列为共轭反对称序列。同样有：
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
*
*
*
njxnxnx
njxnxnx
njxnxnx
njxnxnx
oioro
oioro
oioro
oioro




根据定义，则 )()();()( nxnxnxnx
oioioror这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。
*特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。
二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和
)()()( nxnxnx oe即
)]()([)]()([)()( nxnxjnxnxnxnx oieioreroe
这是因为故有所证。构成任何序列的虚部。
可为实奇函数，它们之和实偶函数，
为列的实部；它们之和可构成任何序为实奇函数，为实偶函数，其中，
)(
)(
)()(
nx
nx
nxnx
oi
ei
orer
)]()([
2
1
)(
)]()([
2
1
)(
)()()()()(
)()()(
*
*
***
nxnxnx
nxnxnx
nxnxnxnxnx
nxnxnx
o
e
oeoe
oe




相减，则相加，则进行运算，则对序列三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和
)()()( jojej eXeXeX
其中，
)]()([
2
1
)(
)]()([
2
1
)(
*
*


jjj
o
jjj
e
eXeXeX
eXeXeX


四、两个基本性质
，则有如果 )]([)(.1 nxFeX j
)]([)( ** nxFeX j
证明：
)(]))([(
])([)()]([
**
***


jnj
n
nj
n
nj
n
eXenx
enxenxnxF






，则有如果 )]([)(.2 nxFeX j
)]([)( ** nxFeX j
证明：
)(])([
)()()]([
**
***


jnj
n
nj
n
nj
n
eXenx
enxenxnxF






五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系
)() } ]([ R e {?je eXnxF?即，
1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部证明：
)(
)]()([
2
1
)]}({ R e [
)]()([
2
1
)](R e [
*
*

j
e
jj
eX
eXeXnxF
nxnxnx


2.序列的 j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部
)() } ](I m {[?jo eXnxjF?即，
证明：
)(
)]()([
2
1
)]}(I m [{
)]()([
2
1
)](I m [
*
*

j
o
jj
eX
eXeXnxjF
nxnxnxj


六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、
虚部的关系
1.序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部
)()]([?jRe eXnxF?即，
证明：
)(
)]()([
2
1
)]([
)]()([
2
1
)(
*
*

j
R
jj
e
e
eX
eXeXnxF
nxnxnx


2.序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以 j。
)()]([?jIo ejXnxF?即，
)(
)]()()()([
2
1
)]()([
2
1
)]([
)]()([
2
1
)(
*
*


j
I
j
I
j
R
j
I
j
R
jj
o
o
ejX
ejXeXejXeX
eXeXnxF
nxnxnx



证明：
七,序列为实序列的情况
、奇函数。为奇序列、奇对称序列
、偶函数；为偶序列、偶对称序列
)(
)(
)()()(.1
nx
nx
nxnxnx
e
e
oe

)()(),()(.4
)]()([
2
1
)(.3
)]()([
2
1
)(.2
**
nxnxeXeX
nxnxnx
nxnxnx
jj
o
e




的共轭。
换等于其傅氏变换即序列翻褶后的傅氏变
)()]([.5
*?j
eXnxF
)](I m [)](I m [)](I m [
)](R e [)](R e [)](R e [
.6
*
*


jjj
jjj
eXeXeX
eXeXeX




奇函数，即是的实序列傅氏变换的虚部同样，
偶函数，即是的实序列傅氏变换的实部
)](a r g [
)]}(R e [/)](I m [a r g {
)]}(R e [/)](a r g { I m [
)](a r g [)](a r g [
)()()(
.7
**
*
*




j
jj
jj
jj
jjj
eX
eXeX
eXeX
eXeX
eXeXeX






奇函数，即是的实序列傅氏变换的幅角同样，
偶函数，即的实序列傅氏变换的模是
8.实序列也有如下性质：
)(I m [)()]([
)](R e [)()]([


jj
Io
jj
Re
eXjeXnxF
eXeXnxF


线性移不变系统
h(n)为单位抽样响应h(n)x(n) (n)y
)(
)()(),()()(
zX
zYzHzHzXzY
H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆 上的系统函数就是系统的频率响应。
§ 2-7 离散系统的系统函数及频率响应
jez?
一,系统函数,
我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是 h(n)必须满足绝对可和,∑| h(n)|<∞ 。
z变换 H(z)的收敛域由 满足 ∑| h(n)z-n|<∞
的那些 z值确定。如单位圆上收敛，此时则有
∑| h(n)|<∞,即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。
因果系统的单位抽样响应为因果序列,其收敛域为 R+<|z|≤∞ ；而因果 稳定 系 统的系统函数收敛域为 1≤| z|≤∞,也就是说,其全部极点必须在单位圆内。
二,因果稳定系 统三,系统函数和差分方程的关系





N
k
k
k
M
m
m
m
M
m
m
m
M
k
k
k
M
m
m
M
k
k
za
zb
zX
zY
zH
zXzbzYza
mnxbknya
0
0
00
00
)(
)(
)(
)()(
)()(

M
k
k
M
m
m
zd
zc
K
zX
zY
zH
1
1
1
1
)1(
)1(
)(
)(
)(
线性移不变系统常用差分方程表示：
取 z变换得：
对上式因式分解，令得：
,/0 0K a b?
四,系统的频率响应的意义系统的 单位抽样响应 h(n)的傅氏变换也即单位上的变换 称作系统频率响应。
)()()(
)()()(
)()()(
jjj eHeXeY
zHzXzY
nhnxny

也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。
)(?jeH
nj
n
j enheH

)()(
对于线性移不变系统：
五,频率响应的几何确定
1.频响的零极点表达式
)](a r g [
1
1)(
1
1
1
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)1(
)1(
)(

j
eHjj
N
k
k
j
M
m
m
j
MNjj
N
k
k
M
m
m
MN
N
k
k
M
m
m
eeH
de
ce
KeeH
dz
cz
Kz
zd
zc
KzH


kj
kkk
j
mj
mmm
j
N
k
k
j
M
m
m
jj
N
k
j
M
m
m
j
j
ede
ece
MNde
ceKeH
dke
ce
KeH









1
1
1
1
)(]a r g [
]a r g []a r g [)](a r g [
)(;)(
1
1

N
k
m
M
m
m
j KeH
因此，




M
m
N
k
km
j
MN
KeH
1 1
)(
]a r g [)](a r g [

模：
相角：
极点指向向量。极点向量，
零点指向向量；零点向量，
kk
mm
d
c


2.几点说明
(1),表示原点处零极点，它到单位圆的距离恒为 1，故对幅度响应不起作用只是给出线性相移分量 ω(N-M)。
(2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的位置与深度有明显影响，当零点位于单位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。
(3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位置和高度有明显影响。极点在圆外，系统不稳定。
)( mnz?
零点在单位圆上 0,处；极点在,处 。
2
2
3?
ω0
2

2
32
)(?jeH
。。
[例 2-14] 设一阶系统的差分方程为,
[解 ],对差分方程两边取 Z变换,
,a为实数,求系统的频率响应。 1),1()()( anaynxny
az
azX
zY
zH
zXazYzyazzXzY



,
1
1
)(
)(
)(
)()1)((),()()(
1
11
这是一因果系统，其单位抽样响应为而频率响应为,
幅度响应为,
相位响应为,
)s inc os1/(1
c os1
1
1
1
)()(

jaa
aae
zHeH
j
ez
j
j

);()( nuanh n?
2
1
2 )c o s21()( aaeH j
])c o s1( s i n[)](a r g [ 1 aatgeH j
0
1
1 2 3 4 5 6 7 8 n
零极点分布情况 0 ω
ω0
2

2
32
2
-1 0 a 1
az
zzH
)(
)](arg[?jeH
)(?jeH
a?1
1
000:)(a r g
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
:)(
2
2
3
2
0:
11
22
atgatgeH
aaaaa
eH
j
j



][zjIm
][zRe
)()( nuanh n?
六,IIR系统和 FIR系统
1.无限长单位冲激响应 (IIR)系统如果一个离散时间系统的单位抽样响应 h(n)
延伸到无穷长,即 n→∞ 时,h(n)仍有值,这样的系统称作 IIR系统。




M
k
k
M
m
m
k
k
M
k
k
m
M
m
m
k
M
k
k
m
M
m
m
knyamnxbny
a
za
zb
za
zb
zH
10
1
0
0
0
)()()(
0
1
)(
，序列就是无限长的。只要有一个
2.有限长单位冲激响应 (FIR)系统
h(n)为有限长序列的系统。


M
m
m
k
M
m
m
m
mnxbny
NkazbzH
0
0
)()(
),,2,1(0;)(?