§ 5-1 数字滤波器结构的表示方法一,数字滤波器的概念
１,滤波器：
指 对输入信号起滤波作用的装置 。
,对其进行傅氏变换得,
)(nx
)(ny
)()()( nhnxny
)()()( eHeXeY jjj
)(nh
2、当输入、输出是离散信号，
滤波器的冲激响应是单位抽样响应 h（ n） 时，
这样的滤波器称作 数字滤波器 。
πωc ω
)(?jeX
0
0 ω
c π
ω
)(?jeY
0 ωc π ω
)(?jeH
H(ejω)为矩形窗时的情形二、数字滤波器的系统函数与差分方程

N
k
k
M
k
k
za
zb
zX
zY
zH
k
k
1
0
1
)(
)(
)(
H(z)X(z) Y(z)
1、系统函数
2、差分方程对上式进行 Z反变换，即得



N
k
M
k
kk knxbknyany
1 0
)()()(
3、滤波器的功能与实现滤波就是对输入序列 （ n）进行一定的运算操作。
从而得到输出序列实现滤波从运算上看,只需三种运算：
加法、单位延迟、乘常数 。
因此实现的方法有两种：
（ 1）利用通用计算机编程，即软件实现 ;
（ 2）数字信号处理器（ DSP）即专用硬件实现。
x
)(ny
三、数字滤波器的结构表示法
1、方框图法方框图法简明且直观，其三种基本运算如下图所示：
单位延时,
(n)
乘常数,
(n） a
x
z-1
a
)1(?nx
y )(ny
相加,
例如：
)()1( nxny
)1(?ny
)(nx
)()2()1()( 021 nxbnyanyany
x(n) b0
b0x(n)
y(n)
1?Z
1?Z
1a
)1(1?nya
2a
)2(2?nya
)1(?ny
)2(?ny
)()2()1()( 021 nxbnyanyany
2、信号流图法三种基本的运算：
单位延时：
乘常数：
相加：
这种表示法更加简单方便。
1?Z
a
几个基本概念：
a）输入节点或源节点,所处的节点；
b）输出节点或阱节点,所处的节点；
c）分支节点，一个输入，一个或一个以上输出的节点；将值分配到每一支路 ;
d）相加器（节点 )或和点，有两个或两个以上输入的节点。
*支路不标传输系数时，就认为其传输系数为 1；
任何一节点值等于所有输入支路的信号之和。
)(nx
)(ny
1
例如，
和点,1,5；分点,2,3,4；源点,6；阱点,7
)(nx
)2()1( 21 nyanya
0b 2 )(ny
35
4
1?Z
1?Z
)1(?ny
)2(?ny
1a
2a
)2(2?nya
)()2()1()( 021 nxbnyanyany
6 7
a1y(n-1)
y(n)
§ 5-2 无限长单位冲激响（ IIR）滤波器的基本结构一,IIR滤波器的特点
1、单位冲激响应 h（ n） 是无限长的。
2、系统函数 H（ z） 在有限 Z平面（ ）
上有极点存在。
3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。
Z0
二、基本结构
1、直接 I型
（ 1）系统函数

N
k
k
M
k
k
za
zb
zX
zY
zH
k
k
1
0
1
)(
)(
)(
（ 2）差分方程（ N阶）


N
k
M
k
knxbknyany kk
1 0
)()()(
(3)结构流图
按差分方程可以写出。
)1(?nx
)(nx
z1?
z1?
z1?
)2(?nx
)1( Mnx
)( Mnx?
b0
b1
b2
bM1?
bM
a1
a2
aN1?
aN
)(ny
)1(?ny
)1( Nny
)( Nny?
)2(?ny
z1?
z1?
z1?
(4)特点第一个网络实现 零点,即实现 x(n)加权延时,
)(
0
knxb
N
k
k
第二个网络实现 极点,即实现 y(n)加权延时,
N
k
k knya
1
)(
可见，第二网络是输出延时，即反馈网络。
*共需（ M+N）个存储延时单元。
)(nx
2直接 II型（正准型 ）
z1?
a1
a2
aN 1?
z1?aN
z 1?
z1?
z1?
b0
b1
b2
bM 1?
bM
)(ny)(' nx
z1?
z1?
b0
b1
b2
bM 1?
bM
)(ny)(nx
aN 1?
aN z
1?

N
k
k nxknxanx
1
)()(')('

M
k
k knxbny
0
)(')(
a1
a2
z1?
z1?


N
k
k
k
M
k
k
k
N
k
k
k
M
k
k
k
N
k
k
k
za
zb
zX
zY
zH
za
zX
zX
zbzXzY
zXzazXzX
Z
1
0
1
0
1
1
)(
)(
)(
1
)(
)('
)(')(
)()(')('
因此，
变换：对以上两式进行
3、级联型先将系统函数按零、极点进行因式分解







1 2
21
1 1
111
1
11
1
1
1
0
)1)(1()1(
)1)(1()1(
1
)(
N
k
N
k
M
k
M
k
N
k
k
k
M
k
k
zdzdzc
zqzqzp
A
za
zb
ZH
kkk
kkkk
其中,pk为实零点,ck为实极点； qk,qk*表示复共轭零点,dk,dk*表示复共轭极点,M=M1+2M2,N=N1+2N2
再将共轭因子展开，构成实系数二阶因子，
则得






1
1
2
1
1
1
2
1
)1()1(
)1()1(
)(
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
N
k
N
k
M
k
M
k
zzzc
zzzp
AzH
kkk
kkk


为了方便，分子取正号，分母取负号；这样，流图上




k k
k
kk
kk zHA
zz
zz
AzH )(
1
1
)(
2
2
1
1
2
2
1
1


最后，将两个一阶因子组合成二阶因子（或将的系数均为正。
一阶因子看成是二阶因子的退化形式），则有当（ M=N=2）时
2
21
1
11
2
21
1
11
1
1
)(




zz
zz
AzH


A
B
11?
21?
11?
21?
1?Z
1?Z
)(nx )(ny
当（ M=N=4）时
2
22
1
12
2
22
1
12
2
21
1
11
2
21
1
11
1
1
1
1)(








ZZ
ZZ
ZZ
ZZAZH




当（ M=N=6）时
2
23
1
13
2
23
1
13
2
22
1
12
2
22
1
12
2
21
1
11
2
21
1
11
1
1
.
1
1
.
1
1
)(











ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
AZH






特点：
kk 21, 仅影响第 k对零点，同样 kk 2,1
仅影响第 k对极点，便于调节滤波器的频率特性。
所用的存储器的个数最少。
A
11?
21?
1?Z
1?Z 1?Z
1?Z11?
12?
22?
12?
22?
13?
23?
13?
23?
nx )(ny
21?
Z-1Z-1
1?Z
。；





1 2
1 1 0
1*1
1
1 )1)(1(
)1(
1
)(
N
k
N
k
NM
k
k
k
kk
kk
k
k ZG
ZdZd
ZgB
Zc
AZH
注意,*如果有奇数个实零点，则有一个 02?k? ；
同样，如果有奇数个实极点，则有一个 0
2?k?*通常 M=N时，共有 [（ N+1） /2]节，符号 [(N+1)/2]
表示取（ N+1)/2的整数。
4.并联型将 H（ Z）展成部分分式形式,
其中,kkkkk GcgBA,,,,均为实数,*
kd
与
kd
复共轭当 M〈 N时，不包含
NM
k
k
k ZG
0
项； M=N时，该项为 G。




]2/)1[(
1
]2/)1[(
1
02
2
1
1
1
10
0 )(1)(
N
k
N
k
k
kk
kk ZHG
ZZ
ZGZH


当 M=N时，将两个一阶实极点合为一项，将共轭极点化成实系数二阶多项式,H（ Z） 可表为当 N为奇数时，包含一个一阶节，即
012 kk
例,M=N=3时，为奇数，故 0
1121
)()()(
11
)( 321
2
22
1
12
1
1202
1
11
01
0 zzz
ZZ
Z
GZH HHH
Z






所以：
)()]()()([)( 321 ZXZHZHZHZY
其结构图如下：
X(Z)
0G
)1/()( 111 ZZX?
01?
11?
1?Z
12?
22?
1?Z
1?Z
12?
Y(z)
)(nx )(ny
02?
1?Z
三、转置定理如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入和输出交换其系统函数仍不改变。
（原网络）
0b
1a
2a
1?Na
Na
1?Z
1b
2b
1?Mb
Mb
)(nx )(ny1?Z
1?Z
1?Z
1a
2a
1b
2b
1?Na
Na
1?Mb
1?Z
1?Z
)(ny
)(nx
（ 转置 后的网络）
0b
Mb
1?Z
1?Z
h(n)为一个 N点序列,Z=0处为（ N-1）阶极点，
5-3 FIR滤波器的基本结构一、特点：
1,h（ n） 在有限个 n值处不为零。
2,H（ z） 在
0?z
处收敛，极点全部在 Z=0处。
3、非递归结构。

1
0
)()(
N
n
nZnhZH
z,有（ N-1）阶零点。
二、基本结构
1、横截型（卷积型、直接型）

1
0
)()()(
N
m
mnxmhny
它就是线性移不变系统的卷积和公式
1?Z 1?Z 1?Z
h(0) h(1) h(2) h(N-2) h(N-1)
)(nx
)(ny
用转置定理可得另一种结构
2、级联型将 H（ Z） 分解为实系数二阶因子的乘积形式



1
0
]2/[
1
2
2
1
10 )()()(
N
n
N
k
kkk
n ZZZnhZH
1?Z 1?Z 1?Z 1?Z
h(N-1) h(N-2) h(N-3) h(2) h(1) h(0))(nx
)(ny
注,[N/2]表示取 N/2的整数部分，如
*N为偶数时,N-1为奇数，这时因为有奇数个根，
所以 k2? 中有一个为零。
当 N为奇数时的结构如下：
123,3N
zzzHN 22111101)(,3时
zzzX zY 22111101)( )(
)2()1()()( 211101 nxnxnxny
特点：每节结构可控制一对零点。
所需系数
ik?
多，乘法次数也多。
01?
11?
21?
1?Z
1?Z
1?Z
1?Z
1?Z
1?Z
02?
12?
22?
]2[0 N?
]2[1 N?
]2[2 N?
)(nx
)(ny
一般情况：
3、频率抽样型从略
4、快速卷积结构如果,的长为 N1,h（ n） 的长为 N2。
将 补 L-N1个零值点,h（ n） 补 L-N2零值点，
只要 L N1+ N2-1,就有由卷积定理得 Y（ k） =X（ k） H（ k）
所以有
)(nx
)(nx
20),()()()()( 21 NNnnhnxnhnxny
)()()]()([)]([)( nhnxkHkXI D FTkYI D FTny
这样，就可以得到 FIRDF的快速卷积结构这里的 DFT和 IDFT均可以利用 FFT算法。
h(n)
L点
DFT
L点
DFT
X(k)
H(k)
Y(k) L点
IDFT
)(nx
)()()( nhnxny
作业,226页
1； 2； 4； 8