5-5 一阶电路的全响应全响应：由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应。
下面讨论 RC串联电路在直流电压源作用下的全响应。已知,uC(0-)=U0。
t=0时开关闭合。
为了求得电容电压的全响应，以
uC(t)为变量，列出电路的微分方程
)0(
d
d
SC
C tUu
t
uRC
i
C
R
t=0+U
s
-
+
uC(0-)=U0
-
其解为 S CpChC e)()()( UAtututu RC t
代入初始条件 uC(0+)=uC(0-)=U0，可得
S0C )0( UAUu
求得 S0 UUA
则：
稳态响应瞬态响应全响应强制响应固有响应全响应
)0(e)()(
e)()()()(
S
S0C
S
S0CpChC
tUUUtu
UUUtututu
t
RC
t
也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。这是线性动态电路的一个基本性质，是响应可以叠加的一种体现。
上式可改写为零状态响应全响应＝零输入响应＋
)0()e1(e)(
S
0C
tUUtu
tt
t
uC(t)U
0
US
US <U0
uCzi(t)
uCzS(t)
t
uC(t)U
0
US
US <U0
uCp(t)
uCh(t)U0 -US
uC(t)=uCh(t)+uCp(t) uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)
5-6 一阶电路的三要素法
iS
G L
iL
C
+
uS
-
R
+
uC
-
0C
SC
C
)0(
)0()(
d
)(d
Uu
tutu
t
tu
RC
0L
SL
L
)0(
)0()(
d
)(d
Ii
titi
t
ti
GL
若用 r(t)来表示电容电压 uC(t)和电感电流 iL(t),上述两个电路的微分方程可表为统一形式
)0(
)0()()(
d
)(d
r
ttwtr
t
tr
r(0+)表示电容电压的初始值 uC(0+)或电感电流的初始值 iL(0+)；? =RC 或?
=GL=L/R； w(t)表示电压源的电压 uS或电流源的电流 is。 其 通解为
)(e)()()(
ph trAtrtrtr p
t
因而得到一阶电路任意激励下 uC(t)和 iL(t)
响应的公式
t=0+代入，得,)0()0( prrA
0,e)]0()0([)()(
p
trrtrtr
t
p
推广应用于任意激励下任一响应在直流输入的情况下,t时，
rh(t)?0,rp(t)为常数,则有
)0()()(p prrtr因而得到
0,e)]()0([)()(
trrrtr
t
r(0+) —— 响应的初始值
r(?) —— 响应的终值，
—— 时间常数?=RC,?=L/R
三要素：
t
r(t)
r(?)
r(0+) r(?)>r(0
+)
t
r(t)
r(0+)
r(?)
r(?)<r(0+)
三要素公式的响应波形曲线可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值 r(0+) 开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值 r(?)，响应的快慢取决于的时间常数?。
注意,（ 1） 直流激励； （ 2）一阶电路任一支路的电压或电流的（全）响应； （ 3）适合于求零输入响应和零状态响应。
直流激励下一阶电路的全响应取决于
r(0+),r(?)和? 这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应，而不必建立和求解微分方程。这种方法称为三要素法。
三要素法求直流激励下响应的 步骤,
1.初始值 r(0+)的计算 （换路前电路已稳定） (1) 画 t=0-图，求初始状态：电容电压 uC(0-)或电感电流 iL(0-)。
(2)由换路定则，确定电容电压或电感电流初始值，即 uC(0+)=uC(0-)和
iL(0+)=iL(0-)。
(3)画 0+图，求其它初始值 —— 用数值为 uC(0+)的电压源替代电容或用 iL(0+)的电流源替代电感，得电阻电路再计算
2,稳态值 r(?)的计算 (画终了图 )
根据 t>0电路达到新的稳态,将电容用开路或电感用短路代替,得一个直流电阻电路,再从 稳态图 求稳态值 r(?)。
3，时间常数? 的计算 (开关已动作 )
先计算与电容或电感连接的电阻单口网络的输出电阻 Ro，然后用公式?=RoC 或
=L/Ro计算出时间常数。
4，将 r(0+),r(?)和? 代入三要素公式得到响应的一般表达式。
注意点：三要素公式可以计算全响应、
零输入响应分量和零状态响应。但千万不要认为
t
CCC
t
C
t
C
t
S
t
C
euuu
eueu
eUeUtu
1
11
11
0
)]()0([)(
)1)(()0(
)1()(
就推广到一般，得出结论，所有的响应
r t r ezs t( ) ( )( )1
1
应该是：
r t r ezi t( ) ( )0
1
r t r ezi zi t( ) ( )0
1
r t r r r ezs zs t( ) ( ) [ ( ) ( )]0
1
如求全响应 。
+
－
R
SU
0)0( Uu C C
+
－
i tC( )
i tC( )
+
－
R
SU
0U
+
－
iC ( )0?
r i i iC C z i C z s( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0
图0?
外激励引起内激励引起从另一个角度说：
只有 电容电压 和 电感电流,只要知道全响应表达式，就可以把它 分成 零输入响应
(分量 )和零状态响应 (分量 ) 。
否则，在仅知道全响应的表达式时，无法将零输入响应 (分量 )和零状态响应 (分量 )
分开。非要知道电路，画出 零输入的图 或 零状态的 图,求出零输入响应 或 零状态响应来才行。
0?
0?
例 16 电路原处于稳定状态。求 t? 0 的
uC(t)和 i(t)，并画波形图。
解,1,计算初始值 uC(0+),i(0+)
开关闭合前，电路已稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入 4?电阻中，
V824)0(Cu
uC+
-0.1F4? 4?
2? i
10V
+
-
2A
t=0
由于开关转换时，电容电流有界，电容电压不能跃变，故
V8)0()0( CC uu
画 0+图如右
8V
+
-4? 4?
2? i(0+)
10V
+
-
2A
A1
2
810
2
)0(10)0( C ui
2,计算稳态值 uC(?),i(?)
7V5210
4//42
4//42)2//4//4()(
Cu
A5.1
2
710
2
)(10)( C ui
10VuC (?)+
-4? 4?
2? i(?)
+
-
2A换路后，经一段时间，重新达到稳定，电容开路，终值图如右，运用叠加定理得
3,计算时间常数?
计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联
12//4//4oR
时间常数为 s1.01.01o CRτ
10V
i(t)
uC+
-4? 4?
2?
+
-
2A
4，将初始值、终值及时间常数代入三要素公式，得到响应表达式：
)0(V17)78(7)( 1010C teetu tt
)0(Ae5.05.1e)5.11(5.1)( 1010 tti tt
下面看响应过程 —— 波形
t
i(t)
1.5
1
5/3
uC(t)
t
8
7
0
例 17 求 u(t)和 i(t)。
已知：
uC
-
4?
0.01F
4? +2A
i + 2i -
+ u - t=0
0)0(Cu
解,1,计算初始值 uC(0+),i(0+)
零状态电路，由换路定则得：
0)0()0( CC uu
画 0+图如右,
用节点法 4? 4?2A
i(0+)+ 2i (0+) -
+ u (0+) -a
b
)0()0(4
4
)0(2
2)
4
1
4
1
)(0(
ab
ab
ui
i
u
解得,V2.3)0(A8.0)0( ab ui
则,V8.4)0(u
2,计算稳态值 u(?),i(?)
t?，电路重新达到稳定，
电容开路，终值图如右，得：
4? 4?2A
i(? ) + 2i (? ) -
+ u (? ) -
A2)(0)( iu
时间常数为 sCR eq 1.0
代入三要素公式得：
)0(V8.4)( 10 tetu t
)0(Ae2.12e)28.0(2)( 1010 tti tt
3,计算时间常数?
电容相连接的电阻网络如右图，用加压求流法得：
4? 4?
i + 2i -Req
10eqR
例 18 求 u(t)。已知,A2)0(,V1)0(
C Liu
解：电路可分成两部分分别求响应,然后迭加 。
)()()( LC tututu
uC-
1? 0.5F
2?
+
1A
+ u -t=0
1H i
L
2?
+
u(t)
_
RC部分：
V1)0()0( CC uu
uC-
1? 0.5F
2?
+
1A
t=0
1H
2?
+
u(t)
_uL-
+uC+
-0.5F2?
1A
s1
V2)(C
RC
u
C?
所以
0Ve2)(C ttu t
RL部分：
A2)0()0( LL ii
uC-
1? 0.5F
2?
+
1A
t=0
1H
2?
+
u(t)
_uL-
+
s5.0/
0)(
V2)0(
L
L
RL
u
u
L
所以
0Ve2)( 2L ttu t
uL
+
-1H2?
1A
0Ve2e2
)()()(
2
LC
t
tututu
tt
例 19 开关在 a时电路已稳定。 t=0倒向
b,t=R1C倒向 c，求 t?0的 iC(t)并画波形解,t<0 时,
uC(0-)=0 。 第一次换路后由换路定则得：
0)0()0( CC uu
iC(t)
CR2
R1
Us
+
-
ab
c
iC(t)
C
R1
Us
+
- CR
Uu
11
SC )(
0)(
)0(
1
C
C
S
i
R
U
ii
C(t)
C
R1
Us
+
-
CRteUtu
tCR
1
1
SC 0)1()(
1
CRt
R
U
ti
t
CR
1
1
1
S
C 0Ae)(
1
)1()( 1S1C eUCRu
t=R1C时,第二次换路,由换路定则得：
CRRi
eU
RR
CRi
C )(0)(
)1(
1
)(
212
1
S
21
1C
)1()()( 1S1C1C eUCRuCRu
iC(R1C+)
R1
R2
+
US(1-e-1)
-
得 t=R1C+
图如上：
CRte
RR
eU
ti CRR
CRt
1
)(
21
1
S
C
21
1)1(
)(?
CRte
RR
eU
ti CRR
CRt
1
)(
21
1
S
C
21
1)1(
)(?
CRt
R
U
ti
t
CR
1
1
1
S
C 0Ae)(
1
t
iC
US/R1
21
1
S )1(
RR
eU
1
1
2
例 20 原电路已稳定。求 t?0的 iL(t)和
uC(t)。
解：求初始状态
A1)0(V3)0( LC iu
uC-0.5F
1? iL 6?
10V
+
-
t=0
0.1H
+2V
-
+ 3?2?
换路后，电路可分成两部分
uC-0.5F
1? iL 6?
10V
+
-
0.1H
+2V
-
+
3?
2?
2V
-
+
s2s1.0/
V3/2)(A8)( CL
RCRL
ui
CL
VuuAii 3)0()0(1)0()0( CCLL
所以 0Ve78)( 10
L tti t
0Ve
3
7
3
2)( 5.0
C
ttu t
5-7 一阶电路的特殊情况分析
1.R＝ 0或 G＝ 0的情况；
2.特殊情况 —— 电路含全电容回路或全电感割集；
电容电压和电感电流不连续，即跳变 —— 换路定则失效。
求初试值依据 —— 瞬间电荷守恒，
磁链守恒
3.所谓,陷阱”。
例如：电路原已稳定，求开关动作后的电流 i。
+
10V-ii
L t=0
5?5?1H
解,t i A
L0 0 2,( )
由换路定则：
t i AL0 0 2,( )
R 0 0得如果认为
R 0 0
用三要素公式，得 i
L ( ) 0 L
R 0
A2)(
0 t
L
R
L eti
取极限，得
A2)(?ti L
最后，得 A022)(ti
可见，采取极限的方法，三要素公式仍然是成立的。
对偶地，储存电场能电容的情况。
+
－ 2V R 0
V22)(
1
t
RC
C etu
例 21 已知,uC1(0-)=U1,uC2 (0-)=U2
，试求 uC1(0+),uC2(0+)
解：开关闭合后，
两个电容并联，按照
KVL的约束，两个电容电压必相等，即,)0()0( C2C1 uu
再根据在开关闭合前后节点的总电荷守恒定律，可得
)0()0()0()0( C22C11C22C11 uCuCuCuC
t=0
C1 C2
+
uC 1(t)
-
+
uC 2(t)
-
联立求解以上两个方程，代入数据得
21
2211
C2C1C )0()0()0( CC
UCUCuuu
当 U1?U2时，两个电容的电压都发生了跳变,uC1(t)由 U1变为 uC(0+),uC2(t)
则由 U2变为 uC(0+) 。从物理上讲，这是因为两个电容上有电荷移动所形成的结果，由于电路中电阻为零，电荷的移动迅速完成而不需要时间，从而形成无穷大的电流，造成电容电压发生跃变。
如果，改变为等效电路的方法。
C
+ －
0U
原题目的 图简化为
C
+ －
0U
+ －
V0
0
21
1
2 )0( UCC
C
u C
0?
+
－
C1
0U
2Cu
C2 +
－
例 22 原电路已稳定，试求 iL1(t),
iL2(t),t>0 L
1 L2
+
US-
R1
iL1 iL2
R2
t=0
解：（ 1）求初始值：换路前，电路已稳定：
0)0()0( L2
1
S
L1
i
R
Ui
换路后，全电感割集，磁链守恒
)0()0(
)0()0()0()0(
)0()0(
L2L1
L22L11L22L11
ii
iLiLiLiL
… …
1
S
21
1
L2L1 )0()0( R
U
LL
Lii?
（ 2）求稳态值：
21
S
L2L1 )()( RR
Uii
（ 3）求时间常数：
21
21
RR
LL
（ 4）代入三要素公式
0tAe][
)()(
21
21
21
S
1
S
21
1
21
S
L2L1
t
LL
RR
RR
U
R
U
LL
L
RR
U
titi
例 23 图示 RC分压器电路原已稳定。试求 t>0时 uC2(t),
R1
R2
C1
C2
t=0
+
US
-
+
uC2(t)
-
+ uC1(t) -
a
解：将图中的电压源置零后，电容 C1
和 C2并联等效于一个电容，说明该电路是一阶电路，三要素法仍适用。
为使 uC2(t)
无过度过程,C1取何值？
（ 1）求时间常数：换路后，电源置零得下图。其时间常数为
)( 21
21
21
oo CCRR
RRCR?
τ R
1//R2
C1+C2
（ 2）求初始值,在 t<0时，电路处于零状态,uC1(0-) =uC2(0-)=0。
S2C1C )0()0( Uuu
此式说明电容电压的初始值不再为零，
发生跃变，因为 含全电容回路，换路定则失效，要用电荷守恒。对 节点 a可得
0)0()0()0()0( 2C21C12C21C1 uCuCuCuC
换路后,在 t=0+时刻，两个电容电压应满足 KVL
联立解得：
S
21
1
2C )0( UCC
Cu
S
21
2
2C )( URR
Ru?
R1
R2
+
US
-
+
uC2(t)
-
a
（ 3）求终值
t时，电路达到新的稳定，电容开路，得终值图如下
（ 4）代入三要素公式，得：
V e)( )(
21
2
21
1
21
2
2C
2121
21 t
CCRR
RR
SS URR
R
CC
CU
RR
Rtu
uC2(t)
S
21
1
2C )0( UCC
Cu
R1C1>R2C2
R1C1=R2C2
R1C1<R2C2 S21 2 URR R
t0
（ 5） 由上式看出，输出电压的稳态分量由两个电阻的比值确定，其暂态分量还与两个电容的比值有关。改变电容
C1可得到三种情况，当 R1C1=R2C2时，
暂态分量为零，输出电压马上达到稳态值，这种情况称为完全补偿；
当 R1C1<R2C2或 R1C1>R2C2时，暂态分量不为零，输出电压要经过一段时间才达到稳态值，前者称为欠补偿，后者称为过补偿，这三种情况的波形如图所示
。这就是在很多高频测量仪器的输入
RC分压电路 (例如示波器的探头 ) 中设置一个微调电容器的原因，用户可以调节这个电容器来改变时间常数，令
R1C1=R2C2，从而得到没有失真的输出波形。
例 24 求 t>0时的 uC1(t),uC2(t)和 i(t)
，画出它们的波形。 已知 uC1(0-)=10V，
uC2(0-)=0V 。
t=0
3F
C1
2F
C2
+
uC 1(t)
-
+
uC 2(t)
-
i(t)R=10?
解：含全电容割集，
两个电容可等效为一个独立电容。
是一阶电路，用三要素法
（ 1）求时间常数
s1210
23
23
21
21
R
CC
CC?
t=0
3F
C1
2F
C2
+
uC 1(t)
-
+
uC 2(t)
-
i(t)R=10?（ 2）求初始值
0)0()0(
V10)0()0(
2C2C
1C1C
uu
uu
A1/)0()0( 1C Rvi
（ 3）求终值由 KVL，得：
由电荷守恒,)0()()( )()(
1C12C21C1
2C1C
uCuCuC
uu
t,电路稳定,0)(i
联立解得：
V610
23
3
)0(
)()(
1C
21
1
2C1C
u
CC
C
uu
（ 4）代三要素公式，得：
0tVe46e6106)( 12 112 11C tttu
0tV )e1(6)( 12
1
2C
ttu
0t Ae)( 12
1
t
ti
10V
6V
1A
0 t
uC1(t)
i(t)
uC2(t)
波形图：
两个电容上的
6V电压，象掉入“陷阱”一样，
永远跑不掉。
5－ 8 阶跃信号和阶跃响应
5－ 8-1 阶跃信号定义：
01
00
)(
t
t
t?
0 t
(t)
1
延迟单位阶跃信号：
0
0
0 1
0
)(
tt
tt
tt?
0 t0 t
(t-t0)
1
阶跃信号用途：
1,描述开关动作
t=0+
2V
-
电路
+
2? (t) V
-
电路2,表示各种信号
0 t0 t
A
f (t)
)]()([)( 0tttAtf
)2(2)1()()( ttttf
0 1 2 t
2
1
f (t)
0?/2? t
A
f (t)
)]()([s i n)( ttttf
5－ 8-2 阶跃响应单位阶跃响应 s(t)：零状态时电路在单位阶跃信号激励下的响应。
t=0+
1V
-
+
v
-
t=0
1A
i
把? (t)看作下图开关动作，则求解阶跃响应（零状态）可用三要素法图 (a)RC串联电路,初始值 vC(0+)=0,稳态值 uC(?)=1,时间常数?=RC。 图 (b)RL
并联电路,初始值 iL(0+)=0,稳态值
iL(?)=1,时间常数? = L/R。 可分别得到
uC(t)和 iL(t)的阶跃响应如下 。
)()e1()( tts RC
t
)()e1()( ttts tL
R
例 25 用阶跃函数表示左图所示的方波电流，再求 iL,并画出波形。
iS
iL
1H LR 2?
0 1 t
2
iS
解法一：左图所示的方波电流，可以用两个阶跃函数表示,
iS(t) = 2?(t)-2?(t-1)A
由于是线性电路，根据动态电路的叠加定理，其零状态响应等于 2?(t)和
-2?(t-1)两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。
（ 1）先求单位阶跃响应 s(t)
(t)
s(t)
1H LR 2?
sRL
s
ss
5.0/
1)(
0)0()0(
)()1()( 2 tets t
所以：
（ 2）应用线性及时不变性 A)()1()()(
2 tetst t由于
)()1(2)(2)(2
)()1(2)(2)(2
2
2
tetst
tetst
t
t
线性
)1(]1[)1()1( 12 tetst t ）（时不变
（ 3）叠加,2?(t)-2?(t-1)作用的零状态响应为 A)1(]1[2)()1(2
)1(2)(2)(
)1(22
tete
tststi
tt
L
黄线和紫线分别表示 2s(t)和 -2s(t-1)。
它们相加得到 iL(t)波形，如红线所示
iL(t)
2
0 1 t
-2
解法二：将激励看作两次开关动作
2A
iL
1H LR 2?
t=0 t=1
iL(t)
2
0 1 t
第一次换路，
充电第二次换路，放电。
)1(2 2 e
例 26 求 t>0时的 i(t),已知 uC(0-)=2V。
0.5F
+
uS
-
2?
+
uC
-
i(t) uS2
-10 1 2 t
先求零输入响应 izi (t).
izi(0+)=-1A，时间常数?=RC=1s。
解：（ 1）
0A)( teti tiz
所以：
（ 2）求零状态响应 iCzs (t).
先求单位阶跃响应 s(t).
0.5F
+
uS
-
2?
+
uC
-
i(t)初始值 u
C(0+)=0,
iC(0+)=0.5A，
)(5.0)( tets t
由于 uS(t)= -?(t)+3?(t-1)- 2?(t-2),
所以，零状态响应为
A)2(
)1(5.1)(5.0
)2(2)1(3)()(
)2(
)1(
te
tete
tstststi
t
tt
zs
（ 3）全响应 )()()( tititi sziz
0A)2(
)1(5.1)(5.0)(
)2(
)1(
tete
teteti
tt
tt
5-9 脉冲序列作用下的一阶电路分析
C
+
uS
-
R +u
C-
+ uR -
0 T 2T 3T 4T t
uS(t)
US
1.当 T>4? 时：在 0<t<T,电容由零状态充电,t=T时达稳态值 US ； 在
T<t<2T,电容由 US放电，直至 0。
TtTeU
TteU
tu
Tt
t
C
2
0)1(
)(
S
S
TtTeU
TteU
tu
Tt
t
R
2
0
)(
S
S
0 T 2T 3T 4T t
uS(t)U
S
0 T 2T 3T 4T t
uC(t)U
S
0 2T 4T t
uR(t)
US
-US
T
微分电路,(输出等于输入的微分 )
dRuCudiCuu RRRS )(1)(1
td
tud
RCtu
du
RC
tu
TRC
S
R
t
RS
)(
)(
,)(
1
)(
,
当 (即?＝ RC 很小时 )
2.T<4? 时：在 0<t<T,电容由零状态充电,t=T时,uC(T)尚未至稳态值 US ；
在 T<t<2T,电容由 uC(T)放电,uC(2T)
不为 0。第二周期由 uC(2T)开始充电。
0 T 2T 3T 4T t
uC(t)
US
若干周期后,充放电过程达稳态。
0 T 2T 3T 4T t
uC(t)U
SU
A
UB
-UB
0)(
teUtu
t
BCh
TtTeU
TteUUU
tu
Tt
A
t
SBS
Cp
2
0)(
)(
对照式 (5-55):
t
pCCpCC euututu
)]0()0([)()(
)()()( tututu hCpCC
)()()( tututu CpChC
T
A
TT
ABCp
T
SBSACp
eUeUUTu
eUUUUTu
2
)2(
)()(
解得：
T
T
S
B
T
S
A
e
eU
U
e
U
U
1
1
0
1
)(?
te
e
eU
tu
t
T
T
S
Ch
可见,SBA UUU
积分电路,(输出等于输入的积分 )
v
td
tud
RCtutu CCS
)(
)()(
当 T<<? 时,(即?=RC 很大时 )
du
RC
tu
tu
td
tud
RCtu
t
SC
R
C
S
)(
1
)(
)(
)(
)(
摘 要
1,线性时不变电容元件的特性曲线是通过 q-v平面坐标原点的一条直线,该直线方程为
Cuq?电容的电压电流关系由以下微分或积分方程描述
t diCtut tuCti )(1)(d )(d)( CCCC
可见,电容电压随时间变化时才有电容电流 。 若电容电压不随时间变化,则电容电流等于零,电容相当于开路 。 因此电容是一种动态元件 。 它是一种有记忆的元件,又是一种储能元件 。 储能为
)(21)( 2CC tCutW?
电容的储能取决于电容的电压，与电容电流值无关
2、线性时不变电感元件的特性曲线是通过?-i
平面坐标原点的一条直线，该直线方程为
Li?ψ
电感的电压电流关系由以下微分或积分方程描述
t duLtit tiLtu )(1)(d )(d)( LLLL
可见，电感电流随时间变化时才有电感电压。若电感电流不随时间变化，则电感电压等于零，电感相当于短路。因此电感是一种动态元件。它是一种有记忆的元件，又是一种储能元件。储能为
)(21)( 2LL tLitW?
电感的储能取决于电感的电流，与电感电压值无关
3,电容和电感的一个重要性质是连续性 ——
若电容电流 iC(t)在闭区间 [t1,t2]内有界,则电容电压 uC(t)在开区间 (t1,t2) 内是连续的 。 例如电容电流
iC(t)在闭区间 [0+,0-]内有界,则有 )0()0(
CC uu
若电感电压 uL(t)在闭区间 [t1,t2] 内有界,则电感电流 iL(t)在开区间 (t1,t2) 内是连续的 。 例如电感电压
uL(t)在闭区间 [0+,0-]内有界,则有
)0()0( LL ii
利用电容电压和电感电流的连续性，可以确定电路中开关转换 (称为换路 ) 引起电路结构和元件参数等改变时，电容电压和电感电流的初始值。初始值是求解微分方程时必须知道的数据。
4,动态电路的完全响应由独立电源和储能元件的初始状态共同产生 。 仅由初始状态引起的响应称为零输入响应；仅由独立电源引起的响应称为零状态响应 。 线性动态电路的全响应等于零输入响应与零状态响应之和 。
5,动态电路的电路方程是微分方程 。 其时域分析的基本方法是建立电路的微分方程,并利用初始条件求解 。 对于线性 n阶非齐次微分方程来说,其通解为
)()()( ph tftftf
fh(t)是对应齐次微分方程的通解,称为电路的固有响应,它与外加电源无关 。 fp(t)是非齐次微分方程的特解,其变化规律与激励信号的规律相同,称为电路的强制响应 。
由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。对于直流激励下的一阶电路来说，其固有响应为
fh(t)=Kest.若 s<0时,fh(t)=Kest?0,fp(t)= f(t)|t=?=
f(?)。此时固有响应 fh(t)称为暂态响应，强制响应 fp(t)称为稳态响应。
6，直流激励下一阶电路中任一响应的通用表达式 (三要素公式 )为
oo
/
)0()(e)]()0([)(
RLCR
tffftf
t
或其中只要能够计算出某个响应的初始值 f(0+),稳态值
f(?)和电路的时间常数? 这三个要素,利用以上通用公式,就能得到该响应的表达式,并画出波形曲线 。 对于仅含有一个电容或一个电感的一阶电路来说,只需要求解几个直流电阻电路,即可得到这三个要素的数值 。 这种计算一阶电路响应的方法,称为三要素法 。
7,三要素法还可以用来求解分段恒定信号激励的一阶电路以及含有几个开关的一阶电路 。
8,阶跃响应是电路在单位阶跃电压或电流激励下的零状态响应,一阶电路的阶跃响应可以用三要素法求得 。
9，时间常数大于零的一阶电路，在正弦激励下的响应由暂态响应和正弦稳态响应两部分组成，当暂态响应衰减到零时，电路中的全响应就是正弦稳态响应，此时称电路处于正弦稳态。
5-17
5-21
5-25
5-26
5-30
作业 12,p155
作业 13,p158
5-31
5-36
5-38
5-40
5-42
下面讨论 RC串联电路在直流电压源作用下的全响应。已知,uC(0-)=U0。
t=0时开关闭合。
为了求得电容电压的全响应，以
uC(t)为变量，列出电路的微分方程
)0(
d
d
SC
C tUu
t
uRC
i
C
R
t=0+U
s
-
+
uC(0-)=U0
-
其解为 S CpChC e)()()( UAtututu RC t
代入初始条件 uC(0+)=uC(0-)=U0，可得
S0C )0( UAUu
求得 S0 UUA
则：
稳态响应瞬态响应全响应强制响应固有响应全响应
)0(e)()(
e)()()()(
S
S0C
S
S0CpChC
tUUUtu
UUUtututu
t
RC
t
也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。这是线性动态电路的一个基本性质，是响应可以叠加的一种体现。
上式可改写为零状态响应全响应＝零输入响应＋
)0()e1(e)(
S
0C
tUUtu
tt
t
uC(t)U
0
US
US <U0
uCzi(t)
uCzS(t)
t
uC(t)U
0
US
US <U0
uCp(t)
uCh(t)U0 -US
uC(t)=uCh(t)+uCp(t) uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)
5-6 一阶电路的三要素法
iS
G L
iL
C
+
uS
-
R
+
uC
-
0C
SC
C
)0(
)0()(
d
)(d
Uu
tutu
t
tu
RC
0L
SL
L
)0(
)0()(
d
)(d
Ii
titi
t
ti
GL
若用 r(t)来表示电容电压 uC(t)和电感电流 iL(t),上述两个电路的微分方程可表为统一形式
)0(
)0()()(
d
)(d
r
ttwtr
t
tr
r(0+)表示电容电压的初始值 uC(0+)或电感电流的初始值 iL(0+)；? =RC 或?
=GL=L/R； w(t)表示电压源的电压 uS或电流源的电流 is。 其 通解为
)(e)()()(
ph trAtrtrtr p
t
因而得到一阶电路任意激励下 uC(t)和 iL(t)
响应的公式
t=0+代入，得,)0()0( prrA
0,e)]0()0([)()(
p
trrtrtr
t
p
推广应用于任意激励下任一响应在直流输入的情况下,t时，
rh(t)?0,rp(t)为常数,则有
)0()()(p prrtr因而得到
0,e)]()0([)()(
trrrtr
t
r(0+) —— 响应的初始值
r(?) —— 响应的终值，
—— 时间常数?=RC,?=L/R
三要素：
t
r(t)
r(?)
r(0+) r(?)>r(0
+)
t
r(t)
r(0+)
r(?)
r(?)<r(0+)
三要素公式的响应波形曲线可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值 r(0+) 开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值 r(?)，响应的快慢取决于的时间常数?。
注意,（ 1） 直流激励； （ 2）一阶电路任一支路的电压或电流的（全）响应； （ 3）适合于求零输入响应和零状态响应。
直流激励下一阶电路的全响应取决于
r(0+),r(?)和? 这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应，而不必建立和求解微分方程。这种方法称为三要素法。
三要素法求直流激励下响应的 步骤,
1.初始值 r(0+)的计算 （换路前电路已稳定） (1) 画 t=0-图，求初始状态：电容电压 uC(0-)或电感电流 iL(0-)。
(2)由换路定则，确定电容电压或电感电流初始值，即 uC(0+)=uC(0-)和
iL(0+)=iL(0-)。
(3)画 0+图，求其它初始值 —— 用数值为 uC(0+)的电压源替代电容或用 iL(0+)的电流源替代电感，得电阻电路再计算
2,稳态值 r(?)的计算 (画终了图 )
根据 t>0电路达到新的稳态,将电容用开路或电感用短路代替,得一个直流电阻电路,再从 稳态图 求稳态值 r(?)。
3，时间常数? 的计算 (开关已动作 )
先计算与电容或电感连接的电阻单口网络的输出电阻 Ro，然后用公式?=RoC 或
=L/Ro计算出时间常数。
4，将 r(0+),r(?)和? 代入三要素公式得到响应的一般表达式。
注意点：三要素公式可以计算全响应、
零输入响应分量和零状态响应。但千万不要认为
t
CCC
t
C
t
C
t
S
t
C
euuu
eueu
eUeUtu
1
11
11
0
)]()0([)(
)1)(()0(
)1()(
就推广到一般，得出结论，所有的响应
r t r ezs t( ) ( )( )1
1
应该是：
r t r ezi t( ) ( )0
1
r t r ezi zi t( ) ( )0
1
r t r r r ezs zs t( ) ( ) [ ( ) ( )]0
1
如求全响应 。
+
－
R
SU
0)0( Uu C C
+
－
i tC( )
i tC( )
+
－
R
SU
0U
+
－
iC ( )0?
r i i iC C z i C z s( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0
图0?
外激励引起内激励引起从另一个角度说：
只有 电容电压 和 电感电流,只要知道全响应表达式，就可以把它 分成 零输入响应
(分量 )和零状态响应 (分量 ) 。
否则，在仅知道全响应的表达式时，无法将零输入响应 (分量 )和零状态响应 (分量 )
分开。非要知道电路，画出 零输入的图 或 零状态的 图,求出零输入响应 或 零状态响应来才行。
0?
0?
例 16 电路原处于稳定状态。求 t? 0 的
uC(t)和 i(t)，并画波形图。
解,1,计算初始值 uC(0+),i(0+)
开关闭合前，电路已稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入 4?电阻中，
V824)0(Cu
uC+
-0.1F4? 4?
2? i
10V
+
-
2A
t=0
由于开关转换时，电容电流有界，电容电压不能跃变，故
V8)0()0( CC uu
画 0+图如右
8V
+
-4? 4?
2? i(0+)
10V
+
-
2A
A1
2
810
2
)0(10)0( C ui
2,计算稳态值 uC(?),i(?)
7V5210
4//42
4//42)2//4//4()(
Cu
A5.1
2
710
2
)(10)( C ui
10VuC (?)+
-4? 4?
2? i(?)
+
-
2A换路后，经一段时间，重新达到稳定，电容开路，终值图如右，运用叠加定理得
3,计算时间常数?
计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联
12//4//4oR
时间常数为 s1.01.01o CRτ
10V
i(t)
uC+
-4? 4?
2?
+
-
2A
4，将初始值、终值及时间常数代入三要素公式，得到响应表达式：
)0(V17)78(7)( 1010C teetu tt
)0(Ae5.05.1e)5.11(5.1)( 1010 tti tt
下面看响应过程 —— 波形
t
i(t)
1.5
1
5/3
uC(t)
t
8
7
0
例 17 求 u(t)和 i(t)。
已知：
uC
-
4?
0.01F
4? +2A
i + 2i -
+ u - t=0
0)0(Cu
解,1,计算初始值 uC(0+),i(0+)
零状态电路，由换路定则得：
0)0()0( CC uu
画 0+图如右,
用节点法 4? 4?2A
i(0+)+ 2i (0+) -
+ u (0+) -a
b
)0()0(4
4
)0(2
2)
4
1
4
1
)(0(
ab
ab
ui
i
u
解得,V2.3)0(A8.0)0( ab ui
则,V8.4)0(u
2,计算稳态值 u(?),i(?)
t?，电路重新达到稳定，
电容开路，终值图如右，得：
4? 4?2A
i(? ) + 2i (? ) -
+ u (? ) -
A2)(0)( iu
时间常数为 sCR eq 1.0
代入三要素公式得：
)0(V8.4)( 10 tetu t
)0(Ae2.12e)28.0(2)( 1010 tti tt
3,计算时间常数?
电容相连接的电阻网络如右图，用加压求流法得：
4? 4?
i + 2i -Req
10eqR
例 18 求 u(t)。已知,A2)0(,V1)0(
C Liu
解：电路可分成两部分分别求响应,然后迭加 。
)()()( LC tututu
uC-
1? 0.5F
2?
+
1A
+ u -t=0
1H i
L
2?
+
u(t)
_
RC部分：
V1)0()0( CC uu
uC-
1? 0.5F
2?
+
1A
t=0
1H
2?
+
u(t)
_uL-
+uC+
-0.5F2?
1A
s1
V2)(C
RC
u
C?
所以
0Ve2)(C ttu t
RL部分：
A2)0()0( LL ii
uC-
1? 0.5F
2?
+
1A
t=0
1H
2?
+
u(t)
_uL-
+
s5.0/
0)(
V2)0(
L
L
RL
u
u
L
所以
0Ve2)( 2L ttu t
uL
+
-1H2?
1A
0Ve2e2
)()()(
2
LC
t
tututu
tt
例 19 开关在 a时电路已稳定。 t=0倒向
b,t=R1C倒向 c，求 t?0的 iC(t)并画波形解,t<0 时,
uC(0-)=0 。 第一次换路后由换路定则得：
0)0()0( CC uu
iC(t)
CR2
R1
Us
+
-
ab
c
iC(t)
C
R1
Us
+
- CR
Uu
11
SC )(
0)(
)0(
1
C
C
S
i
R
U
ii
C(t)
C
R1
Us
+
-
CRteUtu
tCR
1
1
SC 0)1()(
1
CRt
R
U
ti
t
CR
1
1
1
S
C 0Ae)(
1
)1()( 1S1C eUCRu
t=R1C时,第二次换路,由换路定则得：
CRRi
eU
RR
CRi
C )(0)(
)1(
1
)(
212
1
S
21
1C
)1()()( 1S1C1C eUCRuCRu
iC(R1C+)
R1
R2
+
US(1-e-1)
-
得 t=R1C+
图如上：
CRte
RR
eU
ti CRR
CRt
1
)(
21
1
S
C
21
1)1(
)(?
CRte
RR
eU
ti CRR
CRt
1
)(
21
1
S
C
21
1)1(
)(?
CRt
R
U
ti
t
CR
1
1
1
S
C 0Ae)(
1
t
iC
US/R1
21
1
S )1(
RR
eU
1
1
2
例 20 原电路已稳定。求 t?0的 iL(t)和
uC(t)。
解：求初始状态
A1)0(V3)0( LC iu
uC-0.5F
1? iL 6?
10V
+
-
t=0
0.1H
+2V
-
+ 3?2?
换路后，电路可分成两部分
uC-0.5F
1? iL 6?
10V
+
-
0.1H
+2V
-
+
3?
2?
2V
-
+
s2s1.0/
V3/2)(A8)( CL
RCRL
ui
CL
VuuAii 3)0()0(1)0()0( CCLL
所以 0Ve78)( 10
L tti t
0Ve
3
7
3
2)( 5.0
C
ttu t
5-7 一阶电路的特殊情况分析
1.R＝ 0或 G＝ 0的情况；
2.特殊情况 —— 电路含全电容回路或全电感割集；
电容电压和电感电流不连续，即跳变 —— 换路定则失效。
求初试值依据 —— 瞬间电荷守恒，
磁链守恒
3.所谓,陷阱”。
例如：电路原已稳定，求开关动作后的电流 i。
+
10V-ii
L t=0
5?5?1H
解,t i A
L0 0 2,( )
由换路定则：
t i AL0 0 2,( )
R 0 0得如果认为
R 0 0
用三要素公式，得 i
L ( ) 0 L
R 0
A2)(
0 t
L
R
L eti
取极限，得
A2)(?ti L
最后，得 A022)(ti
可见，采取极限的方法，三要素公式仍然是成立的。
对偶地，储存电场能电容的情况。
+
－ 2V R 0
V22)(
1
t
RC
C etu
例 21 已知,uC1(0-)=U1,uC2 (0-)=U2
，试求 uC1(0+),uC2(0+)
解：开关闭合后，
两个电容并联，按照
KVL的约束，两个电容电压必相等，即,)0()0( C2C1 uu
再根据在开关闭合前后节点的总电荷守恒定律，可得
)0()0()0()0( C22C11C22C11 uCuCuCuC
t=0
C1 C2
+
uC 1(t)
-
+
uC 2(t)
-
联立求解以上两个方程，代入数据得
21
2211
C2C1C )0()0()0( CC
UCUCuuu
当 U1?U2时，两个电容的电压都发生了跳变,uC1(t)由 U1变为 uC(0+),uC2(t)
则由 U2变为 uC(0+) 。从物理上讲，这是因为两个电容上有电荷移动所形成的结果，由于电路中电阻为零，电荷的移动迅速完成而不需要时间，从而形成无穷大的电流，造成电容电压发生跃变。
如果，改变为等效电路的方法。
C
+ －
0U
原题目的 图简化为
C
+ －
0U
+ －
V0
0
21
1
2 )0( UCC
C
u C
0?
+
－
C1
0U
2Cu
C2 +
－
例 22 原电路已稳定，试求 iL1(t),
iL2(t),t>0 L
1 L2
+
US-
R1
iL1 iL2
R2
t=0
解：（ 1）求初始值：换路前，电路已稳定：
0)0()0( L2
1
S
L1
i
R
Ui
换路后，全电感割集，磁链守恒
)0()0(
)0()0()0()0(
)0()0(
L2L1
L22L11L22L11
ii
iLiLiLiL
… …
1
S
21
1
L2L1 )0()0( R
U
LL
Lii?
（ 2）求稳态值：
21
S
L2L1 )()( RR
Uii
（ 3）求时间常数：
21
21
RR
LL
（ 4）代入三要素公式
0tAe][
)()(
21
21
21
S
1
S
21
1
21
S
L2L1
t
LL
RR
RR
U
R
U
LL
L
RR
U
titi
例 23 图示 RC分压器电路原已稳定。试求 t>0时 uC2(t),
R1
R2
C1
C2
t=0
+
US
-
+
uC2(t)
-
+ uC1(t) -
a
解：将图中的电压源置零后，电容 C1
和 C2并联等效于一个电容，说明该电路是一阶电路，三要素法仍适用。
为使 uC2(t)
无过度过程,C1取何值？
（ 1）求时间常数：换路后，电源置零得下图。其时间常数为
)( 21
21
21
oo CCRR
RRCR?
τ R
1//R2
C1+C2
（ 2）求初始值,在 t<0时，电路处于零状态,uC1(0-) =uC2(0-)=0。
S2C1C )0()0( Uuu
此式说明电容电压的初始值不再为零，
发生跃变，因为 含全电容回路，换路定则失效，要用电荷守恒。对 节点 a可得
0)0()0()0()0( 2C21C12C21C1 uCuCuCuC
换路后,在 t=0+时刻，两个电容电压应满足 KVL
联立解得：
S
21
1
2C )0( UCC
Cu
S
21
2
2C )( URR
Ru?
R1
R2
+
US
-
+
uC2(t)
-
a
（ 3）求终值
t时，电路达到新的稳定，电容开路，得终值图如下
（ 4）代入三要素公式，得：
V e)( )(
21
2
21
1
21
2
2C
2121
21 t
CCRR
RR
SS URR
R
CC
CU
RR
Rtu
uC2(t)
S
21
1
2C )0( UCC
Cu
R1C1>R2C2
R1C1=R2C2
R1C1<R2C2 S21 2 URR R
t0
（ 5） 由上式看出，输出电压的稳态分量由两个电阻的比值确定，其暂态分量还与两个电容的比值有关。改变电容
C1可得到三种情况，当 R1C1=R2C2时，
暂态分量为零，输出电压马上达到稳态值，这种情况称为完全补偿；
当 R1C1<R2C2或 R1C1>R2C2时，暂态分量不为零，输出电压要经过一段时间才达到稳态值，前者称为欠补偿，后者称为过补偿，这三种情况的波形如图所示
。这就是在很多高频测量仪器的输入
RC分压电路 (例如示波器的探头 ) 中设置一个微调电容器的原因，用户可以调节这个电容器来改变时间常数，令
R1C1=R2C2，从而得到没有失真的输出波形。
例 24 求 t>0时的 uC1(t),uC2(t)和 i(t)
，画出它们的波形。 已知 uC1(0-)=10V，
uC2(0-)=0V 。
t=0
3F
C1
2F
C2
+
uC 1(t)
-
+
uC 2(t)
-
i(t)R=10?
解：含全电容割集，
两个电容可等效为一个独立电容。
是一阶电路，用三要素法
（ 1）求时间常数
s1210
23
23
21
21
R
CC
CC?
t=0
3F
C1
2F
C2
+
uC 1(t)
-
+
uC 2(t)
-
i(t)R=10?（ 2）求初始值
0)0()0(
V10)0()0(
2C2C
1C1C
uu
uu
A1/)0()0( 1C Rvi
（ 3）求终值由 KVL，得：
由电荷守恒,)0()()( )()(
1C12C21C1
2C1C
uCuCuC
uu
t,电路稳定,0)(i
联立解得：
V610
23
3
)0(
)()(
1C
21
1
2C1C
u
CC
C
uu
（ 4）代三要素公式，得：
0tVe46e6106)( 12 112 11C tttu
0tV )e1(6)( 12
1
2C
ttu
0t Ae)( 12
1
t
ti
10V
6V
1A
0 t
uC1(t)
i(t)
uC2(t)
波形图：
两个电容上的
6V电压，象掉入“陷阱”一样，
永远跑不掉。
5－ 8 阶跃信号和阶跃响应
5－ 8-1 阶跃信号定义：
01
00
)(
t
t
t?
0 t
(t)
1
延迟单位阶跃信号：
0
0
0 1
0
)(
tt
tt
tt?
0 t0 t
(t-t0)
1
阶跃信号用途：
1,描述开关动作
t=0+
2V
-
电路
+
2? (t) V
-
电路2,表示各种信号
0 t0 t
A
f (t)
)]()([)( 0tttAtf
)2(2)1()()( ttttf
0 1 2 t
2
1
f (t)
0?/2? t
A
f (t)
)]()([s i n)( ttttf
5－ 8-2 阶跃响应单位阶跃响应 s(t)：零状态时电路在单位阶跃信号激励下的响应。
t=0+
1V
-
+
v
-
t=0
1A
i
把? (t)看作下图开关动作，则求解阶跃响应（零状态）可用三要素法图 (a)RC串联电路,初始值 vC(0+)=0,稳态值 uC(?)=1,时间常数?=RC。 图 (b)RL
并联电路,初始值 iL(0+)=0,稳态值
iL(?)=1,时间常数? = L/R。 可分别得到
uC(t)和 iL(t)的阶跃响应如下 。
)()e1()( tts RC
t
)()e1()( ttts tL
R
例 25 用阶跃函数表示左图所示的方波电流，再求 iL,并画出波形。
iS
iL
1H LR 2?
0 1 t
2
iS
解法一：左图所示的方波电流，可以用两个阶跃函数表示,
iS(t) = 2?(t)-2?(t-1)A
由于是线性电路，根据动态电路的叠加定理，其零状态响应等于 2?(t)和
-2?(t-1)两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。
（ 1）先求单位阶跃响应 s(t)
(t)
s(t)
1H LR 2?
sRL
s
ss
5.0/
1)(
0)0()0(
)()1()( 2 tets t
所以：
（ 2）应用线性及时不变性 A)()1()()(
2 tetst t由于
)()1(2)(2)(2
)()1(2)(2)(2
2
2
tetst
tetst
t
t
线性
)1(]1[)1()1( 12 tetst t ）（时不变
（ 3）叠加,2?(t)-2?(t-1)作用的零状态响应为 A)1(]1[2)()1(2
)1(2)(2)(
)1(22
tete
tststi
tt
L
黄线和紫线分别表示 2s(t)和 -2s(t-1)。
它们相加得到 iL(t)波形，如红线所示
iL(t)
2
0 1 t
-2
解法二：将激励看作两次开关动作
2A
iL
1H LR 2?
t=0 t=1
iL(t)
2
0 1 t
第一次换路，
充电第二次换路，放电。
)1(2 2 e
例 26 求 t>0时的 i(t),已知 uC(0-)=2V。
0.5F
+
uS
-
2?
+
uC
-
i(t) uS2
-10 1 2 t
先求零输入响应 izi (t).
izi(0+)=-1A，时间常数?=RC=1s。
解：（ 1）
0A)( teti tiz
所以：
（ 2）求零状态响应 iCzs (t).
先求单位阶跃响应 s(t).
0.5F
+
uS
-
2?
+
uC
-
i(t)初始值 u
C(0+)=0,
iC(0+)=0.5A，
)(5.0)( tets t
由于 uS(t)= -?(t)+3?(t-1)- 2?(t-2),
所以，零状态响应为
A)2(
)1(5.1)(5.0
)2(2)1(3)()(
)2(
)1(
te
tete
tstststi
t
tt
zs
（ 3）全响应 )()()( tititi sziz
0A)2(
)1(5.1)(5.0)(
)2(
)1(
tete
teteti
tt
tt
5-9 脉冲序列作用下的一阶电路分析
C
+
uS
-
R +u
C-
+ uR -
0 T 2T 3T 4T t
uS(t)
US
1.当 T>4? 时：在 0<t<T,电容由零状态充电,t=T时达稳态值 US ； 在
T<t<2T,电容由 US放电，直至 0。
TtTeU
TteU
tu
Tt
t
C
2
0)1(
)(
S
S
TtTeU
TteU
tu
Tt
t
R
2
0
)(
S
S
0 T 2T 3T 4T t
uS(t)U
S
0 T 2T 3T 4T t
uC(t)U
S
0 2T 4T t
uR(t)
US
-US
T
微分电路,(输出等于输入的微分 )
dRuCudiCuu RRRS )(1)(1
td
tud
RCtu
du
RC
tu
TRC
S
R
t
RS
)(
)(
,)(
1
)(
,
当 (即?＝ RC 很小时 )
2.T<4? 时：在 0<t<T,电容由零状态充电,t=T时,uC(T)尚未至稳态值 US ；
在 T<t<2T,电容由 uC(T)放电,uC(2T)
不为 0。第二周期由 uC(2T)开始充电。
0 T 2T 3T 4T t
uC(t)
US
若干周期后,充放电过程达稳态。
0 T 2T 3T 4T t
uC(t)U
SU
A
UB
-UB
0)(
teUtu
t
BCh
TtTeU
TteUUU
tu
Tt
A
t
SBS
Cp
2
0)(
)(
对照式 (5-55):
t
pCCpCC euututu
)]0()0([)()(
)()()( tututu hCpCC
)()()( tututu CpChC
T
A
TT
ABCp
T
SBSACp
eUeUUTu
eUUUUTu
2
)2(
)()(
解得：
T
T
S
B
T
S
A
e
eU
U
e
U
U
1
1
0
1
)(?
te
e
eU
tu
t
T
T
S
Ch
可见,SBA UUU
积分电路,(输出等于输入的积分 )
v
td
tud
RCtutu CCS
)(
)()(
当 T<<? 时,(即?=RC 很大时 )
du
RC
tu
tu
td
tud
RCtu
t
SC
R
C
S
)(
1
)(
)(
)(
)(
摘 要
1,线性时不变电容元件的特性曲线是通过 q-v平面坐标原点的一条直线,该直线方程为
Cuq?电容的电压电流关系由以下微分或积分方程描述
t diCtut tuCti )(1)(d )(d)( CCCC
可见,电容电压随时间变化时才有电容电流 。 若电容电压不随时间变化,则电容电流等于零,电容相当于开路 。 因此电容是一种动态元件 。 它是一种有记忆的元件,又是一种储能元件 。 储能为
)(21)( 2CC tCutW?
电容的储能取决于电容的电压，与电容电流值无关
2、线性时不变电感元件的特性曲线是通过?-i
平面坐标原点的一条直线，该直线方程为
Li?ψ
电感的电压电流关系由以下微分或积分方程描述
t duLtit tiLtu )(1)(d )(d)( LLLL
可见，电感电流随时间变化时才有电感电压。若电感电流不随时间变化，则电感电压等于零，电感相当于短路。因此电感是一种动态元件。它是一种有记忆的元件，又是一种储能元件。储能为
)(21)( 2LL tLitW?
电感的储能取决于电感的电流，与电感电压值无关
3,电容和电感的一个重要性质是连续性 ——
若电容电流 iC(t)在闭区间 [t1,t2]内有界,则电容电压 uC(t)在开区间 (t1,t2) 内是连续的 。 例如电容电流
iC(t)在闭区间 [0+,0-]内有界,则有 )0()0(
CC uu
若电感电压 uL(t)在闭区间 [t1,t2] 内有界,则电感电流 iL(t)在开区间 (t1,t2) 内是连续的 。 例如电感电压
uL(t)在闭区间 [0+,0-]内有界,则有
)0()0( LL ii
利用电容电压和电感电流的连续性，可以确定电路中开关转换 (称为换路 ) 引起电路结构和元件参数等改变时，电容电压和电感电流的初始值。初始值是求解微分方程时必须知道的数据。
4,动态电路的完全响应由独立电源和储能元件的初始状态共同产生 。 仅由初始状态引起的响应称为零输入响应；仅由独立电源引起的响应称为零状态响应 。 线性动态电路的全响应等于零输入响应与零状态响应之和 。
5,动态电路的电路方程是微分方程 。 其时域分析的基本方法是建立电路的微分方程,并利用初始条件求解 。 对于线性 n阶非齐次微分方程来说,其通解为
)()()( ph tftftf
fh(t)是对应齐次微分方程的通解,称为电路的固有响应,它与外加电源无关 。 fp(t)是非齐次微分方程的特解,其变化规律与激励信号的规律相同,称为电路的强制响应 。
由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。对于直流激励下的一阶电路来说，其固有响应为
fh(t)=Kest.若 s<0时,fh(t)=Kest?0,fp(t)= f(t)|t=?=
f(?)。此时固有响应 fh(t)称为暂态响应，强制响应 fp(t)称为稳态响应。
6，直流激励下一阶电路中任一响应的通用表达式 (三要素公式 )为
oo
/
)0()(e)]()0([)(
RLCR
tffftf
t
或其中只要能够计算出某个响应的初始值 f(0+),稳态值
f(?)和电路的时间常数? 这三个要素,利用以上通用公式,就能得到该响应的表达式,并画出波形曲线 。 对于仅含有一个电容或一个电感的一阶电路来说,只需要求解几个直流电阻电路,即可得到这三个要素的数值 。 这种计算一阶电路响应的方法,称为三要素法 。
7,三要素法还可以用来求解分段恒定信号激励的一阶电路以及含有几个开关的一阶电路 。
8,阶跃响应是电路在单位阶跃电压或电流激励下的零状态响应,一阶电路的阶跃响应可以用三要素法求得 。
9，时间常数大于零的一阶电路，在正弦激励下的响应由暂态响应和正弦稳态响应两部分组成，当暂态响应衰减到零时，电路中的全响应就是正弦稳态响应，此时称电路处于正弦稳态。
5-17
5-21
5-25
5-26
5-30
作业 12,p155
作业 13,p158
5-31
5-36
5-38
5-40
5-42
