7-6 正弦稳态电路的功率本节讨论正弦稳态单口网络的 瞬时功率,平均功率 (有功功率 ),无功功率,视在功率,复功率 和 功率因数 。
正弦稳态单口网络向可变负载传输最大功率的问题。
7-6-1 二端网络的功率端口电压和电流采用 关联 参考方向,它吸收的功率为
)()()( titutp?
正弦稳态时,端口电压和电流是相同频率的正弦量，即
)c o s (2)c o s ()(
)c o s (2)c o s ()(
iim
uum
tItIti
tUtUtu
1、瞬时功率瞬时功率为
)22c o s (c o s
)]2c o s ()[ c o s (
2
1
)c o s ()c o s ()()()(
u
iuiumm
imum
ZZ
tUIUI
tIU
tItUtitutp
Z=?u-?i是电压与电流的相位差。瞬时功率由一个恒定分量和一个频率为 2ω 的正弦分量组成，周期性变化，当 p(t)>0时，
该网络吸收功率；当 p(t)<0时，该网络发出功率。瞬时功率的波形如图所示。
Z
UIcos?Z
Z
T
Z
T
UI
ttUIYI
T
ttp
T
P
c os
d)]2c os (c os[
1
d)(
1
0
iu
0
平均功率不仅取决于电压电流有效值乘积 VI，还与阻抗角?Z=?u-?I有关。
2、平均功率 (有功功率 )
简称功率,在一个周期内的 平均值：
几种特殊情况 。
1、网络等效阻抗为一个电阻。
)2t2c o s ()( u UIUItp
此时网络电压与电流相位相同，即
Z=?u-?i=0,cos?Z=1，
波形如图 。 p(t)在任何时刻均大于或等于零,电阻始终吸收功率和消耗能量 。
R
URIUIP 22
用电压、电流有效值后，计算电阻消耗的平均功率公式，与直流电路中相同。
若用电流、电压的振幅值，上述公式为此时平均功率：
R
URIIUP m
mmm
2
2
2
1
2
1
2
1
2、网络等效阻抗为一个电抗。
此时单口网络电压与电流相位为正交关系，即?Z=?u-?i=?90?,(+电感－电容 )
)9022c o s ()(
)9022c o s ()(
uC
uL
tUItp
tUItp
若假设电压初相为零，得
tUItIU
tItU
tItUtp
tUItIU
tItU
tItUtp
mm
mm
mmL
mm
mm
mmC
2s i n2s i n
2
1
)s i n(c os
)
2
c os (c os)(
2s i n2s i n
2
1
)s i n(c os
)
2
c os (c os)(
是频率为 2?的正弦量,在一段时间内
p(t)>0，电感或电容吸收功率获得能量；另外一段时间内 p(t)<0，电感或电容发出功率释放出它所获得的全部能量。
显然，平均功率为可见，电感和电容不消耗能量，它们是无源元件。但要 注意,它们的瞬时功率并不为零。或者说，电感和电容需要电源 (外电路 )供给一定的瞬时功率以满足能量不断的往返交换。
P? 0
定义：无功功率把瞬时功率的振幅 (最大值 )定义为电感和电容的无功功率，以表明电感和电容与外电路电流和电压不断往返的程度。即
UIQ
UIQ
C
L
3,任意二端网络的情况电阻分量消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。
ZIUP?c o s?
设二端网络
R
U
P
G
I
P
GURIUIP
BjGYXjRZ
Z
22
22
c o s
3、视在功率表示一个电气设备的容量，是单口网络所吸收平均功率的最大值，单位：
伏安 (VA)。例如我们说某个发电机的容量为 100kVA，而不说其容量为
100kW
UIS?
4,功率因数
S
Ppf
Zc o s
Z=?u-?i为功率因数角。当二端网络为无源元件 R,L,C组成时：
|?Z|<90?,0< pf <1。
Z<0,电路呈容性,电流 导前 电压；
Z>0,电路感呈性,电流 滞后 电压 。
网络吸收的平均功率 P与 cos?Z的大小密切相关,cos?Z表示功率的利用程度，
称为功率因数为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施力求提高功率因数。例如使用镇流器的日光灯电路，它等效于一个电阻和电感的串联，其功率因数小于 1，它要求线路提供更大的电流。
为了提高日光灯电路的功率因数，一个常用的办法是在它的输入端并联一个适当数值的电容来抵销电感分量，
使其端口特性接近一个纯电阻以便使功率因数接近于 1。
5、无功功率
tIUtIU
tIUtIUIU
tIUIUtp
ZZ
ZZZ
ZZ
2s i ns i n)2c o s1(c o s
2s i ns i n2c o sc o sc o s
)2c o s (c o s)(
上式第二项 的最大值为 二端网络的无功功率 Q 。 即
ZUIQ?s in?
可验证 L和 C时的 特殊情况。
无功功率反映电源 (或外电路 )和单口网络内储能元件之间的能量交换情况，单位为乏 (var)(无功伏安：
volt amper reactive)
与功率计算类似,
X
U
Q
B
I
Q
BUXIUIQ
Z
22
22
s i n
6、复 功 率为了便于用相量来计算平均功率,引入复功率 。 工作于正弦稳态的网络,其电压电流采用关联的参考方向,设
i
u
II
UU
QPUIUI
UIUIIUS
ZZ
Z
js i njc o s
~
iu
*
单位,VA
I?
U? N
复功率还有两个常用的公式：
YUYVUYUUIUS
ZIIIZIUS
2
~
2
~
)(
注意：电流、电压若用振幅值时，不要忘了要乘 1/2。
7,复功率守恒复功率守恒定理：对于工作于正弦稳态的电路,由每个独立电源发出的复功率的总和等于电路中其它电路元件所吸收复功率的总和：
吸收发出 SS ~~
由此可以导出一个正弦稳态电路的有功功率和无功功率也是守恒的结论。
正弦稳态电路中，由每个独立电源发出的有功功率的总和等于电路中其它元件所吸收的有功功率的总和；由每个独立电源发出的无功功率的总和等于电路中其它元件所吸收的无功功率的总和：
吸收发出吸收发出 QQPP
由此可得网络吸收的有功功率等于该网络内每个电阻吸收的平均功率总和。注意正弦稳态电路中视在功率并不守恒。
8、功率三角形
Z
P
Q
S
阻抗三角形，导纳三角形，电压三角形，电流三角形和功率三角形都是相似三角形。
例 17 电路相量模型如图,端口电压的有效值 U=100V.试求该网络的 P,Q、
,S,pf。
S~
解,设端口电压相量为：
9.36106j8
8j814j
j 1 616
j 1 661
14jZ
16? j16?
-j14?
+
-
U?
网络的等效阻抗：
V01 0 0U
9.36
V a r60 0]
~
I m [
W80 0]
~
R e [
VA10 00
~
VA60 080 09.3610 00
9.3610010 0
~
1
*
S
Z
SQ
SP
SS
j
IUS
由于因此
A9.36109.3610 01 0 01
ZUI
故：
所以 8.0)9.36c o s (c o s
Zpf?
（导前）
例 18 感性负载接在 U=220V,f=50Hz的交流电源上,其平均功率 P=1.1KW,功率因数 pf=0.5，欲并联电容使负载的功率因数提高到 0.8(滞后 ),求电容。
解：负载电流有效值,
A105.02 2 0 101.1
3
pfU PI
感性负载的阻抗角,
I?
U?
感性负载
'I?
CI?C
605.0a r c c o sZ?
设 电压相量为,V0220U
则负载电流相量,
9.368.0a r c c o s'Z?
A6010I
并联电容后，电源电流有效值,
A25.68.0220 101.1''
3
pfU PI
由于 pf’=0.8 (滞后 ),
因此功率因数角,
A9.3625.6'I
U?'I?
I?
CI?
A9091.4j 8,6 6 )-(5-,7 53j5
60109.3625.6'
III C
并联电容后，不会影响电阻吸收的平均功率。但电容电流抵消了部分感性负载的电流，功率因数变大，电源电流的有效值由原来的 10A减小到 6.25A，提高了电源效率。
μF71
220314
91.4
C?
U
I
CUI
C
C
由于,
得,
例 19 电路工作于正弦稳态,已知电压源电压为,试求该电压源发出的平均功率 。
V cos22)(S ttu?
解：电路的相量模型如图 (b)所示。先求出连接电压源单口网络的等效阻抗
1j15.0j5.05.1j5.0j11 j 1 )1j 1 ) ( j 1(5.1j5.0Z
分流公式求电流
A9011j452452 1j1j1 1j 12 II
可用以下几种方法求电源发出的平均功率
W212)1j1R e ()R e (4
W2115.023
W2)
~
R e (2j24522
~
2
W2c os 4522c os1
2
1
2
1
2
2
21
2
1
1
*
S
1S
IZIP
RIRIP
SPIUS
IUP
Z
发出发出发出
用欧姆定律求电流 A452
1j1
02S
1
ZUI
7-6-2 最大功率传输图 (a)所示含独立电源网络用戴维南等效电路代替,得到图 (b)。 其中,是含源网络的开路电压,Zo=Ro+jXo是含源网络的输出阻抗,ZL=RL+jXL是负载阻抗 。
ocU?
负载电流：
LLL XRXR
U
ZZ
UI
jj 00
oc
0
oc
2
L0
2
L0
oc
)()( XXRR
UI
2
L0
2
L0
2
L
2
)()( XXRR
RURIP Loc
负载吸收的平均功率：
当 XL=-Xo时，分母最小，此时得 RL=Ro。
负载获得最大功率的条件 是
ooo
*
LLL jj XRZXRZ
所获最大功率：
o
2
oc
m a x 4 R
UP?
2
L0
L
2
oc
)( RR
RUP
求导数，并令其等于零。
0
)(
)(2)(
d
d 2
oc4
L0
LL0
2
L0
L
U
RR
RRRRR
R
P
最大功率传输定理：工作于正弦稳态的网络向一个负载 ZL=RL+jXL供电,由戴维南定理 (其中 Zo=Ro+jXo),则在负载阻抗等于含源网络输出阻抗的共轭复数 (
即 ） 时,
负载可以获得最大平均功率：
o
2
oc
m a x 4 R
UP?
o
*
L ZZ?
满足 的匹配，称为 共轭匹配 。o*L ZZ?
例 20 图示电路,已知 ZL为可调负载,
试求 ZL为何值时可获最大功率?最大功率为多少?
解,ab以左 运 用戴维南电路,得 右图。
V4525010
2j2
2j
OC
U
j2? ZL
2?
+
10∠0 oV
-
a
b
ZL
Z0
+
-
a
b
ocU?
1j12j2 2j2OZ
所以,当 时, 1j1* OL ZZ
可获最大功率,
W5.12
14
)25(
4
2
o
2
oc
m a x R
UP
在通信和电子设备的设计中,常常要求满足共轭匹配,以便使负载得到最大功率 。 在负载不能任意变化的情况下,可以在含源单口网络与负载之间插入一个匹配网络来满足负载获得最大功率的条件 。
例 21 单口网络如图，电源角频率
ω =1000rad/s,为使 RL从单口网络中获得最大功率，试设计一个由电抗元件组成的网络来满足共轭匹配条件。
RL=
1000?
100?
+
100∠0 oV
-
a
b
解,1 若不用匹配网络，将 1000Ω 负载与电抗网络直接相连时，负载电阻获得的平均功率为
W26.81 0 0 01 0 0 01 0 0 1 0 0
2
L
P
2 若采用匹配网络满足共轭匹配条件，
1000Ω 负载电阻可能获得的最大平均功率为可见，采用共轭匹配网络，负载获得的平均功率将大大增加。
W251 0 01 0 01 0 01 0 0
2
L
P
由 LC匹配网络和负载形成网络的输入阻抗,
ooo
*
2
2
2
L
L
ab
j
)(1
j
)(1
j
j
1
j
1
j
XRZ
CR
CR
CR
R
L
C
R
C
R
LZ
L
L
L
L
3 设计一个由电感和电容构成的网络来满足共轭匹配条件,以使负载获最大功率 。
上图网络是可满足上述条件的一种方案。
令上式两边实部与虚部分别相等可得,
11
o
L
L
RRRC?
代入参数,得,
F33 m S mS31101000 1 CC
oL RCRL
2
2
o
2o
)(1
)(1
CR
CR
LX
CR
R
R
L
L
L
L
即,
H3.0
1 0 0 0
300
3001010 23oL
L
L
RCRL 3103
以上计算表明，如果选择 L=0.3H,
C=3?F，图中 ab两端以右单口网络的输入阻抗等于 100Ω,它可以获得 25W的最大功率，由于其中的电感和电容平均功率为零，根据平均功率守恒定理，这些功率将为 RL=1000?的负载全部吸收。
实际上还有一种情况：负载阻抗的模任意改变，而其阻抗角不能变。
用相同的方法，可得
Z ZL O?
时负载可获得最大功率。
数学意义上讲，这时负载可获得的功率为极大值。并不是最大值。
满足 的匹配，称为 模匹配 。Z ZL O?
正弦稳态晌应的叠加几个频率不同的正弦激励在线性时不变电路中产生的稳态电压和电流,可以利用叠加定理 ----先用相量法分别计算每个正弦激励单独作用时产生的电压电流相量,然后得到电压 uk(t)电流和
ik(t),最后相加求得总的稳态电压 u(t)
和电流 i(t)。
例 22 图 (a)中，
uS(t)=20cos(100t+10?)V,试用叠加定理求稳态电压 u(t)。
解,1 电压源单独作用时,将电流源以开路代替,得图 (b)相量模型,则,
V551010210
5j5
5j
5j5
5j'
S
UU
A)50200c o s (2)(S tti
由相量写出相应的时间表达式
V)551 0 0c o s (210)(' ttu
2 电流源单独作用时,将电压源用短路代替,得图 (c)所示相量模型,则,
由相量写出相应的时间表达式
V)6.761 0 0c o s (247.4)('' ttu
V6.7647.450110j5 50j10j5 50j'' S IU
3 叠加求稳态电压 u(t)
将每个正弦电源单独作用时产生的电压在时间域相加，得到非正弦稳态电压,
它们的波形如下图所示。
V)6.76200c o s (247.4V)55100c o s (210
)('')(')(
tt
tututu
的波形如图 (a)所示。图 (b)
绘出 的波形，可见，两个不同频率正弦波相加得到一个非正弦周期波形。
)('' )(' tutu 和
)('')(')( tututu
两个不同频率的正弦波形的叠加
7－ 7 三相电路由三相电源、三相线路和三相负载组成的电路称为三相电路。三相供电系统具有很多优点，为各国广泛采用。
三相电路的分析计算其实可以看成一个正弦稳态电路的分析计算问题。 对于对称三相电路由其特殊性，可以用更简单的方法去分析计算。
三相发电机三相供电系统的三相电源是三相发电机。三相发电机的结构如图，它有 定子 和转子 两大部分。
7-7-1 三相电源定子铁心的内圆周的槽中对称地安放着三个绕组 AX,BY和 CZ。 A,B,C为首端； X,Y,Z为末端。三绕组在空间上彼此间隔 120?。转子是旋转的电磁铁。
它的铁心上绕有励磁绕组。
当转子恒速旋转时,AX,BY,CZ
三绕组的两端将分别感应 振幅相等,频率相同 的三个正弦电压 uA(t),uB(t)、
uc(t);
三个电源的的 初相互相差 120?。
若以 作为参考相量,这三个电压相量为 A
U?
120 120 0 pCpBpA UUUUUU
1 2 0
1 2 0
0
pC
pB
pA
UU
UU
UU
对称三相电压源的相量图和波形图相量图 和 波形图 分别如图 (a),(b)所示。这样三个 振幅相等、频率相同、相位差 120° 的一组正弦电源称为 对称三相正弦电源 。它们分别称为 A相,B相和 C相
，每相的电压称为 相电压 。
按照各相电压经过正峰值的先后次序来说，它们的相序是 A,B,C（或 B,C、
A;C,A,B）称为 正序 (顺序 ),如果各相电压到达正峰值的次序为 A,C,B（
或 C,B,A； B,A,C）则称为 负序 (
逆序 )。 用户可以改变三相电源与三相电动机的连接方式来改变相序，从而改变三相电动机的旋转方向。
通常，非特别说明，三相电源均为正序连接。
1.星形联接
（又称 Y形联接 )
三相电源的末端 X,Y,Z接在一起，形成一个节点，记为 N，称为中性点或中点，将各相的首端 A,B,C以及中点 N
与四根输电线（分别称为火线和中线）联接，如图 7.7-1(a)所示。
三相电源有两种基本联接方式：
(与传输线相联接的 )负载，可以从火线与中线之间得到三个 相电压,用表示，也可以从三根火线之间得到三个 线电压,用 表示。线电压与相电压之间的关系可以从图 7.7-1(b)相量图中计算出来。
CBA UUU,、
CABCAB UUU,、
7.7-1三相电压源的星形联接
1503
903
303
PACCA
PCBBC
PBAAB
UUUU
UUUU
UUUU
7.7-1三相电压源的星形联接线电压是相电压的 倍，即3 p3UU l?
例如日常生活用电是 220V相电压，相应的线电压则是 380V。
即从相量图上可以看出，三个对称相电压以及三个对称线电压之间存在以下关系：
0
0
CABCAB
CBA
UUU
UUU
此结论可以推广到 任意对称多相电路的
（线、相）电压和电流之和为零。
流过火线的 线电流 等于流过每相电源的相电流，即
pl II?
2.三角形联接三相电源的三角形联接
(又称 Δ 联接 )
它是将三相电源各相的始端和末端依次相连，再由 A,B,C引出三根火线线与负载相连，如图所示。
三相电源的三角形联接作三角形联接时，要求三绕组的电压对称，如不对称程度比较大，所产生的环路电流将烧坏绕组。对称三相电源在 Δ
联接时，不能将各电源的始末端接错，
否则将烧坏绕组。
事实上应该指出，由图 7.7-1可以看出：
对称三相电源可以认为它是星形连接的，
也可以认为是三角形连接的。
这要根据具体情况来选择。
重画图 7-7-1
三相负载也有 Y和 Δ 两种连接方式 。
下图表示 Y形三相负载连接到 Y形对称三相电源的情况 。 当三相负载相同时,即
ZA=ZB=ZC=Z,三相的线路也完全一样,则称为 对称三相电路 。
对称 Y－ Y三相电路
7-7-2 三相电路
1 Y－ Y联接的三相电路列出电路的节点方程，并代入
，得到 0CBA UUU
0
1313
N
CBA
N
CBA
NN
'?
ZZ
Z
UUU
ZZ
Z
U
Z
U
Z
U
U
由于,相当于中线短路，每相负载上的电压是相电压，其电流可以各相单独计算如下：
0NN ‘?U?
120
||
120
||
||
pC
C
pB
B
pA
A
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
注意：在对称三相四线制电路中，
中线阻抗并不影响相电流。
例 7-1 对称 Y-Y电路中,已知试求三相电流 。
解：由于,相当于中线短路，
可以按单相电路计算出三相电流,
j 1 0 )( 1 0V 314c o s2220)(A Zttu,
0NN ‘?U?
A7556.15
10j10
120220
A16556.15
10j10
120220
A4556.15
10j10
0220
C
C
B
B
A
A
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
在 Y-Y形联接的对称三相电路中，中线电流为零，中线可以不用，可以只用三根火线传输 (称为 三相三线制 )，以适合于高压远距离传输电之用。对于日常生活的低压用电，由于三相负载可能不完全对称，还有一定的中线电流存在，中线还必须保留，即采用 三相四线制 供电系统。假如不用中线，不对称三相负载的三相电压将不相同，过高的相电压可能损坏电气设备。
V12029.94
V95.981.303
V05.211.303
C
B
A
U
U
U
可见,A相和 B相的电压 由 220伏升高到
303伏，这两相的电气设备可能损坏； C
相的电压降低到 94伏，使得 C相的电气设备不能正常工作。
例如 将例 7-1中的 C相负载阻抗为
ZC=(2+j2)?，用正弦稳态电路的计算方法可得到在不用中线时的三相电压为可见，在三相四线制供电系统中，保险丝绝对不能接在中线上，因为中线断开后，各相负载上的电压将随负载大小变化，过高的电压可能损坏电气设备。
在 Y-Y联接的对称三相电路中，其负载电压电流关系为
pp3 IIUU ll
2 Y-Δ 联接的三相电路图 (a)表示 Y形联接的对称三相电源和
Δ 联接的对称负载,这也是一种对称三相电路 。 每相负载上的电压为线电压,
其相电流为
BC II
BC II
120
||
120
||
||
CA
CA
BC
BC
AB
AB
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
l
l
l
线电压相位分别为 0°,－ 120°,120° 时得
（ b）图
B
AB
A
I
I
I
BCC
CA
II
I
此时三根火线中的线电流为
CBA,,III
903
1503
303
BCCAC
ABBCB
CAABA
l
l
l
IIII
IIII
IIII
由此看出,Y-Δ 联接的对称三相电路中
，线电流是相电流的 倍，即3
p3 II l?
BC II
B
AB
A
I
I
I
BCC
CA
II
I
例 7-2 对称 Y-Δ 三相电路中,已知试求相电流和线电流 。
解：三个相电流为
60210V 314c o s2220)(AB Zttu,
A6056.15
60210
120220
A18056.15
60210
120220
A6056.15
60210
0220
CA
CA
BC
BC
AB
AB
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
三个线电流为
A30356.156056.156056.15
A150356.156056.1518056.15
A90356.1518056.156056.15
ABCAC
CaBcB
BCABA
III
III
III
相电流和线电流的相量图，如前图 (b)。
可以看出，在 Y-Δ 对称联接时，其负载电压电流关系为
pp 3 IIUU ll
当然，对称三相电路中的三角形负载也可以等效成星形负载来计算线电流。
c o s3c o s33 ppAAAY IUIUPP
其中 cos?是功率因数,?是相电压与相电流的相位差,UA,IA是相电压和相电流的有效值。由于线电压和线电流容易测量，注意到关系式,
上式变为 pp,3 IIUU ll
c o s3c o s33Y llll IUIUP
3 对称三相电路的功率对称 Y形联接负载吸收的总平均功率用相似的方法，得到对称 Δ 形联接负载吸收的总平均功率
c o s3c o s3c o s33 ppABABAB ll IUIUIUPP
最后得到对称三相电路中三相负载吸收的平均功率的一般公式
c o s3c o s3 pp ll IUIUP
在例 7-2的电路中，三相负载吸收的平均功率为
W7 2 6 245c o s56.152 2 03P
c os3
)]240c os ( 2[ c os
)]240c os ( 2[ c os
)]c os ( 2[ c os
)120) c os (120c os (
)120) c os (120c os (
)c os ()c os (
)()()()(
pp
pp
pp
pp
pmpm
pmpm
pmpm
CBA
IU
tIU
tIU
tIU
ttIU
tωtIU
ttIU
tptptptp
式中的三项交变分量之和为零，三相瞬时功率是不随时间变化的常数，并且等于其平均功率
。在这种情况下，三相电动机的转矩是恒定的
，有利于发电机和电动机的工作，是三相电路的优点之一。
下面讨论对称三相电路的瞬时功率,
例 7-3 三相电炉的三个电阻，可以接成星形，也可以接成三角形，常以此来改变电炉的功率。假设某三相电炉的三个电阻都是 43.32Ω,求在 380V线电压上
，把它们接成星形和三角形时的功率各为多少?
解,1,三相负载为星形联接时，如图
(a)所示，则线电流为
A0 6 4.5
32.43
3
3 8 0
p
p R
U
II l
三相负载吸收的功率为
W02.3333064.53803c o s3Yll IUP
2.三相负载为三角形联接时，如图 (b)所示，则相电流为
A7 7 1 9.832.43 3 8 0pp RURUI l
线电流为
A193.157719.833 p II l
W10W10000193.1538033 kIUP ll
三相电炉接成三角形吸收的功率是联接成星形时的三倍。
三相负载吸收的功率为本节讨论几种不同频率正弦信号激励的非正弦稳态的平均功率。图 7-8-1所示单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向的条件下，假设其电压和电流为
21
i222mi111m
u222mu111m
)c o s ()c o s ()(
)c o s ()c o s ()(
且
tItIti
tUtUtu
图 7-8-1
非正弦稳态的单口网络
7-8 非正弦周期电路的稳态分析单口网络的瞬时功率为
)c o s ()c o s (
)c o s ()c o s (
)c o s ()c o s (
)c o s ()c o s (
)()()(
i111mu222m
i222mu111m
i222mu222m
i111mu111m
tItU
tItU
tItU
tItU
titutp
瞬时功率随时间作周期性变化，有正交函数的特性，它在一个周期内的平均值（平均功率）为
21
2
0 22111
00c o sc o sd)(
1
PP
IUIUttp
T
P
T
这说明两种不同频率正弦信号激励的单口网络所吸收的平均功率等于每种正弦信号单独引起平均功率之和 。
一般来说,n 种不同频率正弦信号作用于单口网络引起的平均功率等于每种频率正弦信号单独引起的平均功率之和，即
nPPPPP 321其中
kkkikukkkk IUIUP c o s)c o s (
例 8-1 已知图 7-8-1所示单口网络的电压和电流为试求单口网络吸收的平均功率 。
解：分别计算每种频率正弦信号单独作用产生的平均功率
A)1353c o s (2A)601 0 c o s (( t )
V3c o s302c o s50c o s100100)(
tti
ttttu
W2.2113 5c os
2
230
0
W25 060c os
2
1010 0
0
32
10
PP
PP
将这些平均功率相加得到单口网络吸收的平均功率
W8.228)2.2102500(3220 PPPPP
例 8-2 已知流过 5Ω 电阻的电流为
,求电阻吸收的平均功率 。
解：分别计算各种频率成分的平均功率再相加，即
A2c o s25c o s2105)( ttti
W75051505)5105(
W7501255001255551055
2222
222
210
＝或
＝
P
PPPP
式中的 是周期性非正弦电流的有效值。
150?I
22
2
2
1
2
0
22
2
2
1
2
0
n
n
UUUUU
IIIII
一般来说，周期性非正弦电压和电流，
用傅里叶级数分解出它的直流分量和各种谐波分量后，可以用以下公式计算其有效值 。
引入周期性非正弦电压和电流的有效值后，可以用以下公式计算电阻的平均功率。
R
URIP 22
应该特别注意的是：
电路在 频率相同 的几个正弦信号激励时，不能用平均功率叠加的方法来计算正弦稳态的平均功率。应该先计算出总的电压和电流后，再用公式 P=UIcos?来计算平均功率。
补：一阶电路在正弦激励显下的全响应
r t r t r r ep p
t
( ) ( ) [ ( ) ( )]0 0?
也是 三要素法。
换路前后共有四种情况：
换路前 (DC,AC) 换路后 (DC,AC)
1,换路前 DC，换路后 DC； (第五章 )
2,换路前 DC，换路后 AC；
1?
1?
F5.0
V2c o s)( ttu S?
V3
a b
)(tuC
开关动作前电路已经稳定，求 i t( )
解,(1) 时，电容相当于开路，得t0
)0(V3)0( CC uu
i t( )
画 图，得0?
1?
V1)0(
Su
V3
A2)0(i
i( )0?
(2)相量法求 i t
p( )
1?
V01mSU?
j?
Im?
I
j
m
1 0
1
2
2
45
2
2
135
A)1352c o s (
2
2)( tti
p
(3)求 。
s21 RC?
A)0()0()()( 1 tpp eiititi
A)135c o s (
2
2
2)1352c o s (
2
2
)( 2 tetti
A5.2)1352c o s (
2
2)( 2 tetti
最后，代公式：
最后，得：
3,换路前 AC，换路后 DC；
1?
1?F5.0
ttu S 2c o s)(
V3
a b
)(tuC
开关动作前电路已经稳定，求 i t( )
解,(1) 时,电容不能看成开路,应该是正弦稳态电路。由相量法：
t?0
i t( )
45
2
201
1 j
jU
mC
V)452c o s (
2
2)( ttu
C?
CmU
1?
VU Sm 01?
j?
)0(V
2
1)45c o s (
2
2)0(
CC vu
画 图，得0?
1?
V3?
V
2
1
i( )0?
A5.2
1
2
1
3
)0(
i
(2)求终值 A0)(i
(3)求 。 s
2
1 RC?
最后，得：
A5.2)( 2 teti
4,换路前 AC，换路后 AC；
1?
1?
F5.0
ttu S 2c o s2)(2
a b 开关动作前电路已经稳定，求 。i t( )
解,(1) 时，相量法，得t0
i t( )
ttu S 2c o s)(1
1?
V01SmU?
j?
45
2
201
1 j
jU
mC
V)452c o s (
2
2)( ttu
C
)0(V
2
1)45c o s (
2
2)0(
CC vu
画 图，得0?
1?
V2?
V
2
1
i( )0?
A5.1
1
2
1
2
)0(
i
(2)相量法求 i t
p( )
1?
V02mSU?
j?
Im
I
jm
2 0
1 2 135
A)1 3 52c o s (2)( tti p
(3)求 。
s21 RC?
A)0()0()()( 1 tpp eiititi
A)135c o s (2
2
11)1352c o s (2)( 2 tetti?
A
2
1
)13 52c os (2
1
2
1
1)13 52c os (2)(
2
2
t
t
et
etti
最后，代公式：
最后，得：
No pains,No gains
Thank you for
your attention,
作业 18,p.222
7-25(3)
7-26
7-27
7-28
7-30
作业 19（ P.224）,7-34,7-35,7-36,7-37
思考题 1.求容性阻抗 Z吸收的平均功率和 pf。 已知,U=220 V,电流表 A1=7,A2=2,A3=6。
思考题 2.调节图示电路中的 L使电路消耗的功率为 3600W,试求 L值及电路的功率因数。已知 。 A1 0 0c o s21 0 0)(
S tti
iS 0.5?
0.03F
L
A1
A2 A3
+
-
R Z
U?
正弦稳态单口网络向可变负载传输最大功率的问题。
7-6-1 二端网络的功率端口电压和电流采用 关联 参考方向,它吸收的功率为
)()()( titutp?
正弦稳态时,端口电压和电流是相同频率的正弦量，即
)c o s (2)c o s ()(
)c o s (2)c o s ()(
iim
uum
tItIti
tUtUtu
1、瞬时功率瞬时功率为
)22c o s (c o s
)]2c o s ()[ c o s (
2
1
)c o s ()c o s ()()()(
u
iuiumm
imum
ZZ
tUIUI
tIU
tItUtitutp
Z=?u-?i是电压与电流的相位差。瞬时功率由一个恒定分量和一个频率为 2ω 的正弦分量组成，周期性变化，当 p(t)>0时，
该网络吸收功率；当 p(t)<0时，该网络发出功率。瞬时功率的波形如图所示。
Z
UIcos?Z
Z
T
Z
T
UI
ttUIYI
T
ttp
T
P
c os
d)]2c os (c os[
1
d)(
1
0
iu
0
平均功率不仅取决于电压电流有效值乘积 VI，还与阻抗角?Z=?u-?I有关。
2、平均功率 (有功功率 )
简称功率,在一个周期内的 平均值：
几种特殊情况 。
1、网络等效阻抗为一个电阻。
)2t2c o s ()( u UIUItp
此时网络电压与电流相位相同，即
Z=?u-?i=0,cos?Z=1，
波形如图 。 p(t)在任何时刻均大于或等于零,电阻始终吸收功率和消耗能量 。
R
URIUIP 22
用电压、电流有效值后，计算电阻消耗的平均功率公式，与直流电路中相同。
若用电流、电压的振幅值，上述公式为此时平均功率：
R
URIIUP m
mmm
2
2
2
1
2
1
2
1
2、网络等效阻抗为一个电抗。
此时单口网络电压与电流相位为正交关系，即?Z=?u-?i=?90?,(+电感－电容 )
)9022c o s ()(
)9022c o s ()(
uC
uL
tUItp
tUItp
若假设电压初相为零，得
tUItIU
tItU
tItUtp
tUItIU
tItU
tItUtp
mm
mm
mmL
mm
mm
mmC
2s i n2s i n
2
1
)s i n(c os
)
2
c os (c os)(
2s i n2s i n
2
1
)s i n(c os
)
2
c os (c os)(
是频率为 2?的正弦量,在一段时间内
p(t)>0，电感或电容吸收功率获得能量；另外一段时间内 p(t)<0，电感或电容发出功率释放出它所获得的全部能量。
显然，平均功率为可见，电感和电容不消耗能量，它们是无源元件。但要 注意,它们的瞬时功率并不为零。或者说，电感和电容需要电源 (外电路 )供给一定的瞬时功率以满足能量不断的往返交换。
P? 0
定义：无功功率把瞬时功率的振幅 (最大值 )定义为电感和电容的无功功率，以表明电感和电容与外电路电流和电压不断往返的程度。即
UIQ
UIQ
C
L
3,任意二端网络的情况电阻分量消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。
ZIUP?c o s?
设二端网络
R
U
P
G
I
P
GURIUIP
BjGYXjRZ
Z
22
22
c o s
3、视在功率表示一个电气设备的容量，是单口网络所吸收平均功率的最大值，单位：
伏安 (VA)。例如我们说某个发电机的容量为 100kVA，而不说其容量为
100kW
UIS?
4,功率因数
S
Ppf
Zc o s
Z=?u-?i为功率因数角。当二端网络为无源元件 R,L,C组成时：
|?Z|<90?,0< pf <1。
Z<0,电路呈容性,电流 导前 电压；
Z>0,电路感呈性,电流 滞后 电压 。
网络吸收的平均功率 P与 cos?Z的大小密切相关,cos?Z表示功率的利用程度，
称为功率因数为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施力求提高功率因数。例如使用镇流器的日光灯电路，它等效于一个电阻和电感的串联，其功率因数小于 1，它要求线路提供更大的电流。
为了提高日光灯电路的功率因数，一个常用的办法是在它的输入端并联一个适当数值的电容来抵销电感分量，
使其端口特性接近一个纯电阻以便使功率因数接近于 1。
5、无功功率
tIUtIU
tIUtIUIU
tIUIUtp
ZZ
ZZZ
ZZ
2s i ns i n)2c o s1(c o s
2s i ns i n2c o sc o sc o s
)2c o s (c o s)(
上式第二项 的最大值为 二端网络的无功功率 Q 。 即
ZUIQ?s in?
可验证 L和 C时的 特殊情况。
无功功率反映电源 (或外电路 )和单口网络内储能元件之间的能量交换情况，单位为乏 (var)(无功伏安：
volt amper reactive)
与功率计算类似,
X
U
Q
B
I
Q
BUXIUIQ
Z
22
22
s i n
6、复 功 率为了便于用相量来计算平均功率,引入复功率 。 工作于正弦稳态的网络,其电压电流采用关联的参考方向,设
i
u
II
UU
QPUIUI
UIUIIUS
ZZ
Z
js i njc o s
~
iu
*
单位,VA
I?
U? N
复功率还有两个常用的公式：
YUYVUYUUIUS
ZIIIZIUS
2
~
2
~
)(
注意：电流、电压若用振幅值时，不要忘了要乘 1/2。
7,复功率守恒复功率守恒定理：对于工作于正弦稳态的电路,由每个独立电源发出的复功率的总和等于电路中其它电路元件所吸收复功率的总和：
吸收发出 SS ~~
由此可以导出一个正弦稳态电路的有功功率和无功功率也是守恒的结论。
正弦稳态电路中，由每个独立电源发出的有功功率的总和等于电路中其它元件所吸收的有功功率的总和；由每个独立电源发出的无功功率的总和等于电路中其它元件所吸收的无功功率的总和：
吸收发出吸收发出 QQPP
由此可得网络吸收的有功功率等于该网络内每个电阻吸收的平均功率总和。注意正弦稳态电路中视在功率并不守恒。
8、功率三角形
Z
P
Q
S
阻抗三角形，导纳三角形，电压三角形，电流三角形和功率三角形都是相似三角形。
例 17 电路相量模型如图,端口电压的有效值 U=100V.试求该网络的 P,Q、
,S,pf。
S~
解,设端口电压相量为：
9.36106j8
8j814j
j 1 616
j 1 661
14jZ
16? j16?
-j14?
+
-
U?
网络的等效阻抗：
V01 0 0U
9.36
V a r60 0]
~
I m [
W80 0]
~
R e [
VA10 00
~
VA60 080 09.3610 00
9.3610010 0
~
1
*
S
Z
SQ
SP
SS
j
IUS
由于因此
A9.36109.3610 01 0 01
ZUI
故：
所以 8.0)9.36c o s (c o s
Zpf?
（导前）
例 18 感性负载接在 U=220V,f=50Hz的交流电源上,其平均功率 P=1.1KW,功率因数 pf=0.5，欲并联电容使负载的功率因数提高到 0.8(滞后 ),求电容。
解：负载电流有效值,
A105.02 2 0 101.1
3
pfU PI
感性负载的阻抗角,
I?
U?
感性负载
'I?
CI?C
605.0a r c c o sZ?
设 电压相量为,V0220U
则负载电流相量,
9.368.0a r c c o s'Z?
A6010I
并联电容后，电源电流有效值,
A25.68.0220 101.1''
3
pfU PI
由于 pf’=0.8 (滞后 ),
因此功率因数角,
A9.3625.6'I
U?'I?
I?
CI?
A9091.4j 8,6 6 )-(5-,7 53j5
60109.3625.6'
III C
并联电容后，不会影响电阻吸收的平均功率。但电容电流抵消了部分感性负载的电流，功率因数变大，电源电流的有效值由原来的 10A减小到 6.25A，提高了电源效率。
μF71
220314
91.4
C?
U
I
CUI
C
C
由于,
得,
例 19 电路工作于正弦稳态,已知电压源电压为,试求该电压源发出的平均功率 。
V cos22)(S ttu?
解：电路的相量模型如图 (b)所示。先求出连接电压源单口网络的等效阻抗
1j15.0j5.05.1j5.0j11 j 1 )1j 1 ) ( j 1(5.1j5.0Z
分流公式求电流
A9011j452452 1j1j1 1j 12 II
可用以下几种方法求电源发出的平均功率
W212)1j1R e ()R e (4
W2115.023
W2)
~
R e (2j24522
~
2
W2c os 4522c os1
2
1
2
1
2
2
21
2
1
1
*
S
1S
IZIP
RIRIP
SPIUS
IUP
Z
发出发出发出
用欧姆定律求电流 A452
1j1
02S
1
ZUI
7-6-2 最大功率传输图 (a)所示含独立电源网络用戴维南等效电路代替,得到图 (b)。 其中,是含源网络的开路电压,Zo=Ro+jXo是含源网络的输出阻抗,ZL=RL+jXL是负载阻抗 。
ocU?
负载电流：
LLL XRXR
U
ZZ
UI
jj 00
oc
0
oc
2
L0
2
L0
oc
)()( XXRR
UI
2
L0
2
L0
2
L
2
)()( XXRR
RURIP Loc
负载吸收的平均功率：
当 XL=-Xo时，分母最小，此时得 RL=Ro。
负载获得最大功率的条件 是
ooo
*
LLL jj XRZXRZ
所获最大功率：
o
2
oc
m a x 4 R
UP?
2
L0
L
2
oc
)( RR
RUP
求导数，并令其等于零。
0
)(
)(2)(
d
d 2
oc4
L0
LL0
2
L0
L
U
RR
RRRRR
R
P
最大功率传输定理：工作于正弦稳态的网络向一个负载 ZL=RL+jXL供电,由戴维南定理 (其中 Zo=Ro+jXo),则在负载阻抗等于含源网络输出阻抗的共轭复数 (
即 ） 时,
负载可以获得最大平均功率：
o
2
oc
m a x 4 R
UP?
o
*
L ZZ?
满足 的匹配，称为 共轭匹配 。o*L ZZ?
例 20 图示电路,已知 ZL为可调负载,
试求 ZL为何值时可获最大功率?最大功率为多少?
解,ab以左 运 用戴维南电路,得 右图。
V4525010
2j2
2j
OC
U
j2? ZL
2?
+
10∠0 oV
-
a
b
ZL
Z0
+
-
a
b
ocU?
1j12j2 2j2OZ
所以,当 时, 1j1* OL ZZ
可获最大功率,
W5.12
14
)25(
4
2
o
2
oc
m a x R
UP
在通信和电子设备的设计中,常常要求满足共轭匹配,以便使负载得到最大功率 。 在负载不能任意变化的情况下,可以在含源单口网络与负载之间插入一个匹配网络来满足负载获得最大功率的条件 。
例 21 单口网络如图，电源角频率
ω =1000rad/s,为使 RL从单口网络中获得最大功率，试设计一个由电抗元件组成的网络来满足共轭匹配条件。
RL=
1000?
100?
+
100∠0 oV
-
a
b
解,1 若不用匹配网络，将 1000Ω 负载与电抗网络直接相连时，负载电阻获得的平均功率为
W26.81 0 0 01 0 0 01 0 0 1 0 0
2
L
P
2 若采用匹配网络满足共轭匹配条件，
1000Ω 负载电阻可能获得的最大平均功率为可见，采用共轭匹配网络，负载获得的平均功率将大大增加。
W251 0 01 0 01 0 01 0 0
2
L
P
由 LC匹配网络和负载形成网络的输入阻抗,
ooo
*
2
2
2
L
L
ab
j
)(1
j
)(1
j
j
1
j
1
j
XRZ
CR
CR
CR
R
L
C
R
C
R
LZ
L
L
L
L
3 设计一个由电感和电容构成的网络来满足共轭匹配条件,以使负载获最大功率 。
上图网络是可满足上述条件的一种方案。
令上式两边实部与虚部分别相等可得,
11
o
L
L
RRRC?
代入参数,得,
F33 m S mS31101000 1 CC
oL RCRL
2
2
o
2o
)(1
)(1
CR
CR
LX
CR
R
R
L
L
L
L
即,
H3.0
1 0 0 0
300
3001010 23oL
L
L
RCRL 3103
以上计算表明，如果选择 L=0.3H,
C=3?F，图中 ab两端以右单口网络的输入阻抗等于 100Ω,它可以获得 25W的最大功率，由于其中的电感和电容平均功率为零，根据平均功率守恒定理，这些功率将为 RL=1000?的负载全部吸收。
实际上还有一种情况：负载阻抗的模任意改变，而其阻抗角不能变。
用相同的方法，可得
Z ZL O?
时负载可获得最大功率。
数学意义上讲，这时负载可获得的功率为极大值。并不是最大值。
满足 的匹配，称为 模匹配 。Z ZL O?
正弦稳态晌应的叠加几个频率不同的正弦激励在线性时不变电路中产生的稳态电压和电流,可以利用叠加定理 ----先用相量法分别计算每个正弦激励单独作用时产生的电压电流相量,然后得到电压 uk(t)电流和
ik(t),最后相加求得总的稳态电压 u(t)
和电流 i(t)。
例 22 图 (a)中，
uS(t)=20cos(100t+10?)V,试用叠加定理求稳态电压 u(t)。
解,1 电压源单独作用时,将电流源以开路代替,得图 (b)相量模型,则,
V551010210
5j5
5j
5j5
5j'
S
UU
A)50200c o s (2)(S tti
由相量写出相应的时间表达式
V)551 0 0c o s (210)(' ttu
2 电流源单独作用时,将电压源用短路代替,得图 (c)所示相量模型,则,
由相量写出相应的时间表达式
V)6.761 0 0c o s (247.4)('' ttu
V6.7647.450110j5 50j10j5 50j'' S IU
3 叠加求稳态电压 u(t)
将每个正弦电源单独作用时产生的电压在时间域相加，得到非正弦稳态电压,
它们的波形如下图所示。
V)6.76200c o s (247.4V)55100c o s (210
)('')(')(
tt
tututu
的波形如图 (a)所示。图 (b)
绘出 的波形，可见，两个不同频率正弦波相加得到一个非正弦周期波形。
)('' )(' tutu 和
)('')(')( tututu
两个不同频率的正弦波形的叠加
7－ 7 三相电路由三相电源、三相线路和三相负载组成的电路称为三相电路。三相供电系统具有很多优点，为各国广泛采用。
三相电路的分析计算其实可以看成一个正弦稳态电路的分析计算问题。 对于对称三相电路由其特殊性，可以用更简单的方法去分析计算。
三相发电机三相供电系统的三相电源是三相发电机。三相发电机的结构如图，它有 定子 和转子 两大部分。
7-7-1 三相电源定子铁心的内圆周的槽中对称地安放着三个绕组 AX,BY和 CZ。 A,B,C为首端； X,Y,Z为末端。三绕组在空间上彼此间隔 120?。转子是旋转的电磁铁。
它的铁心上绕有励磁绕组。
当转子恒速旋转时,AX,BY,CZ
三绕组的两端将分别感应 振幅相等,频率相同 的三个正弦电压 uA(t),uB(t)、
uc(t);
三个电源的的 初相互相差 120?。
若以 作为参考相量,这三个电压相量为 A
U?
120 120 0 pCpBpA UUUUUU
1 2 0
1 2 0
0
pC
pB
pA
UU
UU
UU
对称三相电压源的相量图和波形图相量图 和 波形图 分别如图 (a),(b)所示。这样三个 振幅相等、频率相同、相位差 120° 的一组正弦电源称为 对称三相正弦电源 。它们分别称为 A相,B相和 C相
，每相的电压称为 相电压 。
按照各相电压经过正峰值的先后次序来说，它们的相序是 A,B,C（或 B,C、
A;C,A,B）称为 正序 (顺序 ),如果各相电压到达正峰值的次序为 A,C,B（
或 C,B,A； B,A,C）则称为 负序 (
逆序 )。 用户可以改变三相电源与三相电动机的连接方式来改变相序，从而改变三相电动机的旋转方向。
通常，非特别说明，三相电源均为正序连接。
1.星形联接
（又称 Y形联接 )
三相电源的末端 X,Y,Z接在一起，形成一个节点，记为 N，称为中性点或中点，将各相的首端 A,B,C以及中点 N
与四根输电线（分别称为火线和中线）联接，如图 7.7-1(a)所示。
三相电源有两种基本联接方式：
(与传输线相联接的 )负载，可以从火线与中线之间得到三个 相电压,用表示，也可以从三根火线之间得到三个 线电压,用 表示。线电压与相电压之间的关系可以从图 7.7-1(b)相量图中计算出来。
CBA UUU,、
CABCAB UUU,、
7.7-1三相电压源的星形联接
1503
903
303
PACCA
PCBBC
PBAAB
UUUU
UUUU
UUUU
7.7-1三相电压源的星形联接线电压是相电压的 倍，即3 p3UU l?
例如日常生活用电是 220V相电压，相应的线电压则是 380V。
即从相量图上可以看出，三个对称相电压以及三个对称线电压之间存在以下关系：
0
0
CABCAB
CBA
UUU
UUU
此结论可以推广到 任意对称多相电路的
（线、相）电压和电流之和为零。
流过火线的 线电流 等于流过每相电源的相电流，即
pl II?
2.三角形联接三相电源的三角形联接
(又称 Δ 联接 )
它是将三相电源各相的始端和末端依次相连，再由 A,B,C引出三根火线线与负载相连，如图所示。
三相电源的三角形联接作三角形联接时，要求三绕组的电压对称，如不对称程度比较大，所产生的环路电流将烧坏绕组。对称三相电源在 Δ
联接时，不能将各电源的始末端接错，
否则将烧坏绕组。
事实上应该指出，由图 7.7-1可以看出：
对称三相电源可以认为它是星形连接的，
也可以认为是三角形连接的。
这要根据具体情况来选择。
重画图 7-7-1
三相负载也有 Y和 Δ 两种连接方式 。
下图表示 Y形三相负载连接到 Y形对称三相电源的情况 。 当三相负载相同时,即
ZA=ZB=ZC=Z,三相的线路也完全一样,则称为 对称三相电路 。
对称 Y－ Y三相电路
7-7-2 三相电路
1 Y－ Y联接的三相电路列出电路的节点方程，并代入
，得到 0CBA UUU
0
1313
N
CBA
N
CBA
NN
'?
ZZ
Z
UUU
ZZ
Z
U
Z
U
Z
U
U
由于,相当于中线短路，每相负载上的电压是相电压，其电流可以各相单独计算如下：
0NN ‘?U?
120
||
120
||
||
pC
C
pB
B
pA
A
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
注意：在对称三相四线制电路中，
中线阻抗并不影响相电流。
例 7-1 对称 Y-Y电路中,已知试求三相电流 。
解：由于,相当于中线短路，
可以按单相电路计算出三相电流,
j 1 0 )( 1 0V 314c o s2220)(A Zttu,
0NN ‘?U?
A7556.15
10j10
120220
A16556.15
10j10
120220
A4556.15
10j10
0220
C
C
B
B
A
A
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
在 Y-Y形联接的对称三相电路中，中线电流为零，中线可以不用，可以只用三根火线传输 (称为 三相三线制 )，以适合于高压远距离传输电之用。对于日常生活的低压用电，由于三相负载可能不完全对称，还有一定的中线电流存在，中线还必须保留，即采用 三相四线制 供电系统。假如不用中线，不对称三相负载的三相电压将不相同，过高的相电压可能损坏电气设备。
V12029.94
V95.981.303
V05.211.303
C
B
A
U
U
U
可见,A相和 B相的电压 由 220伏升高到
303伏，这两相的电气设备可能损坏； C
相的电压降低到 94伏，使得 C相的电气设备不能正常工作。
例如 将例 7-1中的 C相负载阻抗为
ZC=(2+j2)?，用正弦稳态电路的计算方法可得到在不用中线时的三相电压为可见，在三相四线制供电系统中，保险丝绝对不能接在中线上，因为中线断开后，各相负载上的电压将随负载大小变化，过高的电压可能损坏电气设备。
在 Y-Y联接的对称三相电路中，其负载电压电流关系为
pp3 IIUU ll
2 Y-Δ 联接的三相电路图 (a)表示 Y形联接的对称三相电源和
Δ 联接的对称负载,这也是一种对称三相电路 。 每相负载上的电压为线电压,
其相电流为
BC II
BC II
120
||
120
||
||
CA
CA
BC
BC
AB
AB
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
l
l
l
线电压相位分别为 0°,－ 120°,120° 时得
（ b）图
B
AB
A
I
I
I
BCC
CA
II
I
此时三根火线中的线电流为
CBA,,III
903
1503
303
BCCAC
ABBCB
CAABA
l
l
l
IIII
IIII
IIII
由此看出,Y-Δ 联接的对称三相电路中
，线电流是相电流的 倍，即3
p3 II l?
BC II
B
AB
A
I
I
I
BCC
CA
II
I
例 7-2 对称 Y-Δ 三相电路中,已知试求相电流和线电流 。
解：三个相电流为
60210V 314c o s2220)(AB Zttu,
A6056.15
60210
120220
A18056.15
60210
120220
A6056.15
60210
0220
CA
CA
BC
BC
AB
AB
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
三个线电流为
A30356.156056.156056.15
A150356.156056.1518056.15
A90356.1518056.156056.15
ABCAC
CaBcB
BCABA
III
III
III
相电流和线电流的相量图，如前图 (b)。
可以看出，在 Y-Δ 对称联接时，其负载电压电流关系为
pp 3 IIUU ll
当然，对称三相电路中的三角形负载也可以等效成星形负载来计算线电流。
c o s3c o s33 ppAAAY IUIUPP
其中 cos?是功率因数,?是相电压与相电流的相位差,UA,IA是相电压和相电流的有效值。由于线电压和线电流容易测量，注意到关系式,
上式变为 pp,3 IIUU ll
c o s3c o s33Y llll IUIUP
3 对称三相电路的功率对称 Y形联接负载吸收的总平均功率用相似的方法，得到对称 Δ 形联接负载吸收的总平均功率
c o s3c o s3c o s33 ppABABAB ll IUIUIUPP
最后得到对称三相电路中三相负载吸收的平均功率的一般公式
c o s3c o s3 pp ll IUIUP
在例 7-2的电路中，三相负载吸收的平均功率为
W7 2 6 245c o s56.152 2 03P
c os3
)]240c os ( 2[ c os
)]240c os ( 2[ c os
)]c os ( 2[ c os
)120) c os (120c os (
)120) c os (120c os (
)c os ()c os (
)()()()(
pp
pp
pp
pp
pmpm
pmpm
pmpm
CBA
IU
tIU
tIU
tIU
ttIU
tωtIU
ttIU
tptptptp
式中的三项交变分量之和为零，三相瞬时功率是不随时间变化的常数，并且等于其平均功率
。在这种情况下，三相电动机的转矩是恒定的
，有利于发电机和电动机的工作，是三相电路的优点之一。
下面讨论对称三相电路的瞬时功率,
例 7-3 三相电炉的三个电阻，可以接成星形，也可以接成三角形，常以此来改变电炉的功率。假设某三相电炉的三个电阻都是 43.32Ω,求在 380V线电压上
，把它们接成星形和三角形时的功率各为多少?
解,1,三相负载为星形联接时，如图
(a)所示，则线电流为
A0 6 4.5
32.43
3
3 8 0
p
p R
U
II l
三相负载吸收的功率为
W02.3333064.53803c o s3Yll IUP
2.三相负载为三角形联接时，如图 (b)所示，则相电流为
A7 7 1 9.832.43 3 8 0pp RURUI l
线电流为
A193.157719.833 p II l
W10W10000193.1538033 kIUP ll
三相电炉接成三角形吸收的功率是联接成星形时的三倍。
三相负载吸收的功率为本节讨论几种不同频率正弦信号激励的非正弦稳态的平均功率。图 7-8-1所示单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向的条件下，假设其电压和电流为
21
i222mi111m
u222mu111m
)c o s ()c o s ()(
)c o s ()c o s ()(
且
tItIti
tUtUtu
图 7-8-1
非正弦稳态的单口网络
7-8 非正弦周期电路的稳态分析单口网络的瞬时功率为
)c o s ()c o s (
)c o s ()c o s (
)c o s ()c o s (
)c o s ()c o s (
)()()(
i111mu222m
i222mu111m
i222mu222m
i111mu111m
tItU
tItU
tItU
tItU
titutp
瞬时功率随时间作周期性变化，有正交函数的特性，它在一个周期内的平均值（平均功率）为
21
2
0 22111
00c o sc o sd)(
1
PP
IUIUttp
T
P
T
这说明两种不同频率正弦信号激励的单口网络所吸收的平均功率等于每种正弦信号单独引起平均功率之和 。
一般来说,n 种不同频率正弦信号作用于单口网络引起的平均功率等于每种频率正弦信号单独引起的平均功率之和，即
nPPPPP 321其中
kkkikukkkk IUIUP c o s)c o s (
例 8-1 已知图 7-8-1所示单口网络的电压和电流为试求单口网络吸收的平均功率 。
解：分别计算每种频率正弦信号单独作用产生的平均功率
A)1353c o s (2A)601 0 c o s (( t )
V3c o s302c o s50c o s100100)(
tti
ttttu
W2.2113 5c os
2
230
0
W25 060c os
2
1010 0
0
32
10
PP
PP
将这些平均功率相加得到单口网络吸收的平均功率
W8.228)2.2102500(3220 PPPPP
例 8-2 已知流过 5Ω 电阻的电流为
,求电阻吸收的平均功率 。
解：分别计算各种频率成分的平均功率再相加，即
A2c o s25c o s2105)( ttti
W75051505)5105(
W7501255001255551055
2222
222
210
＝或
＝
P
PPPP
式中的 是周期性非正弦电流的有效值。
150?I
22
2
2
1
2
0
22
2
2
1
2
0
n
n
UUUUU
IIIII
一般来说，周期性非正弦电压和电流，
用傅里叶级数分解出它的直流分量和各种谐波分量后，可以用以下公式计算其有效值 。
引入周期性非正弦电压和电流的有效值后，可以用以下公式计算电阻的平均功率。
R
URIP 22
应该特别注意的是：
电路在 频率相同 的几个正弦信号激励时，不能用平均功率叠加的方法来计算正弦稳态的平均功率。应该先计算出总的电压和电流后，再用公式 P=UIcos?来计算平均功率。
补：一阶电路在正弦激励显下的全响应
r t r t r r ep p
t
( ) ( ) [ ( ) ( )]0 0?
也是 三要素法。
换路前后共有四种情况：
换路前 (DC,AC) 换路后 (DC,AC)
1,换路前 DC，换路后 DC； (第五章 )
2,换路前 DC，换路后 AC；
1?
1?
F5.0
V2c o s)( ttu S?
V3
a b
)(tuC
开关动作前电路已经稳定，求 i t( )
解,(1) 时，电容相当于开路，得t0
)0(V3)0( CC uu
i t( )
画 图，得0?
1?
V1)0(
Su
V3
A2)0(i
i( )0?
(2)相量法求 i t
p( )
1?
V01mSU?
j?
Im?
I
j
m
1 0
1
2
2
45
2
2
135
A)1352c o s (
2
2)( tti
p
(3)求 。
s21 RC?
A)0()0()()( 1 tpp eiititi
A)135c o s (
2
2
2)1352c o s (
2
2
)( 2 tetti
A5.2)1352c o s (
2
2)( 2 tetti
最后，代公式：
最后，得：
3,换路前 AC，换路后 DC；
1?
1?F5.0
ttu S 2c o s)(
V3
a b
)(tuC
开关动作前电路已经稳定，求 i t( )
解,(1) 时,电容不能看成开路,应该是正弦稳态电路。由相量法：
t?0
i t( )
45
2
201
1 j
jU
mC
V)452c o s (
2
2)( ttu
C?
CmU
1?
VU Sm 01?
j?
)0(V
2
1)45c o s (
2
2)0(
CC vu
画 图，得0?
1?
V3?
V
2
1
i( )0?
A5.2
1
2
1
3
)0(
i
(2)求终值 A0)(i
(3)求 。 s
2
1 RC?
最后，得：
A5.2)( 2 teti
4,换路前 AC，换路后 AC；
1?
1?
F5.0
ttu S 2c o s2)(2
a b 开关动作前电路已经稳定，求 。i t( )
解,(1) 时，相量法，得t0
i t( )
ttu S 2c o s)(1
1?
V01SmU?
j?
45
2
201
1 j
jU
mC
V)452c o s (
2
2)( ttu
C
)0(V
2
1)45c o s (
2
2)0(
CC vu
画 图，得0?
1?
V2?
V
2
1
i( )0?
A5.1
1
2
1
2
)0(
i
(2)相量法求 i t
p( )
1?
V02mSU?
j?
Im
I
jm
2 0
1 2 135
A)1 3 52c o s (2)( tti p
(3)求 。
s21 RC?
A)0()0()()( 1 tpp eiititi
A)135c o s (2
2
11)1352c o s (2)( 2 tetti?
A
2
1
)13 52c os (2
1
2
1
1)13 52c os (2)(
2
2
t
t
et
etti
最后，代公式：
最后，得：
No pains,No gains
Thank you for
your attention,
作业 18,p.222
7-25(3)
7-26
7-27
7-28
7-30
作业 19（ P.224）,7-34,7-35,7-36,7-37
思考题 1.求容性阻抗 Z吸收的平均功率和 pf。 已知,U=220 V,电流表 A1=7,A2=2,A3=6。
思考题 2.调节图示电路中的 L使电路消耗的功率为 3600W,试求 L值及电路的功率因数。已知 。 A1 0 0c o s21 0 0)(
S tti
iS 0.5?
0.03F
L
A1
A2 A3
+
-
R Z
U?
