1
1.3 流体流动的基本方程
1.3.1 基本概念
1.3.2 质量衡算 --连续性方程方程
1.3.3 机械能衡算
2
1.3.3 机械能衡算
先假设流体粘度为零，导出理想流体
的机械能守恒,得到相应的方程，经粘
度修正，用于实际流体。
?
?
?
?
?
能量守恒
动量守恒
质量守恒
三大守恒定律
在运动流体中，取一立方微元，假设
粘度为零，微元表面不受剪应力。在
运动流体中各力不平衡，造成加速度
du/dt。
1.理想流体机械能衡算方程
纳维尔－斯托克斯运动微分方程的简化式,
以上三个方程两边分别同乘以 dx,dy,dz,得
X --- gx
Y --- gy
Z --- gz
而
代入上式得
此三式相加，注意到
可得
重力场中，取 z轴垂直向上
上式可简化为,
对不可压缩流体,ρ为常数，积分后可进一步简化为
不可压缩 理想流体 作稳定
流时的机械能衡算式－ 伯
努利方程
伯努利方程的物理意义：三项机械能之和为常数。
或
几何意义：位头、压头、速度头总高为常数
伯努利方程的应用条件,
（ 1）重力场，稳定流动，不可压缩的理想流体；
（ 2）无外加机械能或机械能输出。
Q 2
换热器
2
z 2
1 泵
z 1 1 h e
对实际流体：粘度不为 0，且有外加机械能，修正为,
21,
2
2
2
2
1
2
1
1 22 ????????? fs W
pu
gzW
pu
gz
??
w f,1 - 2 称为摩擦损失，永远
为正，单位 J / k g
总机械能 Et 机械能衡算方程
（柏努利方程）
每一项单位均为 J/ kg
21,
2
2
2
2
1
2
1
1 22 ????????? fe Hg
p
g
uzH
g
p
g
uz
??
或
每一项单位均为 m外加
压
头
静
压
头
动
压
头
位
头
压
头
损
失
适用条件：不可压缩、连续、
均质流体、等温流动
2.实际流体机械能衡算方程
21,
2
2
)(
????
?????
fs WW
puZg
?
不可压缩流体的 B.E（ 总能量衡算式）讨论
a.基准,单位质量流体,单位,J/Kg
b.物理意义,各项均表示单位质量流体具有的能量
gZ1,u12/2,P1/ρ, gZ2,u22/2,P2/ρ 分别 为截面 1
和 2上单位质量流体所具有的位能、动能和静压能 ;
Z,p,u为状态函数。管内流动 u,z,p,?为平均值。
Ws, Wf,1-2为流体在截面 1→2 之间 获得和 消耗的能量,
是过程函数 。
Ws,输送设备对单位质量流体所作的有效功 → 选用输
送设备的重要依据。
21,
2
2
2
2
1
2
1
1 22 ????????? fs W
pugzWpugz
??
c.方程两边同时除以 g,可得单位重量流体（ 1N） 的 B.E
各项均表示单位重量流体具有的能量； 单位,[J/N或 m液柱 ]
21,
2
2 ????
?????
fe HHg
p
g
uZ
?
d.物理意义,各项均表示单位重量流体具有的能量
Z1、△ u12/2g,P1/ρ g为截面 1上流体所具有的位压头、动
压头和静压头 ;Z2、△ u22/2g,P2/ρ g为截面 2上流体所具
有的位压头、动压头和静压头 ;
He（ 扬程）, 输送设备对流体所提供的有效压头 He=WS/g
Hf,1-2为流体在截面 1→2 之间的 压头损失 。
21,
2
2
2
2
1
2
1
1 22 ????????? fe Hg
p
g
uzH
g
p
g
uz
??
e.外界没有向系统加入外功, Ws=0 He =0, 则
02 21,
2
???????? ?fHgpguZ ?
21,
2
2
2
2
1
2
1
1 22 ???????? fHg
p
g
uZ
g
p
g
uZ
??
f.理想流体，无外加功, Ws=0,He =0 ; ΣHf,1-2=0,
ΣWf,1-2=0
常数??????
g
p
g
uZ
g
p
g
uZ
??
2
2
2
2
1
2
1
1 22
0
2
2
??????
g
p
g
uZ
?
21,21 ???? fWEE
由于 W f,1 - 2 >0,故 E 1 > E 2
这说明流体能自动从高（机械能）能位流向低（机械能）能位 实际流体（非理想）系统能量随流动 ↓
[物理意义 ],1kg理想流体在各个截面上所具有的总机械
能 E守衡，各项不一定相等，三种形式的能可以互相转换，
总和不变。 E1=E2
g.静止流体
静力学基本方程式常数,,,,,,,,2211 ???? gpZgpZ ??
需要指出的是,
1).B.E（ 有时需要和连续性方程, 动量守恒定律联合 ） 可用于计
算管路中的流量, 设备间的相对位置, 输送设备的有效功率
及管路中流体的压强关系, B.E是本章的核心；
2).B.E的应用条件：稳定, 连续, 不可压缩流体系统, 在选定的
两截面间, 系统与周围环境无能量和质量交换, 满足连续性
方程；
图为水平通风管道中的一段,该管道的
直径自 300mm渐缩为 200mm,为了粗略估计其
中的空气流量，在锥形接头两端分别测得 粗
管截面 1-1的表压强为 1200Pa,细管截面 2-2
的表压强为 800Pa,空气流过锥形管的能量损
失可忽略,求空气的流量。空气温度为 20℃,
当地大气压强为 101.33KPa 。
例 1.确定管道内的流体流量
1
1’ 2’
2
解：在截面 1-1,2-2间列 B.E,并通过管道中心线作基准水平
面, 由于两截面间无外加功加入, Ws=0,能量损失可略,
Σ Wf,1-2=0
??
2
2
2
2
1
2
1
1 22
pugZpugZ ?????
解出 u1=12.7m/s Vh=3600× (π／ 4).d12u1
=3600× 0.785× 0.09× 12.7=3234m3/h
Z1=Z2=0,P1=1200Pa（ 表 ）,P2=800Pa（ 表 ）,取空气的平均
分子量为 29 Kg/Kmol,在截面 1-1,2-2间空气平均密度为,
3
0
0 /22.1
1 0 1 3 3 02 9 3
)
2
8 0 01 2 0 0
1 0 1 3 3 0(2 7 3
4.22
29
.
4.22
mkg
TP
PTM
m ??
?
??
???? ??
)2()2.0 3.0()( 212
2
1
12 ????????????? ud
duu由连续性方程
)1(22.1800222.112002
2
2
2
1 ???????????? uu
故
（ 1）绘出流体流动系统的示意图，并根据要求确定流体
流动系统的衡算范围 (控制体 )。
（ 2）选取截面, 根据题意定出上下截面,一般把上下游
截面选取在已知数较多或含有待求量的地方，并指出流
体的流动方向，截面选取必须与流动方向垂直，且在两
截面间流体必须是连续的 ；上下游截面确定后，两截面
及其间的管道内壁和容器内壁即构成相应的控制体。上
下游截面上单位质量流体所具有的位能和静压能按管道
轴心线的流线上的值计算；
（ 3）选择基准水平面, 通常取基准水平面通过衡算范围
的两个截面中的任一截面，截面上方为, +”,截面下
方为, —,,, Z”→ 截面中心点到基准水平面间的垂直
距离；
（ 4）进行衡算 。
B.E 解题步骤
注意,
（ 1）压力,P1, P2只能同时取表压或绝压,取法
要一致 ;
（ 2）单位要统一,J/Kg 或 m液柱，压强的单位一
定要用 Pa代；
（ 3）大截面上的流速为 0；
（ 4）衡算范围内所含的外部功及阻力损失应完全
考虑进去，不应遗漏；
（ 5）外加能量 Ws是对每 Kg流体而言的，要计算泵
的 轴功率（单位时间的动力消耗）,需将 Ws乘以
质量流量 qm再除以输送机械的效率；
有效功率 Pe= Ws,qm =ρ gqv He
轴功率 Pa= Pe／ η = he,qm／ η
单位,W（ 瓦 ）
例 2 轴功的计算
2 2 气体
洗涤塔
5 m
泵 气体
3 3
1 m
1 1 m 1 4 4 0, 2 m
河水 废水池
已知管道尺寸为 ? 1 1 4 ? 4 mm,
流量为 8 5 m
3
/h,
水在管路中流动时的总摩擦损失为
1 0 J / k g （不包括出口阻力损失），
喷头处压力较塔内压力高 20 k P a,
水从塔中流入下水道的摩擦损失可
忽略不计。
求泵的有效轴功率。
解 在 1 - 1 面和 2 - 2 面间
21,
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
?
?????
???
f
s
W
pu
gz
W
pu
gz
?
?
??
22
2
26.8210268.281.97 ppW s ???????
smdVu /68.2422 ?? ?
mmmd 106.010642114 ?????
???
3
32 1020 ??? pp kgJ /23.8?
3- 3 面与 4- 4 面间
4
3
3 gz
pgz ??
?
kgJp /77.113 ??? ?
kWWWq sV 14.22137360049.90851000 ?????? ?
泵的有效轴功率为：
smWq
?
226.82 pW
s ??
kgJ /49.90?
2 2 气体
洗涤塔
5 m
泵 气体
3 3
1 m
1 1 m 1 4 4 0, 2 m
河水 废水池
19
作业
P77
10,11
1.3 流体流动的基本方程
1.3.1 基本概念
1.3.2 质量衡算 --连续性方程方程
1.3.3 机械能衡算
2
1.3.3 机械能衡算
先假设流体粘度为零，导出理想流体
的机械能守恒,得到相应的方程，经粘
度修正，用于实际流体。
?
?
?
?
?
能量守恒
动量守恒
质量守恒
三大守恒定律
在运动流体中，取一立方微元，假设
粘度为零，微元表面不受剪应力。在
运动流体中各力不平衡，造成加速度
du/dt。
1.理想流体机械能衡算方程
纳维尔－斯托克斯运动微分方程的简化式,
以上三个方程两边分别同乘以 dx,dy,dz,得
X --- gx
Y --- gy
Z --- gz
而
代入上式得
此三式相加，注意到
可得
重力场中，取 z轴垂直向上
上式可简化为,
对不可压缩流体,ρ为常数，积分后可进一步简化为
不可压缩 理想流体 作稳定
流时的机械能衡算式－ 伯
努利方程
伯努利方程的物理意义：三项机械能之和为常数。
或
几何意义：位头、压头、速度头总高为常数
伯努利方程的应用条件,
（ 1）重力场，稳定流动，不可压缩的理想流体；
（ 2）无外加机械能或机械能输出。
Q 2
换热器
2
z 2
1 泵
z 1 1 h e
对实际流体：粘度不为 0，且有外加机械能，修正为,
21,
2
2
2
2
1
2
1
1 22 ????????? fs W
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w f,1 - 2 称为摩擦损失，永远
为正，单位 J / k g
总机械能 Et 机械能衡算方程
（柏努利方程）
每一项单位均为 J/ kg
21,
2
2
2
2
1
2
1
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p
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或
每一项单位均为 m外加
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适用条件：不可压缩、连续、
均质流体、等温流动
2.实际流体机械能衡算方程
21,
2
2
)(
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?
不可压缩流体的 B.E（ 总能量衡算式）讨论
a.基准,单位质量流体,单位,J/Kg
b.物理意义,各项均表示单位质量流体具有的能量
gZ1,u12/2,P1/ρ, gZ2,u22/2,P2/ρ 分别 为截面 1
和 2上单位质量流体所具有的位能、动能和静压能 ;
Z,p,u为状态函数。管内流动 u,z,p,?为平均值。
Ws, Wf,1-2为流体在截面 1→2 之间 获得和 消耗的能量,
是过程函数 。
Ws,输送设备对单位质量流体所作的有效功 → 选用输
送设备的重要依据。
21,
2
2
2
2
1
2
1
1 22 ????????? fs W
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c.方程两边同时除以 g,可得单位重量流体（ 1N） 的 B.E
各项均表示单位重量流体具有的能量； 单位,[J/N或 m液柱 ]
21,
2
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d.物理意义,各项均表示单位重量流体具有的能量
Z1、△ u12/2g,P1/ρ g为截面 1上流体所具有的位压头、动
压头和静压头 ;Z2、△ u22/2g,P2/ρ g为截面 2上流体所具
有的位压头、动压头和静压头 ;
He（ 扬程）, 输送设备对流体所提供的有效压头 He=WS/g
Hf,1-2为流体在截面 1→2 之间的 压头损失 。
21,
2
2
2
2
1
2
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1 22 ????????? fe Hg
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e.外界没有向系统加入外功, Ws=0 He =0, 则
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1
2
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f.理想流体，无外加功, Ws=0,He =0 ; ΣHf,1-2=0,
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由于 W f,1 - 2 >0,故 E 1 > E 2
这说明流体能自动从高（机械能）能位流向低（机械能）能位 实际流体（非理想）系统能量随流动 ↓
[物理意义 ],1kg理想流体在各个截面上所具有的总机械
能 E守衡，各项不一定相等，三种形式的能可以互相转换，
总和不变。 E1=E2
g.静止流体
静力学基本方程式常数,,,,,,,,2211 ???? gpZgpZ ??
需要指出的是,
1).B.E（ 有时需要和连续性方程, 动量守恒定律联合 ） 可用于计
算管路中的流量, 设备间的相对位置, 输送设备的有效功率
及管路中流体的压强关系, B.E是本章的核心；
2).B.E的应用条件：稳定, 连续, 不可压缩流体系统, 在选定的
两截面间, 系统与周围环境无能量和质量交换, 满足连续性
方程；
图为水平通风管道中的一段,该管道的
直径自 300mm渐缩为 200mm,为了粗略估计其
中的空气流量，在锥形接头两端分别测得 粗
管截面 1-1的表压强为 1200Pa,细管截面 2-2
的表压强为 800Pa,空气流过锥形管的能量损
失可忽略,求空气的流量。空气温度为 20℃,
当地大气压强为 101.33KPa 。
例 1.确定管道内的流体流量
1
1’ 2’
2
解：在截面 1-1,2-2间列 B.E,并通过管道中心线作基准水平
面, 由于两截面间无外加功加入, Ws=0,能量损失可略,
Σ Wf,1-2=0
??
2
2
2
2
1
2
1
1 22
pugZpugZ ?????
解出 u1=12.7m/s Vh=3600× (π／ 4).d12u1
=3600× 0.785× 0.09× 12.7=3234m3/h
Z1=Z2=0,P1=1200Pa（ 表 ）,P2=800Pa（ 表 ）,取空气的平均
分子量为 29 Kg/Kmol,在截面 1-1,2-2间空气平均密度为,
3
0
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1 0 1 3 3 02 9 3
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4.22
29
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4.22
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12 ????????????? ud
duu由连续性方程
)1(22.1800222.112002
2
2
2
1 ???????????? uu
故
（ 1）绘出流体流动系统的示意图，并根据要求确定流体
流动系统的衡算范围 (控制体 )。
（ 2）选取截面, 根据题意定出上下截面,一般把上下游
截面选取在已知数较多或含有待求量的地方，并指出流
体的流动方向，截面选取必须与流动方向垂直，且在两
截面间流体必须是连续的 ；上下游截面确定后，两截面
及其间的管道内壁和容器内壁即构成相应的控制体。上
下游截面上单位质量流体所具有的位能和静压能按管道
轴心线的流线上的值计算；
（ 3）选择基准水平面, 通常取基准水平面通过衡算范围
的两个截面中的任一截面，截面上方为, +”,截面下
方为, —,,, Z”→ 截面中心点到基准水平面间的垂直
距离；
（ 4）进行衡算 。
B.E 解题步骤
注意,
（ 1）压力,P1, P2只能同时取表压或绝压,取法
要一致 ;
（ 2）单位要统一,J/Kg 或 m液柱，压强的单位一
定要用 Pa代；
（ 3）大截面上的流速为 0；
（ 4）衡算范围内所含的外部功及阻力损失应完全
考虑进去，不应遗漏；
（ 5）外加能量 Ws是对每 Kg流体而言的，要计算泵
的 轴功率（单位时间的动力消耗）,需将 Ws乘以
质量流量 qm再除以输送机械的效率；
有效功率 Pe= Ws,qm =ρ gqv He
轴功率 Pa= Pe／ η = he,qm／ η
单位,W（ 瓦 ）
例 2 轴功的计算
2 2 气体
洗涤塔
5 m
泵 气体
3 3
1 m
1 1 m 1 4 4 0, 2 m
河水 废水池
已知管道尺寸为 ? 1 1 4 ? 4 mm,
流量为 8 5 m
3
/h,
水在管路中流动时的总摩擦损失为
1 0 J / k g （不包括出口阻力损失），
喷头处压力较塔内压力高 20 k P a,
水从塔中流入下水道的摩擦损失可
忽略不计。
求泵的有效轴功率。
解 在 1 - 1 面和 2 - 2 面间
21,
2
2
2
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1
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1
1
2
2
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?????
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f
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22
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smdVu /68.2422 ?? ?
mmmd 106.010642114 ?????
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3
32 1020 ??? pp kgJ /23.8?
3- 3 面与 4- 4 面间
4
3
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kWWWq sV 14.22137360049.90851000 ?????? ?
泵的有效轴功率为：
smWq
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226.82 pW
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kgJ /49.90?
2 2 气体
洗涤塔
5 m
泵 气体
3 3
1 m
1 1 m 1 4 4 0, 2 m
河水 废水池
19
作业
P77
10,11
